圆锥曲线问题的常见方法
专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）
【学习要点】
解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法
（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
（1）)0(122
22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(122
22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02
020
=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)______________
(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。
（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。
解：（1）（2，2）
连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时AF 的方程为)1(1
30
24---=x y
即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(2,2
1
-)，
它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（
1,4
1
） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=
41，∴Q(1,4
1) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例2、F 是椭圆13
42
2=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '虑问题。
解：（1）4-5
设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '
542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA
当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 （2）3
作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2
1， ∴PH PF PH PF ==
2,2
1
即 ∴PH PA PF PA +=+2
当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142
=-=-A x c
a
例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”共线（如图中的A 、M 、C 共线，B 、D 、M 共线）
圆的“半径等于半径”（如图中的MD MC =）。
解：如图，MD MC =，
∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA （*）
∴点M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2
=15轨迹方程为
115
162
2=+y x 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出
4)1()1(2222=+-+++y x y x ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！
例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=
5
3
sinA,求点A 的轨迹方程。 分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。
解：sinC-sinB=
53sinA 2RsinC-2RsinB=53
·2RsinA ∴BC AC AB 5
3
=
- 即6=-AC AB （*）
∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为
116
92
2=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x 12)，B(x 2，X 22)，又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M 到x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点M(x 0，y 0)
则?????=+=+=-+-0
2
2210
212
2221221229)()(y x x x x x x x x x ① ② ③
由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9
即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9
∴2
2
00419
44x x y +=
-， 11
49)14(49442
02
0202
00-+++=+
=x x x x y ≥,5192=- 4
5
0≥
y 当4x 02+1=3 即 220±
=x 时，4
5
)(min 0=y 此时)45,22(±
M 法二：如图，32222=≥+=+=AB BF AF BB AA MM
∴232≥
MM ， 即∴45
1≥MM ， 当∴M 到x 点评：而不求”的方法。证AB 是否能经过焦点F 例6、已知椭圆
)52(11
2
2≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A 、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭圆上，同样C 在椭圆上，D 防
()(22)(2)()(D A B C D A B x x x x x x x m f ---=---= )()(2D A C B x x x x +-+= )(2C B X x +=
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
解：（1）椭圆
11
2
2=-+m y m x 中，a 2=m ，b 2=m-1，c 2=1，左焦点则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0 得(m-1)x 2+m(x+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0
设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-
)52(1
22≤≤-m m m
1
2222)()(2)()(2)(2121-?
=+=+-+=---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B
（2）)1
21
1(2121122
)(-+=-+-=
m m m m f
∴当m=5时，92
10)(min =
m f 当m=2时，3
2
4)(max =
m f 点评：此题因最终需求C B x x +，而BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差，得
0100=?-+k m y m x ，将y 0=x 0+1，k=1代入得01
100=-++m x m x ，∴
1
20--
=m m x ，可见122--=+m m
x x C B
