质数,合数与分解质因数
质数、合数与分解质因数
一、教学建议
【抛砖引玉】
通过本段内容的教学使学生理解和掌握质数、合数、质因数和分解因数的概念，并能运用概念进行判断，会把自然数按约数个数分类，能正确地把一个合数分解质因数。
培养学生观察、比较、抽象概括能力。
(一)教学质数与合数
教学质数与合数要注意抓住以下四点
1.从把自然数按约数“个数”这个标准进行分类入手，引出质数和合数的概念。
要注意给学生提供全面、充实、恰当的感性材料，使学生通过观察、比较、抽象、概括得到清晰、准确的质数与合数概念。
例如：
先说出下面各数的约数，再观察比较：哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？
1、2、3、4、5、6、7、8…19、20
只有1个约数的自然数有1
有两个约数（1和它本身）自然数有2、3、5、7、11、13、17、19
有两个以上约数的自然数有4、6、8、9、12、14、15、16、18、20
通过只有两个约数的自然数观察比较概括出质数的概念。即一个数除了1
和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。
通过只有两上以上约数的自然数观察、比较、抽象概括出合数概念。即一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
2.要明确“1”为什么既不是质数？也不是合数？
“1”不是合数，按合数定义去解释学生很快就能接受。“1”不是质数，按质数定义去解释有些学生想不通。原因是受“一个自然数的约数个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身”这句话的影响，认为1有两个约数其中最小的约数是1，最大的约数还是1，所以“1”有两个相同的约数。学生这样理解是有一定道理的。这时老师要指出，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数。
3.自然数的分类
(1)按自然数约数的“个数”这个标准分类，则自然数可分为三类。即质数、合数和1三类。
自然数是无限的，所以质数和合数也是无限的。
(2)按每个自然能否被2整除分类，则把自然数分两类。即奇数和偶数。
自然数是无限的。所以奇数和偶数的个数也是无限的。
4.运用质数、合数概念，判断一个数是质数还是合数。可以加深学生对质数、合数的理解。
例如：下面哪些数是质数？哪些是合数？
19、21、87、35、38、72、43、67、2、89、97、54
通过检查各数约数的个数，可以知道：
21、87、35、38、72、54是合数
19、43、67、89、97是质数
判断一个数是质数还是合数，一般有三种方法：
(1)如上述方法就是检查每个数约数的个数，根据质数、合数的定义进行判断；
(2)查质数表；
(3)用试除的方法。记住20以内2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数，试除时，看这个数除了1和它本身以外，能否被其他数整除。若能则是合数；若不能则是质数。
为了迅速判断一个数是质数还是合数，能够根据2、3、5整除数的特征进行判断尽量运用特征判断。如判断237980这个数，它是质数还是合数。（因为这个数个位上是0，因此这个数除了1和它本身外，至少还有一个约数2，所以这个数是合数。）
对于数较大，不能直接看出它是质数还是合数的就用试除法。比如判断91是质数还是合数。可以用91÷7=13，91能被7整除，可以断定91是合数。(二)教学分解质因数要注意以下三个问题。
2.掌握分解质因数的两种方法
分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。
把一个合数分解质因数有两种方法。
一种是利用乘法口诀分解质因数。
例如：直接把下面各数分解质因数。
21、34、52、28、60、75、90
解答时可以这样想：先把这个合数分解成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数，就算分解完了；如果因数中还有合数，还要继续分解，一直分解到
例2）这是分解质因数的最基本方法。
全部因数都是质数为止。（如课本P
59
另一种是用短除法分解质因数。
埃拉托斯特尼把数写在涂了一层蜡的纸上，在写着合数的地方用针刺上一个小孔，于是剩下的都是质数。而这块涂蜡的纸被刺成筛子一样，因此这种求质数的方法就叫筛法。
怎样用筛法编制100以内的质数表呢？
在自然数中第一个数是1，它既不是质数也不是合数，把它除外。第二个数是2，它是质数，把它保留，并且把2的倍数都划掉。紧靠2后面没被划掉的是3，3是质数，把它保留，并且把3所有的倍数划掉。紧靠3后面的是5，5是质数，把它保留，并且把5的倍数都划掉……用这样的筛法，把100以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数。
请同学们按上面介绍的方法制作一个100以内的质数表。
2.质数、因数、质因数、分解质因数有什么不同？
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数。它是1个独立存在的数。比如17是质数，因为它只有1和17两个约数。
在乘法中，被乘数和乘数都叫因数。例如：2×3=6，2和3是6的因数。
6的两个因数2和3，同时又都是质数。因此，我们把2和3又叫做6的质因数。
每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：36=2×2×3×3
40=2×2×2×5
其中2、2、3、3是36的质因数；2、2、5是40的质因数。
因数与积相关联，因数不能单独存在。比如2和3是6的因数，而不能说2和3是因数，必须说明是谁的因数。因数可以是质数也可以是合数（如5×6=30，其中6就是合数），而质因数，要求因数本身还必须是质数。比如30=2×3×5，30的三个因数都是质数。所以可以说30的质因数是2、3和5。
3.在分解质因数时，要防止发生以下几种错误。
(1)没有坚持一直用质数作除数，因此造成分解式中出现合数。如把280分解质因数。
二、学海导航
【思维基础】
1.说出什么叫质数？什么叫合数？并判断下面各数哪些是质数，哪些是合数。
3、27、41、6、11、19、69、57、97
一个数如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数）一个数如果除了1和它本身还有别的约数这样的数叫做合数。
质数有：3、41、11、19、97。
合数有：27、6、69、57。
把一个合数分解质因数，先用一个能除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数；就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
3.判断下面的说法对吗？正确的画“√”，错的画“×”。
(1)在自然数中除了质数就是合数。（）
(2)一个合数至少有3个约数。（）
(3)3和5是质因数。（）
解：(1)（×）即不对。因为自然数按约数个数分三类。就是自然数包括质数、合数和1。而这种说法显然把自然数按这样的分类标准分了两类，丢掉了“1”这一类。
(2)（√）即对。因为合数的定义是一个数除了1和它本身以外，还有别的约数，这个数叫合数。这里的“还有别的约数”的意思至少有1个约数。至少这1个约数再加上1和它本身的两个约数就是至少3个约数。因此这种说法是正确的。
