高中希望杯数学竞赛试题详解(1-10题)
题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .
(第十一届高二第一试第11题)
解法1 b b a a b b a x ++=
-+=,a
b b a
a b b y -+=--=.
y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .
解法2
b
b a a
b b a b b b b a y x ++-+=
---+=,y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3
a a
b b a b b a a
b b b b a y x -+-
++=----+=-1111 =
y x y
x a a b b a <∴>-∴>--+,01
1,0.
解法4 原问题等价于比较
a b b a -++与b 2的大小.由,2
)(2
2
2
y x y x +≥+得
b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++(,b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .
解法5 如图1,在函数x y =
的图象上取三个不同的
点
A
(a b -,a b -)、B (b ,b )、C (b a +,b a +). 由图象,显然有AB BC
k k <,即)
()(a b b a
b b b b a b b a ----<
-+-+, 即a b b b b a --<-+,亦即y x <.
解法6 令()f t a t t =
+t
t a a
t f ++=
)( 单
调递减,
而a b b ->,)()(a b f b f -<∴,即a b b b b a --<-+,y x <∴.
解法7 考虑等轴双曲线)0(2
2
>=-x a y x . 如图2,其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A (b ,a b -)、B (a b +,b ). 由图形,显然有1>AB k ,即
1>-+--b
b a a
b b ,从而y x <.
A
B
C
x
y
O b-a b b+a
图1
A
B
O
x
y
b a a b +
解法8 如图3.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,BC=a ,AC=b ,BD=b ,则AB=b a +,DC=a b -. 在△ABD 中,AB-AD 从而-+b a AD-DC<-b DC , 即a b b b b a --<-+,故y x <. 评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化(处理无理式常用此法)将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较 大小,顺理成章,也很简洁.要注意的是:0,>b a 时, 1a a b b >?>;0, a b b >?<.此题直接作差难以确定差与0的大小,解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小,使得问题顺利获解,反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题,构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值,且该函数还应是单调的(最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的).解法5与解法7分别构造函数与解几模型,将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决,充分沟通了代数与几何之间的内在联系,可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景,构造平面图形,直观地使问题得到解决,这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法. 有人对此题作出如下解答: 取,2,1==b a 则1 21 12,231 23+=-=+= -= y x ,322+>10+>, .,1 21 231 y x <∴+< +可再取两组特殊值验证,都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲,取2,1==b a ,得y x <.即使再取无论多少组值(也只能是有限组值)验证,都得y x <,也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的,而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确,但解法是没有根据的.当然,如果将题目改为选择题: 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+= <<的大小关系是 ( ) A 、y x > B 、y x ≥ C 、y x = D 、y x < 此时用上述解法,且不用再取特殊值验证就可选D ,并且方法简单,答案一定正确. 总而言之,特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷,那是因为选择支中的正确答案是唯一的,从而通过特殊值排除干扰支,进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论,而不能直接肯定正确答案,因此,用此法解填空题(少数特例除外)与解答题是没有根据的.当然,利用特殊值指明解题方向还是十分可取的. 题2 设c b a >>N n ∈,,且 11n a b b c a c +≥---恒成立,则n 的最大值为 ( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 (第十一届高二第一试第7题) A B D C b 图3 a a b + b a - b 解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--? .min a c a c n a b b c --?? ∴≤+??--??.而b a c a --+c b c a -- = b a c b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4,且当 b a c b --=c b b a --,即 b c a 2=+时取等号.min a c a c a b b c --?? ∴+? ?--??4=.4n ∴≤.故选C . 解法2 c b a >>,0,0,0>->->-∴c a c b b a ,已知不等式化为 ()()()2a c n a b b c -≤--.由 ()()()()22 2 42 a c a c a b b c a b b c --≥=---+-?? ?? ? ,即()()()4min 2=??? ???---c b b a c a ,故由已知得 4≤n ,选C . 解法3 由c b a >>,知0,0,0>->->-c a c b b a ,有()?? ? ??-+--≤c b b a c a n 11 .又()()()[]()41111112 =+≥?? ? ??-+--+-=??? ??-+--c b b a c b b a c b b a c a , 即()411 min =????? ???? ??-+--c b b a c a ,由题意,4≤n .故选C . 解法4 c b a >>,0,0,0>->->-∴c a c b b a .∴已知不等式可变形为 ()()()2a c n a b b c -≤ --.记()()() 2 a c k a b b c -=--, 则()()[]()() ()()[]()() 422 2 =----≥ ---+-= c b b a c b b a c b b a c b b a k .由题意,4≤n .故选C . 解法5 c b a >>11 0,0.a b b c ∴ >>--于是 ()()c a c b b a c b b a -=-+-≥-+-4 411.比较得4≤n .故选C . 评析 由已知,可得()?? ? ??-+--≤c b b a c a n 11恒成立.根据常识“若()a f x ≤恒成立,则 ()min x f a ≤;若()x f a ≥恒成立,则()max a f x ≥,”()?? ? ??-+--c b b a c a 11 的最小值就是所求n 的最大值, 故问题转化为求()?? ? ??-+--c b b a c a 11 的最小值,上述各种解法都是围绕这一中心的,不过采用了不同的 变形技巧,使用了不同的基本不等式而已.解法1运用了2,,b a a b R a b ++ ≥∈“” ;解法2运用了”“2 2? ? ? ??+≤b a ab ;解法3运用了()”“411≥??? ??++b a b a ;解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2;解法5运用了() ” “+∈+≥+ R b a b a b a ,4 11 .虽解法异彩纷呈,但却殊途同归. 此题使我们联想到最新高中数学第二册(上)P 30第8题: 已知c b a >>,求证: 01 11>-+-+-a c c b b a . 证:令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ,则y x c a +=-. () 22111111x y xy a b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-= ---++.0,0x y >>, 01 11>-+-+-∴ a c c b b a . 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式,使得推证更简单了.运用这一思路,又可得本赛题如下解法: 设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ,则y x c a +=-. c a n c b b a -≥ -+-11恒成立,就是y x n y x +≥+11恒成立.也就是()???? ??++≤y x y x n 11恒成立.()411≥??? ? ??++y x y x 恒成立, ∴由题意得4≤n .故选C . 再看一个运用这一思想解题的例子. 例 设+ ∈R c b a ,,,求证:2 222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题) 证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,2 1 >++= ++z y x z y x c b a . ()()() 02 222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ,()2 22a b a b x y x y +∴+≥+ ①, ()()()()222 222222 a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++,2 222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴. 