当然，解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识，通过线段在x 轴的“投影”发现
C B x x m f +=)(是解此题的要点。
【同步练习】
1、已知：F 1，F 2是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，过F 1作直线交双曲线左支于点A 、B ，若m AB =，
△ABF 2的周长为（ ）
A 、4a
B 、4a+m
C 、4a+2m
D 、4a-m
2、若点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是 （ ）
A 、y 2=-16x
B 、y 2=-32x
C 、y 2=16x
D 、y 2=32x
3、已知△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列，且AC AB >，点B 、C 的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A 、
1342
2=+y x B 、)0(13422>=+x y x C 、)0(13422<=+x y x D 、)00(13
42
2≠>=+y x y x 且 4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ） A 、)1(49)2
1
(2
2-≠=+-x y x B 、)1(49
)21(22-≠=++x y x C 、)1(49)2
1(2
2
-≠=
-+x y x D 、)1(4
9
)21(22-≠=++x y x 5、已知双曲线
116
92
2=-y x 上一点M 的横坐标为4，则点M 到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x 2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是
8、过双曲线x 2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个，则k=
10、设点P 是椭圆
19
252
2=+y x 上的动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，求sin ∠F 1PF 2的最大值。
11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。
12、已知直线l 和双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 及其渐近线的交点从左到右依次为A 、B 、C 、D 。
求证：CD AB =。
【参考答案】
1、C
a BF BF a AF AF 2,21212=-=-，
∴,24,42222m a AB BF AF a AB BF AF +=++=-+选C 2、C
点P 到F 与到x+4=0等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y 2=16x ，选C 3、D
∵22?=+AC AB ，且AC AB >
∵点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、B 、C 三点不共线，即y ≠0，故选D 。 4、A
设中心为(x ，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得4)2()12(12
2
=+-+y x ，
∴4
9)21(22=
+-y x ①又c ∴(x-1)2+y 2<4 ②，由①，②得x ≠-1，选A 5、 3 29 左准线为x=-59，M 到左准线距离为529)59(4=--=d 则M 到左焦点的距离为3 2952935=?=ed 6、)2 1(21>= y x 设弦为AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点为(x ，y)，则y 1=2x 12，y 2=2x 22，y 1-y 2=2(x 12-x 22) ∴ )(2212121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ，2 1=x 将21= x 代入y=2x 2得21=y ，轨迹方程是21=x (y>2 1 ) 7、y 2=x+2(x>2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点M(x ，y)，则 2)(), (2,2,2212 12 1212 221222121=+?---=-==y y x x y y x x y y x y x y ∵20+-= =x y k k MP AB ，∴222 =?+y x y ，即y 2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P ，即y 2<2x ，即x+2<2x ，∴x>2 8、4 22,8,4222====c c b a ，令22=x 代入方程得8-y 2=4 ∴y 2=4，y=±2，弦长为4 9、12±± 或 y=kx+1代入x 2-y 2=1得x 2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k 2)x 2①???=?≠-0 12k ②1-k 2=0得k=10、解：a 2=25设F 1、F 2设=11,r PF 则?? ?=-+=+2 2122 21 21) 2(cos 22c r r r r r r θθ ①2-②得2r 1r 2(1+cos θ)=4b 2 ∴1+cos θ=2 12 212224r r b r r b = ∵r 1+r 2212r r ≥， ∴r 1r 2的最大值为a 2 ∴1+cos θ的最小值为222a b ，即1+cos θ2518 ≥ cos θ257- ≥， 257arccos 0-≤≤πθ则当2 π θ=时，sin θ取值得最大值1， 即sin ∠F 1PF 2的最大值为1。 11、设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 由题意：C 、2C 、c c a +2 成等差数列， ∴222 24c a c c a c c =++=即， ∴a 2=2(a 2- b 2),∴a 2=2b 2 椭圆方程为1222 22=+b y b x ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) 则12221221=+b y b x ① 1222 2 222=+b y b x ② ①-②得 022 2 2 2122221=-+-b y y b x x ∴ 022 2=?+k b y b x m m 即 02 2 =+-k ∴k=1 直线AB 方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x 2+2y 2-2b 2=0得x 2+2(x+3)2-2b 2=0 ∴3x 2+12x+18-2b 2=0， 342)218(12123 1 112221=--= +-=b x x AB 解得b 2 =12， ∴椭圆方程为 112 242 2=+y x ，直线l 方程为x-y+3=0 12、证明：设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，AD 中点为M(x 0，y 0)直线l 的斜率为k ，则 ???????=-=-112 2 22222 2 1221b y a x b y a x ①-②得02220 20=?- k b y a x ③ ① ② ④ ⑤ 设),(),,(),,(002211 y x M BC y x C y x B '''''''中点为， 则???????=-=-0022 122 2 12 22112211 b y a x b y a x ④-⑤得02221021 =?