(3)（×）即错。3和5都是质数。质因数是与积相关联，它不能单独存在。质因数，要求因数本身还必须是质数。比如15=3×5，3和5都是15的质因数。
【学法指要】
例1. 210=2×3×5×7，你能从这个式子中知道210除了有约数1以外，还有哪些约数吗？
分析：凡是能被210整除的数都是210的约数。怎样才能做到找准、找全呢？那就要分类找。一类是显露的约数即2、3、5、7四个约数。另一类是隐含约数。这一类先找全两个因数的积。即（2×3）（2×5）、（2×7）、（3×5）、（3×7）、（5×7）；再找全三个因数的连乘积。即（2×3×5）、（2×3×7）、（3×5×7）、（2×5×7）；最后找四个因数的积。即（2×3×5×7）。这样分类找210除了约数1外，其它15个约数就能找全了。
解：210除约数1外的约数有2、3、5、7、6、10、14、15、21、35、30、42、105、70、210。
例2. 4500的约数共有多少个？
分析：可以利用积与因数的关系，一对对找出4500所有约数，然后再数出它们共有多少个就行了。但是，因为4500数很大，用这种方法做很麻烦，而且往往会遗漏，借助于分解质因数的方法求较大数约数的个数比较简捷比如，40共有多少个约数，用分解质因数的方法如何求40约数的个数算理与算法。
40=2×2×2×5，从23来看，40的约数数中存在1、2、22、23四种情况，即
1、2、4、8；再从5来看，存在1和5两种情况。若把两者结合起来看，即用1、
2、4、8分别去乘1和5，是可得到40的所有8个约数：1、2、4、8、5、10、20、40。仔细观察，不难看出这四种情况的“4”与两种情况的“2”，正好等于40的每个质因数的指数加上“1”，即是：（3＋1）×（1＋1）=8。这就是说：
一个大于1的整数约数的个数，等于它分解质因数式子中每个因数的指数加“1”和连乘积。掌握了这条规律，再求一个数的约数就容易了。
解：因为4500=2×2×3×3×5×5×5=22×32×53
而（2＋1）×（2＋1）×（3＋1）=36
所以4500的约数共有36个。
例3.一个长体的3个面积分别为S
1=20平方厘米，S
2
=15平方厘米，S
3
=12
平方厘米。求这个长方体的体积是多少立方厘米？
分析：
根据长方体6个面的特征，我们知道：每个长方体的6个面中，有三组对面，每组对面的面积分别相等。已知三个面的面积都相等由此可知这三个一定是相邻面，且相交于一个顶点。（如图）
假设这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，S1=ab=20，S2=ac=15，S3=bc=12，求长方体的体积，必须知道这个长方体的长、宽、高各是多少。但长、宽、高都没有直接给。但长、宽、高中两两相乘的积我们知道。如果把每两个数的乘积再相乘，里面一定有三个数的积。即ab×ac×bc×=(abc)2，则abc就是长方体的体积。那么3个面积乘积怎样分成两个相同数相乘呢？就要把这几个相乘的数都分解质因数。
解：20×15×12
=2×2×5×3×5×2×2×3
=（2×2×5×3）×（2×2×5×3）
=60×60
所以abc=60
答：这个长方体的体积是60立方分米。
【思维体操】
1.有4个学生，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们的年龄乘积是5040。他们的年龄各是多少？
解：5040=2×2×2×2×3×3×5×7
=（2×2×2）×（2×5）×（3×3）×7
=7×8×9×10
答：他们的年龄分别为7岁、8岁、9岁、10岁。
评析：这道题的解题思路是根据题中给出的这四个学生“年龄恰好一个比1个大1岁”，可知这四个学生的年龄是从小到大排列的四个连续的自然数。由“他们年龄的乘积是5040”，可以想到只要把5040分解质因数就一定能从中找出四个连续的自然数，也就是这四位学生的岁数。因此解答这道时，先把5040分解质因数，再将5040转化为四个连续自然数的积，这四个数就是4个学生的年龄。
2.一位教师带领全班学生去搬桌椅，学生恰好分为三组，如果老师和学生每人所搬桌椅一样多，若搬了884套，每人搬多少套？
解：884=2×2×13×17
=52×17
=34×26
答：如果这个班的学生人数是51人时，则每人搬17套桌椅；如果这个班的学生人数是33人时，则每人搬26套桌椅。
评析：根据题意此题有两解，学生往往答成一解。根据“学生恰好分成3组，可以确定学生人数是能被3整除的数，即符合实际班额人数目又是3的倍数的数均符合题意。根据“老师和同学搬的同样多，所以有：884=每人搬的×（学生人数＋1名老师）的数量关系。因此解题时先将884分解质因数，再转化为上述关系式的形式，问题所求就是其中的一个因数。
3.甲、乙、丙三人各将一根同样大小的木料切割成完全一样的两块小长方体后，甲说：表面积增加12平方分米；乙说：表面积增加20平方分米；丙说：表面积增加30平方分米。由于三人切割后木块的长、宽、高正好是整分米数，所以三人说法都正确，求原木料的体积和表面积。
解：因为12÷2=6，6=2×3
20÷2=10，10=2×5
30÷2=15，15=3×5
所以原长方体一根木料的长、宽、高为5、3、2
它的体积：5×3×2=30
表面积：（5×3＋5×2＋3×2）×2
=（15＋10＋6）×2
=31×2
=62
或 12＋20＋30=62
答：原长方体木料的体积为30立方分米，表面积为62平方分米。
评析：这道题是一道活而不难的题。根据同样的木料，由于三人切法不同，因此增加的面积大小，也不相同。每切1刀增加两个相等的长方形，因此12平方分米、20平方分米、30平方分米分别是上、下面，左、右面，前、后面三组对面的面积和。把它们分别除以2就是相交于一个顶点每个面的面积。再把这三个面积数分别分解质因数就能求得这个长方体木料的长、宽、高，进而求出它的体积与表面积。而12＋20＋30是求表面积的最佳解法。
三、智能显示
【心中有数】
本段知识主要内容
2.判断正误。对的画“√”，错的画“×”。
(1)把12分解质因数①2×2×3=12 （）
②12=1×2×6 （）
③12=2×2×3 （）
④12=22×3 （）
⑤72=2×2×3×3 （）
(2)1是所有自然数的约数。（）
(3)所有的奇数都是质数。（）
(4)所有的质数都是奇数。（）
(5)两个质数相乘的积一定是合数。（）
(6)一个数的质因数都是质数。（）
(7)所有的质数分别加上1，所得的和都是偶数。（）
(8)99=11×9，11和9都是99的质因数。（）
(9)根据90=2×3×3×5，找出90的全部约数是1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。（）
(10)三个质数的连乘积是874，这三个质数的和是44。（）
3.把下面各数分解质因数。
102= 182=
44= 111=
4.思考题。
(1)10800的约数共有多少个？
(2)四个小朋友年龄的乘积是360，且是连续的自然数。最大的一个小朋友几岁？
【创新园地】
1.长方形的长10厘米，宽9厘米，把它分割成几种边长是整厘米的正方形。那么，至少可以分割成几种不同的正方形？在图上表示出来。
2.要使算式975×972×935×（）的连乘积最后四位数字都是0，在括号内填的最小自然数应是几？
3.少年宫游乐厅里悬挂着200盏彩灯，这些灯或亮或灭，变幻无穷，200盏彩灯按1～200编号，灯的亮灭变化规律是这样的：第1秒，全部灯变亮；第2秒，凡编号2的倍数的由亮变灭；第3秒，凡编号为3的倍数的灯改变原来的状态（即亮的变灭，灭的变亮）第4秒，凡编号为4的倍数的灯改变原来状态；这样继续下去……200秒为一个周期，那么第200秒，哪些灯是亮着的？
参考答案：
1.
