与圆有关的角
圆周角和圆心角的关系
一、教学目标
1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理.
2．会熟练运用定理解决问题. 二、教学重点和难点
重点：圆周角定理及其应用
难点：圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透.
三、教学过程
（一）复习回顾：
1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角
2.同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等；相等的圆心
角所对的弧相等.
（二）探究新知：
【探究一】
1.圆周角：顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,
叫做圆周角
练习：巩固圆周角概念.
2.问题：弧AC
所对的圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一般。
分三种情况进行分析证明。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
符号表达：∵∠AOC 和∠ABC 所对的弧相同
∴∠ABC= ∠
AOC
习题训练：
1.试找出下图中所有相等的圆周角。
2.如图，在⊙O 中，∠BAC=32o，则∠BOC=________。
3、如图，⊙O 中，∠ACB = 130o，则∠AOB=______。
【探究二】
如图1,圆中一段弧(AC)对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系?为什么?
如图2,圆中AB=EF,那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?
如图,圆中∠C=∠G,那么弧AB和弧EF的大小有什么关系?为什么?
圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
【探究三】
1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
2.如图(2)，圆周角∠BAC =90o，弦BC经过圆心O吗？为什么？
圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
圆周角定理的推论：
推论1 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
例1.已知A、B、C是⊙O上的三点，圆心角∠AOB=100?，求∠ACB的度数.
例2.已知：如图⊙O的弦AB与CD相交于点E，且AC=BD，求证：EB=EC.
例3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
作业：
练习册2.2
小结
第24讲 圆的有关性质(含答案点拨)
第七单元圆 第24讲圆的有关性质 纲要求命题趋势 1．理解圆的有关概念和性质，了解 圆心角、弧、弦之间的关系． 2．了解圆心角与圆周角及其所对弧 的关系，掌握垂径定理及推论. 中考主要考查圆的有关概念和 性质，与垂径定理有关的计算，与圆 有关的角的性质及其应用．题型以选 择题、填空题为主. 知识梳理 一、圆的有关概念及其对称性 1．圆的定义 (1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________； (2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径． 2．圆的有关概念 (1)连接圆上任意两点的________叫做弦； (2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧． (3)________相等的两个圆是等圆． (4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧． 3．圆的对称性 (1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； (2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； (3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性． 二、垂径定理及推论 1．垂径定理 垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧． 2．推论1 (1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3．推论2 圆的两条平行弦所夹的弧________． 4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项． 三、圆心角、弧、弦之间的关系 1．定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________． 2．推论 同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． 四、圆心角与圆周角 1．定义
和圆有关的角(含答案)
O F E C B A O E D C B A 和圆有关的角 与圆有关的角我们学习了圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对（或夹）的弧的度数之间的关系. 角的顶点和边与圆位置关系在运动和变化过程中也可能形成另外的两种角.?如果角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,如图1中所示的∠AEB 即为圆内角.圆内角的大小究竟与弧有何关系呢?延长AE 、BE 分别交圆于C 、D 两点,再连结AD,?则∠AEB=∠A+∠D.∵∠A 的度数等于 12CD ,∠D 的度数等于12AB ,∴∠AEB 的度数等于1 2 (?AB +CD ).即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半,其中圆心角是特殊的圆内角. E D C B A E D C B A （1） (2) 如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角,?如图2所示,∠AEB 即为圆外角,圆外角又有什么性质呢?连结AD,则∠E=∠CAD-∠D,?∵∠CAD 的度数等于 12CD ,∠D 的度数等于12AB ,∴∠E 的度数等于 1 2 (CD -AB ).即圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半. 圆心角、圆周角、弦切角、圆内角和圆外角，弧是联系它们的中介，即“由角看弧，由弧看角”是促使它们互相转化的基本方法。 例1 已知:如图,△ABC 内接于⊙O,∠A=60°,∠B=80°,E 是BC 上一点,F?是AC 的中点,求∠BEF 的度数. 解析 ∵∠C=∠AEB,∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(60°+80°)=40°, ∴∠AEB=40°. ∵AF FC ,∴∠ABF= 1 2 ∠ABC=40°. 又∵∠AEF=∠ABF=40°. ∴∠BEF=∠AEB+∠AEF=80°. 点评 若所求的角是与圆有关的角,如圆心角、圆周角、弦切角、?内接四边形的内角和外角，要设法利用相关的定理进行计算，若所求的角与圆无关，要设 法转化为与圆有关的角去解决。 例2 如图,设P 为正三角形ABC 外接圆⊙O 的劣弧BC 上一点,AP 交BC 于点D. 证明:PB 、PC 是方程x 2-PAx+PA ·PD=0的两个根.
