第二章第二节曲面的参数方程

第二章 曲面论

第二节 曲面的参数方程

一、 曲面的参数方程

设曲面∑是由显式

D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。

设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。

于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示，

也可以写为参数形式

?????===),(,

,y x f z y y x x D y x ∈),(。

一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参

数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一

个区域。

我们称由3),(R v u r r ∈= ，

?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。）

记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1）

把（1）用分量表示出来，就是 ??

???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。

显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。

二、 几个用参数方程表示的常见

曲面

例1 平面的参数方程，

设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点，

),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R

v u b v a u p r ∈++=

来表示；

写成分量表示为

v b u a x x 110++=，

v b u a y y 220++=，

v b u a z z 330++=，

即方程组

0)()(1)(110=-+-+?-v b u a x x ，

0)()(1)(220=-+-+?-v b u a y y ，

0)()(1)(330=-+-+?-v b u a z z

有非零解),,1(v u --，

所以，有

0321321

000

=---b b b a a a z z y y x x 。

例2 球心在坐标原点，半径为a 的球面2222:a z y x =++∑， 有参数方程

)cos ,sin sin ,cos sin (θ?θ?θa a a r =， 其中参数的变化范围是

π?πθ20,0≤≤≤≤，

参数?θ,的意义，分别表示纬度和经度，见图所示。

例3椭球面1:22

2222=++∑c z b y a x ， 的参数方程表示为

,cos sin ?θa x =

,sin sin ?θb y =

,cos θc z =

这里πθ≤≤0，π?20≤≤ 。

三、 曲面参数方程表示的几何意

义。（曲线坐标）

1. 平面到曲面的映射

曲面?????===∑)

,(),(),,(:v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 即映射∑=?→?)(:r r ，

也就是说，任给定一点 ?∈),(00v u ,代入方程（2）可算得∑上的一点),,(0000z y x p =，其中 ),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===。

当然，不同的参数对可能对应着∑上的同一点，这时曲面∑出现自交的现象。

2. 曲线坐标网

用分别平行于u 轴和v 轴的直线，将?分成网格，则在曲面∑得到对应的曲线网。

实例，切菜条，切土豆丝，撑开的鱼网面，编织袋曲面，棉布面，军事伪装网面等。

现在，令0u u =，在参数区域?上，这是一段平行于u 轴的直线，这时，将0u u =代入方程，得出

),(),,(),,(000v u z z v u y y v u x x ===， 它是单参数v 的方程，对应着曲面∑上的一段曲线，这类曲线被称为曲面∑上的v 曲线（因为只有参数v 在变化），不同的0u u =就对应着不同的

v 曲线，所有的v 曲线族就覆盖住了曲面∑。

类似地，若令0v v =，那么曲面∑

上的曲线

),(),,(),,(000v u z z v u y y v u x x === 称为∑上的u 曲线（因为只有参数u 在变化），不同的0v v =就对应

着不同的u 曲线，所有的u 曲线族就覆盖住了整个曲面∑。

一般地说，曲面∑上的一点，只有一条u 曲线和一条v 曲线通过。

例如说，过曲面∑上的点),(00v u r 只有u 曲线0v v =和v 曲线

0u u =通过。

我们说，),(00v u 是曲面∑上的点),(00v u r 的曲线坐标，以后，我们干脆称?∈),(00v u 是曲面上的点。

让我们来看例2，这时球面上的θ曲线的方程是常数=?，它们是球面上的经线；而球面上的?曲线的方程是常数=θ，它们是球面上的纬线；

当常数θ属于)2,0(π时，是北纬线；当常数θ属于),2(ππ时，是南纬线。 很明显，除了南极和北极两点之外，球面上的其他点只有唯一的一条经线和唯一的一条纬线通过。

四、 曲面的切平面和法向量

)),(),,(),,((),(0000v u z v u y v u x v u r =是曲面∑上的u 曲线，

偏导向量

)),(),,(),,((),(),(00000v u u z v u u y v u u x du v u dr u v u r ??????==?? 是曲面∑上的u 曲线0v v =的切向量；

类似地，

)),(),,(),,((),(),(00000v u v z v u v y v u v x dv v u dr v v u r ??????==?? 是曲面∑上的v 曲线0u u =的切向量。

特别地，偏导向量,),(00u v u r ??,),(00v v u r ??分

别是曲面∑上的点),(00v u 处的u 曲线的切向量和v 曲线的切向量。

为了进一步认识这两个向量和几何意义，我们继续开展下面的讨论。 设)(),(t v v t u u ==是?中的一段曲线，并设

?∈),(00v u ，

)(),(0000t v v t u u ==。 这一段曲线在映射r 之下，变成

曲面∑上的一条曲线，它经过∑上的点),(000v u r p =，所以，我们可以直接称)

(),(t v v t u u ==是∑上过),(000v u r p =这一点的曲线，它的向量方程是))(),((t v t u r r =，

对t 求导，由链式法则，可得 )()(t v v

r t u u r dt r d '??+'??= ，

将0t t =代入上式，我们有

)(),()()(|00000,00t v v u v

r t u v u u r dt r d t t '??+'??== ， 此式表示：曲面∑上过点)