本赛题还可直接由下面的命题得解. 命题 若021>>>>n a a a ,则()n n n a a n a a a a a a --≥ -++-+--12 132211111 . 证明 021>>>>n a a a ,n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0.反复运用①式,可得: “若 ,(1,2, ,)i i x y R i n +∈=,则2 2111 n i n i i n i i i i x x y y ===?? ???≥∑∑∑,当且仅当1212n n x x x y y y === 时取等号”.故有()()22 1223 1122311111111 1 n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥= ----+-++--. 也可以这样证明: 021>>>>n a a a ,12231,, ,0n n a a a a a a -∴--->.故由柯西不等式,得 ()()()122311223 111 1 ( )n n n n a a a a a a a a a a a a --+++ -+-++-????---()()2 11 111n -≥++ +个 ()2 1n =-,即()()2 1132211)111( -≥--++-+--n a a a a a a a a n n n .01>-n a a , ()n n n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12 1322111 11 . 由此可得本赛题的如下解法: c b a >>,0,0,0>->->-∴c a c b b a ,()c a c b b a c b b a -=-+-+≥-+-∴ 4111 12 .由 题意,4≤n .故选C . 由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题:设12320002001a a a a a >>> >>,并且 1223 20002001111m a a a a a a =++ +---,2001 16 104a a n -?=,则m 与n 的大小关系是 ( ) A 、n m < B 、n m > C 、n m ≥ D 、n m ≤ 解 1232000 2001a a a a a >>>>>,2001 16 2001121042000a a a a m -?= -≥∴.故选C . 题3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+2 2,b y x =+2 2 ,则ny mx +的最大值为 ( ) A 、21()b a + B 、 2 1 2 2 b a + C 、 2 2 2b a + D 、ab (第十一届高二培训题第5题) 解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x == 则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+= +βαβαβα 即 )(ny mx +max =ab .故选D . 解法2 b n a b m a b a n m =+? =+2 22 2 ,又b y x =+22,+=+∴mx a b ny mx a b )( ≤ny a b 22222222( )()()()2b b b m x n y m n x y a a a +++++==.2 b b a a b =+?ny mx +∴,ab a b b =≤ b m x a =,b n y a =即my nx =时取等号,max )ny mx +∴(.ab = 解法3 2222222222222 ()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++ ()()2222,m n x y ab =++=,mx ny ab ∴+≤当且仅当my nx =时取等号,故()max mx ny ab +=. 解法4 设()(),,,,p m n q x y → → ==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→ ?=??≤?222 ,p q p q →→→→∴?≤? ()()2 2 2 mx ny m n +≤+即()2 2 , x y ab +=当且仅当,p q →→ 共线,即my nx =时取等号,故 ()max mx ny ab += . 解法5 若设mx ny k +=,则直线mx ny k +=与圆2 2 x y b +=有公共点,于是 2 2 k b m n ≤+()max ,k mx ny ab mx ny ab =+≤∴+=解法6 设12,z m ni z x yi =+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+?-=++-∴ ()() () 22 2 1212,z z mx ny nx my mx ny mx ny mx ny mx ny z z ?= ++-≥ +=+≥+∴+≤ 12z z =?2222,m n x y ab =++=当且仅当my nx =时取等号,故()max mx ny ab +=. 解法7 构造函数()( )()2 2 2 222f X m n X mx ny X x y =+++++, 则()()()2 2 0.f X mX x nX y =+++≥故()( )()2 2 2 2 244mx ny m n x y ?=+-++ ()2 440,mx ny ab =+-≤即()max .mx ny ab mx ny +≤∴+.ab = 解法8 由2 2 2 2 ,m n a x y b +=+=还可构造图形(如图), 其中 90,ACB ADB ?∠=∠=,b AC a = ,b BC a = B C A ,,BD x AD y AB ===为圆的直径,由托勒密定理,AD BC BD AC ?+?2,AB CD AB =?≤得 ,x y b ??≤,从而得mx ny +≤,当且仅当my nx =且0mx >时取等 号.()max mx ny ∴+= 评析 解法1抓住已知条件式的结构特征,运用三角代换法,合情合理,自然流畅,也是解决此类型问题的通法之一. 解法2运用基本不等式2 22b a ab +≤将ny mx +放大为关于2 2n m +与22y x +的式子,再利用条件 求出最大值.值得注意的是,稍不注意,就会得出下面的错误解法: ()()()2222 2222max ,22222 m n x y m x n y a b a b mx ny mx ny ++++++++≤+==∴+= .故选A .错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到.上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②,而若①,②式同时取得,则2 2 2 2 m n x y +=+,即,a b =这与题设矛盾!即当a b ≠时,mx ny +取不到 2 a b +.解法2是避免这种错误的有效方法. 由于向量与复数的模的平方是平方和形式,与已知形式一致,故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法,新颖而简洁. 解法5设k ny mx =+后,将其看作动直线,利用该直线与定圆b y x =+2 2 有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径,得ab ny mx k ≤ +=,充分体现了等价转化的解题功能. 解法7运用的是构造函数法.为什么构造函数()( )()2 2 2 2f X m n X mx ny X =+++2x + 2y +呢?主要基于两点:①()f X 为非负式(值大于等于0),②由于()0≥X f ,故有0≤?,而?沟通 了已知与未知的关系,故使问题得到解决. 解法8抓住已知两条件式的特征,构造了两个有公共边的直角三角形,利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解,充分揭示了这一代数问题的几何背景. 拓展 此题可作如下 推广 若22 22221212,,n n a a a p b b b q ++ +=++ +=则()1122max n n a b a b a b ++ + =()1,2,,i i b i n ==时取得最大值). 证明 2 2 2 2 2 21212n n q q q a a a p a a a p p p ???? ?? ++ +=?++ + ? ? ? ? ? ??????? .q = 1122a b a b ∴+++1122n n n n p q q q a b a b a b a b q p p p ??= ?+?++ ? ? ?? ? p q ≤ 22 2 222 1122222n n q q q a b a b a b p p p ??????????+++ ? ? ??? ??????+++???????? = () , 2222222212 2221pq q p p q q p b b b a a a p q q p n n = ????? ? ??+?=????? ???????+++++++ 当且仅当 ()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a p q n n i i =+++∴== 时取等号, 本推广实际就是由著名的Cauchy (柯西)不等式 ()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++?+++≤+++ (当且仅当 n n b a b a b a === 22 11时取等号)直接得到的一个结论. 推广有十分广泛的应用,现举一例: 例 已知123,,,,,,234, 8.a b c x y z R a b c x y z + ∈++=++=且23a b c x y z 最大值. 解 2 2 2 123 234234,8a b c a b c x y z ++=? ++=++=22 12x y ?+ 2 3z +=823a b c x y z 123 234842,a b c x y z =≤?=当且仅当8 1,4 a x =8 283 2,3,44b c y z ==即12ax by cz ===时取等号. max 23a b c x y z ∴=.24 题4 对于1≤m 的一切实数m ,使不等式2 21(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是____ (第十三届高二培训题第63题) 解法1 题设等价于?? ???--<>-1120122x x m x 或?????--><-1120122x x m x 或???>-=-012012 x x ,即?????--<>-11210122x x x 或??? ??-->-<-11210122x x x 或 ?? ?>-=-0 120 12x x ,所以21< ()01212 <---x m x ,令() ()121)(2 ---=x m x m f ,则 当012 ≠-x ,即1±≠x 时,)(m f 是m 的一次函数,因为1≤m ,即11≤≤-m 时不等式恒成立, 所以)(m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴的下方,故有???<+--=<+-+-=-0121)1(0121)1(22x x f x x f ,即???