第三章动量守恒定律

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第三章动量守恒定律

基本要求：

1. 明确动量和冲量的物理涵义，掌握反映它们之间关系的动量定理的物理内容；明确质点系动量的物理意义；

2. 掌握质心的概念和计算方法，理解质心运动定理的涵义；

3. 理解动量守恒定律的物理内容和定律的适用条件，并能运用这个定律处理完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞问题。

§3-1动量和动量定理

1、动量

在经典力学中物体的质量是恒定的, 所以可以将牛顿第二定律作下面的演化

我们把质点的质量m与它的速度v的乘积mv定义为该质点的动量，并用p表示, 可写为

p = m v(3-1) 以后我们会越来越清楚地认识到，动量是表征物体运动状态的最主要、最基本的物理量。引入动量之后，牛顿第二定律可以表示为

(3-2)

式(3-2)表示, 在任一瞬间，质点动量的时间变化率等于同一瞬间作用于质点的合力, 其方向与合力的方向一致。如果把动量作为描述物体运动的最基本的物理量，那么上式就可以看作是力的定义式，它表示，力是使物体动量改变的原因，或者说，引起物体动量改变的就是力。物体的动量改变了，就是其运动状态发生了变化。

动量是矢量, 它的方向与质点运动速度的方向一致。在国际单位制中, 动量的单位是kg?m?s-1 (千克?米/秒)。

在经典力学范围内, 与牛顿第二定律的常用形式f=m a是一致的。但当物体的运动速率达到可与光

速相比拟时, 根据相对论原理, 其质量会显著增大, 后一种形式不再正确, 而式却仍然有效。

2、冲量

由式(3-2)可以得出

f d t = d p

此式表示, 力f在d t时间内的积累效应等于质点动量的增量。如果在t0到t的时间内质点的动量从p0变为p, 那么力在这段时间内的积累效应为

(3-3)

我们把称为力f在时间t0至t的冲量, 用i表示, 即

. (3-4)

3、动量定理

由式(3-3)和式(3-4)得

(3-5)

上式表示, 在运动过程中, 作用于质点的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。这个结论称为动量定理。

虽然动量定理与牛顿第二定律一样都反映了质点运动状态的变化与力的作用的关系,但是它们是有差别的：牛顿第二定律所表示的是在力的作用下质点动量的瞬时变化规律, 而动量定理则表示在力的作用下质点动量的持续变化情形, 即在一段时间内力对质点作用的积累效果。

动量定理在处理像碰撞和冲击一类问题时很方便：因为在这类问题中,

作用于物体上的力是作用时间极短、数值很大而且变化很快的一种力, 称为冲力,这种力的大小与时间的关系大致可以表示为图3-1的情形。要确定冲力随时间变化的细节是困难的, 因此无法或很难应用牛顿第二定律去处理这类问题。但我们可以从实验中测定物体在碰撞或冲击前后的动量, 借助于动量定理来确定物体所受的冲量。而且还可以根据测定冲力作用于物体的时间, 来估计冲力的平均值。尽管这个平均值不是冲力的确切描述, 但在不少实际问题中, 这样估计就足够了。于是可以得到下面的关系

(3-6)

其中平均冲力定义为

(3-7)

在动量定理中引入的冲量是矢量, 是质点在力的持续作用下在一段时间内的积累效应的量度。其量值取决于合力的大小及其持续作用时间的长短这两个因素。

确定冲量的方向在处理实际问题中很重要：如果f是恒力, 式(3-4)的积分容易计算，为

(3-8)

这表示, 恒力冲量的方向与恒力的方向一致。如果力f是方向不变而大小在改变的力, 那么冲量i的方向仍与力f的方向一致。如果力f不论大小还是方向都在随时间变化, 这时冲量i的方向不能由某一瞬间f的方向来决定, 而必须根据质点动量增量的方向确定。在这种情况下, 式(3-4)的积分表示无限多个无限小的矢量的叠加, 一般情况下直接进行矢量叠加的计算是困难的。通常的方法是投影到一定的坐标轴上, 把矢量叠加变成代数求和。在直角坐标系中式(3-4)的分量式为

(3-9)

分别积分, 求出、和, 从而得出i。

合力在一段时间内的冲量等于各分力在同一段时间内冲量的矢量和：如果有n 个力f 1、f 2、 …、f n 同时作用于一个质点上, 其合力为

f = f 1 + f 2 + … + f n ,

那么该质点所受冲量为

= i 1 + i 2 + … + i n (3-10)

