新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数 知识点考点重点难点归纳总结
第六章幂函数、指数函数和对数函数
6.1幂函数 (1)
6.2指数函数 (6)
第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)
第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)
6.3对数函数 (16)
第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)
第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)
6.1幂函数
知识点1幂函数的概念
一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.知识点2幂函数的图象和性质
1.幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1的图象如图所示:
2.幂函数的性质
y=x y=x2y=x3y=x y=x-1
定义域R R R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)
值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数
偶函数
单调性
在(-∞,
+∞)上单调递增 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增
在(-∞,+∞)上单调递增
在[0,+∞) 上单调递增
在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减
定点
(1,1),(0,0)
(1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0)
(1,1)
考点
类型1 幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数:
①y =x 3
;②y =⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
;③y =4x 2;④y =x 5+1;⑤y =(x -1)2;⑥y =x ;⑦y =
a x (a >1).其中幂函数的个数为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
(2)已知y =(m 2+2m -2)x m
2-2
+2n -3是幂函数,求m ,n 的值.
(1)B [幂函数有①⑥两个.] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧
m 2+2m -2=1,
2n -3=0,
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
m =-3,n =3
2或⎩
⎪⎨⎪
⎧
m =1,n =32.
所以m =-3或1,n =3
2.
1.幂函数y =x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1;
(2)底数只能是自变量x ,指数是常数; (3)项数只有一项.
2.求幂函数解析式时常用待定系数法,即设解析式为f (x )=x α,根据条件求出α.
类型2 比较大小
【例2】 比较下列各组数中两个数的大小: (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14;(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-1
与⎝ ⎛⎭
⎪⎫
-35-
1
; (3)0.25
与6.25;(4)1.20.6与0.30.4;
(5)(-3)与(-2).
[思路点拨] 可以借助幂函数y =x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较.
[解] (1)∵y =x 是[0,+∞)上的增函数,且13>1
4, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭
⎪⎫14. (2)∵y =x -1是(-∞,0)上的减函数, 且-23<-35,
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-
1>⎝ ⎛⎭
⎪⎫-35-
1
. (3)0.25
=⎝ ⎛⎭
⎪⎫14=2,
6.25=2.5.
∵y =x 是[0,+∞)上的增函数,且2<2.5, ∴2<2.5,即0.25
<6.25.
(4)由幂函数的单调性,知1.20.6>10.6=1,0.30.4<10.4=1,从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性,(-3)=3>0,(-2)=-2<0, 所以(-3)>(-2).
比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数
(1)若指数相同而底数不同,则构造幂函数;若指数相同、底数不在同一单
调区间,则用奇偶性;
(2)若指数与底数都不同,需考虑是否能把指数化为相同,是否可以引入中间量.
类型3 幂函数的图象及应用
【例3】 点(2,2)与点⎝ ⎛
⎭⎪⎫-2,-12分别在幂函数f (x ),g (x )的图象上,问
当x 为何值时,有:
(1)f (x )>g (x );(2)f (x )=g (x );(3)f (x ) 2, ∴α=2,β=-1, ∴f (x )=x 2,g (x )=x -1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知, (1)当x ∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f (x )>g (x ); (2)当x =1时,f (x )=g (x ); (3)当x ∈(0,1)时,f (x ) 1.解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域,再判定奇偶性; (2)先研究第一象限的图象与性质,再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象. 2.幂函数在第一象限的图象与性质 (1)α>0,幂函数的图象恒经过(0,0),(1,1),在[0,+∞)是增函数. (2)α<0,幂函数的图象恒经过(1,1),在(0,+∞)上是减函数. 3.幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律 (1)在第一象限内直线x =1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小; (2)在第一象限内直线x =1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小. 类型4 幂函数性质的综合应用 【例4】 已知幂函数y =x 3m -9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a +1) <(3-2a ) 的a 的取值范围. 