,(000v u r p =的任何一条曲线，它在),(000v u r p =处

的切向量，都是),(),(000,0v u v r v u u r ???? 的线

性组合，也就是说，曲面∑上过点),(000v u r p =的任何一条曲线在),(000v u r p =处的切线在同一平面上，它就是由),(),(000,0v u v r v u u r ???? 这两个向

量张成的平面，当然要设这两个向量不共线。

我们把这个平面定义为曲面∑

在处),(000v u r p =的切平面，切平面方程为

),()(000,00v u v

r v u u r p r ??+??+= μλ， 其中2

),(R ∈μλ 。

也可以写出切平面方程的一般形式。

而把向量),()(000,0v u v r v u u r ????? 当成曲

面∑在点),(000v u r p =处的一个法向量，因此，曲面∑在点),(000v u r p =处有法向量),()(000,0v u v r v u u r ????? 。

法线的方程亦可写出来。

法向量的计算公式：

),,(u

z u y u x u r r u ??????=??=， ),,(v

z v y v x v r r v ??????=??=， v u r r ?v x v x v x

u z u y u x k j i

????????????=

（将此行列式按第一行展开） k v u y x j v u x z i v u z y ),(),(),(),(),(),(??+??+??= 。

五、 曲面的第一基本量 由于

),(sin ||||||||||||2222v u v u v u r r r r r r =?),(cos ||||||||||||||||22222v u v u v u r r r r r r -=2

22),(||||||||v u v u r r r r -=，

记 2222)()()(||||u z u y u x r E u ??+??+??==， v u r r F ?=

),,(u

z u y u x ??????=),,(v z v y v x ??????? u y v x u x ??+????=v z u z v y ????+??，

2222

)()()(||||v z v y v x r G v ??+??+??==。 我们把G F E 和,，称为曲面∑的第一基本量。

因此，

2||||F EG r r v u -=? 。 从而

v u v u v u r r F EG r r r r ?-=??21||

||

是曲面∑上的单位法向量，用n 来记，即||||v u v u r r r r n ??= ；

||||v u v u r r r r ??-也是曲面∑上的单位法向量。 我们令||||v u v u r r r r n ??±=。

补充知识：

（1） 向量的内积

设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→， 定义θcos ||||||||b a ?=?→→，称为向量→a 与→b 的内积；记为→→?b a 或),(→→b a 。 可以证明：332211b a b a b a b a ++=?→→ 。 2322212),(||||a a a a a a ++==→→→； ),(||||2→

→→→→→++=+b a b a b a

22||||),(2||||→→→→++=b b a a 。

（2） 向量的外积（或叉积） 定义向量→

c 的大小为

θsin ||||||||b a ?， 且→c 与b a ,垂直，方向为使b a ,，→c 恰成右手坐标系，此向量→c 称为→a 与→b 的外积，记为→→?b a ；

在直角坐标系中，可以证明： 设),,(321a a a a =→，),,(321b b b b =→

， 则321321

b b b a a a k j i b a =?→→

k b b a a j b b a a i b b a a 2

12131313232)(+-+= ???

? ??-=212131313232,,b b a a b b a a b b a a 。 外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算

θ2222sin ||||||||||||→

→→→=?b a b a

)cos 1(||||||||222θ-=→

→b a 222),(||||||||→

→→→-=b a b a 。

叉乘的性质：

混合积

拉格郎日恒等式

六、正则曲面

设曲面∑的参数方程为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，

),(v u r 具有一阶连续偏导数，设?∈),(00v u ，若0|),(00≠?v u v u r r ，则称),(00v u r 为曲面的∑上的正则点；否则，称为奇点；

当曲面∑上的所有点都是正则点时，称∑为正则曲面。

今后，凡是讲到曲面，都是指正则曲面。我们附加“正则”这一条件的原因，在于保证曲面上处处存在着切平面和法向量。

七、举例

例3 求球面2

222:a z y x =++∑ 的法向量。

解：方法一

设2222),,(a z y x z y x F -++=， 曲面0),,(:=∑z y x F ， 法向量：)

,,(2,,z y x z F y F x F =????

????????， 单位外法向量为),,(a z

a y a x n =；

方法二：

)cos ,sin sin ,cos sin (θ?θ?θa a a r =， )sin ,sin cos ,cos (cos θ?θ?θθ-=a r ， )0,cos sin ,sin sin (?θ?θ?-=a r ， 所以

22

a r E ==θ ，

0=?=?θr r F ，,(正交与即?θr r 称为正交曲线网）

θ?222

sin a r G ==， 得出θsin 22a F EG =-，

并且

)cos ,sin sin ,cos (sin sin 2θ?θ?θθ?θa r r =? 因此，球面的单位法向量是)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θ， 对照球面的参数方程，

),,(1,,z y x a

a z a y a x =??? ??=上式，这是球面上的点的径向量除以球的半径，正好是球的单位外法向量。