4.3.1角的概念及表示方法
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4.3.1角的概念及表示方法
4. 3. 1 角的概念及表示方法 4. 3. 1 角的概念及表示方法学习目标 1．通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法． 2．掌握角的各种表示方法． 3．掌握平角、周角和直角的概念．温故知新、知识链接 1、在实际生活中有没有由直线与直线或射线与射线，线段与线段组成的图形？ 2、从这些图形中，你能归纳出它们的共图特点吗？自主学习、新知探究 1、认识角：
角的两边都有一个公共的_____点，组成角的两边的是_____线． 2、角的定义：
有公共端点的_____________组成的图形叫做角． 3、组成角有两个条件 (1) 两条射线叫做角的________． (2) 公共的端点叫做角________． 4、角的第二个定义：
一条射线 OA 由原来位置绕着它的端点 O 旋转到另一个位置OB 所成的图形． O 兵法秘笈：
我们平时画角的时候，只能将边画成两条线段，这是由于只能用角的一部分来研究角，而角的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸． 5、直角、平角、周角的定义． (1) 射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 与起始位置 OA 成一条直线时，所成的角叫做平角． (2) 射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置OB 与起始位置OA 第一次重合时，所成的角叫做周
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角． (3) 平角的一半叫做直角． 6. 角的表示方法：
O B 记作AOB 或BOA 或O 记作记作1 ⑴ ⑵⑶ ⑷ 第⑷个图形，能把记作O 吗？还可以怎么表示？______________________. 图中共有几个角？分别把他们写出来___________________________________. 研讨交流、答疑解惑1、下列四个图形中，能用， O， AOB 三种方式正确表示同一个角的图形是（）（A）（B）（C）（D）兵法秘笈：当且仅当顶点处只有一个角时，可用顶点的大写字母表示这个角．【答案】 C． 2、 45 ＝______直角＝_____平角＝____周角．解：
111；； 248 3、将 57. 32 用度、分、秒表示. 解：先把 0. 32 化为分， 0. 32 =60 0. 32=19. 2 . 再把 0.
2 化为秒， 0. 2 =60 0. 2=12 . 所以 57. 32 =57 19 12 . 兵法秘笈：
1 ＝60 ， 1 ＝60 ，高一级单位化成低一级单位，用乘法，乘以 60； 1 ＝(11) ， 1 ＝() ，低一级单位化成高一级单位，用除法，除以 60． 6060 总结反思、拓展延伸 1．将下图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
兵法秘笈：
角的常用表示方法 (1) 任何情况下都可用三个大写字母(两边各取一个点的字母，顶点字母在中间) . 如BAB (2) 单独一个角时用顶点的一个大写字母表示角：
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 如B (3) 用一个希腊字母表示角：
在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个希腊字母，如，，等，记作， (4) 用一个数字表示角，方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个数字如 1， 2， 3 等，记作1， 2、数一数，下图中各有几个角。
( ) 个( ) 个( ) 个( ) 个( ) 个( )个兵法秘笈：
当由一个顶点引出 n 条射线时，一条射线与剩下(n-1) 条射线组成(n-1) 个角， n 条边共组成 n(n-1) 个角，其中一半是重复的，所以共有 1n(n 1) 个角。
2 课堂练习 1、下列叙述正确的有（）①两条射线组成的图形叫做角②平角是一条直线③平角的两变成一条直线④角的大小与所画的角的两边长短无关⑤周角是一条射线⑥延长一个角的两边可以加大角的度数⑦反向延长射线 OA 就得到一个平角 A. ②③⑤ B. ①③⑥ C. ③④⑦ D. ②④⑤ 2、我们用的三角尺上有一个（），两个（）；我们戴的红领巾上有一个（），两个（）。
A、锐角
B、直角
C、钝角
D、平角
E、周角 3、如下图：
1、 ACB、 C 三种方法表示同意个角的是：
（） A B C D 4、如图所示，从点 O 出发有五条射
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线，可以组成的角的个数是（） A. 4 B. 7 C. 8 D. 10 5. 钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间形成的（小于平角）角的度数是（） A. 120 B. 150 C. 105 D. 90 6、海面上，灯塔位于一艘船的北偏东 50 ，则这艘船位于这个灯
塔的（） A 南偏西 50 B 南偏西 40 C 北偏东 50 D 北偏东
40 7、 18. 26 ＝___ ___ ___ ； 12 36 18 ______ ．阳光作
业 1、（）﹥（）﹥（）﹥（）﹥（） A、平
角 B、钝角 C、锐角 D、周角 E、直角 2、从 3：
00 走到 3：
15，分针转动了（）度。
A、 15
B、 60
C、 90
D、 120
E、 180 3、下列说法中
正确的是（）（A）角是由一条射线旋转而成的（B）角
