现代质量专业理论与实务教案

（1）t 分布：设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体N （μ，σ2

）的一个样本，则有：x ～N （μ，

n 2σ），对样本均值x 施行标准化变换，则有：()

σμσμ-=-=x n n x u /～N （0，1），当用样本标准s 代

替上式中的总体标准差σ，则上式u 变量改为t 变量，标准正态分

布N （0，1）也随之改为“自由度为n-1的t 分布”，记为t （n-1），

即：

()()()∑=---=-=n i i x x n x n s x n t 1

211μμ～t （n-1）。 （2）χ2分布：自由度为n-1的χ2分布的概率密度函数在正

半轴上呈偏态分布。

（3）F 分布：设有两个独立的正态总体N （μ1，σ2

）和N （μ

2，σ2）,它们的方差相等。又设x 1，x 2，…，x n 是来自N （μ1，σ2）的一个样本；y 1，y 2，…，y m 是来自N （μ2，σ2

）的一个样本，两个样本相互独立。它们的样本方差比的分布是自由度为n-1和

m-1的F 分布，其中n-1称为分子自由度或第1自由度；m-1称为分

母自由度或第2自由度。F 分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态

分布。

考点17：参数可能

重点等级：※

参数要紧是指：①分布中的未知参数，如二项分布b(1，p)中的p，正态分布N（μ，σ2）中的μ,σ2或σ；②分布的均值E(X)、方差Var(X)等未知特征数；③其他未知参数，如某事件的概率P(A)等。上述未知参数都需要依照样本和参数的统计含义选择适宜的统计量并作出可能。参数可能有两种差不多形式：点可能与区间可能。

考点18：点可能重点等级：※※※※

1．点可能优良性标准无偏性是表示可能量优良性的一个重要标准，只要有可能，应该尽可能选用无偏可能量，或近似无偏可能量。有效性是判定可能量优良性的另一个标准。

2．求点可能的方法--矩法可能由于均值与方差在统计学中统称为矩，总体均值与总体方差属于总体矩，样本均值与样本方差属于样本矩。获得未知参数的点可能的方法称为矩法可能。矩法可能简单而有用，所获得的可能量通常(尽管不总是如此)也有较好的性质。然而应该注意到矩法可能不一定总是最有效的，而且有时可能也不唯一。

3．正态总体参数的可能①正态均值μ无偏可能有两个，

一个是样本均值x ，另一个是样本中位数x ；②正态方差σ2

的无偏可能常用的只有一个，确实是样本方差S 2，即

()∑=--==n i i x x n s 122211?σ；③正态标准差σ的无偏可能也有两个，一

个是对样本极差R ＝x （n ）-x （1）进行修偏而得，另一个是对样本标

准差s 进行修偏而得，具体是：

()()()212?d x x d R n R -==σ，()421

411?c x x n c s n i i s ∑=--==σ。

考点19：区间可能

重点等级：※※※※

1．1-α置信区间的含义。所构造的随机区间[θL ，θU ]覆盖(盖

住)未知参数θ的概率为1-α。由于那个随机区间随样本观测值

的不同而不同，它有时覆盖了参数θ，有时没有覆盖θ，然而用

这种方法作区间可能时，100次中大约有100(1-α)个区间能覆盖

未知参数θ。假如P （θ＜θL ）＝P （θ＞θU ）＝α/2，则称这种置信区间为等尾置信区间。

2．正态总体参数的置信区间。①总体均值μ的置信区间的求法：μ的可能一般用样本均值x ，从x 的分布来构造置信区间。

当总体标准差σ已知时，利用正态分布可得μ的1-α置信区间

为：n

u

x n u

x //2121σμσαα--+≤≤-，今后也记为n u x σα

21-±，其中2

1α

-u

是标准正态分布的1-2α

分位数；②总体方差σ2与标准差σ的置信

区间的求法：σ2的可能常用样本方差s 2，因此从s 2

的分布来构造

置信区间。利用χ2（n-1）分布能够得到σ2的1-α置信区间为：

()()()()??????????-----11,112222212n s n n s n ααχχ，其中()122-n αχ与()1221--n αχ分不是χ