至少可以分割成三种不同的正方形。即两个边长是5厘米的正方形；两个边长是4厘米的正方形；还有两个边长是2厘米的正方形。（如上图所示）
2. 975=5×5×3×13
972=2×2×3×3×3×3
935=5×11×17
一个因数2和一个因数5相乘，积的末尾可以出现一个“0”，那么至少需要四个因数2和四个因数5。从分解质因数我们发现一共有两个因数2和三个因数5，尚缺两个因数2和一因数5，因此括号内最小应填2×2×5=20。
3.自然数中第1，4，9，…；都是两个相同的自然数的乘积，我们把这样的数叫做完全平方数，而其它的自然数就不是完全平方数，叫做非完全平方数。
完全平方数的约数个数都是奇数个；比如1的约数是1；4的约数有1、2、4共有3个约数；9的约数有1、3、9，共有3个约数；36的约数有1、2、3、4、6、9、12、18、36共9个约数。非完全平方数的约数个数则不是奇数，而是偶数。
原题中的第1秒时，灯全是亮的，那么原来都是灭的。变化了奇数次的灯都是亮的，变化了偶数次的灯都是灭的。那么我们就看1～200中，完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196共有14个，这些数的约数个数都是奇数个，因此编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196这些灯都是亮的，当然，其它编号的灯都是灭的。
四、同步题库
1.填空。
(1)在1～20的自然数中，最大的奇数是（），最小的偶数是（）；奇数中（）是合数，偶数中（）是负数；最小的合数是（），最小的质数是（）；（）既不是合数，又不是奇数。
(2)一个数，千位上是最小的质数，百位上是最小的自然数，个位上是最小的合数，其余数位上的数是0，这个数写作（）。
(3)如果a=5b，而且a、b是两个不同的自然数，那么b一定是a的（）数。
(4)用三个比10小的质数组成一个三位数，使它同时能被3和5整除，组成的三位数有（）。
(5)有四张数字卡片，上面分别写有1、0、4、8，请抽三张卡片组成符合下列条件的数，并填在括号里。能同时被2和3整除的最大数是（）；能同时被3和5整除的最小数是（）；质数是（）；最大合数是（）。
(6)20以内差为1的两个合数有（）和（），（）和（），（）和（），（）和（）共4对。
(7)10以内（包括10）的数中，所有质数的乘积除以所有偶数的和，商是（）。
(8)一个两位数，它是质数。如果把它个位上的数字和十位上的数字变换位置后，仍是一个质数。这样的质数有（），共（）个。
2.判断下面各题，在对的后面画“√”，在错的后面画“×”。
(1)除了2以外，所有的偶数都是合数。（）
(2)两个质数相乘的积不一定是合数。（）
(3)A能被B整除，商一定是A的约数。（）
(4)某数是2的倍数，这个数一定是合数。（）
(5)能被1和本身整除的数一定是质数。（）
(6)边长是质数正方形，它的面积一定是合数。（）
(7)在1～30这些自然数中共有10个质数。（）
(8)20的质因数有3个。（）
3.下面的数，哪些是质数？哪些是合数？把合数分解质因数。
23、91、803、507、221、204、111。
4.在（）里填上适当的质数。
10=（）＋（）=（）×（）
=（）－（）
30=（）－（）=（）＋（）
=（）＋（）
42=（）×（）×（）
5.把下面各数分解质因数。
25= 480=
81= 64=
360= 121=
6.下面式了中，表示分解质因数的，在括号里画“√”，不表示分解质因数的，在括号里画“×”。
(1)16=4×4（）
(2)56=2×4×7（）
(3)87=3×29×1（）
(4)120=2×2×2×3×5（）
(5)19×2=38（）
部分参考答案
三、智能显示
【智能显示】
1.填空。
(1)、(2)、(3)略
(4)（51、61、71、87、91、97）是奇数；（2、52）是偶数；（2、61、71、97）是质数；（51、52、87、91）是合数。
(5)最小的质数是（2），最小的合数是（4），1既不是质数也不是合数。
(6)一个合数至少有（3）个约数。
(7)（5）＋（17）＋（29）=51，（13）＋（17）＋（31）=61
（19）＋（23）＋（29）=71，（13）＋（31）＋（37）=81
备注：答案不唯一
(8)在1～9这九个数中，质数有（2、3、5、7），合数有（4、6、8、9），1既不是质数也不是合数。
(9)这个三位数是（214）。
(10)在20以内的自然数中，相邻的两个数都是合数的有（8）和（9），（9）和（10），（14）和（15）
2.
(1)（×）、（×）、（√）、（×）、（√）
(2)（√），(3)（×），(4)（×），(5)（√）
(6)（√），(7)（×），(8)（√），(9)（√），(10)（√）
3.把下面各数分解质因数。
102=2×3×17 182=2×7×13
64=2×2×2×2×2×2 111=3×37
4.