的两边可以度量（C）一条直线就是一个平角（D）平角的两
边可以看成一条直线 4、用一副三角板画角，下面的角不能画出
的是（） A． 15 的角 B． 135 的角 C． 145 的角 D． 150
的角 255、直角＝__________周角＝__________度。
36 6、如图所示， OA 是表示北偏东 30 方向的一条射线，
仿照这条射线，画出下列方向的射线。
（1）南偏东 25 ；（2）北偏西 60 。
北 A 西 O 东 7、某校初一年级在下午 3：
00 开展阳光体育活动。
下午 3：
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00 这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于__________度。
8、如图：
AOB 内部画 99 条射线，问图中一共有多少个角？南 EAB 4. 3. 2 角的比较与计算学习目标 1、理解角的大小比较意义；
2、掌握直角、锐角、钝角的概念；掌握角平分线的概念
3、会
估计一个角的大小；会用叠合法和度量法进行角的大小比较； 4、会区别直角、锐角和钝角；会运用角平分线的性质解决一些角的计
算问题。
温故知新、知识链接3D4E5F6G7H 8I8J9Ka LbMcNdOePfQgRhSiTjTkUlVm WnXoYpZq#r!s $t%uu*v(w)
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角的概念与表示(教案)
7.3角的概念与表示 川沙中学南校徐莲 教学目标 1. 理解角的概念，掌握角的有关名称，并能用字母正确表示角. 2. 能识读并画出方向角. 3. 经历角的概念的形成与角的表示过程，体会数学的严谨性、规范性、简洁性. 4. 经历方向角的表示过程来体会数学与生活的密切关系. 教学重点 1.角的概念及表示法. 2.方向角的表示. 教学难点 1.角的概念及内部和外部的认识. 2.方向角的识别与表示. 一.引入课题：角 背景图：时钟、剪刀、五角星、墙面. 二. 新课 1. 角的两种定义 角是具有公共端点的两条射线组成的图形. 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边. 角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个 位置所成的图形.初始位置的那条射线叫做角的 始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. 2. 角的内部和外部 角的始边转到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部，简称角内. 本书中所说的角，除了周角外，未加说明的 角是指小于平角的角 3. 角的表示方法 （1）用三个大写字母表示，如∠AOB或∠BOA （注意：顶点字母必须写在中间）. 顶点： 边： （2）用角的顶点字母表示，如：∠O（只有一个角时）.
（3）用一个数字表示，如:∠1、∠2. （4）也可用一个希腊字母表示， 如：∠α、∠β、∠γ. 练一练 (1)在下面图中用阴影表示∠1的外部. (2) ①给角标出字母，写出角的记号，并指明角的顶点和边. ②D、E分别是CB、CA上的点，∠ACB与∠DCE 是同一个角吗？ ③∠DCE和∠CDE指的是同一个角吗？ ④∠E这种记法有错误吗？若有，请加以改正. 4. 方向角 探索：如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示 从点O出发北、东、南、西的四个方向.你能说出图中 射线OA，OB，OC，OD分别表示什么方向吗？ 用射线表示方向的一种基本形式：例题：已知迪斯尼乐园在川沙中学南校约 南偏西35°的方向，如果用点O表示川沙中 学南校，用点A表示迪斯尼乐园，画出从川沙 中学南校到迪斯尼乐园方向的射线.
(完整版)角的概念的推广(教学设计)
§2 角的概念的推广 【教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，根据角的旋转方向，能判断正角、负角和零角； 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法； 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程，体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念，初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念； 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 （学案导学）教师编印导学案，提前两天下发，指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容，完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容，形成对角的概念的推广的初步认识；学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分，至少明确本节课的研究主线. （小组交流）学生分组交流讨论，分享自己的学习心得，解决个别同学存在的困惑，共同梳理出自己小组存在的问题，以便在课堂上得到及时解决。 （检查反馈） 学生自主学习能力比较差，主要存在以下问题： 1)书写不够规范，角的单位“°”容易漏写； 2)思维不够严谨，审题不仔细，做题往往不注意条件； 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练； 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有：白焕焕、杨宇、杨强、何楠.