2（n-1）分布的2α分位数与1-2α

分位数。将上式两边开平方，可

得σ的1-α置信区间为()()??????????-----11,1122221n n s n n s ααχχ。 考点20：假设检验的差不多思想与差不多步骤 重点等级：※※※※

1．假设检验问题 ①这不是一个参数可能问题；②那个地点要

求对命题“μ=x”作出回答：是与否；③这一类问题称为假设检

验问题；④这类问题在质量治理中普遍存在。

2．差不多步骤

（1）建立假设；

（2）选择检验统计量，给出拒绝域分形式；

（3）给出显著性水平α：在作推断中会犯错误，要同意犯

错误，我们的任务是操纵犯错误的概率。在假设检验中，错误有

两类。①拒真错误：原假设H 0为真，但由于抽样的随机性，样本

落在拒绝域W 内，从而导致拒绝H 0，其发生概率记为α，又称为

显著性水平；②取伪错误：原假设H 0不真，但由于抽样的随机性，样本落在W 内，从而导致同意H 0，其发生概率为β。

理论研究表明：①在相同样本量下，要使α小，必导致β大；

②在相同样本量下，要使β小，必导致α大；③要使α、β皆小，

只有增大样本量n 才可达到，这在实际中有时并不可行。折中方

案是：操纵α，但不使α过小，在适当操纵α中制约β。

（4）确定临界值c ，给出拒绝域W ：由标准正态分布N （0，1）的分位数性质知2α

u 与21α

-u 互为相反数，即2α

u ＝-21α

-u ，从而可得拒

绝域W ＝???????=????????--21212αααu u u u u u 或。

（5）推断。

考点21：正态均值μ

的假设检验（σ已知情形）

重点等级：※

1．关于正态均值μ常用的三对假设。①H 0:μ≤μ0，H 1:μ＞μ0

单侧假设检验问题；②H 0:μ≥μ0，H 1:μ＜μ0单侧假设检验问题；

③H 0:μ＝μ0，H 1:μ≠μ0双侧假设检验问题。

2．检验统计量都用u 统计量，在μ＝μ0，

n x u /00

σμ-=～N （0，1）。

3～4．给出显著水平性α，确定拒绝域W

5．推断

考点22：正态均值μ

的假设检验（σ未知情形）

重点等级：※ 1．关于正态均值μ常用的三对假设。①H 0:μ≤μ0，H 1:μ＞μ0；

②H 0:μ≥μ0，H 1:μ＜μ0；③H 0:μ＝μ0，H 1:μ≠μ0。

2．检验统计量都用t 统计量，在μ＝μ0，n s x t /0

μ-=～t （n-1）。

3～4．给出显著水平性α，确定拒绝域W

①H 1:μ＞μ0 W ＝{t ＞t 1-α（n-1）}

②H 1:μ＜μ0 W ＝{t ＞t α（n-1）}

③H 1:μ≠μ0 W ＝{|t|＞t 1-α/2（n-1）}

5．推断

考点23：正态方差σ的假设检验重点等级：※

1．关于正态方差σ2

常用的三对假设。①H0:σ2≤20σ，H1:σ2＞20σ；②H0:σ2≥20σ，H1:σ2＜20σ；③H0:σ2＝20σ，H1:σ2≠20σ。 2．检验统计量为χ2统计量，当σ2＝20σ时，

()

2

2

2

1

σ

χ

s

n-

=

～2χ（n-1）。

3～4．给出显著水平性α，确定拒绝域W

①H1:σ2＞20σ W＝{χ2＞21α

χ

-（n-1）}

②H1:σ2＜20σ W＝{χ2＜2αχ（n-1）}

③H1:σ2≠20σ W=

()

()?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-

?

-

?