<->-+0 20 222 2x x x x , 解得213<<-x )1(≠x . 又当1=x 时,1)(-=m f ,适合题意,当1-=x 时,()3f m =不合题意. 故x 的取值范围是213<<-x . 评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于x 的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法,为了达到分离参数的目的,又对12 -x 分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x 的不等式组,从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度,把已知不等式看成关于m 的不等式,从而将原问题转化为函数() ()121)(2 ---=x m x m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此 方法,使得此题的解决显得既简捷,又直观易懂. 题5 当0x a <<时,不等式 2) (1 122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题) 解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2) ()(2 2 22≥-+-x a x x x a ②, ②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8) (2 2 22≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由28 2≥a ,得02a <≤,2max =∴a . 解法2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x --+-+=??????-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4 (1 a 2)x a x x x a ---, 2 22)4()(112a x a x ≥??????-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x x x a -=- 且 x a x -=11, 即 2 a x = 时取等号. 2)(112 2≥-+x a x 恒成立, ∴ 2 8 2,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法3 原不等式等价于 12 )(112 2≥-+ x a x ,由 0x a <<,可知10, x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需 1) (2 ≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是 2max =a . 解法4 22)(11x a x -+2≥ 即 2)(1122 22≥?? ????--++x x a x x ①成立,又 2122≥+x x 恒成立, ∴a 只要满足 22 ) (1 x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式,得2x 2)(x a -1≤,1)(≤-x a x ,012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2 a a x ∈= ,由二次函数的性质,当),0(a x ∈时,要③式恒成立,则24002a a ?=-≤∴<≤ 2max =∴a . 解法5 设 αα22sin ,cos =-=a x a a x (0x a <<),则22)(11x a x -+ =α42cos 1 a + α42sin 1a ==+?αααα44442cos sin cos sin 1a =-?αα 2sin 16 12sin 211142 2 a αα2sin 2sin 28422-?a . )22(sin 2+αα2(sin 2-1)0≤,即2-αα2sin 2sin 4 2 ≥,则αα2sin 2sin 242-1≥)12sin (2 时取等号当=α,于是2 228)(11a x a x ≥-+,由已知,得 2 8 2,02,a a ≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11 ,(0,0),X Y X Y x a x ==>>-则 2为 222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心, 半径的圆及其外部.由11 ,,X Y x a x = =-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22a XY XY ≥∴≥它表示双曲线2 4 a XY =位于第 一象限内的一支及其上方部分.依题意,双曲线 22 24(0)200XY X X Y X Y a = >+=>>与圆弧(,)相切或相离,从 而 28 2≥a ,即02a <≤ 2max =∴a . 2 x O 解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+ ,则≥+++n n y x y x y x 222 2 121 ), ()(212 21*++++++n n y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211(常数)时取等号.” 0x a <<,∴0.a x ->由柯西不等式,有2222 2 )11())(11)( 11(x a x x a x -+≥-++①,由) (*得x a x -+11a 4≥②.故,)4())(11( 2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+,当且仅当2a x =时取等号,由28 2 ≥a ,得02a <≤ 2max =∴a . 解法8 运用结论“2 121223 1111 1(1),,n n n n n a a a a a a a a a a a -->> >++ +≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ???? +=+≥???? ---???? 2 1 10x a x ??+ ?--??2 2 2160)13(a a =?? ????--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+,当且仅当x a x -=,即2a x =时取等号.令 28 2 ≥a ,得02a <≤ 2max =∴a . 评析 2)(1122≥-+x a x 恒成立,∴2)(11min 22≥??? ???-+x a x .故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值(关于a 的式子)大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下,如何求 2 2)(1 1x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换,解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参(a )一元二次不等式恒成立,求参数的范围问题,从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论(读者可自己证明),各种解法异彩纷呈,都值得细细品味. 拓展 此题可作如下推广: 推广 1 若1210n x x x a -<<< <<,则≥-++-+-2 121221 )(1)(11n x a x x x 23 a n ,当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号. 证明 由已知,1210n x x x a -<<< <<,则12x x -0>,23x x -0>,, 1--n x a 0>.根据柯西 不等式及解法7运用的不等式(*),有??????-++-+-2121221)(1 )(11n x a x x x n ≥2 1 21111 1n x x x a x -??+ ++≥ ?--??2 24 2,n n a a ??= ???故≥-++-+-2 1 21221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号. 推广2 若1210n x x x a -<<< <<,,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则 ++k k x b 1 11 k k n k n k n k k a b b b x a b x x b 12111 121 2 )()()(+-+++++≥-++- ,当且仅当∑==n i i i i b ab a 1 时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ,=M ,) ( 1 1 +=∑k n i i b 由已知得i a 0> 且),,2,1(n i =,1a a n i i =∑=令a a c i i =,则∑=n i i c 1 =111=∑=n i i a a .由均值不等式,++k i k i c b 1 ≥+++ 个 k i i i Mc Mc Mc ,)1(11 +++k k i k b M k 即k i k i c b 1 +k n i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ i b ?,则 11111(1)()k n n n k i i i k i i i i b kM c k b c ++===+≥+∴∑∑∑1111()k n n k i i k i i i b b c ++==≥∑∑,即11k n k i k i i b a a +=≥∑11()n k i i b +=∑, 1 1 111()n k k i n i i k k n i i i i b b a a ++===≥?? ??? ∑∑∑,当且仅当=i a ∑∑∑====?????? ??????n i i i i n i i n i i b ab b b a 111 时取等号. ∴ + +k k x b 1 11 ++k k x b 2 12 k n k n x a b ) (1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()??? ??∈=2, 0,log sin πθθx x f ,设?? ? ??+=2cos sin θθf a , ( ) θθcos sin ?=f b ,?? ? ??+=θ θθ cos sin 2sin f c ,那么c b a 、、的大小关系是 ( ) A 、b c a ≤≤ B 、a c b ≤≤ C 、a b c ≤≤ D 、c b a ≤≤ (第八届高二第一试第10题) 解法1 设p =θsin ,q =θcos .pq q p ≥+2 ,而()x f 是减函数, ( ) pq f q p f ≤?? ? ??+∴2,即b a ≤.2 q p pq +≤ ,()2pq q p pq +≤∴, pq q p pq ≤+2.( ) pq f q p pq f ≥??? ? ??+∴2,即b c ≥.故c b a ≤≤.