【教学过程】 一、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”，请大家思考一下问题： （1）初中学过的角是如何定义的，角的范围又是怎样的？ （2）跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示？ （3）汽车在前进和后退中，车轮转动的角度如何表示才合理？ （4）工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度如何表示比较合适？ 学生围绕以上问题进行讨论，从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结，并强调：在日常生活中，我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题，即在初中学习的基础上，将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况，并回答问题：本节课中学习了哪些新概念，这些概念分别是如何定义的？其他同学补充完善，不同组别之间展开交流点评，教师根据学生的回答情况进行板书，并点拨、激励、评价. 展示形式：实物投影展示导学案的完成情况，口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法，学会建立直角坐标系来讨论任意角，理解象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法. 探究1：判断角所在象限 例1在0°~360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （1）480°；（2）-760°；（3）932°； 归纳小结：判断角α所在象限的方法：先在0°~360°之间，找出与所求角终边相同的角β，因为α与β终边相同，因此只需判断角β所在象限，即为角α所在象限. 跟踪训练1：象限角的概念： 第一象限角的集合可表示为____________ ______； 第二象限角的集合可表示为_________ ________ _； 第三象限角的集合可表示为；
三角函数基本概念和表示
第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转 到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的 始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。 如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合： |22, 2 k k k Z π απαππ ?? +<<+∈ ????。 （3）第三象限角的集合： 3 |22, 2 k k k Z π αππαπ ?? +<<+∈ ????。 （4）第四象限角的集合： 3 |222, 2 k k k Z π απαππ ??+<<+∈ ???? 4.轴线角
角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα???? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。 3602π=o ，180rad π=o ， 10.01745()180rad rad π= ≈o ，1801()57.30rad π=≈o o （3 9.在半径为r 的圆中，弧长l 所对的圆心角的弧度数为||α=l r 。 10.
角的定义和表示方法习题
1．下图中表示∠ABC的图是（）． 2．下列关于角的说法正确的是（）． A．两条射线组成的图形叫做角； B．延长一个角的两边； C．角的两边是射线，所以角不可以度量； D．角的大小与这个角的两边长短无关 3．下列语句正确的是（）． A．由两条射线组成的图形叫做角 B．如图，∠A就是∠BAC C．在∠BAC的边AB延长线上取一点D； D．对一个角的表示没有要求，可任意书定 4．如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）． 5．从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，?则该图中共有角的个数是（）． A．28 B．21 C．15 D．6
1.如图，图中的角表示出来错误的是（ ） A.∠AOB B.∠BOC C.∠AOC D.∠O 2.如图，∠α的表示正确的是（ ） A.∠A B.∠ACB C.∠ABC D.∠B 3．如图所示，用一个大写字母表示的角错误的（ ) A.∠B B.∠A C.∠C D.∠D 4.如上题图所示，图中不属于以A?为顶点的角是（ ） A.∠BAC B.∠BAD C.∠A D.∠EAC 5.如图以A 为顶点的角有( )个？ A.1个 B.3个 C.6个 D.10个 A
1.用不同的方法表示图1中∠2的是（ ） A.∠O B.∠COE C.∠AOC D.∠AOE 2.图2中，下列表示角的方法错误的为（ ） （A ）∠AOB （B ） ∠BOC （C ） ∠a ( D ) ∠O 3.把图3中的角表示成下列形式：(1)∠APO ，(2)∠AOP ,(3)∠OPC ，(4)∠O,(5)∠COP,(6)∠P, (7)∠α其中正确的有（ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.如图，射线AC 和射线 AB 构成的角是（ ） A.∠ABC B.∠ACB C.∠BAC D.∠A 5.如上题图∠BDC 的两边分别是( ) A.BD 和BC B.DB 和DC C.CB 和CD D.CD 和BD O 图3
集合的概念和表示方法教学设计
1集合的概念和表示方法教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标 1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1.在初中，我们学过哪些集合？ 2.在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出：