-

1

1

2

2

1

2

2

2

2

n

n

α

α

χ

χ

χ

χ

或

5．推断

第二章常用统计技术

考点1：方差分析的几个概念重点等级：※※

1．因子将在试验中会改变状态的因素称为因子，常用大写字母A、B、C等表示。因子常被分为两类：定性因子(如工厂，原料产地等)与定量因子(如温度、压力等)。回归分析要紧研究定量因子，定量因子又称为变量。

2．因子的水平因子所处的状态称为因子的水平，用因子的字母加下标来表示，譬如因子A的水平用A1、A2、…等表示。 3．方差分析数据分析要紧是要检验：H0:μ1=μ2＝…＝μr H1:μ1，μ2，…，μr不全相等，检验这一对假设的统计技术便是方差分析。

方差分析是在相同方差假定下检验多个正态均值是否相等的一种统计分析方法。具体地讲，该问题的差不多假定是：①在水平A i下，指标服从正态分布；②在不同水平下，方差σ2相等；

③数据y ij 相互独立。

考点2：单因子方差分析 重点等级：※※※※※

引起数据差异的缘故有两个：①由于因子A 的水平不同，当假设

H 0不真时，各个水平下指标的均值不同，这必定会使试验结果不

同，我们能够用组间平方和来表示，也称因子A 的平方和；

()

∑=-=r i i A y y m S 12那个地点乘以m 是因为在每一水平下进行了m 次试

验；②由于存在随机误差，即使在同一水平下获得的数据间也有

差异，这是除了因子A 的水平外的其他所有缘故引起的，我们将

它们归结为随机误差，能够用组内平方和表示：

()∑∑==-=r i m j i ij e y y S 112，e S 也称为误差平方和。能够证明有如下平方和分解式：S T =S A +S e 。

能够设想：当H 0不真时，因子A 水平不同引起的波动相关于

误差来讲是比较大的，而当假设H 0为真时，两者都能够看成差不

多上由随机波动引起的，它们都能够作为误差方差的某种可能。

由于两者所包含的误差的量有差不，因此为了进行比较，还需要

将每个平方和除以各自的自由度。S T 、S A 、S e 的自由度分不用f T 、

f A 、f e 表示，分解式为：f T ＝f A +f e ，其中，f T ＝n-1＝rm-1，f A ＝

r-1，f e =f T -f A ＝r （m-1）。因子或误差平方和与相应的自由度之

比，也即按自由度平均的平方和称为均方，并分不记为：

MS A =S A /f A ，MS e =S e /f e ，当MS A 与MS e 相差不大时，认为因子A 不显著；

而当MS A 相关于MS e 大得多时，认为A 是显著的。这一比较能够用两

者的比表示，称为F 比，记为：F=MS A /MS e ，当F ＞F 1-α（f A ，f e ）时

认为因子A 在显著性水平α上是显著的，其中F 1-α（f A ，f e ）是自

由度为f A ，f e 的F 分布的1-α分位数。

在以上计算中，关键是计算各个（离差）平方和，在计算时运用以下的等式是专门有关心的：

()∑∑∑∑====-=-=r i m j ij r i m j ij T n T y y y S 1122112，()

∑∑==-=-=r i r

i i i A n T m T y y m S 11222，A T e S S S -=，其中∑==m j ij i y T 1是第i 个水

平数据的和，∑∑===r i m j ij

y T 11表示所有n ＝rm 个数据的总和。

方差分析的一般步骤为：①计算因子A 的每一水平下数据的

和T 1，T 2，…，T r 及总和T ；②计算各类数据的平方和∑∑2

ij y ，∑2i

T ，T 2；③依次计算S T ，S A ，S e ；④计算各均方及F 比值并列出方差分

析表；⑤关于给定的显著性水平α，将求得的F 比与F 分布表中F 1-

α（f A ，f e ）比较，当F ＞F 1-α（f A ，f e ）时认为因子A 是显著的，否

则认为因子A 是不显著的。

考点3：散布图与相关系数 重点等级：※※※※※

1．散布图 为了研究两个变量之间存在什么关系，能够画

一张图，把每一对(x i ，y i )看成直角坐标系中的一个点，在图中

标出n 个点，称如此的图为散布图。

2．相关系数 n 个点差不多在一条直线附近，但又不完全在

一条直线上，则可用一个统计量来表示它们的线性关系的紧密程

度，那个量称为相关系数，记为r ，它定义为：

()()()()yy xx xy i i i

i L L L y y x x y y x x r =----=∑∑∑22

其中：

()()

