数学分析(上)

数学分析（上）第四章函数的连续性

第四章 函数的连续性 （ 1 2时 ）

§ 1

函数的连续性 ( 2时 )

一． 函数在一点的连续性：

1． 连续的直观图解： 由图解引出解析定义.

2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义.

定义 (

用)).

()(lim 00

x f x f x x =→ 例如 [1]P 87例1和例2, P 88 例3.

定义 (用 )).()0()0(000x f x f x f =+=-

定义

(

用 ).0lim 0

=?→?y x 先定义x ?和.y ?

定义 (连续的Heine 定义.)

定义 ( “δε-”定义.)

其他定义参阅[3]P 39 Th.

例1 用“δε-”定义验证函数1

32

)(2-+=x x x f 在点10=x 连续.

例2 试证明: 若??∈? ,R A ,0 ,0>?>δε?<-? , ,0δx x x

, )( ε<-A x f 则)(x f 在点0x 连续.

3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.

Th ( 单、双侧连续的关系 )

例3 ??

?

??<-=>+=.0 ,2,0

,,0 ,2)(x x x A x x x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性.

二. 间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.

跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况

(

即)0(0+x f 或

)0(0-x f 中至少有一个不存在

)称为第二类间断点.

例4 讨论函数)

1( )

1( )(2

--=

x x x x x f 的间断点类型.

例5 延拓函数,3sin )(x

x

x f = 使在点00=x 连续. 例6 举出定义在[0,1]上且仅在点4

1

,31 ,21=x 三点间断的函数的例.

例7 讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性.

( 参阅Ch 3 习题课例3 )

三． 区间上的连续函数：

开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.

Ex [1]P 92—93 1 ⑴，2 ⑹ ⑺， 3—6；

[4]P 83 123. ( 改0≠x 等为2≠x .)

§ 2 连续函数的性质

一. 连续函数的局部性质: 叙述为Th 1—4.

1. 局部有界性：

2. 局部保号性：

3. 四则运算性质：

4. 复合函数连续性：

Th 4 若函数f 在点0x 连续，函数g 在点0u 连续, 且)(00x f u =, 则复合函数

f g 在点0x 连续. ( 证 )

註 Th 4 可简写为

()().)()lim ()(lim )(lim 00

00

x f g x f g x f g x f g x x x x x x =??

? ?

?=??? ??=→→→

例1 求极限 ).1sin(lim 2

1

x x -→

例2 求极限:

⑴ ;s i n 2l i m 0

x x x -

→ ⑵ .s i n 2l i m x

x

x -∞→

例3 求极限 .)

1ln(lim 0x

x x +→

(

x ln 的连续性见后

).

二. 闭区间上连续函数的基本性质:

1. 最值性: 先定义最值.

Th 5 ( 最值性 )

系 ( 有界性 )

2. 介值性: 定义介值.

Th 6 ( 介值性 )

连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.

系 ( 零点定理 )

例4 证明: 方程 x x x cos sin 2=- 在0到2π

之间有实根. 例5 设p 是正数, n 为正整数. 证明方程 p x n

=有唯一正实根.

(

唯一

性的证明用n

x 在) , 0 (∞+内的严格递增性.)

三. 反函数的连续性:

Th 7 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1

-f 在相应的定义

域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续. ( 证 )

关于函数αx x x y , , arcsin =等的连续性 ( [1]P 99 E5,6.)

Ex [1]P 101—102 1—7，11，13；

[4]P 83 125—127.

四． 函数的整体连续性 —— 一致连续：

1． 连续定义中δ对0x 的依赖性 ： 例6 考查函数x

x f 1

)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性. 对], 1 , 0 (0∈?x 作限制

,120

≤

1

1 2

0000

0000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>?ε , 取 }. 2

, 2 min{020x

x εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ. 本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.

例7 考查函数x

x f 1

)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.

本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2

, 2 min{2c

c εδ= 该δ却与0x 无关, 可

记为)(εδ.

2. 一致连续性:

定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.

