2017_2018学年高中数学2.1二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念教学案苏教版选修4_2(含答案)
2.1.1 矩阵的概念
[对应学生用书P1]
1.矩阵
在数学中,把形如??????13,??
????2 3
m 3 -2
4,????
??
80 9065 85这样的矩形数字(或字母)阵列称作矩阵,一般地,我们用大写黑体拉丁字母A ,B ,…或者(a ij )来表示矩阵,其中i ,j 分别表示元素所在的行和列.同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行,同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列,组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素,所有元素都为0的矩阵称为零矩阵,记为0.
2.行矩阵,列矩阵
一般地,我们把像[a 11 a 12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵,而把像????
??
a 11a 21这样只有一列的矩阵称为列矩阵,并用希腊字母α,β,…来表示.
平面上向量α=(x ,y )的坐标和平面上的点P (x ,y )都可以看做是行矩阵[x ,y ],也可
以看做是列矩阵??????x y .因此,我们又称[x y ]为行向量,称??????
x y 为列向量,在本书中,我们把
平面向量(x ,y )的坐标写成????
??
x y 的形式.
3.矩阵相等
对于两个矩阵A ,B ,只有当A ,B 的行数与列数分别相等,并且对应位置的元素也分别相等时,A 和B 才相等,此时记作A =B .
[对应学生用书P1]
[例1] 画出矩阵??
??
??-1 4
3 1 -1
1所表示的三角形,并求该三角形的面积.
[思路点拨] 写出平面图形顶点的坐标即可.
[精解详析] 矩阵??
??
??-1 4 3 1 -1
1所表示的三角形的三个顶点分别为(-1,1),(4,-1),(3,1).所
求三角形的面积为4.
1.矩阵??
??
??
-1 4
3 1 -1
1可以表示点A (-1,1),B (4,-1),C (3,1)或由它们构成的三角形;
2.表示同一个三角形的矩阵不唯一,如本例三角形,可用矩阵????
??
-1 1 4 -1 3 1等表示;
3.空间图形也可以用矩阵表示,不过需注意空间中点的坐标是由3个实数构成的有序数组.
1.在平面直角坐标系内,分别画出矩阵??????12,??????-1 2,?????? 1-2,????
??
0-2所表示的以坐标原点
为起点的向量.
解:矩阵
??????12,??????-1 2,?????? 1-2,????
??
0-2所表示的以坐标原点为起点的向
量对应的坐标分别为(1,2),(-1,2),(1,-2),(0,-2).按要求画出相应向量即可.
2.已知A (0,0),B (2,3),C (6,3),D (4,0),写出表示四边形ABCD 的一个矩阵.
解:表示四边形ABCD 的矩阵可以为
??????0 2 6 40 3 3 0或
?????
?
??
0 02 36 34 0等.
[例2] 已知甲、乙、丙三人中,甲与乙相识,甲与丙不相识,乙与丙相识.用0表示两人之间不相识,用1表示两人之间相识,请用一个矩阵表示他们之间的相识关系(规定每个人和自己相识).
[思路点拨] 先列出一个表格表示他们之间的相识关系,然后利用表格再用矩阵表示即可.
[精解详析] 将他们之间的相识关系列表如下:
故用矩阵表示为????
??1 1 01 1 10 1 1.
用矩阵表示实际问题时,要注意元素的次序,矩阵中元素的次序不一样,表示的实际问题可能就不一样.
3.某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤:
从甲矿区向企业A ,B ,C 送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨;从乙矿区向企业A ,B ,C 送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨.试用矩阵表示上述数据关系.
解:列表如下(单位:万吨):
记M =??
??
??
100 200 150150 150 300,则矩阵M 就是上述数据关系的一个表示.
4.两类药片有效成分如下表所示:
试用矩阵表示A 、B 两种药品每片中三种成分所含的质量.
解:表示A 、B 两种药品成分的矩阵为????
??
2 5 11 7 6.
[例3] 已知矩阵A =?????? a c -d c +d b ,B =????
??
2b +2 d -76-c 2a -4,若A =B ,试求a ,b ,c ,d 的
值.
[思路点拨] 我们说两个矩阵是相等的,是指两个矩阵的行数和列数相同,并且相应位置的元素也分别相等,本题考查对矩阵相等定义的理解.
[精解详析] 因为A =B ,即??
???? a c -d c +d b =??
??
??2b +2 d -76-c 2a -4,
由矩阵相等的意义可知
?????
a =2
b +2,
c -
d =d -7,c +d =6-c ,b =2a -4,
由此解得a =2,b =0,c =1,d =4.
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学数列专题大题训练
高中数学数列专题大题组卷 一.选择题(共9小题) 1.等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7 C.6 D. 3.数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n≥1),则a6=() A.3×44B.3×44+1 C.44D.44+1 4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)5.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.C.D. 6.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=()A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=() A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D. 9.设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 二.解答题(共14小题) 10.设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法