式中i 1、i 2、… 、i n 分别表示各分力在t 0到t 时间内对质点的冲量。式(3-10)表明, 合力在一段时间内的冲量

等于各分力在同一段时间内冲量的矢量和。

因为动量和冲量都是矢量, 式(3-5)是矢量方程。在处理具体问题时, 常使用它的分量式

(3-11)

上式表明, 冲量在某个方向的分量等于在该方向上质点动量分量的增量, 冲量在任一方向的分量只能改变自己方向的动量分量, 而不能改变与它相垂直的其他方向的动量分量。由此我们可以得到, 如果作用于质点的冲量在某个方向上的分量等于零，尽管质点的总动量在改变, 但在这个方向的动量分量却保持不变。 例题1、质量为10 g 的子弹以500 m ?s -1

的速度沿与板面垂直的方向射向木板，穿过木板，速度降为400 m ?s

-1

。

如果子弹穿过木板所需时间为1.00?10-5

s ，试分别利用动能定理和动量定理求木板对子弹的平均阻力。

解 (1)用动能定理求解：

, (1)

其中

是木板对子弹的平均阻力，d 为穿过木板的厚

度，它可用下面的关系求得：

, (2)

. (3)

由式(2)和式(3)联立所求得的木板厚度为

&nb

.

根据式(1)，木板对子弹的平均阻力为

.

(2)用动量定理求解：

,

与上面的结果一致。由求解过程可见，利用动量定理求解要简便得多。

2、一弹性小球kg m

2.0=，运动速度15-?=s m V ，与墙相碰后跳回，设速度大小不变，方向与墙

的夹角均为0

30=α，s t 05.0=?，求平均冲力的大小：c

A ．0；

B ．N 2；

C ．N 20；

D ．10N 。

3、kg m

50= 的撑杆跳高运动员，跳过5米高的横杆后自由下落与垫子相互作用时间为s 1而静止，

求垫子对运动员的平均作用力：b

A ．0；

B ．N 500；

C ．N 1000；

D ．N 2000。

§3-2质点系动量定理和质心运动定理

一、质点系动量定理

一个由n个质点组成的质点系, 在一般情况下每个质点既受外力作用, 也受内力作用。假设第1个质点在初始时刻t0的动量为m1v10 , 所受来自系统以外的合外力为f1, 同时也受到系统内其他质点的作用力, 分别为f12、

f13、…、f1n, 到时刻t, 动量变为m1v1; 第2个质点在初始时刻t0的动量为m2v20, 所受来自系统以外的合外力为f2, 同时也受到系统内其他质点的作用力, 分别为f21、f23、…、f2n，到时刻t, 动量变为m2v2。系统内其他质点的情形依此类推。对系统内的每一个质点分别列出其运动方程

将以上n个方程相加, 得到

(3-12)

式中求和号表示, i和j都从1到n变化所得的各项相加, 但除去i=j的那些项, 即除去f11、f22、…、f nn各项。根据牛顿第三定律, 作用力f ij与反作用力f ji大小相等、方向相反, 所以

.

由此可见, 式(3-12)中等号左边的第二项实际上等于零, 故有

(3-13) 如果外力的作用时间从t0到t，则可对上式积分，得

(3-14)

式中和分别表示质点系在初状态和末状态的总动量。式(3-14)表明, 在一段时间内, 作用于质点系的外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量。这个结论称为质点系动量定理，式(3-13)可以称作质点系动量定理的微分形式。

质点系动量定理还向我们表达了这样一个事实: 系统总动量随时间的变化完全是外力作用的结果, 系统的内力不会引起系统总动量的改变。不论是万有引力、弹性力还是摩擦力, 只要它们是作为内力出现的, 都不会改变质点系的总动量。

式(3-14)是矢量式, 在处理具体问题时, 常使用其分量形式

(3-15) 上式表明, 外力矢量和在某一方向的冲量等于在该方向上质点系动量分量的增量。

二、质心

当我们把一段绳子团起来，然后斜抛出去时, 不难想像, 绳子上各点的运动轨迹是十分复杂的, 但必定存在这样一个特殊点, 它的运动轨迹是抛物线。这个特殊点就是我们将要讨论的质心。

设由n个质点组成的质点系, 、、…、分别是各质点的质量, r1、r2、…、r n分别是各质点的位置

矢量, 则

(3-16)

就定义为这个质点系质心的位置矢量。式中是质点系的总质量。质点系质心的位置矢量在直角坐标系的分量式可以表示为

(3-17)