用定义验证一致连续的方法: 对0>?ε, 确证)0(>δ存在. 为此, 从不失真地放大

式 )()( x f x f ''-'入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x x ''-'之外, 其余部分中不含

有x '和x '', 然后使所得式子ε<, 从中解出.x x ''-'

例8 验证函数 )0( )(≠+=a b ax x f 在) , (∞+∞-内一致连续.

例9 验证函x

x f 1

sin )(=在区间 )10( ) 1 , (<

证 ,c o s 2s i n 2 1

s i n 1s i n

22121212121212121c

x x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-

例10 若函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续, 则)(x f 在),(b a 内有界.

3. 一致连续的否定:

否定定义.

例11 证明函数x

x f 1

)(=

在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10

1, min{δ='x 与,2x x '='' 便有 .2

2δδ

<≤'=''-'x x x 但

.121

21 11 0ε=>≥'

=''-'=''-'x x x x x

证法二 ( 用例10的结果 ).

4. Lipschitz 连续与一致连续:

定义Lipschitz 连续.

例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ?在I 上一致连续. ( 证 )

但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数

x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.

(

为证明

x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明

不等式: ,0, 21≥?x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上,

21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+

同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+

利用该不等式, 为使 =-2

21

)()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 . 221ε<-x x

)

却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈?x x 有

, )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-

则当21x x ≠时，应成立

.12

1L x x ≤+

但若取,4 ,12

221n x n x == 就有 ). ( ,3

12

1∞→∞→=

+n n

x x 矛盾.

5. 一致连续的判定:

Th 8 ( Cantor ) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, )( x f ?在],[b a 上一致连续.

Ex [1]P 102 8，9，10.

§ 3 初等函数的连续性

回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数.

指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )

一. 初等函数的连续性:

Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续.

Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.

註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭

端点是其单侧连续点.

例1 求函数2

ln 1

)(-+=

x x x f 的连续区间和间断点.

解 ). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+???-=f D

∴ )(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+.

间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续 ).

二. 利用函数的连续性求极限:

例2 .cos )

1ln(lim

20x x x +→ 例3 .1111lim 0?

??

? ??--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例4 ()

.1lim sec 0

xctgx

x tgx +→ 解 I = (

)

()

.)1(lim )

1(lim 1sec lim 0

sec 0

e e tgx tgx x

ctgx

x x

ctgx x x ==+=+→→→

例5 (

)

.sin 1sin

lim x x x -++∞

→

解 =-+x x sin 1sin .2

1cos 21sin 2x

x x x ++-+

,02

1lim sin 21sin lim ,121cos

=-+=-+≤++∞→+∞→x

x x x x x x x

∴I = .0

Ex [1]P 107—108 1，2； [4]P 81—83 78—81，120.

习 题 课

例1 设函数)(x f 在区间)0( ]2 , 0[>a a 上连续, 且).2()0(a f f = 证明:

在区间] , 0[a 上至少存在某个,c 使 ).()(a c f c f +=

证 若)2()(a f a f =, 取0=c 或a c =即可;

若),2()(a f a f ≠ 不妨设).2()(a f a f > 设)()()(a x f x f x F +-=, 应用

零点定理即得所证.

例2 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，.21b x x x a n <<<<< 试证明：

],,[1n x x ∈?ξ 使

.)

()()()(21n

x f x f x f f n +++= ξ

例3 设.)( ,)( ],,[b b f a a f b a C f <>∈ 试证明：方程 x x f =)(在区间

),(b a 内有实根.

例4 设函数)(x f 在R 内连续且 .)(lim +∞=∞

→x f x 则)(x f 在R 内有最小值.

(

与)0(f 比较.

)

例5 设函数)(x f 和)(x g 在区间I 上连续, 且在I 的有理点r ,有).()(r g r f =

证明: 在I 上)()(x g x f ≡.

例6 设函数)(x f 和)(x g 在区间I 上一致连续. 证明函数)()(x g x f +在区间

I 上一致连续.

例7 设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续. 则)(x f 在有限开区间),(b a 内

一致连续, )0( +?a f 和)0(-b f 存在( 有限 ).

例8 设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续. 则)(x f 在),(b a 内一致连续,

? )(x f 在),(b a 内一致连续.

Ex [1]P 102—103 15； P 108—109 3，4，6，8，12，14.