-'k b y a x ⑥ 由③、⑥知M 、M '均在直线022: 22=?-'k b y a x l 上，而M 、M '又在直线l 上 ， 若l 过原点，则B 、C 重合于原点，命题成立 若l 与x 轴垂直，则由对称性知命题成立 若l 不过原点且与x 轴不垂直，则M 与M '重合 ∴CD AB = 解圆锥曲线问题常用方法（二） 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2 +y 2 ”,令d y x =+2 2， 则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令2 3 +-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率…… 5、参数法 （1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1） （2）斜率为参数 当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。 （3）角参数 当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 6、代入法 这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或 求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。 【典型例题】 例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。 分析：由此根式结构联想到距离公式， 解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3), 则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min 5 5 35 | 1322|= -?+- 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数） 例2：已知点P(x,y)是圆x 2 +y 2 -6x-4y+12=0上一动点，求 x y 的最值。 解：设O （0，0），则 x y 表示直线OP 的斜率，由图可知，当直线OP 与圆相切时，x y 取得最值，设最值为k ，则切线：y=kx,即kx-y=0 圆(x-3)2 +(y-2)2 =1,由圆心（3，2）到直线kx-y=0的距离为1得 11 |23|2 =+-k k , ∴4 3 3±= k ∴433,433max min +=? ?? ??-=??? ??x y x y 例3：直线l ：ax+y+2=0平分双曲线19 162 2=-y x 的斜率为1的弦，求a 的取值范围. 分析：由题意，直线l 恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上 的点M 与点P 的连线的斜率即-a 的范围。 解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是双曲线上的点，且AB 的斜率为1，AB 的中点为M(x 0,y 0) 则： ???????=-=-191619 162 2222 121y x y x ①-②得 019 16,0916002 2122212=?-=---y x y y x x 即 即M(X 0,y 0)在直线9x-16y=0上。 ① ② 由 9x-16y=0 得C ???? ? ?- - 79,7 16,D ??? ? ??79,716 19 162 2=-y x ∴点M 的轨迹方程为9x-16y=0(x<- 7716或x>7 7 16) k PD = 16 7 29716 0792,16 7 297160792+= - --=-= + + -PD k 由图知，当动直线l 的斜率k ∈?? ? ? ??+????? ??-16729,169169,16729时，l 过斜率为1的弦AB 的中点M ，而k=-a ∴a 的取值范围为：??? ? ??--????? ??-+- 16972,169169,16729 点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB 中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）。再利用图形中的特殊点（射线的端点C 、D ）的属性（斜率）说明所求变量a 的取值范围。 例4：过y 2 =x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点。求证：直线BC 的斜率是定值。 分析：（1）点A 为定点，点B 、C 为动点，因直线AB 、AC 的倾斜角互补，所以k AB 与k AC 相反，故可用“k 参数”法，设AB 的斜率为k ，写出直线AB 的方程，将AB 的方程与抛物线方程联立，因A 为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B 坐标，同理可得点C 坐标，再求BC 斜率。 （2）因点B 、C 在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B （x 1,y 1）,C(x 2,y 2),因x 1=y 12 ,x 2=y 22 ,即可设B （y 12 ,y 1）,C(y 22 ,y 2)。再考虑k AB =-k AC 得参数y 1,y 2的关系。 解法1：设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为-k AB ：y-2=k(x-4),与y 2 =x 联立得： y-2=k(y 2 -4),即ky 2 -y-4k+2=0 ∵y=2是此方程的一解， ∴2y B= k k y k k B 21,24-=+- x B =y B 2 =,4412 2 k k k +- ∴B ??? ? ??-+-k k k k k 21,44122 ∵k AC =-k,以-k 代替k 代入B 点坐标得C ???? ? ?-+++k k k k k 21,44122 ∴k BC =4144144121212 2 2-=+-- ++-- +- k k k k k k k k k k 为定值 解法2：设B （y 12 ,y 1）,C(y 22 ,y 2)，则 k BC = 1 22 1 2 2121y y y y y y += -- ∵k AB = 2 1 42,214222 221121+=--=+=--y y y k y y y AB 由题意，k AB =-k AC , ∴ 4,2 1212121-=++-=+y y y y 则 则：k BC =4 1 - 为定值。 点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k 的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC 的斜率为定值；解法2利用点B ，C 在抛物线上设点，形成含两个参数y 1,y 2的问题，用整体思想解题，运算量较小。 例5：在圆x 2 +y 2 =4上，有一定点A （2，0）和两动点B ，C （A ，B ，C 按逆时针排列），当B ，C 两点保 持∠BAC=3 π 时，求△ABC 的重心的轨迹。 分析：圆周角∠BAC= 3 π 可转化为圆心角∠BOC=32π 令B （2cos θ，2sin θ）则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+3 2π )) 则重心可用θ表示出来。 