2019年中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质(含详细参考答案)
2019年中考数学专题复习 第六章圆 第二十二讲圆的有关概念及性质 【基础知识回顾】 一、圆的定义及性质： 1、圆的定义： ⑴形成性定义：在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做 ⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的叫做弦 弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类 3、圆的对称性： ⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径； 3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。 2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。 3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】 三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角 2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角 有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、圆接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。 性质：圆接四边形的对角。 【名师提醒：圆接平行四边形是圆接梯形是】 【重点考点例析】 考点一：垂径定理 例1（2018?）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm． 【思路分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解． 【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm，
简单数学之与圆有关的角的复习(含答案)
各部分设计意图说明 一、入门：力求整合相关知识，减少学生记忆，增强认知，选用基本问题作为习题，提升学生基础知识应用能力。 二、提高：总结相关知识推衍出的常用结论，学生可以通过这些结论的证明实际演练基础知识的应用，选择教学进度内、提升难度后的例题和练习再次强化学生分析问题、解决问题能力。 三、中考视角：选题以中考考查范围为视角，提高学生各部分知识的综合应用能力。题目中将加入部分原创试题，目的是让学生开拓视野，给老师中考复习增加素材。 简单数学之与圆有关的角复习 一、入门 （一）、定义： 圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。如图1，∠AOB是圆心角，它所对的弧是劣弧⌒ AB， 其实，这个图里还有一个圆心角，就是∠AOB优弧⌒ AB所对的圆心角，很多时候我们都忽略 它的存在，有时候它也很有用，比如，证明圆内接四边形性质时。 圆周角：顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。换个角度看，圆周角就 是两条有公共端点的弦所夹成的角。如图1，∠AOB是圆周角，它是由弦AC、弦BC所夹成 的，点C是它的顶点，而剩余的两个弦的端点，恰好构成了圆周角作对弧⌒ AB。 由此，可知，圆周角和圆心角同根同源，圆心角、圆周角的转化都以它们所对的弧为基础（二）、定理与性质： 1、课本上，我们有弧、弦、圆心角的关系定理，还有圆周角定理及其推论，如果我们将它们整合一下可以得到五量关系定理： 在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角，两条弦，两条弦的弦心距、两条弧中，有一组量相等，其余各组量分别对应相等。应用五量关系，证明圆中相关要素的相等关系是比较好的选择。 例题1：如图2，⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD，求证：AC=BD 解析：因为是在同圆中，已知弦相等，我们可以推出弦所对的弧相等，也可以推出 弦所对的圆周角相等. 方法一：证明：如图2，∵AB=CD ∴⌒AB =⌒ CD ∴⌒AC =⌒ BD ∴AC=BD 方法二：证明：如图3，连OA，OB，OC，OD ∵AB=CD ∴∠AOB=∠COD ∴∠AOC=∠BOD 图1 B 图 2 B
圆的有关概念与性质练习及答案
圆的有关概念与性质练习及答案 1.如图K28-1,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠B的度数为() 图K28-1 A.60° B.50° C.40° D.30° 2.如图K28-2,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为() 图K28-2 A.100° B.120° C.130° D.150° 3.在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图K28-3,在直角角尺中,∠AOB=90°,将点O放在圆周上,分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为() 图K28-3 A.17 B.14 C.12 D.10 4.如图K28-4,四边形ABCD内接于☉O,E为CD延长线上一点,若∠ADE=110°,则∠AOC的度数是() 图K28-4 A.70° B.110° C.140° D.160°