(1) 10800=2×2×2×2×3×3×3×5×5
=24×33×52
因为（4＋1）×（3＋1）×（2＋1）=60
所以10800的约数共60个。
(2) 360=2×2×2×3×3×5
=3×（2×2）×5×（2×3）
=3×4×5×6
360是3、4、5、6四个连续自然数的积，也是这四个小朋友的年龄分别为：3岁、4岁、5岁、6岁，其中年龄最大的一个是6岁。
四、同步题库
1.填空。
(1) 在1～20的自然数中，最大的奇数是（19），最小的偶数是（2）；奇数中（9、15）是合数，偶数中（2）是负数；最小的合数是（4），最小的质数是（2）；（1）既不是合数，又不是奇数。
(2)这个数写作（2104）。
(3)那么b一定是a的（约）数。
(4)组成的三位数有（375、735）。
(5)能同时被2和3整除的最大数是（840）；能同时被3和5整除的最小数是（180）；质数是（401）；最大合数是（841）。
(6) 20以内差为1的两个合数有（8）和（9），（9）和（10），（14）和（15），（15）和（16）共4对。
(7)商是（7）。
2×3×5×7÷（2＋4＋6＋8＋10）
=210÷30
=7
(8)这样的质数有（11、13、17、31、37、71、73、79、97）共（9）个。2.判断题。
(1)（√）；(2)（×）；(3)（√）；
(4)（√）；(5)（×）；(6)（√）；
(7)（√）；(8)（√）。
3.质数有23，合数有91、803、507、221、204、111。
91=7×13 803=11×73
507=3×13×13 221=13×17
204=2×2×3×17 111=3×37
4.在（）填上适当的质数。
10=（3）＋（7）=（2）×（5）
=（13）－（3）
30=（37）－（7）=（11）＋（19）
=（17）＋（13）
42=（2）×（3）×（7）
答案不唯一
5.分解质因数
25=5×5，480=2×2×2×2×2×3×5
81=3×3×3×3，64=2×2×2×2×2×2
360=2×2×2×3×3×5，121=11×11
小学六年级数学上册合数分解质因数知识点
小学六年级数学上册合数分解质因数知识点 小学生学习数学时需要多做题，以下是为大家提供的六年级数学上册合数分解质因数知识点，供大家复习时使用! 分解质因数在数的整除性这部分知识中，既是整除、约数、质数等基础知识的综合运用，也是后面学习最大公约数和最小公倍数的前提和准备，所以，在数的整除中,它具有承上启下的作用。 把一个合数分解质因数，就是把这个合数用质因数相乘的形式表示出来。或者说，把一个合数写成几个质数的连乘积。譬如36是合数，把36分解成因数相乘，会有以下几种情况：(1)36=1×36 (2)36=2×18 (3)36=4×9 (4)36=3×12 (5)36=6×6 在上面五种分解中，只有(2)式的2和(4)式的3是质数,其他都不是。要分解质因数就要把不是质数的数(1不是质数，也不是合数，排除在外)，再分解成质数连乘的形式。如(3)式中的4和9都是合数，4可以分解为：2×2; 9可以分解为： 3 × 3。这样，把 36分解质因数，36=2×2×3×3。事实上，除(l)式外，(2)(4)(5)式继续分解，其最后结果也是同样的。 把一个合数分解质因数，具体过程可采用短除法。 例如：把420分解质因数。(从最小的质因数开始)
420有2、2、5、3、7五个质因数，420分解质因数的结果是：420=2×2×5×3×7。 在进行分解质因数时，最后的书写格式要特别注意，一定要把所要分解的合数写在等号的左边，如：24=2×2×2×3，105=3×5×7等，而不能写在等号的右边，如：2× 2×2×3= 24，这样就与乘法算式相混淆，而不是分解质因数了。 只要大家脚踏实地的复习、一定能够提高数学应用能力!希望提供的六年级数学上册合数分解质因数知识点，能帮助大家迅速提高数学成绩!
质数和合数,分解质因数
课题一质数和合数教学要求①使学生掌握质数和合数的概念，知道它们之间的联系和区别。②能正确判断一个常见数是质数还 是合数。③培养学生判断、推理的能力。教学重点质数和合数的概念。教学难点正确判断一个常见数是质数还是合数。 教学过程一、创设情境1．谁能说说什么是约数？2．请写出自己学号的所有约数。二、揭示课题我们学过求一个数的约数，那么 每个数的约数的个数又有什么规律？下面我们一起来观察。三、探索研究1．学习质数和合数。1请同学报出你们学号的所有约数？根据学生的回答板书2观察①每个约数的个数是否完全相同？ ②按照每个数的约数的多少，可以分几种情况？学生讨论后归纳3可分为三种情况让学生填①有一个约数的数是。这些数中②有两个约数的数是。③有两个以上约数的数是。4再观察。 ①有两个约数的如2、3、5、7、11、13、17、19等。这几个数的约数有什么特征？讲一个数，如果只有1和它本身两个约数，我们把这样的数叫做质数或素数。②4、6、8、9、10、12、14、15……这些数的约数与上面的数的约数相比有什么不同？讲一个数，如果除了1和它本身两个约数外还有别的约数，我们把这样的数叫做合数。 板书合数请学号是合数的同学举手，点两名同学板演学号，大家检查。 ③请学号既不是合数也不是质数的同学举手并报出学号，大家检查。 ④学生看书第59页，读书上的小结语。2、质数、合数的判断方法。1根据什么判断一个数是质数还是合数？2教学例2。让学生独立写出后讲所写的数为什么是质数或合数。四、课堂
实践1．做教材第60页的做一做。2．做练习十三的第1题。1按要求去做后看剩下的数都是什么数？2讲判断一个数是不是质数，除了用质数的定义进行判断外，还可以查质数表，如第59页的100以内的质数表。或者看6的倍数的左右3、做练习十三的2、4题。五、课堂小结学生小结今天学习的内容。质数——只有两个约数。自然数按约数的个数分为合数——两个以上的约 数1——只有1个约数六、课堂作业1、做练习十三的第3题。2、你知道吗？课题二分解质因数教学要求①使学生理解质因数和分解 质因数的概念。②初步学会分解质因数的方法。③培养学生分析和推理的能力。教学重点①质因数和分解质因数的概念。 ②分解质因数的方法。教学难点分清因数和质因数，质因数和 分解质因数的联系和区别。教学用具投影仪。教学过程一、创设情境1．回答什么叫做质数？什么叫做合数？2．填空1~12的质数有，合数有。3．观察2、3、5、7、11……等质数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？4、6、8、9、10、12……合数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？二、揭示课题下面我们学习每个合数能否用几个质数相乘的形式表示出来。 板书课题三、探索研究1．小组合作学习1把6、28、60写成比它本身小的两个数相乘的形式。6=2×328=4×760=6×1060=2×3060=4×15…２写出的两个数中如果还是合数的，再用上面的方法继续写下去。6=2×328=2×2×760=2×2×3×53从上面的例子可以看出什么来？
小学奥数质数合数分解质因数
本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。 分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3． 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数， 12k a a a << 质数和合数，分解质因数 课题一：质数和合数 教学要求①使学生掌握质数和合数的概念，知道它们之间的联系和区别。②能正确判断一个常见数是质数还是合数。③培养学生判断、推理的能力。 教学重点质数和合数的概念。 教学难点正确判断一个常见数是质数还是合数。 教学过程 一、创设情境 1．谁能说说什么是约数？ 2．请写出自己学号的所有约数。 二、揭示课题 我们学过求一个数的约数，那么每个数的约数的个数又有什么规律？下面我们一起来观察。 三、探索研究 1．学习质数和合数。 （1）请同学报出你们学号的所有约数？（根据学生的回答板书）（2）观察：①每个约数的个数是否完全相同？②按照每个数的约数的多少，可以分几种情况？（学生讨论后归纳） （3）可分为三种情况：（让学生填） ①有一个约数的数是：。 这些数中②有两个约数的数是：。 ③有两个以上约数的数是：。 （4）再观察。 ①有两个约数的如：2、3、5、7、11、13、17、19等。这几个数的约数有什么特征？ 讲：一个数，如果只有1和它本身两个约数，我们把这样的数叫做质数（或素数）。 ②4、6、8、9、10、12、14、15……这些数的约数与上面的数的约数相比有什么不同？ 讲：一个数，如果除了1和它本身两个约数外还有别的约数，我们把这样的数叫做合数。