1.函数图象关于y 轴对称,函数有怎样的奇偶性? [提示] 偶函数. 2.x >y 时,x 、y 与0的大小关系有多少种? [提示] 0 [解] ∵函数在(0,+∞)上递减,∴3m -9<0,解得m <3. 又m ∈N *,∴m =1,2. 又函数图象关于y 轴对称,∴3m -9为偶数,故m =1. ∴有(a +1)<(3-2a ) . ∵y =x 在(-∞,0),(0,+∞)上均递减, ∴a +1>3-2a >0或0>a +1>3-2a ,或a +1<0<3-2a ,解得23 2或a <-1. 所以a 的取值范围为(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 23,32. 1.本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解. 2.求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质. 解决此类问题可分为两大步: 第一步,研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围; 第二步,利用分类讨论的思想,结合函数的图象求出参数a 的取值范围. 6.2指数函数 第1课时指数函数的概念、图象与性质 知识点1指数函数的概念 一般地,函数y=a x(a>0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域是R. 知识点2指数函数的图象和性质 a>10 图象 性质 定义域R 值域(0,+∞) 定点图象过点(0,1),图象在x轴的上方 函数值 的变化 x>0时,y>1; x<0时,0 x>0时,0 x<0时,y>1 单调性 在(-∞,+∞)上是增函 数 在(-∞,+∞)上是减函 数 奇偶性非奇非偶函数 1.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么? [提示]指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母 a.当a>1时,图象具有上升趋势;当0 2.为什么底数应满足a>0且a≠1? [提示]①当a≤0时,a x可能无意义;②当a>0时,x可以取任何实数;③当a=1时,a x=1(x∈R),无研究价值.因此规定y=a x中a>0,且a≠1. 考点 类型1指数函数的概念 【例1】(1)下列函数中,是指数函数的个数是() ①y=(-8)x;②y=2x2-1;③y=a x;④y=2·3x. A .1 B .2 C .3 D .0 (2)已知函数f (x )为指数函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ -32=39,则f (-2)=________. (1)D (2)1 9 [(1)①中底数-8<0,所以不是指数函数; ②中指数不是自变量x ,而是x 的函数, 所以不是指数函数; ③中底数a ,只有规定a >0且a ≠1时,才是指数函数; ④中3x 前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数,故选D. (2)设f (x )=a x (a >0且a ≠1),由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ -32=39得a -32=39,所以a =3,又f (- 2)=a -2,所以f (-2)=3-2=1 9.] 1.判断一个函数是否为指数函数,要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数; (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上; (3)a x 的系数必须为1. 2.求指数函数的解析式常用待定系数法. 类型2 利用单调性比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小: (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34-1.8 与⎝ ⎛⎭ ⎪⎫34-2.6 ;(2)⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫58与1; (3)0.6 -2 与⎝ ⎛⎭⎪⎫43;(4)⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫130.3 与3 -0.2 ; (5)0.20.6与0.30.4;(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,⎝ ⎛⎭⎪⎫23,⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 25. [思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同),若相同用单调性,否则结合图象或中间值来比较大小. [解] (1)∵0<34<1,y =⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 34x 在定义域R 内是减函数, -1.8>-2.6, ∴⎝ ⎛⎭ ⎪⎫34-1.8 <⎝ ⎛⎭ ⎪⎫34-2.6 . (2)∵0<58<1,∴y =⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 58x 在定义域R 内是减函数. 又∵-2 3<0, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫ 580 =1, ∴⎝ ⎛⎭ ⎪⎫58>1. (3)∵0.6-2 >0.60=1,⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 43<⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 430 =1, ∴0.6-2>⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 43. (4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫ 130.3 =3-0.3,y =3x 在定义域R 内是增函数, 又∵-0.3<-0.2, ∴3 -0.3 <3 -0.2 ,∴⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 130.3 <3-0.2. (5)由幂函数的单调性,知0.20.6<0.30.6,又y =0.3x 是减函数,∴0.30.4>0.30.6,从而0.20.6<0.30.4. (6)∵f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 23, ∵f (x )=x 在(0,+∞)上为 增函数, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 25. 