在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，…… 4.请写出“小于10”的所有自然数． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5.什么是集合？ 二、建立模型 1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义） （1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集． （2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素． （3）集合中的元素与集合的关系： a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A． 例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的． （2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的． 例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素． （3）无序性：集合中的元素无顺序．
集合的概念和表示方法2教案
第二课时 续5 集合的表示方法 引入课题 课本4P 思考 （2）描述法 由不等式73x -<的解集 引入描述法概念 描述法．．． ：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为{|}x I P ∈，其中x 代表元素，I 是x 的取值范围，P 是x 的共同特征. （说明：有的书上用冒号或分号代替竖线，如{73}x x -<：或{73}x x -<；） 如：{}|10A x R x =∈<；{}|2,B x Z x k k Z =∈=∈；{}|5,C x x x Q =>-∈ 例题 注意：①“代表元素”，是表示这个集合元素的一般符号，ⅰ如表示数集时，我们可选用,,,x y a 作为代表元素；表示点集时，可选用数对(),x y 作为代表元素；ⅱ集合与它的代表元素所采用的字母无关，只与代表元素的形式有关.如{}|10x R x ∈<，也可表示为{}|10y R y ∈<，{}|10a R a ∈<. ②“取值范围”，对于代表元素的取值范围，如果从上下文的关系来看是明确的，则可以省略.如 {}|10x R x ∈<可表示为{}|10x x <； ③“共同特征”，即代表元素满足的条件、具备的属性，如不等式73x -<的解都具备的条件是 10x <，则其解集表示为{}|10x x <. 强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如 (){}2 ,|32x y y x x =++、{} 2|32y y x x =++与{ } 2 |32x y x x =++有什么不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{}整数 (即 {}|x x 是整数)，即代表整数集Z . 辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}，这种写法{实数集}，{}R 也是 错误的.
角概念推广优秀教案
【课题】5．1 角的概念推广 【教学目标】 知识目标： ⑴了解角的概念推广的实际背景意义； ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念． 能力目标： （1）会判断角所在的象限； （2）会求指定范围内与已知角终边相同的角； （3）培养观察能力和计算技能． 情感目标： （1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神； （2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用. 【教学重点】 终边相同角的概念． 【教学难点】 终边相同角的表示和确定． 【教学设计】 （1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广； （2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角； （3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力； （4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法． 【教学备品】 教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
0°（1）（2）
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角． 运用知识强化练习 教材练习5.1.1 ．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角： ⑴ 60°；⑵?210°；⑶225°；⑷?300°． 动手操作实验观察 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时
终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
角终边相同的角的集合是 说明写出终边在y轴上的角的集合．
(完整版)课后作业1：集合的概念与表示法.docx