如果质量是连续分布的, 式中求和可以用积分代替, 那么质心位置矢量的分量式应表示为

(3-18) 从以上质心位置矢量的表达式可以看到, 选择不同的坐标系, 质心的坐标值是不同的。但是质心相对于质点系的位置是不变的, 它完全取决于质点系的质量分布。对于质量分布均匀、形状又对称的实物, 质心位于其几何中心处。对于不太大的实物，质心与重力作用点(重心)相重合。

三、质心运动定理

当质点系的各质点在空间运动时,其质心的运动遵从一定的规律。现在我们就从上面得到的质点系动量定理来探讨这种规律。将质点系动量定理的微分形式，即式(3-13)

的等号右边，根据质心位置矢量的定义化为

(3-19)

式中

显然就是质点系质心的加速度, 若用a c 表示, 由式(3-13)和式(3-19),可以得到

(3-20)

上式与牛顿第二定律形式相同, 它表示, 质点系质心的运动与这样一个质点的运动具有相同的规律: 该质点的质量等于质点系的总质量, 作用于该质点的力等于作用于质点系的外力矢量和。这一结论称为质心运动定理。

质心运动定理向我们表示了质点系作为一个整体的运动规律, 这一规律是由质心的运动状况来表述的。但是它不能给出各质点围绕质心的运动和系统内部的相对运动。 例题： 求一个半径为R 的半圆形均匀薄板的质心。

解 将坐标原点取在半圆形薄板的圆心上，并建立如图3-5所示的坐标系。在这种情况下，质心C 必定处于y 轴上，即

,

.

质量元是取在y 处的长条，如图所示。长条的宽度为d y ，长度为2x 。根据圆方程

,

故有

.

如果薄板的质量密度为 ，则有

.

令

, 则

，对上式作变量

变换，并积分，得

.

§3-3动量守恒定律

1、动量守恒定律

图3-5

如果质点系所受外力的矢量和为零, 即

(3-21) 则由质点系动量定理的微分形式(3-13)可以得到

恒矢量(3-22)

此式表示, 在外力的矢量和为零的情况下, 质点系的总动量不随时间变化。这一结论称为动量守恒定律。它是物理学中另一个具有最大普遍意义的规律, 迄今为止, 还未发现任何例外。

在理解动量守恒定律时, 一定要注意动量的矢量性。我们所说的质点系的总动量, 是指系统中所有质点动量的矢量和。系统的总动量保持不变, 既不是指系统中每个质点动量的大小保持不变, 更不是指系统中各质点动量大小之和保持不变。

在处理具体问题时通常使用式(3-22)在直角坐标系的分量式

恒量(当时

恒量(当时) (3-23)

恒量(当时

由上式可以看出, 有时虽然质点系所受外力的矢量和不等于零, 但可以适当选择坐标轴的取向, 使∑f x、∑f y

和∑f z中有一个或两个等于零, 那么在这一个或两个方向上, 质点系总动量的分量保持恒定, 即动量守恒定律成立, 从而使问题简化。

动量守恒定律成立的条件是系统所受外力的矢量和等于零：不过在一些具体问题中, 这个条件往往得不到严格满足。如果系统中质点间的相互作用(内力)比它们所受的外力大得多, 以致系统中各质点动量的变化主要是内力引起的, 这时可使用动量守恒定律对问题作近似处理。举个例子, 当两个钢球在空间相碰时, 两球的相互撞击力比起空气的阻力、摩擦力甚至重力都大得多, 因而可近似认为满足动量守恒定律成立的条件。

应用动量守恒定律时, 只要求作用于系统的外力矢量和等于零, 而不必知道系统内部质点间相互作用的细节。这是应用这个定律比应用牛顿运动定律的方便之处。

动量守恒定律不仅适用于力学，也适用于物理学的其他领域：将动量守恒定律应用于力学以外的领域, 不仅导致一系列重大发现, 而且使定律自身的概念得以发展和完善。

例如，原子核在β衰变中，放射出一个电子后自身转变为一个新原子核。如果衰变前原子核是静止的，根据动量守恒定律，新原子核必定在射出电子相反方向上反冲，以使衰变后总动量为零。但在云室照片上发现，两者的径迹不在一条直线上。是动量守恒定律不适用于微观粒子呢，还是有什么别的原因? 泡利为解释这种现象，于1930年提出中微子存在的假说(详见§18-7)，即在β衰变中除了放射出电子以外还产生一个中微子，它与新原子核和电子共同保证了动量守恒定律的成立。二十六年后终于在实验中找到了中微子, 动量守恒定律也经受了一次重大的考验。

如果只考虑电磁相互作用, 两个运动带电粒子的总动量并不守恒。若把动量的概念推广到电磁场, 即认为电磁场具有动量, 运动带电粒子在运动时要激发电磁场, 当把这部分由电磁场所携带的动量考虑在内, 运动带电粒子的