在进行指数式的大小比较时,可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同:利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数同:利用幂函数的单调性解决. (3)底数不同、指数也不同:采用介值法.以其中一个的底为底,以另一个的指数为指数.比如a c 与b d ,可取a d ,前者利用单调性,后者利用图象. 类型3 利用指数函数的单调性解不等式 【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x -1 ≤2; (2)已知ax 2-3x +10,且a ≠1). [解] (1)∵2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1 ,∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x -1 ≤⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12-1 . ∵y =⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12x 在R 上是减函数, ∴3x -1≥-1,∴x ≥0, 故原不等式的解集为{x |x ≥0}. (2)分情况讨论 ①当00,a ≠1)在R 上为减函数, ∴x 2-3x +1>x +6, ∴x 2-4x -5>0, 根据相应二次函数的图象可得x <-1或x >5. ②当a >1时,函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在R 上是增函数. ∴x 2-3x +1 1.形如a x >a y 的不等式,借助y =a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a >1与0<a <1两种情况讨论. 2.形如a x >b 的不等式,注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式,再借助y =a x 的单调性求解. 类型4 图象变换及其应用 【例4】 (1)函数y =3-x 的图象是________.(填序号) (2)已知0<a <1,b <-1,则函数y =a x +b 的图象必定不经过第________象限. (3)函数f (x )=2a x +1-3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________. [思路点拨] 题(1)中可将y =3-x 转化为y =⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13x . 题(2)中,函数y =a x +b 的图象过点(0,1+b ), 因为b <-1,所以点(0,1+b )在y 轴负半轴上. 题(3)应该根据指数函数经过定点求解. (1)② (2)一 (3)(-1,-1) [(1)y =3- x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数,其 图象为②. (2)函数y =a x (0<a <1)在R 上单调递减,图象过定点(0,1),所以函数y =a x +b 的图象在R 上单调递减,且过点(0,1+b ).因为b <-1,所以点(0,1+b )在y 轴负半轴上,故图象不经过第一象限. (3)令x +1=0,得x =-1,此时y =2a 0-3=-1,故图象恒过定点(-1,-1).] 1.处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1). (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性. 2.指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y 的值,即可得函数图象所过的定点. 第2课时 指数函数的图象与性质的应用 知识点 指数型函数 形如y =ka x (k ∈R ,且k ≠0,a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数,这是一种非常有用的函数模型. 设原有量为N ,每次的增长率为p ,经过x 次增长,该量增长到y ,则y =N (1+p )x (x ∈N ). 考点 类型1 求函数的定义域、值域 【例1】 求下列函数的定义域和值域: (1)y =2 ;(2)y =1-2x ;(3)y =⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫12x 2-2x -3 ;(4)y =4x +2x +2-3. [解] (1)由x -4≠0,得x ≠4, 故y =2的定义域为{x |x ≠4}. 又 1 x -4 ≠0,即2≠1, 故y =2的值域为{y |y >0,且y ≠1}. (2)由1-2x ≥0,得2x ≤1,∴x ≤0, ∴y =1-2x 的定义域为(-∞,0]. 由0<2x ≤1,得-1≤-2x <0, ∴0≤1-2x <1, ∴y =1-2x 的值域为[0,1). (3)y =⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫12x 2-2x -3 的定义域为R . ∵x 2-2x -3=(x -1)2-4≥-4, ∴⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12 x 2-2x -3 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12-4 =16. 又∵⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫12x 2-2x -3 >0, 故函数y =⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 12x 2-2x -3 的值域为(0,16]. (4)函数 y =4x +2x +2-3的定义域为R . 设t =2x ,则t >0.所以y =t 2+4t -3=(t +2)2-7,t >0. 因为函数y =t 2+4t -3=(t +2)2-7在(0,+∞)为增函数, 所以y >-3,即函数的值域为(-3,+∞). 1.若将本例(2)中函数换为y = ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13x -1,求其定义域. [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x -1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 130,∴x ≤0即函数的定义域为(-∞,0]. 2.若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域. [解] 由于x ∈[0,2]则2x =t ∈[1,4],所以y =t 2+4t -3=(t +2)2-7.t ∈[1,4],∵函数y =t 2+4t -3=(t +2)2-7在[1,4]为增函数.故y ∈[2,29]. 1.