简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换

题组一 三角函数求值 1.如果α∈( eq \f(π,2) ，π)，且sinα＝ eq \f(4,5) ，那么sin(α＋ eq \f(π,4) )＋cos(α＋ eq \f(π,4) )＝ ( )
A. eq \f(4\r(2),5) B．－ eq \f(4\r(2),5) C. eq \f(3\r(2),5) D．－ eq \f(3\r(2),5)
解析：∵sinα＝ eq \f(4,5) ， eq \f(π,2) ＜α＜π，∴cosα＝－ eq \f(3,5) ，而sin(α＋ eq \f(π,4) )＋cos(α＋ eq \f(π,4) )＝ eq \r(2) sin(α＋ eq \f(π,2) )＝ eq \r(2)
cosα＝－ eq \f(3\r(2),5) .
答案：D
2．(2010·平顶山模拟)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为( )
A. eq \f(5,4) B. eq \r(2) C．1 D. eq \f(3,2)
解析：由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，
∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A
＝－cos2A＋2cosA＋1.
又0＜A＜ eq \f(π,2) ，0＜cosA＜1.
∴cosA＝ eq \f(1,2) 时，有最大值 eq \f(3,2) .
答案：D
3．在△ABC中，已知cos( eq \f(π,4) ＋A)＝ eq \f(3,5) ，则cos2A的值为________．
解析：cos( eq \f(π,4) ＋A)＝cos eq \f(π,4) cosA－sin eq \f(π,4) sinA
＝ eq \f(\r(2),2) (cosA－sinA)＝ eq \f(3,5) ，
∴cosA－sinA＝ eq \f(3\r(2),5) ＞0. ①
∴0＜A＜ eq \f(π,4) ，∴0＜2A＜ eq \f(π,2)
①2得1－sin2A＝ eq \f(18,25) ，∴sin2A＝ eq \f(7,25) .
∴cos2A＝ eq \r(1－sin22A) ＝ eq \f(24,25) .
答案： eq \f(24,25)
4．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.
(1)求f( eq \f(π,4) )的值；
(2)设α∈(0，π)，f( eq \f(α,2) )＝ eq \f(\r(2),2) ，求sinα的值．
解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x，
∴f( eq \f(π,4) )＝sin eq \f(π,2) ＋cos eq \f(π,2) ＝1.
(2)∵f( eq \f(α,2) )＝sinα＋cosα＝ eq \f(\r(2),2) .
∴sin(α＋ eq \f(π,4) )＝ eq \f(1,2) ，cos(α＋ eq \f(π,4) )＝± eq \f(\r(3),2) .
sinα＝sin(α＋ eq \f(π,4) － eq \f(π,4) )
＝ eq \f(1,2) × eq \f(\r(2),2) －(± eq \f(\r(3),2) )× eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(\r(2)?\r(6),4) .
∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝ eq \f(\r(2)＋\r(6),4) .

题组二 三角函数式的化简与证明 5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是 ( )
A．(－ eq \f(π,4) ， eq \f(π,4) ) B．(0， eq \f(π,2) ) C．( eq \f(π,4) ， eq \f(3π,4) ) D．( eq \f(π,2) ，π)
解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是( eq \f(π,2) ，π)．
答案：D
6．化简 eq \f(2cos2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))) 等于 ( )
A．1 B．－1 C．cosα D．－sinα
解析：原式＝ eq \f(cos2α,\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))·sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))
＝ eq \f(cos2α,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co

1(\f(π,4)－α))) ＝ eq \f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))) ＝1.
答案：A
7．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是 ( )
A．2 B．4 C．8 D．16
解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝ eq \f(tan21°＋tan24°,1－tan21°tan24°) ，
∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°，
即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1，
∴(1＋tan21°)(1＋tan24°)
＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2，
同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2，
∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4.
答案：B
8．求证：tan2x＋ eq \f(1,tan2x) ＝ eq \f(2(3＋cos4x),1－cos4x) .
证明：左边＝ eq \f(sin2x,cos2x) ＋ eq \f(cos2x,sin2x)
＝ eq \f(sin4x＋cos4x,sin2xcos2x)
＝ eq \f((sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x,\f(1,4)sin22x)
＝ eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x) ＝ eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,8)(1－cos4x))
＝ eq \f(8－4sin22x,1－cos4x) ＝ eq \f(4＋4cos22x,1－cos4x)
＝ eq \f(4＋2(1＋cos4x),1－cos4x) ＝ eq \f(2(3＋cos4x),1－cos4x)
＝右边．
∴tan2x＋ eq \f(1,tan2x) ＝ eq \f(2(3＋cos4x),1－cos4x) .

题组三 三角恒等变换的综合应用 9.(2010·大连模拟)若0≤α≤2π，sinα＞ eq \r(3) cosα，则α的取值范围是 ( )
A．( eq \f(π,3) ， eq \f(π,2) ) B．( eq \f(π,3) ，π) C．( eq \f(π,3) ， eq \f(4π,3) ) D．( eq \f(π,3) ， eq \f(3π,2) )

解析：sinα＞ eq \r(3) cosα，即sinα－ eq \r(3) cosα＞0，即2sin(α－ eq \f(π,3) )＞0，即sin(α－ eq \f(π,3) )＞0.又0≤α≤2π，故－ eq \f(π,3) ≤α－ eq \f(π,3) ≤ eq \f(5π,3) .
综上，0＜α－ eq \f(π,3) ＜π，即 eq \f(π,3) ＜α＜ eq \f(4π,3) .
答案：C
10．已知sinαcosβ＝ eq \f(1,2) ，则cosαsinβ的取值范围是________．
解析：法一：设x＝cosαsinβ，
则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ eq \f(1,2) ＋x，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ eq \f(1,2) －x.
∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤\f(1,2)＋x≤1，,－1≤\f(1,2)－x≤1，)) ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)≤x≤\f(1,2)，,－\f(1,2)≤x≤\f(3,2).))
∴－ eq \f(1,2) ≤x≤ eq \f(1,2) .
法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝ eq \f(1,2) x.
即sin2αsin2β＝2x.
由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－ eq \f(1,2) ≤x≤ eq \f(1,2) .
答案：
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－ eq \f(π,2) ＜φ＜ eq \f(π,2) )
一个周期的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若f(α)＋f(α－ eq \f(π,3) )＝ eq \f(24,25) ，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．
解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A＝1.
函数f(x)的周期为T＝4×( eq \f(π,12) ＋ eq \f(π,6) )＝π.
而T＝ eq \f(2π,ω) ，则ω＝2.又x＝－ eq \f(π,6) 时，y＝0，
∴sin＝0.
而－ e

q \f(π,2) ＜φ＜ eq \f(π,2) ，则φ＝ eq \f(π,3) ，
∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋ eq \f(π,3) )．
(2)由f(α)＋f(α－ eq \f(π,3) )＝ eq \f(24,25) ，得
sin(2α＋ eq \f(π,3) )＋sin(2α－ eq \f(π,3) )＝ eq \f(24,25) ，
即2sin2αcos eq \f(π,3) ＝ eq \f(24,25) ，∴2sinαcosα＝ eq \f(24,25) .
∴(sinα＋cosα)2＝1＋ eq \f(24,25) ＝ eq \f(49,25) .
∵2sinαcosα＝ eq \f(24,25) ＞0，α为△ABC的内角，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝ eq \f(7,5) .













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