∑=--=n i i i xy y y x x L 1

()

∑=-=n i i xx x x L 1

2 ()

∑=-=n i i yy y y L 12

当r=±1时，n 个点完全在一条直线上，这时称两个变量完全

线性相关。

当r=O 时，称两个变量线性不相关，这时散布图上n 个点可能

毫无规律，只是也可能两个变量间存在某种曲线的趋势。

当r ＞0时，称两个变量正相关，这时当x 值增加时，y 值也有

增大的趋势。

当r ＜0时，称两个变量负相关，这时当x 值增加时，y 值有减

少的趋势。

能够依照r 的绝对值的大小去推断两个变量间线性相关的程

度，|r|愈大，线性相关就愈强。

由于上述的相关系数是依照样本求出的，即使实际上两个变

量不相关，然而求出的相关系数r 不见得恰好等于0。

考点4：一元线性回归方程 重点等级：※※※※

1．一元线性回归方程的求法 求一元线性回归方程的步骤为：

①计算变量x 与y 的数据和T x ，T y ；②计算各个变量数据的平方和

及其乘积和；③按()()∑∑∑-=--=n T x y x y y x x L y i i i i i xy /，

()∑∑∑-=-=n x x x x L i i i xx /222，()∑∑∑-=-=n y y y y L i i i yy /222；④按

b ＝L xy /L xx ，x b y a -=，求出b 与a ；⑤写出回归方程bx a y

+=?，也能够表示为()x x b y y

-+=?。注意由回归方程bx a y +=?画出的回归直线一定通过（0，a ）与（x ，y ）两点。

2．回归方程的显著性检验 建立回归方程的目的是表达两

个具有线性相关的变量间的定量关系，因此，只有当两个变量具

有线性相关关系时所建立的回归方程才是有意义的。检验两个变

量间是否存在线性相关关系的问题便是对回归方程的显著性检

验问题。通常由两种检验方法：①关于给定的显著水平α，当相

关系数r 的绝对值大于临界值21α

-r

（n-2）时，便认为两个变量间

存在线性相关关系，所求得的回归是显著的，即回归方程是有意义的；②为了便于推广到多元线性回归场合，给出另一种检验方法，这便是方差分析的方法。对给出的n 个y 的观测值求出其总的波动，如同方差分析中一样，用S T 表示总（离差）平方和：()∑-=2y y S i t 造成这种波动的缘故有两个方面：一是由于自变量x 的取值不同，当变量y 与x 线性相关时，x 的变化会引起y 的变化；另一个缘故是除了自变量x 以外的一切因素，统统归结为随机误差。用回归平方和S R 与残差平方和S E 分不表示由这两个缘故引起的数据波动：()∑-=2?y y S i R ，()∑-=2?i i E y y S 同样能够证明有平方和分解式：S T ＝S R +S E ，它们的自由度也有分解式：f T ＝f R +f E ，其中：f T ＝n-1.f R =1，f E ＝f T -f R ，如同方差分析中一样，计算F 比：E E R

R f S f S F //=，对给定的显著性水平α，当F ＞F 1-α（f A ，f e ）时，认为回归方程显著，即是有意义的。

3．利用回归方程进行预测 利用回归方程进行预测的步骤

为：①将给定的x 0的值代入所求得的回归方程，得到预测值0?y ；

②求概率为1-α的预测区间：先求σ的可能E e f S /?=σ；由给定

的α，查t 分布表得()221--n t α

的值，按