5.如图K28-5,☉O的半径OC垂直于弦AB,垂足为D,OA=2√2,∠B=22.5°,AB的长为() 图K28-5 A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 6.如图K28-6,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于() 图K28-6 A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之间 7.如图K28-7,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为 () 图K28-7 A.2 B.-1 C.√2 D.4 8.如图K28-8是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是 () 图K28-8
圆中角度计算
7. 如图，在⊙O 中，弦AD//BC ,DA=DC, ∠AOC=1600，则∠BCO 等于( ) A. 200 B . 300 C400 D. 500 第3题 1. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=1600, 则∠BAD 的度数是 ，∠BCD 的度数是 . 2. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB 上，则∠DPC = . 3. 如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB, E 是AD 上一点，若∠BCD=350，求∠AED 的度数． （第11题） 7. 如图，弦AB, CD 相交于点E , 弧 AD =600, 弧 BC =400，则∠AED= . （第12题） 8. 如图，P 为圆外一点，PA 交圆于点A,B ，PC 交圆于点C, D, 弧 BD =750, 弧 AC =150，则∠P= _____ 9．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________． 10．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____． 11．如图11，AB 为圆O 的直径，弧BC=弧BD, BC BD =，∠A=25°，则∠BOD=______． 12．如图12所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC?的三边所得的弦长相等，?则∠BOC=（ ） A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° 13、 如图，在⊙O 中，已知AB=BC 3:4,= 求∠AOC 的度数． （第13题） （第14题） （第15题） 14. 如图，在△ABC 中，∠BAC = 900，以AB 为直径画圆，交BC 于点D ．如果CD=BD,则 AD 等于（ ） A.300 B. 450 C. 600 D. 900 B A C Ｃ第16题
专题复习二 与圆有关的角
与圆有关的角专题复习二 圆中确定角相等一般圆周角定理为圆中角的等量关系提供了丰富的理论依据，圆心角定理、按弧所对角来确定，要特别注意直径与直角的关 系． ). ，∠AOC=40°，则所对的圆心角的度数为(A1.如图所示，AE∥CD，连结AO D.30°C.60° A.40° B.50° ) 4题题)(第第(第1题)(第2题)(3 所对的圆周角∠DEB=35°，则∠AODC的一条弦，且OD⊥AB于点，2.如图所示，AB是⊙O). 的度数是(C C.70° D.110°A.35° B.55°3). 所对圆心角 的度数为AB在⊙O中，圆心O到弦AB的距离(OD=C AB，则弦如图所示，3.6 C.120° D.150°A.60° B.90° 则∠PAQ70°，30°，A4.如图所示，量角器的外缘边上有，P，Q三点，分别表示读数180°，). (D的度数为 D.20° A.10°B.30° C.40° ，则下列判，AB为直径的⊙O分别交BCAC于点D，E如图所示，在△ABC5.中，AB=AC，以). 断： ①BD=CD；②BD=DE；③AE=DE；④△ABC为锐角三角形.其中正确的判断有(C A.1个个个 D.4 B.2个 C.3
) 8)5题)(第6题(第7题)(第题第(上，并且也在格点上，6.如图所示，⊙O的圆心O在正方形网格的格点上，B两点在⊙OA，45°．C为⊙O上一点，则∠ACB= 75°为⊙O 的弦，若∠BAD=50°，则∠AED= ．，7.如图所示，AD8.如图所示，AC为⊙O的直径，B，D，E都是⊙O上的点，则∠A+∠B+∠C= 90°． 图1图2 （第9题） 9.如图所示，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB=80°. (1)若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小. (2)若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小. 页 1 第 【答案】(1)∵AO⊥BD，∴=.∴∠AOB=2∠ACD.∵∠AOB=80°，∴∠ACD=40°. 9题答图）（第 在上时，∠ACD=∠ACD=40°.C(2)①如答图所示，当点11
与圆有关的角