墨微教育课后作业 学生科目集合的概念与表示法教师 完成课次1完成时间 情况 一、选择题： 1.下面四个命题： (1) 集合 N中的最小元素是1：（2）若 a N ，则 a N（3）x244x 的解集为 {2 ， 2} ；（ 4） 0.7Q ，其中不正确命题的个数为（） A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中，表示同一集合的是（） A. M3,2, N2,3 B.M3,2, N2,3 C.M x, y x y 1 ， N y x y1 D.M1,2, N 1.2 3.下列方程的实数解的集合为 1 ,2的个数为（） 23 （ 1） 2 9 y 2 4x12 y 5 0 ;(2)6x 2 x20 ;(3)2x 2 3x 20 ;(4)6x 2 x 2 0 4 x1 A.1 B.2 C.3 D.4 4.集合 A x x2x 1 0 , B x N x x26x 10 0， C x Q 4x 5 0， D x x为小于 2的质 数，其中时空集的有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列关系中表述正确的是（） A. 0x20 B. 00,0 C. 0 D.0N 6.下列表述正确的是（） A. 0 B.1,22,1 C. D.0N 7.下面四个命题： (1)集合 N 中的最小元素是1：（ 2）方程 x 3 2x50的解集含1 x 有3 个元素；（3） 0（4）满足 1 x x的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是（） A.0 B. 1 C. 2 D.3 二、填空题：
8. 用列举法表示不等式组 2 x4 0 的整数解集合为 1x2x1 9. 已知集合 A x x N , 12 N用列举法表示集合 A 为 6 x 10. 已知集合A a x 2 41有惟一解，又列举法表示集合 A 为x a 三、解答题： 11．已知 A= 1,a,b , B a,a2 , ab ，且 A=B，求实数 a,b ; 12.已知集合A x ax22x 1 0, x R ，a为实数 （1）若 A 是空集，求 a 的取值范围（ 2）若 A是单元素集，求 a 的值 （3）若 A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围 13.设集合M a a x2y2 , a Z （ 1）请推断任意奇数与集合M的关系（2）关于集合M，你还可以得到一些什么样的结论 学生完成情况自我评价：（优、良、中、差） 教师签字：审阅签字：时间：
1集合的概念和表示方法
1 集合的概念和表示方法 教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要 的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在 集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集 合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标 1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、 化归、表达和处理问题的能力． 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例 入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示 方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1. 在初中，我们学过哪些集合？ 2. 在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出：
人教版初一数学上册4.3角的概念与表示
4.3.1 角的概念与表示 江家集镇中学王明亮 教学目标 1.掌握角的两种定义及有关概念； 2.掌握角的四种表示方法； 3.会用含方向角的射线表示方向，会通过测量说出一个点在已知参照点的什么方向上； 4.提高抽象、概括能力及操作实践能力. 教学重点与难点 1.角的两种定义及表示法； 2.会用含方向角的射线表示方向 教学流程设计 教学过程 情景引入
观察：多媒体显示一个角的图形 操作：由学生操作画角的过程. 思考：什么样的图形叫做角，即角的定义是什么? 二.学习新课：角的定义. 1角的定义1角是具有公共端点的两条射线组成的图形. 观察：多媒体演示：秒针在钟面上转动； 操作：学生动手操作：把圆规的两只脚由并在一起到逐渐把一只脚旋转到另一个位置； 思考：在秒针的转动过程中，有没有给我们形成角的形象？那么角又 可以是怎样形成的呢？ 2.角的定义2:角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成 的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. 说明：由学生画出角的过程，来体验角的定义的含义，并且由学生自己用文字语言来概括角的定义，比教师给出定义要有效，同时还能够提高学生的概括、归纳的文字语言的能力.其中，定义1学生较易归纳出来，而定义2可能有些困难，教师可适当作一些提示，例如，是什么线绕着什么作怎样的运动等. 3.角的表示方法： (1).用一个角的符号/,加上三个大写英文字母表示.例如，/ ABC / XYZ.
(2).用一个角的符号加上表示顶点的一个大写字母表示.例如, / A、/ B.
(3) . 用一个角的符号/，加上一个希腊字母表示.例如，/ a 、/B (4) .用一个角的符号/，加上一个数字表示.例如，/ 1、/ 2 四.练习与巩固： (1).分别说出/ ABC / EFG / MON 勺顶点和边. 角 / ABC / EFG / MON 顶点 边 (3).用一个大写字母或一个希腊字母表示图中的角 (4).图中共有( )角，并分别用一个大写字母或三个大写字母 表示 5. 方向角： 观察：上海市的部分地图. 思考：从图中你能说出中山公园在人民广场的什么方向上? (2).用三个大写字母表示下列图形中的角: E D
集合概念及表示方法(学生版)
