圆心角、圆周角、弦、弧的关系
1
圆的基本性质
考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义
圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。 （2）圆的几何表示
以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”
考点二、弦、弧等与圆有关的定义
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AC ）
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。 （3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A ，B
为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
考点三、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
直径 平分弦
知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 （2）圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2
考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
（1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。 （2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 （3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
题型一：垂径定理（连结半径形成直角三角形，利用勾股定理求线段长度）
【例1】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。
分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
题型二：利用弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系（连接半径证明三角形全等）
【例2】如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N • 在⊙O 上。
（1）求证：AM =BN ；
（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？
B
A
3
【巩固训练】
1. 下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆内一点有无数多条弦，这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦，其中正确的有（ B ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2. 已知P 为⊙O 内一点，过P 点的最长的弦有（ A ）
A ．1条
B ．无数条
C ．1条或无数条
D ．以上答案均不对 3. 下列说法中正确的是（ D ）
A ．长度相等的弧是等弧
B ．弦是直径
C ．过圆心的直线是直径
D ．两个半径相等的圆是等圆 4. 在⊙O 中，AB 、CD 是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（ A ）
A ．A
B 、CD 所对的弧一定相等； B ．AB 、CD 所对的圆心角一定相等；
C ．△AOB 和△CO
D 能完全重合；
D ．点O 到AB 、CD 的距离一定相等。
5. 如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ C ） A ．CE=DE B ．BC BD = C ．AC>AD D ．∠BAC=∠BAD
6. 如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ D ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8
7. 如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ B ） A ．AB ⊥CD B ．PO=PD C ．AD BD = D ．∠AOB=2∠AOD
8. 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，AB=10cm ，CD=6cm ， 则AC 的长为（ D ）
A ．0.5cm
B ．1cm
C ．1.5cm
D ．2cm
9. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE= 3 。
10. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC= 8 。 11. 一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远距离为10cm ，则这个圆的半径是 3或7 c m 。 12. 已知⊙O 的半径为5cm ，AB 和CD 是⊙O 的弦，AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，求AB 与CD
之间的距离是 1或7 c m 。
（第5题）
（第6题）
C
（第7题）
B
A （第9题）
B
A
（第10题）
（第8题）
圆心角、圆周角、弦、弧的关系
1 圆的基本性质 考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。 （2）圆的几何表示 以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AC ） （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。 （3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 （2）圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 （1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。 （2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 （3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 题型一：垂径定理（连结半径形成直角三角形，利用勾股定理求线段长度） 【例1】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。 分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 题型二：利用弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系（连接半径证明三角形全等） 【例2】如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N • 在⊙O 上。 （1）求证：AM =BN ； （2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？ B A
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验 版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论. 二、知识要点： 1. 弧、弦、圆心角 （1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵ CD ，则∠AOB ＝∠COD ， AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵ CD. O A B C D 2. 圆周角 （1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角. （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 . ③② ① （3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 三、重点难点： 本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.
【典型例题】 例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明： （1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝ AC. B 分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵ AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC. 解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵ AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC. （2）由（1）得︵BD ＝︵ AC ，∴BD ＝AC. 例2. 如图所示，C 是︵ AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个. 解：B 评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求. 例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵ BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE. 分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的 弧为︵ AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.
