第四节 数列求和-高考状元之路

第四节 数列求和

预习设计 基础备考

知识梳理

1．公式法

=++++222232)1(n I

=+++33321)2(n

2．倒序相加法

如果一个数列},{n a 首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．

3．错位相减法

错位相减法主要适用于求由一个等差数列和一个等比数列相应项的乘积所构成的数列的前n 项和．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q ，然后将两式相减，相减后以”“n

q 为同类项进行合并，得到一个可求和的数列，注意合并后有两项不能构成等比数列中的项． 4．裂项相消法

裂项相消法中，“裂项”是手段，“相消”是目的，所以应将每一项都“分裂”成两项之差，或“裂”成一个常因子与两项差的积，例如分子为某一常数，分母是由等差数列的相邻项乘积形成的分数数列的求和一般选用裂项相消法．

=

+)

(1)1(k n n =

++n k n 1

)

2( =

+-)

12)(12(1)3(n n =

++)2)(1(1)

4(πn n 5．分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.

6．并项求和法

一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为和．形如)()1(n f a n n -=类型，可采用两项合并求解，

例如：+=-++-+-=100(12979899100222222 n s +?+++..)9798()99.5050

)12(=+

典题热身

1．已知数列}{n a 的通项公式是,212n

n l a -=其前n 项和=n S ,64321则项数n 等于( ) 13.A 10.B 9.c 6.D

答案：D

2．已知数列}{n a 中，),()

2(1?∈+=N n n n a n 其前n 项和为,n s 则πs 等于( ) )1(2+?n n A )

2)(1(2143.+++n n B )2)(1(23243.+++-n n n c D ．以上都不对 答案：c

3．数列}.)1{(n n -的前2010项的和2010s 为 ( )

2010.-A 1005.-B 2010.c 1005.D

答案：D

4．数列8

15,4

13,211的前10项和=10S 答案：1021101-

5．在数列}{n a 中，2,121==a a 且),()1(12?∈-+=-+N n a a n n n 则=100s 答案：2600

课堂设计 方法备考

题型一 用分组转化法求和

【例1】已知函数,132)(--=x x f x 点),(n a n 在)(x f 的图像上，n a 的前n 项和为?n s

(1)求使0

(2)求?n s

题型二 用错位相减法求和

【例2】已知数列}{n a 的首项...,2,1,121,3

21?=+=+=n a a a a n n n (1)证明：数列}11{-n

a 是等比数列； (2)求数列}{n

a n 的前n 项和?n s 题型三 用裂项相消法求和 【例3】数列}{n a 中，,11=a 当2≥n 时，其前n 项和n S 满足?-=)21

(2n n n s a S