1 1.1集合的概念及表示方法 一、教学目标： 1、了解集合、元素的概念；掌握集合中元素的三大特征； 2、理解元素与集合的“属于”与“不属于”的关系； 3、了解集合的表示方法并能选择恰当的方法表示集合。 二、教学重难点： 教学重点：集合的基本概念与表示方法。 教学难点：集合的表示方法并选择恰当的表示方法。 三、新课引入 引入：接下来的课程要坐很久，老师建议我们整个小班同学集合起来，小小的运动一下，简单的头部运动、伸展运动； 提出问题：要求运动的对象是？ 四、知识呈现 1、集合概念：一些研究对象的总体.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），也简称集。 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 3、元素与集合的关系 集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C …表示，集合的元素用 小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作：a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作：a ?A 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4、集合分类 含有 个元素的集合叫做有限集 按集合元素个数分类 含有 个元素的集合叫做无限集 不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：?。 5、常用数集及记法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N *N 或+N Z Q R C
数学本质概念——角
数学本质概念 －角－ 纯数四 陈映妤
一、分年细目中的「角」 二、「角」的概念 数学上的角概念和日常生活中所谈到的角，所表示的意义有时是不太一样的。儿童角概念的认知，有其发展的顺序性，先由具体的经验、察觉，渐进发展至抽象概念的理解。以下先就角概念加以阐释，再说明儿童的学习发展特征及指导原则。 1、一般生活中所说的角概念 一般人对角的认识，常是真正角概念的局部：一个角有个线段当作边，两边中夹着一块区域，产生一个尖尖的顶点。此外，常以角的顶点或顶点的邻近区域来描述角，如桌角，墙角，三角形上的角，四边形上的角，.....，等，由于角的形象大都以有限度的对象呈现，因此，角的边也常以线段表示。 2、理想的角概念 从实际经验及数学上的定义，角的意义可分成以下三方面来说明(Michael C.1989)： (1)角是一双定出两个方向间的差量之射线。 (2)角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面区域。 (3)角是一射线绕其端点旋转一个程度的量。 因此，理想化的角概念，可简单说成是自一点朝两个不同的方向延伸出两条射线的结构，角的边是射线而不是线段(在旋转产生角的情况下，虽然旋转是一种动作，动作停止，其现象即消失，但它有一个起始方向和终止方
向，此二方向可用两条射线来表示)，此两射线是制程角的张开活动的限制边界。不论代表此射线的线段长短(此时的长短，只是线段的另一端点的不同而已)如何，均可完成同样的限制活动。 事实上，平面上的有限图形(如多边形)中，并不包含任何角，而只包含了角顶点的邻近区域。构成角顶点的邻近区域线段长度的不同，会使角顶点的邻近区域有所不同。同时，角与角的内部是共生的(二者同时出现)，角的两边之张开程度大小，不因为边长的差异而有所不同。 三、专家学者怎么看待「角度」单元内容 （一）心理学家谈儿童「角」的认知概念 1、Piaget的角概念发展阶段论 Piaget和Inhelder（1971）以三个有关角的测量设计来分析儿童角的概念，结果将儿童角的概念发展依年龄分成四个阶段，分别是阶段I（4-5岁）阶段IIA（6岁）此两阶段仅能藉由视觉估测来画图形，无法运用工具测量；阶段IIB（6-7岁）能做长度测量，但不会做角度测量；阶段IIIA（7-9岁），在复制角时，能以直尺维持线段的斜度，但无法觉察角的存在；阶段IIIB（9岁-9岁6个月）利用直角当作参考角，以直线测量的方式，找出斜度和垂直底边的高；阶段IV（大于9岁6个月）能摆脱图形本身的影响，画出补助线和高，能将角的概念普遍化。 2、Vygotsky社会文化互动论 Vygotsky并未真正对儿童角概念进行什么研究，但他提出二个很重要的名词，是在教角概念时必须要思考的问题，一个是自发性的概念（spontaneous concepts），这是一种由下而上，透过具体，每天的生活经验所获得的知识，像「桌角尖尖的，要小心」，便是对角概念所产生的自发性概念；另一个是科学性的概念（scientific concepts），指的是一种抽象，系统化的知识，这种知识，往往经由正式的学校教育来习得，它是一种由上而下的学习，必须藉由文字当中介，例如数学中，角的构成要素是始边、终边、支点和旋转的区域，这种科学性的概念，儿童无法直接看到，必须藉由文字或语言来学习，所以教师教学时，要能从儿童自发性概念，引导到科学性的概念，才能协助儿童对科学概念学习，发展出较高的知觉、抽象和控制的思考能力。 （二）数学家谈「角」的数学内涵 1、Van Hiele的几何思考阶段论 Van Hiele夫妇提出儿童对于几何学习是具有五个不同的思考发展阶段，每个阶段有其不同的特征，若经由适当的教学，学生的经验可从较低阶段的几何思考，到较高阶段的严密性思考，各发展阶段特征如下（朱建正，2002a；
(完整版)集合的概念与表示方法习题
集合的概念与表示方法测试卷 一、选择题（共15题，每题2分，共30分） 1.给出下列表述： ①联合国常任理事国；②充分接近2的实数的全体； ③方程 错误!未找到引用源。的实数根；④全国著名的高等院校. 以上能构成集合的是（ ） A.①③ B.①② C.①③④ D.①②③④ 2. 由 a 2，2-a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 3.下列各组对象中不能组成集合的是 （ ） A. 直角三角形的全体 B. 所有的无理数 C. 方程2x-1=0的整数解 D. 我班个子较高的同学 4.下列叙述正确的是 （ ） A. 集合},3|{N x x x ∈<中只有两个元素 B. }1{}012|{2==+-x x x C. 整数集可表示为}{Z D. 有理数集表示为{x x |为有理数集} 5.方程组? ??-=-=+11 y x y x 的解集是 （ ） A. {0,1} B. (0,1) C. {(x,y)|x=0,或y=1} D. {(0,1)} 6.下列集合表示法正确的是（ ） A.{1,2,2} B.{全体实数} C.{有理数} D.不等式 x 2-5>0的解集为{x 2-5>0} 7. 