选D. 解法2 由题意,令6π θ=,则2 1 sin =θ,3cos 2θ=,4312cos sin +=+θθ ,23cos sin 4 =θθ, 23 3cos sin cos sin 2cos sin 2sin -= +=+θθθθθθθ,()1,02 1 sin ∈= θ ,()x f ∴是减函数,又2 3 3234314->>+,( ) ?? ? ??+<? ? ??+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f f f ,即c b a <<.故选 D. 评析 这是一个比较函数值大小的问题,通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增(减),则当 21x x <时,()()()()()2121x f x f x f x f ><,当21x x >时,()()21x f x f > ()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个:一是确定函数的单调性,二是确定自变量的大小关系.解法 1就是这样解决问题的. 因为正确答案应对一切??? ??∈2, 0πθ都正确,故又可以运用特殊值法.对?? ? ??2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的,由正确选择支的唯一性,也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6 π θ=,排除了A 、B 、 C 、而选 D 的. 当然,此题也可用作差比较法来解: ?? ? ??∈2,0πθ ,()1,0sin ∈∴θ,()x f ∴是单调减函数,0sin >θ,0cos >θ.=?-+=-∴θθθ θθθ cos sin log 2 cos sin log sin sin b a 01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤?+θθ θ θθ θ,b a ≤∴.又-?=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+?=+θθθθ θθθ θθ θθθθθθθθ,即 c b ≤,c b a ≤≤∴.选D. 题7 已知2 1= a ,不等式4 9 321 log < ? ? ? ??-x a 的解是 . (第三届高二第二试第13题) 解 原不等式即2log 32321 -??? ?? ?? ??-x a . 指数函数x ?? ? ??32是减函数,21= a ,∴原不等式化为2log 12 1->-x ,即2 212 112 1log log -???? ??->x .又 对数函数2 log x 是减函数,2 211-?? ? ??<-∴x ,即 21<-x ,解得31<<-x . 对数函数12 1log -x 的定义域是1≠x 的实数, ∴原不等式的解是11<<-x 或31< 评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法,即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式,然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1,确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性,再去掉底数或对数符号,转化成别的不等式.主要依据如下: ⑴若01a <<,则() () ()()f x g x a a f x g x >; ⑵若1a >,则() () ()()f x g x a a f x g x <; ⑶若01a <<,则() () ()()log log 0f x g x a a f x g x >>; ⑷若1a >,则() () ()()log log 0f x g x a a f x g x <<. 有时需要将常数化为指数式或对数式,其化法如下: ⑴a c c a log =(,0,0>>c a 且1≠c );(化为指数式) ⑵log a c a c =(,0>c 且1≠c ).(化为对数式) 例如,2 3log 3 2=将常数2化为3为底的指数式,2 33log 2=将常数2化为3为底的对数式. 解指数不等式不需检验,但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义,这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式,常常采用取对数法求解. 例 不等式 () x x x >lg 的解集是 . (第十一届高二培训题第40题) 解 两边取常用对数,得( ) x x lg lg 2 >,即 0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4 122 <>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04 . 应当指出,两边取对数后,不等号的方向变不变,关键看取的是什么底数.如果底数大于1,则不等号方向不变,如果底数大于0且小于1,则不等号方向改变. 关于绝对值不等式,主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记(a 为常数). ⑴()0≤a a x 的解集是R ; ⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习: ⑴已知常数?? ? ??∈4,0πθ,则不等式() () 8 10 3cot tan 2--->x x x θθ的解集是 . (第八届高二第一试第16题) ⑵若函数()??? ? ????? ? ?=4 2 2 2log log x x x f 的定义域是不等式2 1 122 2log 7log 30x x ?? ++≤ ???的解集,则()x f 的最小值= ;最大值= . (第十届高二第一试第23题) ⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 . (第九届高二培训题第23题) ⑷不等式 1323>--x 的解是 ( ) (A )6>x 或 23 2 <≤x (B )6>x 或2 答案 ⑴(]??????-∞-1374, 52, ⑵43 ;2 ⑶?? ? ??2,21 ⑷A 题8 不等式t x x +≥-21 的解集是? ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 . (第一届高二第一试第18题) 解法1 由 t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故 () 084184222<+-=--=?t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填 ( ) +∞,2. 解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函直线应数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,距 在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截 2>t .故填 ( ) +∞,2. 解法3 由012 ≥-x ,得11≤≤-x .故设 θcos =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是 t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t . ??? ? ? -=-4sin 2cos sin πθθθ ,又??????-∈??? ??-43,44πππθ,()sin cos [1,2]θθ∴-∈-.由题意得2>t . 故填 ( ) +∞,2. 评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化 归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是?等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式 t x x +≥-21 的解集是?等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,2 1 = t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2 112 + ≥-x x 的解集却不是? (比如0就是它的一个解). 拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥. (3) 若()t f x ≤的解集是?,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是?,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥. 若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等,也会有相应的结论,限于篇幅,不再一一列出. 根据这一结论,请回答下列问题: 1.213x x t -≥+的解集是?,则实数t 的取值范围是 . 2.213x x t -≤+的解集是?,则实数t 的取值范围是 . 3.213x x t -≥+有解,则实数t 的取值范围是 . 4.213x x t -≤+有解,则实数t 的取值范围是 . 5.213x x t ->+恒成立,则实数t 的取值范围是 . 6.213x x t -<+恒成立,则实数t 的取值范围是 . 答案 1. ()2,+∞ 2.() ,3-∞- 3.)3,?-+∞? 4.(],2-∞ 5.() ,3-∞- 6.()2,+∞ 题9 不等式03422≥+---x x x 的解集是 ( ) A 、???? ??++255,253 B 、??? ???+-255,2 53 C 、???????+∞+??? ??+∞-,25 5253, D 、?? ????+-253,255 (第十三届高二第二试第8题) 解法 1 当0342 ≥+-x x ,即1≤x 或3≥x 时,原不等式就是,03422 ≥-+--x x x 即 0552≤+-x x ,解得 2 5 53.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2 430,13x x x -+<即<<时,原不等式就是,03422≥+-+-x x x 即,0132 ≥+-x x 解得 253-≤ x 或3535 322 x x ++≥ ∴≤<,. 综上,所求解集为3555,33,,????++????????? 即??? ???++255,253.故选A. 解法2 如图,作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥,即1y 在2y 上方时x 的区间,即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,. 又(),12342 2 2--=+-=x x x y 当32< ().212 2--=x y 由()2212 -=--x x 可解得 2 53+= A x .当3>x 时,(),122 2--=x y 由()2122-=--x x 可解得2 5 5+= B x ,∴所求不等式的解集 为??? ? ??