22.与圆有关的角 知识考点： 1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念； 2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数； 3、掌握圆周角定理及其推论； 4、掌握弦切角定理及其推论； 5、掌握各角之间的转化及其综合运用。 精典例题： 【例1】如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。 分析：注意条件AC ＝BC ＝PC ，联想到圆的定义，画出以点C 为圆心，AC 为半径的圆，问题则得以解决。 解：∵AC ＝BC ，PC ＝BC ∴A 、B 、P 三点在以C 为圆心，AC 为半径的圆上 若P 、C 在AB 的同侧，则∠APB ＝ 2 1 ∠ACB ∵∠ACB ＝1000，∴∠APB ＝500 若P 、C 在AB 的异侧，则∠APB ＝1800－50＝1300 【例2】如图，在△ABC 中，∠B ＝900，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于E ，与AC 切于点D ，直线ED 交BC 的延长线于F ，若AD ∶AE ＝2∶1，求cot ∠F 的值。 分析：由AD ∶AE ＝2∶1和△ADE ∽△ABD 有DE ∶DB ＝1∶2，而∠F ＝∠EBD ，则cot ∠F ＝cot ∠EBD ＝ DE BD ，故结论得证。 解：连结BD ∵AC 为⊙O 的切线，∴∠1＝∠2 ∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABD ∴DE BD AE AD =，即12 =AE AD ∴21 2==DE DB ∵BE 为⊙O 的直径，∴∠BDE ＝900 ∴∠2＋∠BEF ＝900，∵∠F ＋∠BEF ＝900，∴∠2＝∠F ∴cot ∠F ＝cot ∠2＝ DE BD ＝2 【例3】如图，由矩形ABCD 的顶点D 引一条直线分别交BC 及AB 的延长线于F 、G ，连结AF 并延长交△BGF 的外接圆于H ，连结GH 、BH 。 （1）求证：△DFA ∽△HBG ； （2）过A 点引圆的切线AE ，E 为切点，AE ＝33，CF ∶FB ＝1∶2，求AB 的长； （3）在（2）的条件下，又知AD ＝6，求tan ∠HBG 的值。 分析：（1）证∠DAF ＝∠AFB ＝∠BGH ，∠DFA ＝∠HFG ＝∠HBG 即可； P ' ? 例1图 P C B A ? 例2图 2 1 O E F D C B A
人教版九年级上册数学 24.1 圆的有关性质 同步课时训练(含答案)
人教版初三数学24.1 圆的有关性质同步课 时训练 一、选择题 1. 已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB 的度数为() A．45°B．35°C．25°D．20° 2. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是() A.AB，AC边上的中线的交点 B.AB，AC边上的垂直平分线的交点 C.AB，AC边上的高所在直线的交点 D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 3. 如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为() A．4 B．5 C．8 D．10 4. 如图，著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB 为8 m，则拱桥的半径OC为()
A ．4 m B ．5 m C ．6 m D ．8 m 5. 如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P ，下列结论错误的是( ) A ．AP ＝2OP B ．CD ＝2OP C ．OB ⊥AC D ．AC 平分OB 6. 2019·聊城 如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵ 上的两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( ) A ．35° B ．38° C ．40° D ．42° 7. 如图，从 A 地到 B 地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半 圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A 地到B 地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是( ) A ．猫先到达 B 地 B ．老鼠先到达B 地 C ．猫和老鼠同时到达B 地
圆的有关性质练习及答案(供参考)
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. °° 圆的有关性质 【知识要点】 1．圆的定义： （1）动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 （2）静态定义：在平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r ）所有点的集合叫做圆： 2.圆的相关概念 弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆： 3.垂径定理及推论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 由此得到推论： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。 4.圆的轴对称性： (1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。 5..圆的旋转不变性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 6．圆心角、弧、弦关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。 7．弧的度数等于它所对的圆心角的度数。 8..圆周角定理及推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径. （2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形 9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆 四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆 定理：圆内接四边形的对角互补 【基础和能力训练】 一、选择题 1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰 2.