设A={a},则下列各式正确的是（ ） A 、0∈A B 、a ?A C 、a ∈A D 、a=A 8. 由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ） A 、{x|-3 基本内容 角 知识精要 概念 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. （3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法 用三个大写字母来表示 用一个大写字母来表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示 AOB ∠ A ∠ 1∠ α∠ 角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是?90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。（其中一个角称为另一个角的余角。) 互补：如果两个角的度数的和是?180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。（其中一个角称为另一个角的补角。） （注：同角（或等角）的余角和补角相等。） 角的度量单位换算：061'=? 061''=' 热身练习 一、判断题 1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ） 2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ） 3、如果α和β两角互补，α和γ两角互余，那么γβα2-=；（ √ ） 4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。（ ⅹ ） 5、有公共端点的两条射线叫做角 。（ ⅹ ） 6、角的边的长短，决定了角的大小。（ ⅹ ） 7、互余且相等的两个角都是45°的角。（ √ ） 8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。（ ⅹ ） 二、选择题 1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。 A.?120 B.?105 C.?100 D.?90 2、一个锐角的余角加上?90，就等于（ C ） A.这个锐角的两倍数 B.这个锐角的余角 C.这个锐角的补角 D.这个锐角加上?90 3、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算 5 1 )(βα+的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ） A.30° B.35° C.60° D.75° 4、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝30°．图中互补的角有（ B ） A.10对 B.4对 C.3对 D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ） A. 角是由一条射线旋转而成的 B. 角的两边可以度量 集合的概念及其表示方法 1.的实数的全体；③方程210x x +-= 的实数根；④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ） A.①③ B.①② C.①③④ D.①②③④ 2.集合{}21,1,2x x --中的x 不能取得值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 3.下列集合中表示同一集合的是（ ） A.(){}(){}2,33,2，M N = = B.{}(){}1,21,2，M N == C.(){}{},11，M x y y x N y x ==+==+ D.{}{}3,22,3，M N == 4.下列语句：（1） 0与{}0表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1；（3）方程() ()2120x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2；（4）集合{}45x x <<是有限集，正确的是（ ） A.只有（1）和（4） B.只有（2）和（3） C.只有（2） D.以上语句都不对 5.集合{}2，A x x k k ==∈Z ，{}21，B x x k k ==+∈Z ，{}41，C x x k x ==+∈Z ，又，a A b B ∈∈，则有（ ） A.a b A +∈ B.a b B +∈ C.a b C +∈ D.,,a b A B C +∈任一个 6.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 7.下列命题中正确的是( ) A.{}220x x +=在实数范围内无意义 B.(){}1,2与(){}2,1表示同一个集合 C.{}4,5与{}5,4表示相同的集合 D.{}4,5与{}5,4表示不同的集合 8.直角坐标平面内，集合(){},0,,≥M x y xy x y =∈∈R R 的元素所对应的点是( ) A.第一象限内的点 B.第三象限内的点 C.第一或第三象限内的点 D.非第二、第四象限内的点 9.下列结论不正确的是( ) D O E C B A 角的定义 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 定义2：角还可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 角的表示方法 ⑴用三个大写字母来表示 ⑵用一个大写字母来表示，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个。 ⑶用数字来表示角 ⑷用希腊字母来表示角 角的度量计算 角的度量单位是度、分、秒。把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?。 