++255,2 53,故选A. 解法 3 同解法2画出图形后,可知解集为一个闭区间[]b a ,,且()3,2∈a ,对照 选择支.可知选A. 解法4 当5.1=x 时,03422 <+---x x x 时,故1.5不是原不等式的解,从而排除含1.5的B 、 1 3 A B C 、 D ,故选A. 评析 解含绝对值的不等式,一般是先去掉绝对值符号,然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的,也是一种通法. 我们知道,方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标;若图象无交点,则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合;若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方,则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决. 选择题的正确答案就在选择支中,只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此,解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意:估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支,进而选出了正确答案.类似这种不等式(方程)的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解,而且十分方便.值得注意的是,特殊值只能否定错误结论,根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外,如何选取特殊值也是很有讲究的,读者可在解题实践中体会并加以总结. 题10 不等式1999 2000 3224> -+-x x 的解集是 . (第十一届高二培训题第41题) 解 设y=x x -+-3224 ,由?? ?≥-≥-0 3024x x ,得定义域为[21 ,3]. 1999 2000 10,106144410)3)(24(4)3(42422> ≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立,故所求解集为[ 2 1 ,3]. 评析 解无理不等式,通常是通过乘方去掉根号,化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可 以想象该有多么复杂,若将题目改为“276 .571623 .93224+>-+-πx x 的解集是 ”,还会有谁想 通过平方化为有理不等式去解呢?显然,常规方法已难以解决问题,怎么办呢?考虑到不等式中的x ∈[2 1 , 3],从而左边1999 2000 10>≥,故解集就是定义域,这就启示我们,当常规思维受阻或难以奏效时,就应积 极开展非常规思维,另辟蹊径,寻求解决问题的新方法. 拓展 根据上面的分析,并加以拓广,我们可得 结论 设a,b,c 是常数,若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则 当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ; 当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ; 当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ; 当m q >时,不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ,()()f x g x ≤的解集是φ. 根据这一结论,不难求得下列不等式的解集: 1、 2sinx+3cosx>4; 2、 3 22 163-->-x x ; 3、 x x x -<-+-433)1(log 4; 4、 sinx-cosx<32+x . 答案:1、φ 2、[2,+∞) 3、φ 4、R 历年初中希望杯数学竞赛试题大全 一、选择题(本大题共8个小题,每小题只有一个正确选项,每小题3分,满分24分)1.下列运算正确的是【】 A.B.C.D. 2.2013年3月,在政府工作报告中对今年城镇保障性住房提出的具体目标是:基本建成470万套、新开工630万套,继续推进农村危房改造.630万用科学记数法表示这个数,结果正确的是【】 A.6.3×106B.6.3×105 C.6.3×102D.63×10 3.已知圆锥底面圆的半径为6厘米,高为8厘米,则圆锥的侧面积为【】厘米2. A.48 B.48πC.120πD.60π 4.下列所给的几何体中,主视图是三角形的是【】 5.如图,已知AB∥CD,CE交AB于F,若∠2=45°,则∠1=【】 A.135°B.45°C.35°D.40° 6.不等式组的解集是【】 A.x≥0 B.x>-2 C.-2<x≤3 D.x≤3 7.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点E,∠A=40°, ∠B=30°,则∠AED的度数为【】 A.70 B.50 C.40 D.30 8.我县今年4月某地6天的最高气温如下(单位 C):32,29,30,32,30,32. 则这个地区最高气温的众数和中位数分别是【】 A.30,32 B.32,30 C.32,31 D.32,32 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分) 9.-2的绝对值是. 10.函数中自变量x 的取值范围是. 11.已知等腰三角形的两边长分别是2和5,则该三角形的周长是. 12.分解因式4x2 -1= . 13.如图,□ABCD中,对角形AC,BD相交于点O, 添加一个条件,能使□ABCD成为菱形.你添加的条件 是(不再添加辅助线和字母). 14.如图,物体从点A出发,按照(第1步)(第2步) 的顺序循环运动, 则第2013步到达点处. 三、解答题(本大题共9个小题,满分58分) 15.(4分)计算: 16.(5分)解方程: 17.(6分)生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°时(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬.现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64) 18.(6分)如图,点E、F在BC上,∠B=∠C,AB=DC,且BE=CF. (1)求证:AF=DE. (2)判断△OEF的形状,并说明理由. 19.(6分)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少 希望杯数学竞赛小学三年级试题 希望杯数学竞赛(小学三年级)赛前训练题1.观察图1的图形的变化进行填空. 2.观察图2的图形的变化进行填空. 3.图3中,第个图形与其它的图形不同. 4.将图4中A图折起来,它能构成B图中的第个图形. 5.找出下列各数的排列规律,并填上合适的数. (1)1,4,8,13,19,(). (2)2,3,5,8,13,21,(). (3)9,16,25,36,49,(). (4)1,2,3,4,5,8,7,16,9,(). (5)3,8,15,24,35,(). 6.寻找图5中规律填数. 7.寻找图6中规律填数. 8.(1)如果“访故”变成“放诂”,那么“1234”就变成. (2)寻找图7中规律填空. 9.用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式,每个数字只用一次,现已写出三个数字,那么这个算式的结果是. 10.图9、图10分别是由汉字组成的算式,不同的汉字代表不同的数字,请你把它们翻译出来. 11.在图11、图12算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立. 12.已知两个四位数的差等于8765,那么这两个四位数和的最大值是. 13.中午12点放学的时候,还在下雨.已经连续三天下雨了,大家都盼着晴天,再过36小时会出太阳吗? 14.某年4月份,有4个星期一、5个星期二,问4月的最后一天是星期几? 15.张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事,事后老师问谁做的好事,张三说是李四,李四说不是他,王五说也不是他.它们三人中只有一个说了真话,那么做好事的是. 16.小李,小王,小赵分别是海员、飞行员、运动员,已知:(1)小李从未坐过船;(2)海员年龄最大;(3)小赵不是年龄最大的,他经常与飞行员散步.则是海员,是飞行员,是运动员. 17.用凑整法计算下面各题: (1)1997+66 (2)678+104 (3)987-598 (4)456-307 18.用简便方法计算下列各题: (1)634+(266-137)(2)2011-(364+611) (3)558-(369-342)(4)2010-(374-990-874)19.用基准法计算: 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20.用简便方法计算:899999+89999+8999+899+89 21.求100以内的所有正偶数的和是多少? 22.有一数列3,9,15,…,153,159.请问: 小学毕业奥数题(附答案) 1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍,又知一张桌子比一把椅子多288元,一张桌子和一把椅子各多少元? 2.3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克,3箱梨重多少千克? 3.甲乙二人从两地同时相对而行,经过4小时,在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快,甲每小时比乙快多少千米? 4.李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔,李军要了13支,张强要了7支,李军又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱? 5.甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发,相向而行,经过一段时间,两车同时到达一条河的两岸。由于河上的桥正在维修,车辆禁止通行,两车需交换乘客,然后按原路返回各自出发的车站,到站时已是下午2点。甲车每小时行40千米,乙车每小时行 45千米,两地相距多少千米?(交换乘客的时间略去不计) 6.学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。第一小组每小时走4.5千米,第二小组每小时行3.5千米。两组同时出发1小时后,第一小组停下来参观一个果园,用了1小时,再去追第二小组。多长时间能追上第二小组? 7.有甲乙两个仓库,每个仓库平均储存粮食32.5吨。甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨,甲、乙两仓各储存粮食多少吨? 8.甲、乙两队共同修一条长400米的公路,甲队从东往西修4天,乙队从西往东修5天,正好修完,甲队比乙队每天多修10米。