（2014?毕节地区）如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 3. （ 2014?珠海）如图，线段AB 是⊙O 的直径， 弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠AOD 等于（ ） A 160° B 150° C 140° D 120° 4.（2015湖南常德）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为（ ） A 、50° B 、80° C 、100° D 、130° 5.（2015上海）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） A 、AD ＝BD ； B 、OD ＝CD ； C 、∠CA D ＝∠CBD ；D ∠OCA ＝∠OCB ． 6． 如图：是小明完成的.作法是：取⊙O 的直径AB ，在⊙O 上任取一点C 引弦CD ⊥A B.当C 点在半圆上移动时(C 点不与A 、B 重合)，∠OCD 的平分线与⊙O 的交点P 必（ ） A 。 平分弧AB B 。到点D 和直径AB 的距离相等 C ．三等分弧AB D.到点B 和点C 的距离相等 7．如图，量角器外沿上有A 、B 两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为（ ）度 A 10 B 15 C 25 D 30 8．下列语句中正确的有（ ） ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等 A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对 9．（2015湖北荆州）如图，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠ACB =25°，则∠BAO 的度数是（ ） A ． 55° B ．60° C ． 65° D ． 70° 10．（2015?甘肃兰州,）如图，经过原点O 的⊙P 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧上一点，则∠ACB = A . 80° B . 90° C . 100° D . 无法确定 #11．（2015?威海）如图，已知AB=AC=AD∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（ ） A ．68° B ．88° C ．90° D ．112° #12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16，则该半圆的半径为（ ）． A ．(45) B ．9 C 5．2 二．填空 13． 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是_________. 14．(2015?江苏南昌,)如图，点A , B , C 在⊙O 上，CO 的延长 线交AB 于点D ,∠A =50°,∠B =30°则∠ADC 的度数为 . 15．(2015?江苏南京)如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD =35°，则∠B +∠E = _ ． 16．（2015?江苏徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接A C ．若∠CAB =22.5°，CD =8cm ，则⊙O 的半径为 cm 17．(浙江省绍兴市）如图，已知点A （0，1），B （0，－1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于 18．（2015?江苏泰州,）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =115°，则∠BOD 等于__________°. 19. 如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=______°.
圆中有关的角
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角 一校 张琦锋 二校 林卉 审核 孙永涛 一、考点突破 1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。 2. 掌握圆内接四边形的性质定理。 3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。 二、重难点提示 重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。 难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。 一、圆中有关的角 ?? ?? ?????圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角 1. 圆心角： 顶点在圆心的角叫做圆心角。 O C B 把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。 2. 圆周角： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
O B C A 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。 直径所对的圆周角是直角。 B C A O 3. 圆内角： 顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。 P O B A 圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。 D P B C O A 顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。