解：连OB ，OC ，∵∠BAC= 3 π ，∴∠BOC=32π 设B （2cos θ,2sin θ）(0<θ<34π),则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+32π)) 设重心G （x ，y ），则： x=)]3 2cos( 2cos 22[3 1 πθθ+++ y=)]3 2sin(2sin 20[31πθθ+ ++ 即： x=)]3cos(1[3 2 π θ++ )3 cos(123π θ+=-x y= )3sin(32πθ+ )3 sin(23π θ+=y θ+ )3 5,3(3πππ ∈ ∴1)23( )12 3(22 =+-y x 。 （x<21 ） 即)2 1 (94)3 2 (2 2<= +-x y x 点评：要注意参数θ的范围，θ+3π∈（3 π，35π）它是一个旋转角，因此最终的轨迹是一 段圆弧，而不 是一个圆。 例6、求直线3x-4y+10=0与椭圆12 22=+y a x (a>0)有公共点时a 的取值范围 分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0可求得a 的取值范围。也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点P （用参数形式），代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c 何时有解。 解法一：由直线方程3x-4y+10=0得2543+= x y 代入椭圆方程得1)25 43(1222=++x x a ∴0421 415)16 91( 22=+++x x a △≥0，得0)1691(4214)415( 22≥+??-a 解得3 28 2≥ a ，又a>0,∴372≥a 解法二：设有公共点为P ，因公共点P 在椭圆上，利用椭圆方程设P （acos ?，sin ?）再代入直线方程得3acos ?-4sin ?+10=0 4sin ?-3acos ?=10。 16 910cos 16 93sin 16 942 2 2 += +- +a a a a ?? 令sin α= 16 932 +a a ，cos α= 16 942 +a ， 则sin(?-α)= 16 9102 +a ， 由1)sin(≤-α? 即sin 2 (?-α)≤1得 1 16 91002≤+a ∴9a 2≥84，a 2 ≥328(a>0) ∴a ≥321 2 点评：解法1，2给出了两种不同的条件代入顺序，其解法1的思路清晰，是常用方法，但运算量较 大，对运算能力提出较高的要求，解法2先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技巧性强，但运算较易，考 虑一般关系：“设直线l ：Ax+By+C=0与椭圆12 222 =+b y a x 有公共点,求应满足的条件”此时，若用解法一则 难于运算，而用解法二，设有公共点P ，利用椭圆，设P （acos ?，bsin ?）代入直线方程得Aacos ?+Bbsin ?=-C 。 ∴ 12 222≤+-b B a A C 时上式有解。 ∴C 2≤A 2a 2+B 2b 2 因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。 【同步练习】 1、若实数x 、y 满足x 2 +y 2 -2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ） A 、5 B 、10 C 、9 D 、5+25 2、若关于x 的方程)2(12-=-x k x 有两个不等实根，则实数k 的取值范围是 （ ） A 、)33,33(- B 、)3,3(- C 、??? ? ?- 0,33D 、??? ???????? ??--33,2121,33 3、方程03)1()3(2 2 =+---++y x y x 表示的图形是（ ） A 、椭圆 B 、双曲线 C 、抛物线 D 、以上都不对 4、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ） A 、双曲线x 2 -y 2 =1 B 、双曲线x 2 -y 2 =1的右支 C 、半圆x 2 +y 2 =1(x<0) D 、一段圆弧x 2 +y 2 =1(x> 2 2 ) 5、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2 =20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为 6、设P(a,b)是圆x 2 +y 2 =1上的动点，则动点Q(a 2 -b 2 ,ab)的轨迹方程是 7、实数x 、y 满足3x 2 +2y 2 =6x ，则x+y 的最大值为 8、已知直线l ：2x+4y+3=0，P 是l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分OP 为1：2，则点Q 的轨迹方程为 9、椭圆19 162 2=+y x 在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBO S 四边形的最大值为 10、已知实数x 、y 满足x+y=4，求证：2 25 )1()2(2 2 ≥-++y x 11、△ABC 中,A(3,0)2=BC ，BC 在y 轴上，且在[-3,3]间滑动，求△ABC 外心的轨迹方程。 12、设A 、B 是抛物线y 2 =2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°（O 为原点）。求证：直线AB 过定点。 参考答案 1、B x-2y=b ，圆(x-1)2 +(y+2)2 =5，由(1，2)到x-2y-b=0的距离等于5得 55 41=-+b ， ∴b=0或b=10 则b 的最大值为10，选B 。 或用参数法，令θθsin 52,cos 51+-=+=y x 代入得 )sin(55)sin 5 5 2cos 55( 55sin 52cos 552θαθθθθ-+=-+=-+=-y x 最大值为10。选B 2、C 作图，知当?? ? ?? - ∈0,33k 时，直线y=k(x-2)与半圆有两交点， 选C 3、B 方程即2 3 2)1()3(2 2 +-? =-++y x y x 令F(-3,1) P(x,y), l: x-y+3=0, PH ⊥l 于H 则 2=PH PF ，由双曲线第二定义知选B 。 4、B 用“点参数”法，设P(x 1,x 1)(x 1>0)，Q(x 2,-x 2)(x 2>0) 则 1222 1 21=?x x ，∴x 1x 2=1，设M(x ，y)， 则2x=x 1+x 2，2y=x 1-x 2，∴(2x)2 -(2y)2 =4x 1x 2 则x 2-y 2 =1(x>0)。选B 5、12003。 设此三角形为△OAB ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)由OB OA =得2 22 22 12 1y x y x +=+， ∴22 212 12020x x x x +=+ (x 1-x 2)(x 1+x 2+20)=0，∵x 1>0，x 2>0 ∴x 1=x 2 则2 22 1y y =，y 1=-y 2，∴A 、B 关于x 轴对称，A 、B 在y=x 3 3 ±上 将x y 3 3 = 代入y 2=20x 得A(60,203)，∴B(60,-203) 边长为403面积为 31200)340(4 3 2= 6、x 2 +4y 2 =1 令a=cos θ，bsin θ，则Q(cos2θ, 2 1 sin2θ)，设Q(x ，y) 则x 2 +4y 2 =1 7、 2 10 +1 3(x-1)2+2y 2 =3, (x-1)2 + 13 22 =y 令x-1=cos ? ，y= 2 3 sin ?，则 x+y=cos ?+ 2 3 sin ?+1 最大值为12 101231+=++ 8、2x+4y+1=0 设Q(x ，y)，P(x 1，y 1)，则2 1121 0,21121011++=++ = y y x x ∴x 1=3x ，y 1=3y ， ∵2x 1+4y 1+3=0 ∴2×3x+4×3y+3=0即2x+4y+1=0 9、26 设P(4cos ?,3sin ?)