（板书“合数”） 请学号是合数的同学举手，点两名同学板演学号，大家检查。 ③请学号既不是合数也不是质数的同学举手并报出学号，大家检查。 ④学生看书第59页，读书上的小结语。 2、质数、合数的判断方法。 （1）根据什么判断一个数是质数还是合数？ （2）教学例2。 让学生独立写出后讲所写的数为什么是质数（或合数）。 四、课堂实践 1．做教材第60页的“做一做”。 2．做练习十三的第1题。 （1）按要求去做后看剩下的数都是什么数？ 1.下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、87 合数有： 质数有： 2.写出两个都是质数的连续自然数。 3.写出两个既是奇数，又是合数的数。 4.判断： （1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（） （3）7的倍数都是合数。（） （4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（） （5）只有两个约数的数，一定是质数。（） （6）两个质数的积，一定是质数。（） （7）2是偶数也是合数。（） （8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（） （9）除2以外，所有的偶数都是合数。（） （10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（） 5.在（）内填入适当的质数。 10＝（）＋（） 10＝（）×（） 20＝（）＋（）＋（） 8＝（）×（）×（） 6.分解质因数。 65 56 94 76 135 105 87 93 7.*两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？ 8.**一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（）。 9.**用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小是（），最大是（）。 试题答案 1.下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、87 合数有：24、57、63、87 质数有：13、29、41、79 2.写出两个都是质数的连续自然数。 2和3 3.写出两个既是奇数，又是合数的数。 9和15 4.判断： （1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（×） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（×） （3）7的倍数都是合数。（×） （4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（√） （5）只有两个约数的数，一定是质数。（√） （6）两个质数的积，一定是质数。（×） （7）2是偶数也是合数。（×） （8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（×） （9）除2以外，所有的偶数都是合数。（√） （10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（√） 5.在（）内填入适当的质数。 10＝（3）＋（7） 10＝（2）×（5） 20＝（2）＋（7）＋（11） 8＝（2）×（2）×（2） 6.分解质因数。 65 56 94 76 135 105 87 93 7.*两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？ 这两个质数分别是3和15。 8.**一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是（）。13和31 37和73 79和97 五年级下册奥数质数、合数和分解质因数 一、因数与倍数 因数与倍数的基本概念及重要结论:在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么:被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 注意:～因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 ～一个数的因数通常是成对出现的。 研究对象:非零自然数 特点: (1)一个数的因数的个数是______________的，其中最小的是_______________，最大的是 ______________; 分析因数个数的特点（平方数因数的个数） (2)一个数的倍数的个数是______________的，其中最小的是_______________，最大的是 ______________; 练习一个自然数的最大因数与最小倍数之和是100，那么这个自然数是( )。 A. 10 B. 25 C. 50 D. 100 例1.判断下列说法的对错。 (1)1是所有非零自然数的因数。 (2)54是5.4的10倍，所以54是5.4的倍数。 (3)因为20÷4=5，所以20是倍数，4是因数。 (4)a是b的倍数，b是c的倍数，那么a一定是c的倍数。 (5)自然数的个数是无限的，所以因数和倍数的个数都是无限的。 (6)一个数越大，它的因数的个数就越多;反之，一个数越小，它的因数的个数就越少。 练习判断下列说法，错误的有( )个。 (1)因为4.8÷0.6=8所以4.8是0.6的倍数。 (2)因为36÷6=6所以36是倍数，6是因数。(3)200的因数的个数比2的倍数个数多。 (4)18的最大倍数和最小因数相等。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 寻找满足特定要求的因数 例2.填空: (1)40的因数有__________个，这些因数的和是___________。 (2)一个数是30的因数，同时又是3的倍数，那么这个数有_____种可能的取值。 (3)15的倍数中，最小的三位数是_________，最大的四位数是___________。 例3.箱子中有40个苹果，豆豆想把它们全部都取出来，且分成奇数堆(每堆的个数相同)。问:有多少种分法 40÷堆数=每堆个数 例4.在括号中填上适当的自然数，使下面的算式成立，共有多少种不同的填法 52÷( )=( ) (7) 练习 48名同学分成人数相等的小组去大扫除，每组多于2人且少于8人，则共有( )中分法。 A. 1 B. 3 C. 5 D. 8 二、2、5、3的倍数特征及拓展 100以内的质数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 9＝3×3 10＝2×5 12＝2×2×3 14＝2×7 15＝3×5 16＝2×2×2×2 18＝2×3×3 20＝2×2×5 21＝3×7 22＝2×11 24＝2×2×2×3 25＝5×5 26＝2×13 27＝3×3×3 28＝2×2×7 30＝2×3×5 32＝2×2×2×2×2 33＝3×11 34＝2×17 35＝5×7 36＝2×2×3×3 38＝2×19 39＝3×13 40＝2×2×2×5 42＝2×3×7 44＝2×2×11 45＝3×3×5 46＝2×23 48＝2×2×2×2×3 49＝7×7 50＝2×5×5 51＝3×17 52＝2×2×13 54＝2×3×3×3 55＝5×11 56＝2×2×2×7 57＝3×19 58＝2×29 60＝2×2×3×5 1 62＝2×31 63＝3×3×7 64＝26 65＝5×13 66＝2×3×11 68＝2×2×17 69＝3×23 70＝2×5×10 72＝2×2×2×3×3 74＝2×37 76＝2×2×19 78＝2×3×13 80＝2×2×2×2×5 81＝3×3×3×3 82＝2×41 84＝2×2×3×7 85＝5×17 86＝2×43 87＝3×29 88＝2×2×2×11 90＝2×3×3×5 91＝7×13 92＝2×2×23 93＝3×31 94＝2×47 95＝5×19 96＝25×3 98＝2×7×7 99＝3×3×11 100＝2×2×5×5 2 数的整除（2）质数、合数、分解质因数 教室 _______ 姓名___________ 学号_________ 【知识要点】 1、质数与合数 自然数按其因数的个数可以分成三类： （1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。 （2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2,而且2是质数中唯一的偶数。） （3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。 （4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （5）因数个数定理： 例如：1980=22X 32X 5X 11 所以：（T 表示因数个数）T （佃80）= （1+2）X（1+2）X（1+1 ）X（1+1）=36 （6）因数和的定理： 例如：1980=22X 32X 5X 11 所以：S （佃80）= （2° + 21+ 22）X（ 30+ 31+ 32）X（5° + 51）X（11° +11） =7X 13 X 6 X 12=6552 【典型例题】 例1、两个质数的和是49,这两个质数的积是多少？ 解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数 中只有2是质数，于是另一个质数是49—2=47，从而得到它们的积是2 X 47=94。 例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按 任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。 解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出 的两位数，末尾数字不能是2和4,只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23 和43.取一张卡片排出的质数有2和3?所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。 例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？ 北师大版五年级数学下册质数、合数、分解质因数练习题 一、参加拔河比赛有16人，分成若干组进行比赛，要求每组人数大于2小于16，一共有多少种不同的分法？ 二、有198支铅笔，平均分成若干份，每份不得少于3支也不能超过45支，一共有多少种不同的分法？ 三、小华的妹妹参加今年的中学生物理竞赛，小华问她考的怎么样，她说：“我的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2190，你说我考了多少分和第几名？ 四、把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等，应如何分？ 五、如果两个数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？ 1、小强是一名小学生，他对妈妈说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的分数， 结果是5335分”你能推算出小强的名次、年龄与他的成绩吗？ 2、幼儿园老师把18个苹果平均分成若干份，每份大于1小于18，问一共有多少种不同的分 法？ 3、1×2×3×4×5……. ×25的乘积的末尾有几个零？ 4、有两箱水果，甲箱比乙箱多10个，两箱个数的积是375，求甲、乙两箱分别有多少个？ 5、三个连续奇数的积是4845，求这三个奇数之和是多少？ 6、33×34×35×……×50的乘积的末尾有几个零？ 7、三个数的积是84，其中两个数的和等于另一个数，这三个数分别是多少？ 8、李爷爷今年84岁，他说：“我有三个孙子，他们三个年龄的乘积和我一样大，而且有两个 孙子的年龄之和正好是另一个孙子的年龄”问三个孙子的年龄各是多少？ 9、有四个孩子，一个比一个大一岁，且四人年龄的积等于3024，问这四个孩子中年龄最大 的几岁？他们的平均年龄是多少岁？ 10、小明参加学校六年级数学竞赛，并获得了前三名，他高兴的说：“我的得分、名次与我的年龄之积恰好是2328。”你能推出他的年龄、名次与成绩吗？“ 11、开学了，老师抱来123本书，恰好平均分给同学们，问该班有多少人？ 12、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？ 13、两个质数的和是99，这两个质数的积最大是多少？ 14、一个质数的2倍与另一个质数的5倍的和是84，求这两个质数。 15、已知A、B、C都是质数，且A+B=C，那么A×B×C的最小值是多少？ 16、一个长方体的上面和正面的面积之和是77平方厘米，它的长、宽、高都是整数，且都是 【专题知识点概述】 一、质数与合数的概念 1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫做 素数 2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数 3.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 二、质数和合数的一些性质和常用结论 1. 0和1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分， 即，0和1，质数，合数。 2. 最小的质数是2，最小的合数是4。 3. 常用的100以内的质数： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 其中2是唯一的偶数，5是唯一个位上数字是5的数，其余的数字个位只为 1，3，7，9 4. 部分特殊数的分解： =? 111337 =?1000173137 =??1111141271 =?100171113 =????200733223 =?? =???1998233337 199535719 =???20072008401551173 +==?? 2008222251 =??? 10101371337 5.唯一分解定理： 任何一个大于1的自然数n都可以唯一分解成几个质数乘积的形式，并且分解的形式是唯一的。 【典型例题】 例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？ 解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。 例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。 解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。 例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？ 解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。 因数的和是：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）=1170 例4、筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？ 解：每次拿的个数都是96的因数（除96和1之外），这样问题转化为求96的因数个数，将96分解质因数，得96=2×2×2×2×2×3，除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。 【精英班】例5、504乘一个自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23×32×7=22×32×（2×7），还少（2×7），使得504×a是个平方数，所以所求的a的最小值是2×7=14；这个平方数是504×14=7056。【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？说明理由。14，33，35，30，75，39，143，169. 解：14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，143=11×13，169=13×13.这八个数分解质因数后共有质因数18个（包括相同的），其中：质因数2有两个，质因数3有4个，质因数5有4个，质因数7有2个，质因数11有2个，质因数13有4个。相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里，因此可以分为： （1）（14，75，33，169）和（30，35，39，143） 或（2）（14，75，39，143）和（30，35，33，169）. 【课后分层练习】 《质数和合数、分解质因数》精品教案 课题质数和合数、分解质因数单元 3 学科数学年级五下 学习目标情感态度和价 值观目标 初步体会数学知识的产生，体验数学活动的充满着探索与创造，体会学习数 学的乐趣。 