D P B C A O 圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。 5. 弦切角： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。 推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 二、圆的内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。 D C B A O 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 （对圆内接四边形的性质的考查，在竞赛题目中出现较多。等后面我们学习了直线和圆的相关知识后，还要学到圆的外切四边形及其性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等）。 三、圆中有关的角的应用 根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题1(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题1（附答案）一．选择题（共10小题） 1．如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC ＝CD＝5，那么周长是接近100的圆是（） A．OA为半径的圆B．OB为半径的圆 C．OC为半径的圆D．OD为半径的圆 2．我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车作向前的直线运动，又以车轴为圆心作圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线．其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线．你认为呢？摆线（Cycloid）：当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线．定直线称为基线，动圆称为母圆，该定点称为摆点： 现做一个小实验，取两枚相同的硬币并排排列，如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币作无滑动的滚动，那么： （1）当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状？ （2）当右侧硬币转到左侧时，硬币面上的图案向还是向下？ （3）当右侧硬币转回原地时，硬币自身转动了几圈？（） A．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；1圈 B．一条摆线；向上；1圈 C．一条围绕于硬币的封闭曲线；向上；2圈 D．一条摆线；向下；2圈 3．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么与的关系是（）A．B．C．D．不能确定
4．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 5．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（） A．B．C．D． 6．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（） A．2B．C．3D． 7．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C+∠O＝63°，则∠O的度数是（） A．21°B．27°C．30°D．42° 8．如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠D＝34°，则∠BOC的度数为（） A．102°B．112°C．122°D．132° 9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（）
九年级数学专题19 与圆有关的角_答案
专题19与圆有关的角 例1连结AE ，BD ，则AE ⊥BC ，BD ⊥AC ，CE ＝BE ＝1，AE ＝2.由AE·BC ＝AC·BD ，得BD ＝455， CD ＝255，又CD CA ＝DF AE ，得DF ＝45，故S △CDE ＝12CE·DF ＝12×1×45 ＝25. 例2 B 提示：BM 2＝MD·MA. 例3 ⑴略.⑵如图，连结ON ，AE ，BD ，并延长BD 交AE 于点F ，可证 明△BCD ≌△ACE ，BF ⊥AE ，∴ON ∥＝ 12BD ，OM ∥＝ 12 AE ，∴OM ＝ON ，OM ⊥ON ，故MN ＝2OM. ⑶结论成立，证明略. 例4 提示：由△ABE ∽△ACD ，△ADE ∽△ACB 分别得AB·DC ＝AC·BE ， AD·BC ＝AC·DE ，两式作加法得A B ·DC ＋AD·BC ＝AC·BD. 例5 ⑴连结BM ，OA ＝2，OB ＝4，在Rt △BOM 中，(r －2)2＋42＝r 2，∴r ＝5，即AM ＝ 5，OM ＝3，∴M(3，0). ⑵连结AC 交BM 于G ，则BM ⊥AC 且AG ＝CG ，可证△AMG ≌△BMO.∴AG ＝OB ＝4，AC ＝8，OM ＝MG ＝3，BG ＝BM －GM ＝2，AD ＝10，CD ＝6.∴S 四边形ABCD ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12A C ·CD ＋12AC·BG ＝12×8×6＋12×8×2＝32. ⑶∵BC ＝BE ，∴∠BCE ＝∠ BEC.又∠BCE ＝∠BCA ＋∠ACF ，∠BEC ＝∠BDC ＋∠DCF ，且∠BCA ＝∠BDC ，∴∠ACF ＝∠DCF ＝12∠ACD ＝45°，∴△ADF 为等腰直角三角形.AF ＝DF ＝5 2.