(0 2 π ) ) 4 (26)cos (sin 6cos 4321sin 3421π ?????+=+=??+??=+=??sn S S S OBP OAP APBO 四边形 当?=4π时,APBO S 四边形的最大值为26 10、证明：设P(x,y)，A(-2，1)则2 2 2 )1()2(PA y x =-++ 过A 作AH ⊥l 交于H ，其中l ：x+y=4 则2 52 4 12= -+-= AH ∴2 5= ≥AH PA ，则2 25 2 ≥ PA 当P 在H( 2 7 ,21)时取等号 ∴2 25)1()2(2 2≥ -++y x 11、解：设C 在B 的上方，设B(0,t)， 则C(0,t+2)，-3≤t ≤1 设外心为M(x,y)，因BC 的中垂线为y=t+1 ① AB 中点为)2,23(t ，3t k AB - = AB 的中垂线为)23 (32-=-x t t y ② 由①、②消去t 得)22)(3 4(62 ≤≤--=y x y 这就是点M 的轨迹方程。 12、解：设OA ：y=kx ，代入y 2 =2px 得k 2x 2 =2px 则k p y k p x 2,22== ∴)2,2(2k p k p A 同理由OB ：y=- k 1x 可得B(2pk 2 ,-2pk) 2 2 2 22111112222k k k k k k k k pk k p pk k p k AB -=-=-+=-+= ∴)2(12:22 pk x k k pk y AB --= 圆锥曲线 1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=? 离心率c e a == 准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离（焦准距）2b p c =. 通径的一半(焦参数)：2 b a . 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c =-=-；1221tan 2 F PF F PF S b ?∠=. 3.椭圆的的内外部: （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y b ?+>. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到对应准线 的距离（焦准距）2p c = 通径的一半(焦参数)：2 b a 焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2 2|()|||a PF e x a ex c =-=-， 两焦半径与焦距构成三角形的面积122 1cot 2 F PF F PF S b ?∠=. 5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 6.双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22 22b y a x （0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 7.抛物线px y 22 =的焦半径公式: 抛物线2 2(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122. 8.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2 (2,2)P pt pt P (,)x y ，其中 22y px =. 9.二次函数22 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=. 10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切. 11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: AB = 1212||||AB x x y y ==-=- 圆锥曲线方法归纳 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422 2 12221 =-+-y y x x ?()() ()() 3421212121y y y y x x x x +--=+-?AB k =b a 43- (ⅰ)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时，常用“点差法”“设而不求”整体来求，借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验． (ⅱ)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤： 设点——设出弦的两端点坐标 ↓ 代入——代入圆锥曲线方程 ↓ 作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 1. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，求椭圆上以(1, 1)为中点的弦所在的直线方程？ 2. 如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点A (4, 2)平分，求这条弦所在的直线方程 3. 已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点，且线段AB 的中 点在直线l ：x －2y ＝0上，则此椭圆的离心率为 ． 4. 过点M (1, 1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点， 若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 5. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A , B 两点，若 线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ． 6. 已知双曲线E 的中心为原点，F (3, 0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A , B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然 后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程。 （2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ，为焦点，，。 （1 （2）求 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 圆锥曲线知识考点 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2180＜α≤0(tan x x y y --==） α 2、直线方程： ⑴点斜式：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ： ()00x x k y y -=- ⑵斜截式：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ：b kx y += ⑶两点式：已知两点) ,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121 y y x x ≠≠： 121 121 y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ： 1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax （A 、B 不同时为0， 斜率B A k -=，y 轴截距为B C -） (6)k 不存在?a x b a x o =??