相似三角形压轴经典大题(含问题详解)

相似三角形压轴经典大题解析

1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．

（1）请你用含x 的代数式表示h ．

（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，

1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？

【答案】解：（1）

MN BC ∥

AMN ABC ∴△∽△ 68

h x ∴= 34

x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△

1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，

①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，

1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤）

②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，

设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则13

2662

h h x =-=

- 11EF MN

A EF A MN ∴∥△∽△

11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12

16A EF S h S ??= ???

△△ABC

1

68242

ABC S =??=△ 2

2

363224122

462EF

x S x x

??- ?∴==?=-+ ? ?

??

1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ??

=-=

--+=-+- ???

△△ 所以 2

91224(48)8

y x x x =-

+-<<

综上所述：当04x <≤时，2

38

y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2

912248

y x x =-+-， 取16

3x =

，8y =最大 86>

∴当16

3

x =时，y 最大，8y =最大

2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

M

N

C

B E

F

A

A 1

【答案】解：（1）

该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为2

2y ax bx =+-．

将(40)A ，，(10)B ，代入，

得1642020a b a b .+-=??+-=?，解得1252a b .?

=-????=??，

∴此抛物线的解析式为215

222

y x x =-+-．

（2）存在．

如图，设P 点的横坐标为m ， 则P 点的纵坐标为215

222

m m -+-， 当14m <<时，

4AM m =-，215

222

PM m m =-+-．

又90COA PMA ∠=∠=°，

∴①当2

1AM AO PM OC ==时，

APM ACO △∽△，

即21542222m m m ??

-=-

+- ???

．

解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ②当

12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即215

2(4)222

m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）

∴当14m <<时，(21)P ，．

类似地可求出当4m >时，(52)P -，． 当1m <时，(314)P --，．

综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．

3．如图，已知直线128

:33

l y x =

+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．

矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．

（1）求ABC △的面积；

（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；

（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为

(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的

t 的取值范围．

【答案】（1）解：由

28

033

x +=，

得4x A =-∴．点坐标为()40-，． 由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，． ∴()8412AB =--=．

由2833216y x y x ?

=+???=-+?

，．解得56x y =??

=?，．∴C 点的坐标为()56，． ∴11

1263622

ABC C S AB y =

=??=△·．

（2）解：∵点D 在1l 上且28

88833

D B D x x y ==∴=?+=，．

∴D 点坐标为()88，．

又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．

∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．

（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．

∴

BG RG BM CM =，即36

t RG

=，

∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，

∴()()112

36288223

ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-??--?-△△△．

即241644

333

S t t =-++．

当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=3

2838)8(32

t t -

=+-, ∴

3

8038]32838)4(32[421+

-=-++-?=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，

4883

)12)(328(212

+-=--=t t t t s

4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿

B A →，B

C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，C

D 于P Q ，．当点

N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．

（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；

（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围； （4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解： （1）3

4

PM =，

（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2

（图3）

（图1）

（图2）

N

（3）

PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，

AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴

=即()

PM a t t a t PM t a a

--==，， (1)

3t a QM a

-∴=- 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22

QP AD DQ MP BN BM

++=

()33(1)()22t a t t a a t t t

a a -????

-+--+ ? ????

?==化简得66a t a

=+，

3t ≤，636a

a

∴

+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）

36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等

∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =

()3t a t t a ∴-

=-，把66a

t a

=

+

代入，解之得a =±

，所以a =． 所以，存在a ，当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．

5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.

又因为∠B=600

,所以△BPQ 是等边三角形.

(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600

=3t,由AP=t,得PB=6-t,

所以S △BPQ=

21×BP ×QE=2

1

(6-t)×3t=－23t 2+33t ；

(3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600

，∠RQC=∠B=600

，又因为∠C=600

,

所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600

=

2

1

×2t=t,

所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900

,所以∠APR=∠PRQ=900

.因为△APR ～△PRQ,

所以∠QPR=∠A=600,所以tan600

=

PR QR ,即

3326=-t

t ,所以t=56

, 所以当t=

5

6

时, △APR ～△PRQ 6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90o，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；

（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的

解析式；

（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、

N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

图7-2

A

D O B

C 2

1

M

N

图7-1

A

D B

M N

1 2

D 2

M

O

.7．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD

的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到

图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；

（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到

图15-3，求

AC

BD

的值．

【答案】 解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；

（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．

又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，

∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．

（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ．

又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ．

∴

AO

BO

AC BE =

． 又∵OB = kAO ，

由（2）的方法易得 BE = BD ．∴

k AC

BD

=． 10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1分钟可到达A 点。 （1）经过多少时间，线段PQ 的长度为2？

（2）写出线段PQ 长度的平方y 与时间t 之间的函数关系式和t 的取值范围；

（3）在P 、Q 运动过程中，是否可能出现PQ ⊥MN ？若有可能，求出此时间t ；若不可能，请说明理由；

（4）是否存在时间t ，使P 、Q 、M 构成的三角形与△MON 相似？若存在，求出此时间t ；若不可能，请说明理

由；

图4

A D O

B C

2

1 M

N

E F

A

O

B

C

1

D 2

图5

M N

E