甲、乙两队每天共修多少米? 9.学校买来6张桌子和5把椅子共付455元,已知每张桌子比每把椅子贵30元,桌子和椅子的单价各是多少元? 10.一列火车和一列慢车,同时分别从甲乙两地相对开出。快车每小时行75千米,慢车每小时行65千米,相遇时快车比慢车多行了40千米,甲乙两地相距多少千米? 11.某玻璃厂托运玻璃250箱,合同规定每箱运费20元,如果损坏一箱,不但不付运费还要赔偿100元。运后结算时,共付运费4400元。托运中损坏了多少箱玻璃? 12.五年级一中队和二中队要到距学校20千米的地方去春游。第一中队步行每小时行4千米,第二中队骑自行车,每小时行12千米。第一中队先出发2小时后,第二中队再出发,第二中队出发后几小时才能追上一中队? 13.某厂运来一堆煤,如果每天烧1500千克,比计划提前一天烧完,如果每天烧1000千克,将比计划多烧一天。这堆煤有多少千克? 14.妈妈让小红去商店买5支铅笔和8个练习本,按价钱给小红3.8元钱。结果小红却买了8支铅笔和5本练习本,找回0.45元。求一支铅笔多少元? 15.学校组织外出参观,参加的师生一共360人。一辆大客车比一辆卡车多载10人,6辆大客车和8辆卡车载的人数相等。都乘卡车需要几辆?都乘大客车需要几辆? 16.某筑路队承担了修一条公路的任务。原计划每天修720米,实际每天比原计划多修80米,这样实际修的差1200米就能提前3天完成。这条公路全长多少米? 17.某鞋厂生产1800双鞋,把这些鞋分别装入12个纸箱和4个木箱。如果3个纸箱加2个木箱装的鞋同样多。每个纸箱和每个木箱各装鞋多少双? 18.某工地运进一批沙子和水泥,运进沙子袋数是水泥的2倍。每天用去30袋水泥,40袋沙子,几天以后,水泥全部用完,而沙子还剩120袋,这批沙子和水泥各多少袋? 19.学校里买来了5个保温瓶和10个茶杯,共用了90元钱。每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍,每个保温瓶和每个茶杯各多少元? 希望杯第一届(1990年)初中一年级第一试试题................................................ 003-005 希望杯第一届(1990年)初中一年级第二试试题................................................ 010-012 希望杯第二届(1991年)初中一年级第一试试题................................................ 017-020 希望杯第二届(1991年)初中一年级第二试试题................................................ 023-026 希望杯第三届(1992年)初中一年级第一试试题................................................ 031-032 希望杯第三届(1992年)初中一年级第二试试题................................................ 037-040 希望杯第四届(1993年)初中一年级第一试试题................................................ 047-050 希望杯第四届(1993年)初中一年级第二试试题................................................ 055-058 希望杯第五届(1994年)初中一年级第一试试题................................................ 063-066 希望杯第五届(1994年)初中一年级第二试试题 ............................................... 070-073 希望杯第六届(1995年)初中一年级第一试试题................................................ 077-080 希望杯第六届(1995年)初中一年级第二试试题................................................ 084-087 希望杯第七届(1996年)初中一年级第一试试题................................................ 095-098 希望杯第七届(1996年)初中一年级第二试试题................................................ 102-105 希望杯第八届(1997年)初中一年级第一试试题................................................ 110-113 希望杯第八届(1997年)初中一年级第二试试题................................................ 117-120 希望杯第九届(1998年)初中一年级第一试试题................................................ 126-129 希望杯第九届(1998年)初中一年级第二试试题................................................ 135-138 希望杯第十届(1999年)初中一年级第二试试题................................................ 144-147 希望杯第十届(1999年)初中一年级第一试试题................................................ 148-151 希望杯第十一届(2000年)初中一年级第一试试题............................................ 158-161 希望杯第十一届(2000年)初中一年级第二试试题............................................ 166-169 希望杯第十二届(2001年)初中一年级第一试试题............................................ 170-174 希望杯第十二届(2001年)初中一年级第二试试题............................................ 175-178 希望杯第十三届(2002年)初中一年级第一试试题............................................ 181-184 希望杯第十三届(2001年)初中一年级第二试试题............................................ 185-189 希望杯第十四届(2003年)初中一年级第一试试题............................................ 192-196 希望杯第十四届(2003年)初中一年级第二试试题............................................ 197-200 奥数题:统筹规划(一) 1、烧水沏茶时,洗水壶要用1分钟,烧开水要用10分钟,洗茶壶要用2分钟,洗茶杯用 2分钟,拿茶叶要用1分钟,如何安排才能尽早喝上茶。 2、有137吨货物要从甲地运往乙地,大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是2吨,大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升,问如何选派车辆才能使运输耗油量最少?这时共需耗油多少升? 3、用一只平底锅烙饼,锅上只能放两个饼,烙熟饼的一面需要2分钟,两面共需4分钟,现在需要烙熟三个饼,最少需要几分钟? 4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水,甲洗拖布需要3分钟,乙洗抹布需要2分钟,丙用桶接水需要1分钟,丁洗衣服需要10分钟,怎样安排四人的用水顺序,才能使他们所花的总时间最少,并求出这个总时间。 5. 5、甲、乙、丙、丁四个人过桥,分别需要1分钟,2分钟,5分钟,10分钟。因为天黑,必须借助于手电筒过桥,可是他们总共只有一个手电筒,并且桥的载重能力有限,最多只能承受两个人的重量,也就是说,每次最多过两个人。现在希望可以用最短的时间过桥,怎样才能做到最短呢?你来帮他们安排一下吧。最短时间是多少分钟呢? 6、小明骑在牛背上赶牛过河,共有甲乙丙丁四头牛,甲牛过河需1分钟,乙牛需2分钟, 丙牛需5分钟,丁牛需6分钟,每次只能骑一头牛,赶一头牛过河。 【分析】1:先洗水壶然后烧开水,在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要 1+10=11分钟。 【分析】2:依题意,大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升);小卡车每吨耗油量为 5÷2=2.5(公升)。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货,又由于137=5×27+2,因此,最优调运方案是:选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完,且这时耗油量 最少,只需用油10×27+5×1=275(公升) 【分析】3:我们可以先烙第一、二两张饼的第一面,2分钟后,拿下第一张饼,放上第三张饼,并给第二张饼翻面,再过两分钟,第二张饼烙好了,这时取下第二张饼,并将第三张饼翻过来,同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后,第一张和第三张饼也烙好了, 整个过程用了6分钟。 【分析】4:所花的总时间是指这四人各自所用时间与等待时间的总和,由于各自用水时间是固定的,所以只能想办法减少等待的时间,即应该安排用水时间少的人先用。 解:应按丙,乙,甲,丁顺序用水。丙等待时间为0,用水时间1分钟,总计1分钟乙等待时间为丙用水时间1分钟,乙用水时间2分钟,总计3分钟甲等待时间为丙和乙用水时间3分钟,甲用水时间3分钟,总计6分钟丁等待时间为丙、乙和甲用水时间共6分钟,丁用水时间10分钟,总计16分钟, 总时间为1+3+6+16=26分钟。 分析】5:大家都很容易想到,让甲、乙搭配,丙、丁搭配应该比较节省时间。而他们只有一个手电筒,每次又只能过两个人,所以每次过桥后,还得有一个人返回送手电筒。为了节省时间,肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务。那么就应该让甲和乙先过桥,用时2分钟,再由甲返回送手电筒,需要1分钟,然后丙、丁搭配过桥,用时10分钟。接下来乙返回,送手电筒,用时2分钟,再和甲一起过桥,又用时2分钟。所以花费的总时间为:2+1+10+2+2=17分钟。解:2+1+10+2+2=17分钟 【分析】6:要使过河时间最少,应抓住以下两点:(1)同时过河的两头牛过河时间差要尽 可能小(2)过河后应骑用时最少的牛回来。 解:小明骑在甲牛背上赶乙牛过河后,再骑甲牛返回,用时2+1=3分钟 然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后,再骑乙牛返回,用时6+2=8分钟 最后骑在甲牛背上赶乙牛过河,不用返回,用时2分钟。共用时(2+1)+(6+2)+2=13 分 小升初50道经典奥数题及答案详细解析 1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍,又知一张桌子比一把椅子多288元,一张桌子和一把椅子各多少元? 