把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'，1度60=分(160'?=) 把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''，1分60=秒(160'''=) 角的分类 1周角360=? 1平角180=? 1直角90=? 1周角2=平角 1平角2=直角 锐角α(090α< 《角的概念与表示方法》同步试题 安徽省芜湖市南瑞实验学校吴永刚 一、选择题 1．如图所示，用两种方法表示的为同一个角的是( )． A．∠1和∠C B．∠2和∠C C．∠3和∠A D．∠4和∠B 考查目的：考查角的表示方法和读图识图能力． 答案：D． 解析：当角顶点处只有一个角时，才可用一个大写字母或希腊字母、数字来表示，故答案应选择D． 2．如图所示，下列关于角的说法错误的是( )． A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC可用∠O来表示 C．图中共有三个角∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC 考查目的：考查角的表示方法和读图识图能力． 答案：B． 解析：当角顶点处不只一个角时，需用三个大写字母分别表示或在单个角的顶点处标记希腊字母、数字来表示，故答案应选择B． 3．如图，图中包含小于平角的角的个数有( )． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 考查目的：考查平角的概念和读图识图能力． 答案：D． 解析：图中角除∠BDC为平角外，∠B、∠C、∠BAD、∠BAC、∠DAC、∠BDA、∠CDA均为小于180°的角． 二、填空题 4．如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是______；以A?为顶点的角有_______个，它们分别是________________． 考查目的：考查角的概念及表示方法． 答案：∠B和∠C；6；∠BAE、∠BAD、∠BAC、∠EAD、∠EAC和∠DAC． 解析：角的表示方法有多种，要根据题目的具体要求加以选择． 5．已知：如图所示． （1）用三个大写字母表示:∠1就是，∠2就是，∠3就是，∠4就是． （2）图中共有个小于平角的角，其中可以用一个大写字母表示的角有个． 考查目的：考查角的概念、表示方法，以及读图分析能力． 答案：（1）∠DBA或∠DBE，∠DBC，∠BAD，∠BDC；（2）9，1． 解析：（1）将数字标注角改为用三个大写字母时要注意顶点的字母应书写在中间位置；（2）除去平角，顶点A处有2个角，顶点B、D处各有3个角，顶点C处有1个角，故共有9个角，其中用一个大写字母表示的角只有∠C． 6．如图，点O在直线AE上，图中小于平角的角共有________个． 考查目的：考查角的概念以及读图能力． 答案：9． 解析：∠AOE是平角，图中小于平角的角共有∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE，共9个． 三、解答题 7．如图所示，图中共有多少个角，能用一个字母表示的角是哪个？把图中所有的角都表示出来． 考查目的：考查角的概念、表示方法，以及读图分析能力． 集合的概念与表示 教案目的：初步理解集合的概念，理解集合中元素的性质，集合的表示方法 学生层次：由于集合较简单，本教案适用于大多数学生层次。 教学模式： 课时安排：根据学生的掌握情况，本教案一次课 一 集合的性质 （一）集合的确定性考察 1.在“①难解的题目；②方程x2+1=0在实数集内的的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能组成集合的是（） A ②③ B ①③ C ②④ D ①②④ 2.分析下列各组对象能否构成集合： （1）比2008大的数； （2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象上的若干个点； （3）正比例函数y x =与反比例函数1 y x =-的图象的交点； （4）面积比较小的三角形. 3.下面四个命题正确的是（ ） A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7} B ．“个子较高的人”不能构成集合 C ．方程0122=+-x x 的解集是{1，1} D ．偶数集为{}N x k x x ∈=,2| 4.下面的结论正确的是（ ） A ．Q ax ∈，则N a ∈ B ．N a ∈，则∈a {自然数} C ．012=-x 的解集是{-1，1} D ．正偶数集是有限集 5、已知集合S ={c b a ,,}中的三个元素可构成?ABC 的三条边长，那么?ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 6.已知集合()(){}210M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a 的值为 （二）集合的互异性考察 1.求集合2{,2,}x x x -中的元素x 的取值范围. 2.下面有四个命题： ⑴集合N 中最小的数是1； ⑵若a -不属于N ，则a 属于N ； ⑶若,a b ∈∈N N ,则a b +的最小值为2； ⑷212x x +=的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3.下列命题正确的有（ ） ⑴很小的实数可以构成集合； ⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合； ⑶3611,,,,0.524 2 -这些数组成的集合有5个元素； ⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4.下列各选项中的M 与P 表示同一集合的是 （ ） A.{0},M P ==? B.{(3,7)},{(7,3)}M P =-=- C.2{(,)|3,}M x y y x x R ==+∈, 2{|3,}P y y x x R ==+∈角的概念与表示
集合的概念及表示法练习题
角的定义
角的概念与表示方法
(新)集合的概念与表示方法