初中常见分式方程应用题汇编

1．工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝ ，工作时间＝ 2．商品利润率＝ ×100% 1．路程＝速度×时间，速度＝ ，时间＝ ； 速度和 两车同向：车头车尾相错时间＝ （速度差=较大车速减较小车速） ：

方程应用题

常见的实际问题中等量关系

1.工程问题

工作量 工作量 工作时间

工作效率

2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

2.营销问题

1．商品利润＝商品售价一商品成本价

商品利润 商品成本价

3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量

4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量

3.行程问题

路程 路程 时间 速度

2．在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空） 顺水速度＝静水速度＋水流速度

逆水速度＝静水速度－水流速度

3．两车相遇问题，其中数量关系是：

甲车长+乙车长 两车相向：车头车尾相错时间＝

甲车长+乙车长 速度差

营销类应用性问题

【例】某校办工厂将总价值为 2000 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每 0.5kg 少 3 元，比乙种原料每 0.5kg 多 1 元，问混合后的单价每 0.5kg 是多少元？

解析：设混合后的单价为每 0.5kg

x 元，则甲种原料的单价为每 0.5kg(x ＋3)元， 乙种原料的单价为每 0.5kg(x －1)元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，

混合后的重量为 2000 + 4800 2000 4800 斤，甲种原料的重量为 斤，乙种原料的重量为 斤， x x + 3 x - 1 依题意，得：

2000 4800 2000 + 4800 ＋ ＝ ，解得 x ＝17 x + 3 x - 1 x

经检验，x ＝17 是原方程的根，所以 x ＝17．

即混合后的单价为每 0.5kg 17 元．

A B

采购员 A 两次购买饲料的平均单价为 1000m + 1000n 800 800 m + n - m + n = ?6 ? x + y ?? ?10 ? + ?? = 1 ?5 + ?= 1 1 1 10 x y z 1 总结升华：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问 题对它们表述的意义有所了解．同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强 的时代气息，因而成为中考常考的热点问题．

举一反三：

【变式】、 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其 中，采购员 A 每次购买 1000 千克，采购员 B 每次用去 800 元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

【答案】设两次购买的饲料单价分别为每 1 千克 m 元和 n 元(m>0,n>0,m≠n)，依题意，得：

m + n = 1000 + 1000 2 (元/千克)， 采购员 B 两次购买饲料的平均单价为 800 + 800 2mn = + m n

(元/千克)．

而 m + n 2mn (m - n )2 2 2(m + n )

＞ 0

也就是说，采购员 A 所购饲料的平均单价高于采购员 B 所购饲料的平均单价，所以选用采购员 B 的购买方式合算．

工程类应用性问题

【例】某工程由甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共 8700 元，乙、丙两队合做 10 天完成，厂家需付 乙、丙两队工程费共 9500 元，甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的 2/3，厂家需付甲、丙两队工程费共 5500 元．

⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超过 15 天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．

思路点拨：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成 1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为 x 天， y 天， z 天，可列出分式方程组．

解析：⑴设甲队单独做需 x 天完成，乙队单独做需 y 天完成，丙队单独做需 z 天完成，依题意，得

? ? 1 1 ? = 1 ? ? ?? ? 1 1 ? ? ? y z ? ? ? 1 1 ? 2 ?? ? x z ? 3 1 2 3

①× 1 1 1 1 ＋②× ＋③× ，得 ＋ ＋ ＝ ．④ 6 5 5 ④－①×

④－②× 1 1 ， 得 ＝ ，即 z = 30 ，

6 z 30

1 1 1 ，得 ＝ ，即 x = 10 ， 10 x 10

④－③× 1 5 1 1 ， 得 ＝ ，即 y = 15 ． y 15

经检验，x ＝ 10，y ＝ 15，z ＝ 30 是原方程组的解．

⑵设甲队做一天厂家需付 a 元，乙队做一天厂家需付 b 元，丙队做一天厂家需付 c 元，

总结升华：在求解时，把 ， ， 分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解． 2 根据题意，得

由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．

此工程由甲队单独完成需花钱 10a = 8000 元；此工程由乙队单独完成需花钱 15b = 9750 元.

所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．

1 x

1 y

1 z

举一反三：

【变式 1】 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现 由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？

【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为 x 天，

那么乙单独完成工程所需的天数就是 (x + 3)天.

设工程总量为 1，甲的工作效率就是 1 1 ，乙的工作效率是 ，依题意，得 x x + 3

? 1 1 ? x - 2 + ?+ ? x x + 3 ? x + 3 = 1 ，解得 x = 6 ． 即规定日期是 6 天．

【变式 2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍， 然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的 2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完.问这两位教师 每分钟各能输入多少名学生的成绩？

【答案】设教师乙每分钟能输入 x 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入 2x 名学生的成绩，

依题意，得：

2640 2640 = - 60 ? 2 ， 解得 x = 11 2x x

经检验， x = 11是原方程的解，且当 x = 11时， 2x = 22 ，符合题意．

即教师甲每分钟能输入 22 名学生的成绩，教师乙每分钟能输入 11 名学生的成绩．

行程中的应用性问题

【例】甲、乙两地相距 828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速 度的 1.5 倍．直达快车比普通快车晚出发 2h ，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度．

思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程＝速度×时间，应根据题意， 找出追击问题中的等量关系．

828(

-2-4

)=

∵15

解析：设普通快车的平均速度为x km／h，则直达快车的平均速度为1.5x km／h，依题意，得：

828

x 1.5x，解得x=46

经检验，x=46是方程的根，且符合题意．

∴当x=46时，1.5x=69

即普通快车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．

总结升华：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即满足实际意义．

举一反三：

【变式1】一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？

【答案】设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意，得：

151530

-=

x2x60

方程两边都乘以2x，去分母，得

30-15=x，所以x=15．

检验：当x=15时，2x=2?15≠0

所以x=15是原分式方程的根，并且符合题意．

1

=，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．

302

【变式2】农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．

【答案】设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意，得：

151540

=-

3x x60

解得x=15

经检验x=15是这个方程的解．

当x=15时，3x=45

即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．

【变式3】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船

在静水中的速度．

【答案】设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为(x+2)千米／时，

(x+2)千米／时，依题意，得：

逆水航行速度为

3020

x=10．

=

x+2x-2，解得

经检验，x=10是原方程的根．

即船在静水中的速度是10千米／时．