=）的直线方程为过（轴垂直,90α 3、直线之间的关系： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ⑴ 平行：{ ? ?≠=2121212 1//b b k k k k l l 且都不存在 ， 2 1 2121C C B B A A ≠= ⑵ 垂直：{ ?? ⊥-=?-==2 121211 1.0 21k k k k k k l l 不存在，02121=+B B A A ⑶平行系方程：与直线0=++C By Ax 平行的方程设为：0=++m By Ax ⑷垂直系方程：与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为： 0=++n Ay Bx ⑸定点(交点)系方程：过两条直线 :,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为： 0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ 反之直线0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ中，λ取任何一切实 圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020 圆锥曲线知识点全归纳（精华版） 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0 圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---） ； （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口 向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 1 专题：解圆锥曲线问题常用方法（一） 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。 解：（1）（2，2） 连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时AF 圆锥曲线考点及方法总结（江苏）1 化斜为直：利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比，然后再将直角边之比转化为坐标之比这就将几何量转化为代数值 2相关点法求曲线轨迹如求p的轨迹方程若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系然后带入L即可 3设点、设线然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化，然后联立直线与曲线的方程，利用韦达定理，涉及最值或范围问题时注意带塔>0； 4圆锥曲线中的最值问题：通常构造函数转化为求函数最值（导数求解），也可以保留两个变量运用基本不等式求解，当然在设点时用圆锥曲线的参数方程，这样最值问题最终转化为三角函数最值问题 5几何性质：角平分线定理 6公式化法则 7焦半径公式 8极坐标方程（与焦半径有关的题目才能用） 9参数方程（涉及最值与定值问题时可尝试） 10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度注意线段的方向性即t的正负（在涉及线段长度的题目中有效） 11注意利用点在曲线上这一基本条件许多 设而不求最终都会用到这一条件 12常见椭圆结论：k1*k2为定值（与椭圆对称点）点差法的到的结论椭圆切点出的切线方程椭圆是对称图形 13弦长公式 14 SOAB= 15代换技巧：如两直线过同一点只有K不一样，则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据（不只斜率K可以代换，点也可以代换）减少计算量 16当化简到非常复杂的式子时，考虑能否整体代换，将形式复杂的部分用一个变量代替 17利用三点共线列等式 18直线过定点问题 方法一；求出AB直线方程再求定点 方法二：取两个特殊位置的直线，解出交点C,验证交点C是否在直线AB上，只需算k1=k2即可 方法三，若能观察出定点在x轴上，解出AB方程令y=0，解出x为定值即可 19对设而不求方法的具体介绍：大胆设点，利用以下结论 一：点在曲线上 二：点满足一定条件（题目所给） 三：韦达定理 运用好这三点，就可以做到舍而不求 解圆锥曲线问题常用方法（二） 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2 +y 2 ”,令d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“ 23+-x y ”，令2 3 +-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率…… 5、参数法 （1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1） （2）斜率为参数 当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。 （3）角参数 当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 6、代入法 这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。 【典型例题】 例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。 分析：由此根式结构联想到距离公式， 解：S=2 2 )3()2(-++b a 设Q(-2,3), 则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min 5 535 | 1322|= -?+- 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数） 圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得，同理可求得，则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 二 . 双曲线的焦点弦长 设双曲线，其中两焦点坐标为 ，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。 。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得 整理可得，同理，则可求得弦长 （2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得， 整理可得，则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三 其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得 即 则 同理的焦点弦长为 的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一 圆锥曲线解题方法技巧归纳 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴 上）. （1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0 90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程； 解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由 2321=+x x ，得30=x ，由03421=++y y 得20-=y ，代入（1）得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2） 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入，得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+，222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 054163292 2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494 -=-?