总动量仍然是守恒的。动量的概念也已扩展到了光学领域。从光的电磁本性看, 光属于电磁波, 电磁波就是电磁场的交替激发和传播, 电磁场具有动量, 光自然具有动量。从光的粒子性看, 光是光子流, 每个光子都具有确定的动量。所以, 涉及光的过程都必定伴随动量的传递, 并服从动量守恒定律。这些概念将在本书的§11-12作专门讨论。例题：一个水银球竖直地落在水平桌面上，并分成三个质量相等的小水银球。其中两个以30 cm?s-1 的速率沿相互垂直的方向运动，如图3-7中的1、2两球。求第三个小水银球的速率和运动方向(即与1球运动方向的夹角α )。

解建立如图3-8所示的坐标系。在水平方向上，水银求不受力的作用，所以

动量守恒，故可列出下面的两个方程式

,

.

式中v是1、2两球的运动速率，v3是第三个水银小球的运动速率。由上两

方程式可解的

,

.

§3-4碰撞

一、碰撞现象

当两个或两个以上的物体互相接近时, 在极短的时间内, 它们之间的相互作用达到相当大的数值, 致使它们的运动状况突然发生显著变化, 这种现象称为碰撞。日常生活中属于碰撞的物理现象是很多的, 如锻打、打桩、球的撞击、人跳上车或跳下车，以及子弹射入物体内等。

尽管碰撞过程能量是守恒的, 但参与碰撞的物体在碰撞前后的总动能却不一定保持不变。我们按照碰撞前后总动能是否变化, 将碰撞现象分为两类: 一类是总动能不变的碰撞, 称为完全弹性碰撞；一类是总动能改变的碰撞, 称为非完全弹性碰撞。象牙球之间的碰撞, 玻璃球之间的碰撞以及优质钢制成的球之间的碰撞, 都可看为完全弹性碰撞。原子、原子核和粒子之间的碰撞有些是完全弹性碰撞, 并且是迄今所知的惟一真正的完全弹性碰撞。除此之外, 一般的碰撞都属于非完全弹性碰撞。在非完全弹性碰撞中, 有一种特殊情形, 那就是两个物体碰撞之后结合为一体了, 这种碰撞称为完全非弹性碰撞。如两个橡皮泥小球的碰撞, 人跳上车, 正、负离子碰撞后结合成分子等, 都属于完全非弹性碰撞。

完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞是碰撞问题中的两种极端情形, 我们可以从这两种碰撞问题的分析中, 了解碰撞现象的一些规律, 以及处理这类问题的基本方法。

二、完全弹性碰撞

设两个小球的质量分别为m1和m2, 碰撞前的速度分别为v1和v2, 碰撞后的速度分别为u1和u2。根据动量守恒定律, 有

(3-24) 图3-8

图3-7

在完全弹性碰撞中, 总动能是不变的, 于是又有

(3-25) 以上两式就是处理完全弹性碰撞问题的基本方程式。

式(3-24)是矢量方程, 在一般情况下它包含了三个方程式。这样, 共有四个方程式，可以求解四个未知量, 其他量必须由实验确定。

这里我们只分析完全弹性碰撞中最简单的一种情形, 就是两球在碰撞前的速度v1和v2都处于两球的连心线上, 碰撞后的速度u1和u2也处于这条直线上, 这种碰撞称为正碰, 或对心碰撞。

在正碰情况下, 我们取坐标轴与两球的连心线相重合, 这样式(3-24)的分量式仍为一个方程式, 即

(3-26) 在写成式(3-26)时, 我们假定了碰撞前、后两球都沿坐标轴的正方向运动, 如图3-6所示。显然, 如果知道了两球的质量和碰撞前的速度和，就可以由式(3-25)和式(3-26)求得碰撞后的速度和。求得的和若为负值, 表示小球的实际运动方向与假定方向相反。

为求得碰撞后两球的速度和, 将方程式(3-25)和式(3-26)分别改写为

(3-27)

(3-28)

在≠v1和≠v2的条件下, 将式(3-27)除以式(3-28)得

. (3-29)

上式表示, 在完全弹性正碰情况下, 碰撞前两球互相接近的快慢与碰撞后两球互相分离的快慢是相同的。

由式(3-28)和式(3-29)可以解出

(3-30)

(3-31) 这就是完全弹性正碰问题的解。

三、完全非弹性碰撞

两个质量分别为m1和m2的物体各以速度v1和v2运动, 发生正碰后结合为一体, 并以共同的速度u继续运动。根据动量守恒定律应有

(3-32)