对于y =a f (x )这类函数 (1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围. (2)值域问题,应分以下两步求解: ①由定义域求出u =f (x )的值域; ②利用指数函数y =a u 的单调性或利用图象求得函数的值域. 2.对于y =m (a x )2+n (a x )+p (m ≠0)这类函数值域问题,利用换元法,借助二次函数求解. 类型2 指数型函数的应用题 【例2】 某市现有人口总数为100万人,如果年平均增长率为1.2%,试解答下列问题: (1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式; (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人).(参考数据:1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题,若设原来人口总数为N ,年平均增长率为p ,则对于x 年后的人口总数y ,可以用y =N (1+p )x 表示. [解] (1)1年后城市人口总数为: y =100+100×1.2%=100(1+1.2%). 2年后城市人口总数为: y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100(1+1.2%)2, 同理3年后城市人口总数为y =100(1+1.2%)3, … 故x 年后的城市人口总数为y =100(1+1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为: y =100(1+1.2%)10=100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人). 故10年后该城市人口总数约为113万人. 解决实际应用题的步骤 (1)领会题意,并把题中的普通语言转化为数学语言; (2)根据题目要求,分析量与量之间的关系,建立恰当的函数模型,并注意对变量的限制条件,加以概括; (3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理,求出解; (4)检验:将数学问题的解代入实际问题检查,舍去不符合题意的解,并作答. 类型3 指数函数性质的综合应用 【例3】 已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +b 2x +1+a 是奇函数. (1)求a ,b 的值; (2)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求k 的取值范围; (3)求f (x )在[-1,2]上的值域. [思路点拨] (1)根据奇函数的定义,求出a ,b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围.(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域. [解] (1)∵函数y =f (x )是定义域R 上的奇函数, ∴⎩⎨⎧ f (0)=0,f (-1)=-f (1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧ -1+b 2+a =0,-2- 1+b 20+a =--21+b 22+a , ∴b =1,a =2. (2)由(1)知f (x )=1-2x 2(2x +1)=-12+12x +1, 设x 1,x 2∈R 且x 1 12x 2+1-1 2x 1+1=2x 1-2x 2(2x 2+1)(2x 1+1) <0, ∴f (x )在定义域R 上为减函数, 由f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立, 可得f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (k -2t 2), ∴t 2-2t >k -2t 2, ∴3t 2-2t -k >0恒成立, ∴Δ=(-2)2+12k <0,解得k <-1 3, ∴k 的取值范围为⎝ ⎛ ⎭⎪⎫-∞,-13. (3)由(2)知f (x )在R 上单调递减, ∴f (x )在[-1,2]上单调递减, ∴f (x )max =f (-1)=-12+11+12=16,f (x )min =f (2)=-12+14+1=-3 10, ∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ -310,16. 与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题,求解时可充分借助已学的知识逐项求解. 类型4 复合函数的单调性 【例4】 判断f (x )=⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 13x 2-2x 的单调性,并求其值域. y =⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13x 与y =x 2-2x 的单调性分别如何? [提示] y =⎝ ⎛⎭⎪⎫ 13x 单调递减.y =x 2-2x 在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞) 上单调递增. [解] 令u =x 2 -2x ,则原函数变为y =⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13u . ∵u =x 2-2x =(x -1)2-1在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, 又∵y =⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13u 在(-∞,+∞)上递减, ∴y =⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫13x 2-2x 在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减. ∵u =x 2-2x =(x -1)2-1≥-1, ∴y =⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13u ,u ∈[-1,+∞), ∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 13- 1=3, ∴原函数的值域为(0,3]. 1.关于指数型函数y =a f (x )(a >0,且a ≠1),它由两个函数y =a u ,u =f (x )复合而成.其单调性由两点决定,一是底数a >1还是0 2.求这种指数型函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y =f (u ),u =φ(x ),通过考查f (u )和φ(x )的单调性,求出y =f (φ(x ))的单调性,其规则是“同增异减”. 6.3对数函数 第1课时对数函数的概念、图象与性质 知识点1对数函数的概念 一般地,函数y=log a x(a>0,a≠1)叫作对数函数,它的定义域是(0,+∞). 1.函数y=2log3x,y=log3(2x)是对数函数吗? [提示]不是,其不符合对数函数的形式. 知识点2对数函数的图象与性质