作DT ⊥CF 于T ，CT ＝DT ＝32，TF ＝DF 2－DT 2＝42，∴CF ＝CT ＋TF ＝7 2. 例6 ⑴连结BC ，∵AB ＝AC ，∴∠2＝∠5，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ， 即∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠4，∴∠DAC ＝∠DBC ＝∠4＋∠3＝2 ∠4，即∠DAC ＝2∠DBE.⑵延长DA 至点G ，使AG ＝AE ＝AC ，则∠DAC ＝2∠G ，而由⑴知∠DAC ＝2∠DBE.∴∠DBE ＝∠G.又∠BDE ＝∠GDC ，∴ △BDE ∽△GDC ，得BD DG ＝DE DC ，即DG·DE ＝BD·DC.∴(AD ＋AG)(AD －AE)＝ BD·DC.∵AB ＝AE ＝AG ，∴(AD ＋AB)(AD －AB)＝BD·DC ，故AD 2－AB 2＝ BD·DC. A 级1.30°≤x ≤90° 2.4 3.8 4.－14x 2＋x 5.C 6. B 7.B 提示：其中① ③正确. 9．提示：(1)连结BM ，证明Rt △CEN ≌Rt △BMN ．(2)连结BD 、BE 、AC ，证明△BED ∽△FEB ．(3)结论仍成立． 10．连结AM ，过M 作MD ⊥AC ，交直线AC 于点D ，则Rt △AMH ≌Rt △AMD ，Rt △MHB ≌Rt △MDC ． 11．(1)连结OA ，OC ，则Rt △OFC ≌RtOGC ≌Rt △OGA ．∴123OFC OAC ABC OFCG S S S S ???===四边形． (2)连结OA ，OB ，OC ，由△AOC ≌△COB ≌△BOA ，得∠OCB ＝∠OAC ，∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠EOC ＝120°，∠DOE ＝∠COF ＋∠COE ＝120°，∴∠AOE ＝∠COF ，∵∠OAC ＝∠OCB ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAG ≌△OCF ，故13 AOC ABC OFCG S S S ??==四边形． 12．如图，过点O 作直线 OP ⊥BC ，分别交BC ，KL ，AD 于点P ，H ，N ，则ON ⊥AD ，OH ⊥KL ，连结DO ，
有关初中圆的定理
1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合． 2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距． 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理） 切线长定理 垂径定理 圆周角定理 弦切角定理 四圆定理
3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合． 7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 9.圆的两条平行弦所夹的弧相等 10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. (3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. (4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
圆中求角问题
圆的复习（与圆有关的角度计算）教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 综合应用本章的知识解决“圆中求角问题”。 2.内容解析 本节课是习题课，是在学生已经学习圆的所有基本性质的基础上，对本章内容的综合应用。 从求圆外一角的简单问题入手，结合本章所学的切线的性质，圆周角定理等知识，由易到难，逐一剖析，并在教学过程中逐步进行归纳解题方法与思路。重点引导学生理解几何计算题和证明题中的转化思想和方程思想的运用。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从“圆中求角问题”的具体问题中，理解并掌握“圆中求角”问题中的分析方法和解题思路。 二、目标和目标解析 1.目标 （1）复习圆的基本性质，掌握“圆中求角问题”的分析方法。 （2）感悟与圆有关计算的转化思想，体会各部分知识间的联系。 2.目标解析 达成目标（1）的标志是：熟记圆中的基本性质和定理，并能恰当的运用这些性质定理解决简单问题。 达成目标（2）的标志是：能够在具体的问题中，运用转化思想分析和解决圆中求角问题。 三、教学问题诊断分析 学生在初中阶段开始接触几何证明与计算，但对于分析问题的方法始终是难点与重点，对部分接受能力弱的学生来说一直难以掌握。对于几何计算与证明，要求学生提前熟悉所涉及到的基本性质和定理，并且学会分析问题和转化问题。 四、教学过程设计
1.自主学习，引入圆中求角问题 问题1：在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝27°，求∠P 的大小. 师生活动：教师出示问题，学生先独立思考，回答。为了帮助学生有逻辑地思考，教师可追问以下问题： 教师追问1：分析已知条件，见到切线联想到切线有什么性质？ 教师追问2：分析求证，要求∠P 可以转为求哪一个与其相关的角？ 设计意图： 学生要学分析已知和求证，通过这道题，引导学生对所有进行转化，并且进行一题多解进行简单探究，最后归纳多法归一，所有的方法都是在进行转化，只不过转化的方法与途径不同。 本题是这节课的第一道题，开题直接切入本课重点，由易入手，学生更容易接受，从而逐步引导学生学会圆中求角问题的思考方法和转化思想。 2.师生合作探究，启发圆中求角的转化思想： 例.在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点，D 为 上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝10°，求∠P 的大小. 师生活动： 第一个阶段，根据第一题的解题思考和分析方法，学生先独立思考,独立书写过程，教师 A A