+ x y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线 过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+ 椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 椭圆与双曲线的对偶性质总结 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 百度文库- 让每个人平等地提升自我 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备： 1.直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k tan , [0, ) k y2 y1 x2 x1 ②点 P(x0 , y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离 Ax0 By0 C d B2 A2 l1 : y k1x b1 夹角为，k2 k1 ③夹角公式：直线则 tan l2 : y k2 x b2 1 k2 k1 （ 3）弦长公式 直线 y kx b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离 ① AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ② AB 1 k2 x x (1 k 2 )[( x x ) 2 4x x ] 1 2 1 2 1 2 ③ AB 1 1 y1 y2 k 2 （ 4）两条直线的位置关系 （Ⅰ） l1 : y k1x b1 l2 : y k2 x b2 ① l1 l2 k1k2=-1 ② l1 // l2k1 k2且 b1 b2 l1 : A1 x B1 y C1 0 （Ⅱ） l2 : A2 x B2 y C2 ① l1 l2A1 A2 B1B2 0 ② l1 / /l 2 A1B2 - A2 B1 =0且 AC1 2 - A2C1 0或 A1 B1 C1 者（ A2 B2C2 0 ） 两平行线距离公式 l 1 : y kx b 1 | b 1 b 2 | l 2 : y kx b 2 距离 d k 2 1 l 1 : Ax By C 1 0 |C 1 C 2 | l 2 : Ax By C 2 距离 d B 2 A 2 2、圆锥曲线方程及性质 1. 圆锥曲线的两定义 ： 第一定义 中要重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的 和等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要大于 F 1 F 2 ，当常数等于 F 1 F 2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ， 当常数小于 F 1F 2 时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于常 数 2a ，且此常数 2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与 2a ＜ |F 1 F 2 | 不可忽视 。 若 2a ＝ |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ，F 2 为端点的两条射线，若 2a ﹥ |F 1 F 2 | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x 6)2 y 2 ( x 6)2 y 2 8 表示的曲线是 _____（答：双曲线的左支） 2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （ 1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时 x 2 y 2 y 轴上时 y 2 x 2 2 2 1 （ a b 0 ），焦点在 2 2 ＝ 1 a b a b （ a b 0 ）。方程 2 2 表示椭圆的充要条件是什么？（ ≠ ，且 A ， B ，C Ax By C ABC 0 同号， A ≠B ）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： x 2 y 2 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程： (x c)2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a 参数方程： x a cos , y bsin 若 x, y R ，且 3x 2 2 y 2 6 ，则 x y 的最大值是 ____，x 2 y 2 的最小值是 ___（答： 5,2 ） （ ）双曲线：焦点在 x 轴上： x 2 y 2 y 2 x 2 ＝1（ a 0, b 0 ）。 2 a 2 b 2 =1 ，焦点在 y 轴上： 2 b 2 方程 Ax 2 By 2 a C 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC ≠0，且 A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点 O ，焦点 1 、 F 2 在坐标轴上，离心率 e 2 的双曲线 C 过点 F 解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来 圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、已知F1，F2为椭圆 2 100 x + 2 64 y =1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1 PF2=60°，则△F1 PF2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1-1 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积。圆锥曲线全部公式及概念
圆锥曲线方法归纳
圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
高考圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线公式大全
圆锥曲线知识点全归纳完整精华版
圆锥曲线解题技巧教案
圆锥曲线问题常见方法
圆锥曲线方法总结
解圆锥曲线问题常用方法
圆锥曲线弦长公式
圆锥曲线解题方法技巧归纳
解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧.doc
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)
圆锥曲线大题题型归纳演示教学