2、3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克,3箱梨重多少千克? 3.甲乙二人从两地同时相对而行,经过4小时,在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快,甲每小时比乙快多少千米? 4.李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔,李军要了13支,张强要了7支,李军又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱? 5.甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发,相向而行,经过一段时间,两车同时到达一条河的两岸。由于河上的桥正在维修,车辆禁止通行,两车需交换乘客,然后按原路返回各自出发的车站,到站时已是下午2点。甲车每小时行40千米,乙车每小时行 45千米,两地相距多少千米?(交换乘客的时间略去不计) 6.学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。第一小组每小时走4.5千米,第二小组每小时行3.5千米。两组同时出发1小时后,第一小组停下来参观一个果园,用了1小时,再去追第二小组。多长时间能追上第二小组? 7.有甲乙两个仓库,每个仓库平均储存粮食32.5吨。甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨,甲、乙两仓各储存粮食多少吨? 8.甲、乙两队共同修一条长400米的公路,甲队从东往西修4天,乙队从西往东修5天,正好修完,甲队比乙队每天多修10米。甲、乙两队每天共修多少米? 9.学校买来6张桌子和5把椅子共付455元,已知每张桌子比每把椅子贵30元,桌子和椅子的单价各是多少元? 10.一列火车和一列慢车,同时分别从甲乙两地相对开出。快车每小时行75千米,慢车每小时行65千米,相遇时快车比慢车多行了40千米,甲乙两地相距多少千米? 11.某玻璃厂托运玻璃250箱,合同规定每箱运费20元,如果损坏一箱,不但不付运费还要赔偿100元。运后结算时,共付运费4400元。托运中损坏了多少箱玻璃? 12.五年级一中队和二中队要到距学校20千米的地方去春游。第一中队步行每小时行4千米,第二中队骑自行车,每小时行12千米。第一中队先出发2小时后,第二中队再出发,第二中队出发后几小时才能追上一中队? 13.某厂运来一堆煤,如果每天烧1500千克,比计划提前一天烧完,如果每天烧1000千克,将比计划多烧一天。这堆煤有多少千克? 14.妈妈让小红去商店买5支铅笔和8个练习本,按价钱给小红3.8元钱。结果小红却买了8支铅笔和5本练习本,找回0.45元。求一支铅笔多少元? 15.学校组织外出参观,参加的师生一共360人。一辆大客车比一辆卡车多载10人,6辆大客车和8辆卡车载的人数相等。都乘卡车需要几辆?都乘大客车需要几辆? 16.某筑路队承担了修一条公路的任务。原计划每天修720米,实际每天比原计划多修80米,这样实际修的差1200米就能提前3天完成。这条公路全长多少米? 17.某鞋厂生产1800双鞋,把这些鞋分别装入12个纸箱和4个木箱。如果3个纸箱加2个木箱装的鞋同样多。每个纸箱和每个木箱各装鞋多少双? 希望杯第一届(1990年)初中二年级第一试试题 一、选择题:(每题1分,共10分) 1.一个角等于它的余角的5倍,那么这个角是 ( ) A .45°. B .75°. C .55°. D .65° 2.2的平方的平方根是 ( ) A .2. B . 2. C .±2. D .4 3.当x=1时,a 0x 10 -a 1x 9 +a 0x 8 -a 1x 7 -a 1x 6 +a 1x 5 -a 0x 4 +a 1x 3 -a 0x 2 +a 1x 的值是( ) A .0 B .a 0. C .a 1 D .a 0-a 1 4. ΔABC,若AB=π,BC=1+2,CA=7,则下列式子成立的是( ) A .∠A >∠C >∠B; B .∠ C >∠B >∠A;C .∠B >∠A >∠C; D .∠C >∠A >∠B 5.平面上有4条直线,它们的交点最多有( ) A .4个 B .5个. C .6个. D .7 6.725-的立方根是[ ] (A )12-. (B )21-.(C ))12(-±. (D )12+. 7.把二次根式a a 1-?化为最简二次根式是[ ] (A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a - 8.如图1在△ABC 中,AB=BC=CA ,且AD=BE=CF ,但D ,E ,F 不是AB ,BC ,CA 的中点.又AE ,BF ,CD 分别交于M ,N ,P ,如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形,那么从图中能找出全等三角形( ) A .2组 B .3组. C .4组 D .5组。 9.已知 1 1 12111222 222--÷-+++-?--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值, 则这个值是( ) A .0. B .1. C .2. D .4. 把f 1990化简后,等于 ( ) A . 1-x x . B.1-x. C.x 1 . D.x. 三年级奥数题:和差倍数问题(一) 1、南京长江大桥共分两层,上层是公路桥,下层是铁路桥。铁路桥和公路桥共长11270米,铁路桥比公路桥长2270米,问南京长江大桥的公路和铁路桥各长多少米? 2、三个小组共有180人,一、二两个小组人数之和比第三小组多20人,第一小组比第二小组少2人,求第一小组的人数。 3、甲、乙两筐苹果,甲筐比乙筐多19千克,从甲筐取出多少千克放入乙筐,就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克? 三年级奥数题:和差倍数问题(二) 1、在一个减法算式里,被减数、减数与差的和等于120,而减数是差的3倍,那么差等于多少? 2、已知两个数的商是4,而这两个数的差是39,那么这两个数中较小的一个是多少? 3、姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟,比妹妹做英语练习多用42分钟,妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟,那么妹妹做英语练习用了多少分钟? 三年级奥数题:和差倍数问题(三) 1、已知△,○,□是三个不同的数,并且△+△+△=○+○,○+○+○+○=□+□+□,△+○+○+□=60,那么△+○+□等于多少? 2、用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果,车÷马=2,炮÷车=4,炮-马=56,那么“车+马+炮”等于多少? 3、聪聪用10元钱买了3支圆珠笔和7本练习本,剩下的钱若买一支圆珠笔就少1角4分;若买一本练习本还多8角,问一支圆珠笔的售价是多少元? 三年级奥数题:和差倍数问题(四) 1、甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同,若甲每天增加自学时间半小时,乙每天减少自学时间半小时,则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。问:甲、乙原订每天自学的时间是多少分钟? 2、一大块金帝牌巧克力可以分成若干大小一样的正方形小块。小明和小强各有一大块金帝巧克力,他们同时开始吃第一小块巧克力。小明每隔20分钟吃1小块,14时40分吃最后1小方块;小强每隔30分钟吃1小块,18时吃最后1小方块。那么他们开始吃第1小块的时间是几时几分? 三年级奥数题:速算与巧算 【试题】巧算与速算:41×49=( ) 三年级奥数题:植树问题 【试题】一块三角形地,三边分别长156米,234米,186米,要在三边上植树,株距6米,三个角的顶点上各植上1棵数,共植树( )棵。 三年级奥数应用题解题技巧(一) 【试题】一台拖拉机5小时耕地40公顷,照这样的速度,耕72公顷地需要几小时? 三年级奥数应用题解题技巧(二) 希望杯数学竞赛(小学三年级)赛前训练题1.观察图1的图形的变化进行填空. 2.观察图2的图形的变化进行填空. 3.图3中,第个图形与其它的图形不同. 4.将图4中A图折起来,它能构成B图中的第个图形. 5.找出下列各数的排列规律,并填上合适的数. (1)1,4,8,13,19,(). (2)2,3,5,8,13,21,(). (3)9,16,25,36,49,(). (4)1,2,3,4,5,8,7,16,9,(). (5)3,8,15,24,35,(). 6.寻找图5中规律填数. 7.寻找图6中规律填数. 8.(1)如果“访故”变成“放诂”,那么“1234”就变成.(2)寻找图7中规律填空. 9.用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式,每个数字只用一次,现已写出三个数字,那么这个算式的结果是. 10.图9、图10分别是由汉字组成的算式,不同的汉字代表不同的数字,请你把它们翻译出来. 11.在图11、图12算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立. 12.已知两个四位数的差等于8765,那么这两个四位数和的最大值是. 13.中午12点放学的时候,还在下雨.已经连续三天下雨了,大家都盼着晴天,再过36小时会出太阳吗? 14.某年4月份,有4个星期一、5个星期二,问4月的最后一天是星期几? 15.张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事,事后老师问谁做的好事,张三说是李四,李四说不是他,王五说也不是他.它们三人中只有一个说了真话,那么做好事的是. 16.小李,小王,小赵分别是海员、飞行员、运动员,已知:(1)小李从未坐过船;(2)海员年龄最大;(3)小赵不是年龄最大的,他经常与飞行员散步.则是海员,是飞行员,是运动员. 17.用凑整法计算下面各题: (1)1997+66 (2)678+104 (3)987-598 (4)456-307 18.用简便方法计算下列各题: (1)634+(266-137)(2)2011-(364+611) (3)558-(369-342)(4)2010-(374-990-874) 19.用基准法计算: 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20.用简便方法计算:899999+89999+8999+899+89 21.求100以内的所有正偶数的和是多少? 22.有一数列3,9,15,…,153,159.请问: (1)这组数列共有多少项?(2)第15项是多少?(3)111是第几项的数? 23.有10只盒子,54只乒乓球,把这54只乒乓球放到10只盒子中,要求每个盒子中最少放1只乒乓球,并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同,如果能放,请说出放的方法;如果不能放,请说明理由. 小升初50道经典奥数题及答案 1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍,又知一张桌子比一把椅子多288元,一张桌子和一把椅子各多少元? 想:由已知条件可知,一张桌子比一把椅子多的288元,正好是一把椅子价钱的(10-1)倍,由此可求得一把椅子的价钱。再根据椅子的价钱,就可求得一张桌子的价钱。 