初二数学圆周角与圆心角关系详解
初二数学圆周角与圆心角关系详解圆周角和圆心角是初中数学中重要的概念，它们在几何图形的研究中起着非常关键的作用。在本文中，我们将详细讨论圆周角与圆心角之间的关系。 一、圆周角的定义 圆周角是指以圆心为顶点的角，其两边为相交于圆上任意两点的弧所对应的角。通常用字母表示圆周角。 二、圆心角的定义 圆心角是指以圆心为顶点的角，其两边分别与圆上某两点相交，且两边和两弧的夹角相等。通常用字母表示圆心角。 三、圆周角与圆心角的关系 1. 角的度量关系 圆周角的度量单位是弧度，圆心角的度量单位是角度。圆周角的度量值等于对应弧长的长度除以圆的半径，而圆心角则是直接使用角度来表示。 2. 圆周角的度数与弧度之间的关系 圆周角的度数等于对应弧长的长度除以圆的半径，再乘以180°。而圆周角的弧度数等于对应弧长的长度除以圆的半径。 例如，圆周角的度数为60°，则其弧度数为π/3弧度。
3. 圆周角与圆心角的夹角关系 当一个圆周角所对应的弧等于另一个圆心角所对应的弧时，这两个角的夹角就是90°。换句话说，这两个角是直角。 4. 圆周角与圆心角的相等关系 当两个圆周角对应的弧相等时，这两个圆周角相等。同理，当两个圆心角对应的弧相等时，这两个圆心角相等。 5. 圆心角平分弦的关系 当圆心角平分一个弦时，该弦的两个端点与圆心所对应的圆心角的度数相等。 综上所述，圆周角和圆心角在几何图形中有着密切的关系。通过对圆周角和圆心角的研究，我们可以更好地理解和应用于圆相关的数学概念和问题。 结论 圆周角和圆心角是初中数学中重要的概念，它们在几何图形中具有重要的作用。通过深入了解圆周角和圆心角的定义及其关系，我们可以更好地解决与圆相关的数学问题。希望本文能够帮助初中生更好地理解和应用圆周角和圆心角的知识。
九年级弧、弦、圆心角、圆周角及点、直线、圆与圆的位置关系
弧.弦.圆心角.圆周角点、直线、圆与圆的位置关系 仁如图，四边形ABCD内接于0O,若ZBOD=138°,则它的一个外角ZDCE等于（）. A. 69。 B. 42°C・ 48。D・ 38° 2•如图所示，Zl, Z2, Z3的大小关系是（）. A・ Z1>Z2>Z3 B・ Z3>Z1>Z2 C・ Z2>Z1>Z3 D・ Z3>Z2>Z1 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范囤是________ ・ 仁这是一个射门游戏, 球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（ZABC）有关。
2、我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一个点能作几个圆？经过两点、三点……呢？ 结论: 知识点一（弧、弦、IS心角、圆周角） 【知识梳理】 知识点一、弧、弦、圆心角的关系 1•圆心角定义 如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 知识点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径. 4•圆内接四边形： （1）左义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形. （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）. 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，它们中间只要有一组量相等, （例如圆心角相等），那么英它各组量也分別相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各•组量也分别不等. 【例题精讲】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 例1.已知：如图所示，OO中弦AB=CD.求证：AD = BC. 【变式】如图所示，已知AB是00的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM丄AB, DN丄AB.求证: AC = BD.
弧弦圆周角之间的关系
1 圆的旋转不变性： 弧、弦、圆心角之间的关系： 1、 如图所示OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 和弧BC 相等，M 、N 分别是OA ，OB 的中 点，求证：MC=NC 。 2、如图，已知BC 为直径，BD=DE=EC ，求证：△ABC 为等边三角形。 3、下列结论中正确的是（ ） A 、相等的圆心角所对的弧相等 B 、相等的圆心角所对的弧的长度相等 C 、相等的圆心角所对的弧的度数相等 D 、如果两条弦相等，那么这两条弦所对的弧相等 4、如图所示，在⊙O 中，弧AB=2弧CD ，那么（ ） A 、AB>2CD B 、AB<2CD C 、AB=2C D D 、AB 与2CD 的大小关系不确定 5、如图，若AB=2CD ，则（ ） A 、弧AB>弧CD B 、弧AB<2弧CD C 、弧AB=2弧CD D 、弧AB 与2弧CD 的大小关系不确定 6、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=20°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D 。求弧AD 的度数。
2 7、如图，弧AB 的度数为90°，点C 、D 将弧AB 三等分，弦AB 与半径OC ，OD 交于E 、F 两点。求证：AE=CD=FB 8、如图，P 是等边三角形ABC 外接圆弧 BC 上任意一点，求证：PA=PB+PC 9、一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角度数为 。 10、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等。 11、⊙O 中，一条弦的长度等于半径，则它所对的圆心角的度数为 。 12、下列图形即是轴对称图形，又中心对称图形的是（ ） A 、等边三角形 B 、等腰梯形 C 、角 D 、圆 13、下列说法正确的是（ ） A 、等弦所对的弧相等 B 、等弧所对的弦相等 C 、圆心角相等，所对的弦相等 D 、弦相等，所对的圆心角相等 14、⊙O 的一条弦的长与半径之比为2: 1，则这条弦将圆周分成的两部分劣弧和优劣的度数比是 15、如图所示，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，弦DE ∥AB ，若劣弧DE 的度数为40° 16、如图，⊙O 中弦AB 垂直于直径CD 于点P ，若半径OA=2cm ，OP=1cm ，则AB= cm ， ∠AOB= ，∠ADC= 。 B D