如果已知v 1和v 2, 由上式即可求得碰撞后的共同速度

(3-33)

在非完全弹性碰撞中，总要损失一部分动能, 其中以完全非弹性碰撞中损失的动能为最大。这是因为在碰撞过程中物体要发生形变, 致使物体各部分之间剧烈摩擦, 造成一部分机械能转变为物体的内能

例题：1、如图所示，行车轨道上的行车质量为2M ，它下面用长为L 的绳系一质量为1M 的砂袋。

今有水平射来一颗质量为m 的子弹，它射入砂袋后并不穿出，而与砂袋一起摆过一角度α。若不计行车与轨道间的摩擦，求子弹射入时的速度。

解 mV=(m+M 1)V ′

)c o s 1()('')(2

1')(2

1122121α-++++=+gL m M V m M M V m M

'')(21V M M m mV ++= )c o s 1(2)

(2

211α-+++=gl M m M M m

m

M V

2、如图3-10所示，用长度为l 的细线将一个质量为m 的小球悬挂于O 点。手拿小球将细线拉到水平位置，然后释放。当小球摆动到细线竖直的位置时，正好与一个静止放置在水平桌面上的质量为M 的物体作完全弹性碰撞。

求碰撞后小球达到的最高位置所对应的细线张角α。

解 小球与物体相碰撞的速度v 1可由下式求得

. (1)

小球与物体相碰撞，在水平方向上满足动量守恒，碰撞后小球的速度变为

v 2，物体的速度为V ，在水平方向上应有

. (2)

完全弹性碰撞，动能不变，即

. (3)

碰撞后，小球在到达张角α的位置的过程中满足机械能守恒，应有

图3-10

. (4)

由以上四式可解得

.

将上式代入式(4)，得

,

*§3-5运载火箭的运动

宇宙飞船、航天飞机、人造卫星以及导弹的发射, 动力都是由运载火箭产生的。运载火箭的发射反映了当代科技水平的综合技术, 但就其动力学原理而言, 仍是动量定理和动量守恒定律。这一节我们将作为动量守恒定律的重要应用，简要地分析运载火箭的运行原理。

运载火箭在运行时, 自身携带的燃料(液态氢)在氧化剂(液态氧)的作用下急剧燃烧, 生成炽热气体并以高速向后喷射, 致使火箭主体获得向前的动量。我们将火箭的总质量m分成两部分, 一部分是火箭主体质量m-d m ,另一部分则是行将被喷射的物质质量d m。在t时刻, d m尚未被喷出, 火箭总质量相对于地面的速度为v，动量为mv；在t+d t时刻, d m被以相对于火箭的速度(称为喷射速度) u喷出, 火箭主体则以v+d v的速度相对于地面运行, 这些情形示意于图3-8中。如果将火箭主体和喷射物质视为一个系统, 并忽略作用于系统的仅有外力，即火箭所受重力mg, 那么根据动量守恒定律，在z方向的分量式应有

.

由于d m的喷射，火箭总质量m在减少，其减少量为-d m，故有d m = -d m。于是上式变为

积分得

.

所以，火箭主体在其质量从m0变到m时所达到的速度为

(3-34) 这就是火箭主体速度的近似公式。

上式表明, 火箭所能达到的速度决定于喷射速度和质量比(m0/m)的自然对数。化学燃烧过程所达到的喷射速度理论值为, 而实际能达到的只是此值的一半左右。所以提高火箭速度的潜力在于提高质量比

(m0/m)。

采用多级火箭技术可以使火箭主体超过第一宇宙速度：在质量比(m0/m)中, m0是火箭尚未发射时的质量, 包括负载、火箭外壳等结构以及全部燃料和氧化剂的质量, m是负载及外壳等结构的质量。粗略计算表明, 要使火箭主体超过第一宇宙速度( 7.9 km?s-1 )，以便用以发射人造地球卫星, 质量比要高达55左右。要做到这样大的质量比在技术上是困难的, 一般采用多级火箭来实现。多级火箭在运行时先让第一级火箭发动, 推动火箭主体前进；当第

一级火箭燃料耗尽时让其自行脱落, 第二级火箭开始工作, 继续推动火箭主体前进；依次进行下去，直至最后一级火箭的燃料耗尽并脱落, 剩余的部分则是有效负载(如卫星星体 ), 就能达到相当大的速度。

补充：质量为g 20的子弹以s m /400的速率沿图所示方向击入一原来静止的质量为g 980的摆球中。摆线长为m 1

A ．s m /4；

B ．s m /8；

C ．s m /2；

D ．s rad /8 。

以下无正文

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