利用MATLAB实现黄金分割法求极值问题-北京理工大学-机械优化设计

利用MATLAB 实现黄金分割法求极值问题

姓名：xxx 学号：xxx

（北京理工大学机械与车辆学院车辆工程，北京 100081）

1. 黄金分割法的基本思想

黄金分割法（golden section method ）是优化方法中的经典算法，以算法简单、效果显著而著称，是许多优化算法的基础。但它只适用于一维区间[,]a b 上的凸函数。其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则以及等比收缩原则，利用序列消去原理，通过不断缩小单峰区间长度，即每次迭代都消去一部分无用区间，使搜索区间不断缩小，来逐步缩小搜索范围，从而不断逼近目标函数极小点的一种优化方法。该方法对函数没有特殊要求，函数甚至可以是不连续的。

在搜索区间[,]a b 内必须按下述规则对称地取1a 和2a 两点：

()1a b b a

λ=--,()2a a b a λ=+-,1a 和2a 将区间分成三段，其中λ称为区间收缩率，黄金分割法中λ≈0.618，然后计算插入点的函数值。应用函数的单峰性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。

黄金分割法程序结构简单，容易理解，但计算效率偏低，较适用于设计变量少的优化问题中的一维搜索。

2.迭代过程和算法流程图

2.1迭代过程

（1） 给定区间[],a b ，并输入0ε>；

（2） 计算10.618(-),20.618(-)a b b a a a b a =-=+；

（3） 判断b a ε-<，若成立，则迭代终止，到最后一步（7）；否则，继续；

（4） 若(1)(2)f a f a ≤，转（5），否则转（6）；

（5） 令2b a =，21a a =，a1=b-0.618(b-a)，转（3）；

（6） 令1a a =，12a a =，a2=a+0.618(b-a)，转（3）；

（7） 得出最优解：*()/2x a b =+，**()y f x =。

2.2算法流程图

黄金分割法的算法流程图如图3-1.

图 3-1 黄金分割法的算法框图

3.利用MATLAB 求解实例

3.1实例

本文以本章课后习题（3.1）为例来练习黄金分割法算法在MATLAB 里的实现。

用黄金分割法求解()(2)f x x x =+的近似极小点*x 及*()f x ，3a =-，5b =，0.01ε=。

程序如下：

（1） 首先建立函数。建立.m 文件，命名为fun_gs.m ，文件内容如下：

function y=fun_gs(x) y=x^2+2*x;

（2） 编写迭代程序主体。建立gs.m 文件，内容如下：

a=-3;

b=5;

eps=0.01;

n=0;

i=100;

a1=b-0.618*(b-a);

a2=a+0.618*(b-a);

y1=fun_gs(a1);

y2=fun_gs(a2);

for k=1:i

if (abs(b-a)<=eps)

y=fun_gs((b+a)/2);

break;

else

if (y1<=y2)

y2=fun_gs(a1);

b=a2;

a2=a1; a1=b-0.618*(b-a);

y1=fun_gs(a1);

else

y1=fun_gs(a2);

a=a1;

a1=a2;

a2=a+0.618*(b-a);

y2=fun_gs(a2);

end

n=n+1;

end

end

n;x=(a+b)/2;y;

运行程序，结果为：

14

n=迭代次数

* 1.0013

x=-极小值点

* 1.0000

y=-极小值点的函数值

计算结果如图：

图3-2 计算结果（0.01

ε=）3.2实例结果分析

2

()(2)2

f x x x x x

=+=+的最小值为

2

1

22

b

x

a

=-=-=-时取得，此时有

1 y=-。

从上述计算结果可以看出，利用MATLAB实现的黄金分割法，通过14次迭代可以满足收敛精度要求，并且计算结果和理论结果基本一致，误差为

ε=时，即?=---=，即求得了函数的全局最优解。当0.001

(1.0013)(1)0.0013

收敛精度缩小为原来1/10，此时再进行一次迭代求解，计算结果如图3-3：

ε=）

图3-3 计算结果（0.001

?=---=。

迭代次数增加到19次，最优点* 1.0001

x=-，(1.0001)(1)0.0001可见计算精度进一步提高，更加接近理论值。所以，在计算机性能允许的前提下，解决复杂优化问题时可以将收敛精度ε设为一个很小的值，以此来满足精度要求苛刻的工程问题。

由此可见，在MATLAB里编写黄金分割法算法求解最优化问题是有效可行的，具有一定理论及实际应用价值。

参考文献

[1]李志锋。机械优化设计。高等教育出版社。