弧、弦、圆心角、圆周角
B ' 第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角 知识点一弧、弦、圆心角的关系 【定义】、如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 ． 【探究】如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 相等的弦： ；相等的弧： 【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合． 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 因此，我们可以得到下面的定理： 【归纳】 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。 几何语言： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等． 几何语言： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等． 几何语言： 【辨析】 定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？ 【拓展】 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦． （1） 如果AB=CD ，那么______,________ （2） 如果弧AB=弧CD ，那么______,_______ （3） 如果∠AOB=∠COD ，那么______,_______ （4） 如果AB=CD, OE ⊥AB ，OF ⊥CD,OE 与OF 相等吗？ （5）如果OE=OF ，那么与的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与 ∠COD 呢？ 【归纳】:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。 B ' A 'A B CD
圆心角、弧、弦、圆周角
圆心角、弧、弦、圆周角 学习要求： 1、理解并初步掌握弧、弦、圆心角的相互对应的关系，会证明两条弦等、两条弧等，两个圆心角等； 2、掌握圆周角定理及推论，能在圆中熟练地进行角的相互转化，从而通过解直角三角形或利用相似的 知识求相关的线段长或证明比例线段。 内容分析： 1、圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的两条弧、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的两个圆心角、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的两个圆心角、所对的两条优弧、两条劣弧也分别对应相等。 2、圆周角 （1）定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。 （2）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角。 3、学好本单元内容的两个关键： （1）同弧或等弧是沟通圆周角之间、圆心角与圆周角之间联系的桥梁，利用同弧或等弧进行圆周角之 间的相互转化是解决问题的关键； （2）通过作弦心距或直径将一般的圆周角转化到特殊的直角三角形中，是解决问题的关键。 例题分析： 1、已知，如图，⊙O是的外接圆，∠A=60°，BC=12，求⊙O的半径
的长. 解法一：过O作OD⊥BC于D，连接OB. 则BD=BC=6，∠BOD=∠BOC. ∵∠A=∠BOC，∴∠BOD=∠A=60° 在△BOD中，∠BDO=90°， ∴BO= ∴⊙O的半径的长为 解法二：作直径BE，连接CE. 则∠BCE=90°. 又∠A=∠E=60° ∴在△BCE中，BE= ∴⊙O的半径的长为. 【小结】在圆中，常常作弦心距或直径，将圆周角转化到直角三角形中，通过解直角三角形从而解决问题。两种解法中的基本图形同学们要牢记。 2、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是弧AC上一点，延长DC、AM交于F， 求证：∠FMC=∠AMD.
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解(基础)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 【答案与解析】 . 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC. 【答案】 证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴ ∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)
弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解
弧、弦、圆心角、圆周角一知识讲解(提高) 责编：常春芳 【学习目标】 1・了解圆心角、圆周角的槪念； 2.理解圆周角泄理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组疑：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及 其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 知识点一、弧、弦、圆心角的关系 1•圆心角定义 如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3推论： 在同圆或等圆中，如果两条孤相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意泄理中不能忽视"同圆或等圆”这一前提. 知识点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上：②角的两边都和圆相交.