能力目标通过小组探究，培养学生的观察能力和总结能力。 知识目标通过学习，掌握质数和合数的定义，并正确进行分解质因数。 重点理解并掌握质数和合数的定义 难点对一个数正确进行分解质因数。 学法小组探究教法分组讨论、演示法 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图 导入新课复习导入，完成求几个数的因数求解几个数的 因数通过复习引入，奠定学习基础，提高学习新知的效率。 讲授新课例6.写出下列各数的因数。 观察一下不同颜色的数字有什么发现？ 一些数的因数只有2个，像2、3、5、7等。 2、3、5 这几个数只有1 和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）。 一些数的因数个数有2个以上。像4、6、8、9等4、6、8、9 这几个数除了1 和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。 而1只有1个因数，所以1既不是质数也不是合数。现在请你判断一下23和32是质数还是合数？ 23的因数：1、23 则23是质数。 32的因数：1、2、4、8、16、32 学生在表格上 完成 通过动手操作， 利于更好的发现 规律 可知：（ 4 ）和（7 ）是（28 ）的因数。其中（7 ）是质数。 7是质数，7是28的因数，则7是28的质因数 如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 34的因数：1、2、17、34 其中2和17都是质数，所以2和17就是34的质因数。 5的因数有（1、3、5、15 ），其中15的质因数是（3、5 ）。 例8.把30 用几个质数相乘的形式表示出来。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 分解质因数我们一般用树杈法、短除法 1.树杈法。如把45分解质因数。 2.短除法 把每个除数和最后的商写成连乘的形式：45=3 × 一、合数分解质因数 1.下列分解质因数哪个是正确的（） A．18=2×3×3B．36=4×3×3C．57=3×19×1D．24=3×2×4 考点：合数分解质因数 分析：根据把一个合数写成几个质因数相乘的形式叫做分解质因数，分析筛选即可选择．解答：解：A是正确的．因为2和3都是18 的质因数． B是错误的．因为4不是质数． C是错误的．因为1不是质数． D是错误的．因为4不是质数． 故：应选A． 2.3和5是15的（） A．公约数B．互质数C．质因数 考点：合数分解质因数． 专题：数的整除． 分析：根据算式15=3×5，可知3和5是15的因数，3和5又都是质数，所以3和5是15的质因数． 解答：解：在算式15=3×5中，3和5是15的因数，3和5又都是质数，所以3和5是15的质因数． 故选：C． 3.把60分解质因数是60=（） A．1×2×2×3×5B．2×2×3×5C．3×4×5 考点：合数分解质因数． 分析：对于此类选择题应采用逐一排除的方法进行分析排除，然后选出正确的答案． 解答：解：A：因为1既不是质数也不是合数所以错， B：2、3、5都是60的质因数，且2×2×3×5=60，所以B正确． C：4不是质数，利用短除法可以求得60=2×2×3×5， 故选：B． 4.把24分解质因数是（） A．24=2×3×4B．24=2×2×3×3C．24=2×2×2×3 考点：合数分解质因数． 分析：此类题目可以采用排除法解决，A中4不是质数；B中2×2×3×3=36了；C中都是质数，并且2×2×2×3=24，由此解决即可． 解答：解：因为A中4不是质数；B中2×2×3×3=36了；C中都是质数，并且2×2×2×3=24；故答案为C． 5.把20分解质因数应该写成（） A．20=1×2×2×5B．2×2×5=20C．20=2×2×5 考点：合数分解质因数． 分析：分解质因数的意义：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数，据此把20分解质因数，然后选择． 解答：解：20分解质因数是：20=2×2×5； 故选：C． 6.（2012?云阳县）把60分解质因数是：60=______ 考点：合数分解质因数． 专题：数的整除． 五年级数学上册《质数与合数、分解质因数》集体备课 五年级数学教案 时间：XX年12月10日 地点：大会议室 主备人：曹xx 参加人员：五数全体老师 教研内容：质数与合数、分解质因数 教学目标： 1、能够理解质数与合数的意义。能正确判断一个数是质数还是合数。了解100以内的质数，熟悉20以内的质数。理解质因数、分解质因数的意义。会把一个合数分解质因数，掌握用短除式分解质因数。 2、培养学生观察、比较、概括和判断的能力，以及自主探索、独立思考、合作交流的能力。 3、在研究过程中体验成功带来的学习乐趣，感受数学文化的魅力，同时在教学中渗透“对立统一”的辩证唯物主义的观点。 教学重点： 1、理解质数和合数的意义，质因数和分解质因数的意义。 2、分解质因数的方法。 教学难点： 1、如何判断一个数是质数还是合数。 2、分清因数和质因数，质因数和分解质因数的联系与区别。用短除法分解质因数。 重难点突破： 1、从研究团体操表演中各方阵人数的特点这一情境入手，抓住学生日常生活中喜闻乐见的事物，把抽象的数学概念与学生的生活实际紧密相连。通过把每个数的因数罗列出来，思考：有两个以上因数的，都能排成方阵吗？进一步研究，验证，概况出质数和合数的定义。再出示几个数，让学生学会判断是质数还是合数，也可让学生自己写出几个质数和合数。给学生充分的时间交流、评判，以达到辨析概念的目的。 2、在认识质因数、分解质因数时，可让学生用自己的方法对合数进行分解，然后从学生中选择用塔式分解式的方法，进行交流，归纳质因数，分解质因数的意义；然后学会用塔式分解式分解质因数。学习短除法分解质因数时，教师可先让学生了解格式，然后学生自己试算，然后归纳步骤。 讨论要点： 1、认识质数和合数。围绕“排成各个方阵的人数，分别是24、25、40、35、32，这些数有什么特点呢”这一问题，放手让学生寻找这些数的特点。教师在学生思考后可适当引导，看组成方阵的人数与它们的因数有关系吗，让学生观察因数的个数，初步得出这些数因数的个数都在两个以上的结论。再利用学具摆一摆，在感知的基础上，对列举的个数按因数的个数进行分类，得出非零自然数按照因数的个数分类可分成质数、合数和1。 质数、合数、分解质因数练习题 1. 下面的数中，哪些是合数，哪些是质数。 1、13、24、29、41、57、63、79、87 合数有： 质数有： 2. 写出两个都是质数的连续自然数。 3. 写出两个既是奇数，又是合数的数。 4. 判断： （1）任何一个自然数，不是质数就是合数。（） （2）偶数都是合数，奇数都是质数。（） （3）7的倍数都是合数。（） （4）20以内最大的质数乘以10以内最大的奇数，积是171。（）（5）只有两个约数的数，一定是质数。（） （6）两个质数的积，一定是质数。（） （7）2是偶数也是合数。（） （8）1是最小的自然数，也是最小的质数。（） （9）除2以外，所有的偶数都是合数。（） （10）最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。（） 5. 在（）内填入适当的质数。 10＝（）＋（）10＝（）×（） 20＝（）＋（）＋（）8＝（）×（）×（）6. 分解质因数。 65 56 94 76 135 105 87 93 质数，合数 1、在50以内的自然数中，最大的质数是（），最小的合数是（）。 2、既是质数又是奇数的最小的一位数是（）。 3、在20以内的质数中，（）加上2还是质数。 4、如果有两个质数的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或 （）＋（）。 11、在自然数中，最小的奇数是( )，最小的偶数是( )，最小的质数是 ( )，最小的合数是( )。 14、质数只有( )个因数，它们分别是( )和( )。 15、一个合数至少有( )个因数，( )既不是质数，也不是合数。 16、自然数中，既是质数又是偶数的是( )。 17、在20至30中，不能分解质因数的数是( )。 29、在27、68、44、72、587、602、431、800中。（共4分） 奇数是：偶数是： 30、在2、3、45、10、22、17、51、91、93、97中。（共5分） 质数是：合数是： 15、两个质数相乘的积还是质数。（） 16、一个合数至少得有三个因数。（） 17、在自然数列中，除2以外，所有的偶数都是合数。（） 25、所有的偶数都是合数。( ) 26、质数与质数的乘积还是质数。