2018届中考数学复习《圆的有关性质》专项训练题含答案
2018届初三数学中考复习 圆的有关性质 专项复习练习; 1．如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( ) ,, ,, A ．5 B ．6 C ．4 D ．3 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵ ，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( ) A ．51° B ．56° C ．68° D ．78° 3. 如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰在半圆上，过C 作CD⊥AB 交AB 于D ，已知cos ∠ACD ＝3 5 ，BC ＝4，则AC 的长为( ) A ．1 B.203 C ．3 D.16 3 4. 已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为( ) A ．2 5 cm B ．4 5 cm C ．2 5 cm 或4 5 cm D ．2 3 cm 或4 3 cm
5. 如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB ＝70°，则∠ADC 的度数为( ) A ．30° B ．35° C ．45° D ．70° 6．如图，⊙O 的直径AB 垂直于CD ，∠CAB＝36°，则∠BCD 的大小是( ) A ．18° B ．36° C ．54° D ．72° 7. 如图，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若∠BCD＝120°，AB ＝AD ＝2，则⊙O 的半径长为( ) A.322 B.62 C.32 D.233 8. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB ＝CD ＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( ) A ．2米 B ．2.5米 C ．2.4米 D ．2.1米 9. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O 的半径为5 cm ，
专项练习二与圆有关的角
专项练习二与圆有关的角 圆心角定理、圆周角定理为圆中角的等量关系提供了丰富的理论依据，圆中确定角相等一般按弧所对角来确定，要特别注意直径与直角的关系． 1.如下图，AE∥CD，连结AO，∠AOC=40°，那么所对的圆心角的度数为(A). A.40° B.50° C.60° D.30° (第1题)(第2题)(第3题)(第4题) 2.如下图，AB是⊙O的一条弦，且OD⊥AB于点C，所对的圆周角∠DEB=35°，那么∠AOD的度数是(C). A.35° B.55° C.70° D.110° 3AB，那么弦AB 3.如下图，在⊙O中，圆心O到弦AB的距离OD= 6 所对圆心角的度数为(C). A.60° B.90° C.120° D.1 50° 4.如下图，量角器的外缘边上有A，P，Q三点，分别表示读数180°，70°，30°，那么∠PAQ的度数为(D). A.10° B.30° C.40° D.20° 5.如下图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，A C于点D，E，那么以下判断：①BD=CD；②BD=DE；③AE=DE；④△AB C为锐角三角形.其中正确的判断有(C). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (第5题)(第6题)(第7题)(第8题) 6.如下图，⊙O的圆心O在正方形网格的格点上，A，B两点在⊙O上，并且也在格点上，C为⊙O上一点，那么∠ACB= 45°． 7.如下图，，AD为⊙O的弦，假设∠BAD=50°，那么∠A ED= 75°．
8.如下图，AC为⊙O的直径，B，D，E都是⊙O上的点，那么∠A+∠B+∠C= 90°． 图1图2 〔第9题〕 9.如下图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AO B=80°. (1)假设点C在优弧BD上，求∠ACD的大小. (2)假设点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小. 【答案】(1)∵AO⊥BD，∴=.∴∠AOB=2∠ACD.∵∠AOB=80°，∴∠ACD=40°. 〔第9题答图〕 (2)①如答图所示，当点C1在上时，∠AC1D=∠ACD=40°. ②如答图所示，当点C2在上时，∵∠AC2D+∠ACD=180°， ∴∠AC2D=140°. 综上所述，∠ACD=140°或40°. (第10题) 10.如下图，在平面直角坐标系中，以点M(0，3)为圆心，23为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连结AM并延长交⊙M于点P，连结PC交x轴于点E、 (1)求点C，P的坐标． (2)求证：BE=2OE、 〔第10题答图〕 【答案】(1)如答图所示，连结PB.∵PA是⊙M的直径，∴∠PBA=90°.∵MO⊥AB，∴PB∥MO,OB=OA=3.∴PB=2OM=23.∴点P坐标为(3，23).∵MC=23.OM=3,∴OC=MC-OM=3.∴点C的坐标为(0，-3). (2)如答图所示，连结AC.∵AM=MC=23，AO=3，OC=3.∴AM=M C=AC=23.∴△AMC为等边三角形.∵AP为⊙M的直径，∴∠ACP=90°.∴∠OCE=30°.∴OE=1.∴BE=OB-OE=2.∴BE=2OE.