（2）圆周角左理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4. 圆内接四边形： （1） 泄义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形. （2） 性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）. 5. 弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何疑之间是相互关联的，即它们中间只要有一组疑 相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的呱也分别 相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 证法一：如图①，••• AB=CD, ••• AB = CD. :.AB-BD = CD-BD,即 AD = BC. :.AD=BC ・ 证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、0D, V AB=CD, :. ZAOB = ZCOD ・ ••• ZAOB 一 ZDOB = ZCOD- ZDOB, 即 ZAOD= ZBOC, ••• AD=BC ・ 【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而 图中没有已知的等 弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理.本题主要是考査弧、弦、圆 心角之间的关系，要证AD = BC,只需证AD = BC 或iiEZAOD=ZBOC 即可. 举一反三： 【变式】如图所示，已知AB 是00的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM 丄AB, DN 丄AB. 求证：AC = BD ・ 类型一、圆心角.弧.弦之间的关系及应用 【答案与解析】
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论例题和练习
九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论 精选例题和练习 圆周角定理及其推论 一、知识点总结 1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等 考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例 例1如图，AB为。O的弦，点C D为弦AB上两点，且OC=OD延长OC OD 分别交。O于点E、F,试证明弧AE= 弧BF.分析：“弧AE=M BF”J“/ _________ 二/ _____ ” 把证弧相等转化为证__________________ 证明： 例2如图，点O是/ BPD的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别 交于点A、 B 和C、D． 求证：AB=CD．分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等． 例3如图所示，已知AB为。O的直径，CD是弦，且AB丄CD于点E，连接AC、OC、BC． ⑴求证：/ ACO二/ BCD.
（2）若EB=8cm, CD=24cm,求。O 的直径. 分析：（1）/ ACO二/ ____ , 而/ _______ =/ _______ . ⑵在Rt/ ______ 中，利用勾股定理列方程求 例4已知，如图，在/ ABC中，AD, BD分别平分/ BAC和/ ABC,延 长AD交/ ABC的外接圆于E,连接BE.求证：BE=DE 分析：把证BE=DE 转化为证/ __________ =/ ____ ． 1. 如图1,在。O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列 结论中不正确的是（） 2. 如图2, BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点， △ ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（） 2、已知AB A> CD^同圆的两段弧，且AB A=2CD A,则弦AB与2CD 之间的关系为（） A、AB=2CD B AB V 2CD C AB> 2CD D 不能确定 4、下列语句中正确的是（） A、相等的圆心角所对的弧相等 B、平分弦的直径垂直于弦 C、长度相等的两条弧是等弧 D、经过圆心的每一条直线都 是圆的对称轴 5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个 圆的（） 6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相
【教案】 圆周角与圆心角、弧的关系(3)
圆周角与圆心角、弧的关系 一、知识讲解： 1．圆周角与圆心角的的概念： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 5．圆的内接四边形对角之和是180度。 6．弧的度数就是圆心角的度数。 解题思路： 1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角 2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角 3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角 1.圆周角与圆心角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 注意圆周角定义的两个基本特征： (1)顶点在圆上； (2)两边都和圆相交。 二、教学内容 【1】圆心角：顶点在圆心的角。 利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征： 练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
【2】理解圆周角定理的证明 一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。 已知：⊙O中，弧所对的圆周角是∠，圆心角是∠， 求证：∠ 1/2∠. 分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠的关系 本题有三种情况： （1）圆心O在∠的一边上 O （2）圆心O在∠的内部 （3）圆心O在∠的外部 B D C ●如果圆心O在∠的边上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性 质即可证明 ●如果圆心O在∠的内部或外部,那么只要作出直径,将这个角转化为上述情况的 两个角的和或差即可 证明: 圆心O在∠的一条边上 A >∠∠ ∠∠∠C O >∠1/2∠. B C 【3】圆周角与圆心角的关系 （1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义
〔3〕如何作三角形的内切圆？如何找三角形的内心？ 6、多边形与圆 如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形， 提示：1、与圆确实定有关的两个图形一定要学生重点理解。 2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质 3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。 二、例题分析： 1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2、扇形的圆心角为120°，半径为2cm，那么扇形的弧长是cm，扇形的面积是2 cm。 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆； 例1：圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d， 〔1〕当d=2厘米时，有dr，点在圆 〔2〕当d=7厘米时，有dr，点在圆 〔3〕当d=5厘米时，有dr，点在圆 4、以下四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。其中四个顶点一定能在同一个圆上的有〔〕 A、①②③④ B、②③④ C、②③ D、③④ 5、〔07XX中考〕小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如下图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小 明带到商店去的一块玻璃碎片应该是〔〕 A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块 6、三角形的外接圆的圆心是〔〕， A．三条中线的交点B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点 7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，那么其外接圆半径长为。 〔三〕稳固练习 1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为． 2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解
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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用