( ) 9、两个质数的和是（）。 A 偶数 B 奇数C奇数或偶数 10、自然数按是不是2的倍数来分，可以分为（）。 A奇数和偶数B质数和合数C质数、合数、0和1 11、1是（）。 A 质数 B 合数 C 奇数 D 偶数 7、自然数中,凡是17的倍数（）。 ①都是偶数②有偶数有奇数③都是奇数 2、在14＝2×7中，2和7都是14的（）。 ①质数②因数③质因数 小学五年级奥数知识点集锦：质数、合数和分解质因数导语:下面是小编为您收集整理的小学五年级关于质数、合数和分解质因数的知识，欢迎阅读! 质数、合数和分解质因数的知识点 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住:1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例:把30分解质因数。 解:30=2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 1 又如12=2×2×3=22×3，2、3都叫做12的质因数。 质数、合数和分解质因数的例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解:?210=2×3×5×7 ?可知这三个数是5、6和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少? 解:把40表示为两个质数的和，共有三种形式: 40=17+23=11+29=3+37。 ?17×23=391>11×29=319>3×37=111。 ?所求的最大值是391。 答:这两个质数的最大乘积是391。 例3 自然数123456789是质数，还是合数?为什么? 解:123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数?为什么? 解:如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数(如:1,9中有4个质数2、3、5、7)。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数， 2 即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解:?5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 (=2×7)放在第一组，那么7和6(=2×3)只能放在第二组，继而15(=3×5)只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 [小学五年级奥数知识点集锦:质数、合数和分解质因数]相关文章: 1.四年级常考的奥数题:质数合数问题 2.小学奥数知识点总结:和差倍问题 学科：数学 教学内容：质数和合数，分解质因数 呈现目标 【知识要点归纳】 1.质数和合数 （1）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)。如7和11都是质数。 （2）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，如：9和12都是合数。 ①1既不是质数，也不是合数。 ②自然数除了1，其他的数不是质数就是合数。 ③自然数是无限的，因此质数和合数也都是无限的。 （3）判断一个数是合数还是质数的方法。 先找各数的约数，再根据质数和合数的意义去判断。判断一个数是不是质数，还可以查质数表，凡是质数表中有的数就是质数。 2.分解质因数 （1）质因数的意义。 每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 （2）分解质因数的意义。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如：6=2×3，24=2×2×2×3。 （3）分解质因数的方法。 ①分解质因数时，通常用短除法。短除法是除法的简化。如： ②用短除法分解质因数，除数一定要用质数，应按照质数从小到大的顺序，看被除数能被哪个质数整除，就用这个质数去除，直到除得的商也是质数为止。如：用短除法把180分解质因数： 名师点拨 【典型范例剖析】 例1 一个正方形的面积是1225平方厘米，这个正方形的边长是多少厘米？ 分析：因为正方形的面积是“边长乘以边长”，将1225分解质因数，再把质因数分成相同的两组，就可以求出这个正方形的边长。 解：把1225分解质因数： 1225＝5×5×7×7 变形为：1225＝(5×7)×(5×7)＝35×35 因此，这个正方形的边长为：35厘米。 质因数与分解质因数 教学内容：青岛版小学数学五年级上册第109页 教学目标： 1.在理解质数、合数、因数意义的基础上，理解质因数和分解质因数的意义。 2.会把一个合数分解质因数，能用塔式分解法和短除法分解质因数。 3.在探究中培养学生观察、分析、比较、抽象、概括的能力，渗透由特殊到一般的数学思想。 4.通过数学活动，激起学生学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心。 教学重难点 教学重点：理解质因数和分解质因数的意义 教学难点：掌握分解质因数的方法 教具、学具 教师准备：多媒体课件 教学过程 一、创设情境，提出问题 1.同学们，我们已经学习完了质数与合数的相关知识，你能根据所学的知识将这几个数填入下表吗？并说出你填的理由。 课件出示：2， 3，6，15，17，24，30，47，42，60 预设：在同学将数填错栏目的时候要追问质数、合数的意义，强化对这几个概念的理解。 2.观察上表，你认为哪一类数可以写成几个质数相乘的形式，为什么？ 预设：有同学认为质数可以写成，要追问因数1是质数还是合数，进一步强调1既不是质数也不是合数。 总结出示：质数不能写成几个质数相乘的形式，只有合数才可以写成几个质数相乘的形式。 3.你能将合数6写成几个质数相乘的形式吗？ 二、自主学习，小组探究 1.初探问题，引出概念。 （1）结合学生回答出示： 6 （质数）2 × 3（质数） 即：6＝2×3 （2）引导指出：2、3既是质数也是6的因数。 （3）出示： 6可以写成质数2、3相乘的形式，我们就把2、3叫做6的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 板书课题：质因数和分解质因数 （4）如何将15分解质因数？ 2.再探问题，找寻方法。 像6和15这样的合数，我们可以很容易地分解成两个质因数相乘的形式，那么复杂一点大一些的我们如何来分解呢？ （1）出示问题：你能快速地将60分解质因数吗？ （2）独自思考：独立尝试将60分解质因数，引发困惑。 （3）小组探究：小组内探究最佳的分解方法，对比小组内每位同学分解方法的异同与正误，得出初步的结论。 三、汇报交流，评价质疑 1.小组汇报：小组代表汇报探究的结果，并说明分解质因数的过程。 预设： （1）形如30＝5×6，分解后的因数里存在合数。 （2）30＝2×3×5，先将30分解成两个数相乘的形式30＝5×6，6是合数，再分解6＝2×3,最后得出结果。 2.自主评价：①你认为哪一种分解方法正确？为什么？ ②第二种分解方法好处在哪儿？ 3.引导总结：将一个合数分解质因数，先写成两个因数相乘的形式，再看这两个因数谁是质数，谁是合数，质数不再分解，合数继续分解，直到分解的因数都为质数为止。 第二讲质数、合数和分解质因数 一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 二、例题 例1三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。 例2两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 例3自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 二、例题 例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 （=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。 分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。 解：42560=26×5×7×19 ＝25×（5×7）×（19×2） ＝32×35×38（合题意） 要求的三个自然数分别是32、35和38。质数和合数,分解质因数_教案教学设计
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