解:一把椅子的价钱: 288÷(10-1)=32(元) 一张桌子的价钱: 32×10=320(元) 答:一张桌子320元,一把椅子32元。 2、3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克,3箱梨重多少千克? 想:可先求出3箱梨比3箱苹果多的重量,再加上3箱苹果的重量,就是3箱梨的重量。 解:45+5×3 =45+15 =60(千克) 答:3箱梨重60千克。 3.甲乙二人从两地同时相对而行,经过4小时,在距离中点4千米处相遇。甲 比乙速度快,甲每小时比乙快多少千米? 想:根据在距离中点4千米处相遇和甲比乙速度快,可知甲比乙多走4×2千米,又知经过4小时相遇。即可求甲比乙每小时快多少千米。 解:4×2÷4 =8÷4 =2(千米) 答:甲每小时比乙快2千米。 1 4.李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔,李军要了13支,张强要了7支, 李军又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱? 想:根据两人付同样多的钱买同一种铅笔和李军要了13支,张强要了7支,可 知每人应该得(13+7)÷2支,而李军要了13支比应得的多了3支,因此又给张强0.6元钱,即可求每支铅笔的价钱。 解:0.6÷[13-(13+7)÷2] =0.6÷[13-20÷2] =0.6÷3 =0.2(元) 答:每支铅笔0.2元。 小学奥数题及答案 工程问题 1.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16小时.丙水管单独开,排一池水要10小时,若水池没水,同时打开甲乙两水管,5小时后,再打开排水管丙,问水池注满还是要多少小时? 2.修一条水渠,单独修,甲队需要20天完成,乙队需要30天完成。如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少,那么两队要合作几天? 3.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时? 4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天乙做,这样交替轮流做,那么恰好用整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交替轮流做,那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成,甲单独做这项工程要多少天完成? 5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时,徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时,徒弟完成了4/5这批零件共有多少个? 6.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6棵;如果单份给女生栽,平均每人栽10棵。单份给男生栽,平均每人栽几棵? 7.一个池上装有3根水管。甲管为进水管,乙管为出水管,20分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙,丙两管用了18分钟放完,当打开甲管注满水是,再打开乙管,而不开丙管,多少分钟将水放完? 8.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成,若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期为几天? 答案为6天 9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,若干分钟后来点了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:停电多少分钟? 答案为40分钟。 解:设停电了x分钟 根据题意列方程 1-1/120*x=(1-1/60*x)*2 解得x=40 二.鸡兔同笼问题 1.鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只? 第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试 一、选择题(每题4分,40分) 1、设的定义域为D ,又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ,N ,最小值分别是m ,n ,则下面的结论中正确的是( ) A .()h x 的最大值是M+N B .()h x 的最小值是m +n C .()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+ D .()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集 2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<,且(5)3f =,那么使()0f x =成立的x 的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .不确定的 4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数,,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-= 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈,则S ,T 的关系是( ) A .S ≠?T B .T ≠ ?S C .S=T D .S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*,:1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈,若{1,2,3}M =,N={0,1,2},则M*N 中的所有元素的和为( ) A .9 B .6 C .18 D .16 6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中,若a b +是偶数,c 是奇数,则( ) A .方程没有整数根 B .方程有两个相等的整数根 C .方程有两个不相等的整数根 D .不能判定方程整数根的情况 7、设x 是某个三角形的最小内角,则cos cos sin 22 x y x x =-的值域是( ) A .( B .( C . D . 8、已知e tan ) 1.已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍,又知一张桌子比一把椅子多288元,一张桌子和一把椅子各多少元 2. 3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克,3箱梨重多少千克 3.甲乙二人从两地同时相对而行,经过4小时,在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快,甲每小时比乙快多少千米 4.李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔,李军要了13支,张强要了7支,李军又给张强元钱。每支铅笔多少钱 5.甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发,相向而行,经过一段时间,两车同时到达一条河的两岸。由于河上的桥正在维修,车辆禁止通行,两车需交换乘客,然后按原路返回各自出发的车站,到站时已是下午2点。甲车每小时行40千米,乙车每小时行45千米,两地相距多少千米(交换乘客的时间略去不计) 6.学校组织两个课外兴趣小组去郊外活动。第一小组每小时走千米,第二小组每小时行千米。两组同时出发1小时后,第一小组停下来参观一个果园,用了1小时,再去追第二小组。多长时间能追上第二小组 7.有甲乙两个仓库,每个仓库平均储存粮食吨。甲仓的存粮吨数比乙仓的4倍少5吨,甲、乙两仓各储存粮食多少吨 8.甲、乙两队共同修一条长400米的公路,甲队从东往西修4天,乙队从西往东修5天,正好修完,甲队比乙队每天多修10米。甲、乙两队每天共修多少米 9.学校买来6张桌子和5把椅子共付455元,已知每张桌子比每把椅子贵30元,桌子和椅子的单价各是多少元 10.一列火车和一列慢车,同时分别从甲乙两地相对开出。快车每小时行75千米,慢车每小时行65千米,相遇时快车比慢车多行了40千米,甲乙两地相距多少千米 11.某玻璃厂托运玻璃250箱,合同规定每箱运费20元,如果损坏一箱,不但不付运费还要赔偿100元。运后结算时,共付运费4400元。托运中损坏了多少箱玻璃 12.五年级一中队和二中队要到距学校20千米的地方去春游。第一中队步行每小时行4千米,第二中队骑自行车,每小时行12千米。第一中队先出发2小时后,第二中队再出发,第二中队出发后几小时才能追上一中队 13.某厂运来一堆煤,如果每天烧1500千克,比计划提前一天烧完,如果每天烧1000千克,将比计划多烧一天。这堆煤有多少千克 14.妈妈让小红去商店买5支铅笔和8个练习本,按价钱给小红元钱。结果小红却买了8支铅笔和5本练习本,找回元。求一支铅笔多少元 15.学校组织外出参观,参加的师生一共360人。一辆大客车比一辆卡车多载10人,6辆大客车和8辆卡车载的人数相等。都乘卡车需要几辆都乘大客车需要几辆 16.某筑路队承担了修一条公路的任务。原计划每天修720米,实际每天比原计划多修80米,这样实际修的差1200米就能提前3天完成。这条公路全长多少米 【希望杯竞赛题】61-70 题61 设直线n m ,都是平面直角坐标系中椭圆72x +3 2 y =1的切线,且n m ⊥,m 、n 交于 点P ,则点P 的轨迹方程是 . (第十二届高二培训题第47 题) 解 设直线y =b kx +与椭圆72x +32y =1相切,则二次方程72x +()132 =+b kx ,即()021********=-+++b kbx x k 有两个相等实根,其判别式()()()2 22144377210kb k b ?=-+-=,解得22273,73k b k b +±=+= .因此斜率为k 的椭圆的切线有两条:2 73k kx y +±=①,与其中每条垂直的切线也各有两条:273k k x y +±-=②;另有与x 轴垂直的切线两条:7±=x ,与其中每条垂直的切线又各有两条:3±=y . 由①、②得()kx y -2=273k +③,2273k k x y +=??? ? ?+④,④式即()7322+=+k x ky ⑤.③+⑤得()()() ,1101122222+=+++k y k x k 即1022=+y x ⑥.又点()()()() 3,7,3,7,3,7,3,7----都适合方程⑥.故点P 的轨迹方程为1022=+y x . 评析 这是一道典型的用交轨法求轨迹方程的问题.解题的关键有两个:如何设两条动切线方程与如何消去参数.当切线的斜率存在时,我们可设其方程为b kx y +=,此时出现两个参数k 与b ,由于此切线方程与椭圆的方程组成的方程组有且只有一解,故由二次方程有等根的条件得2 73k b +±=(这与事实一致:斜率为k 的椭圆的切线应当有两条),从而切线方程为273k kx y +±=,那么与其垂直的椭圆的切线方程就是将此切线方程中的k 换成k 1-所得方程,即273k k x y +±-=.此时突破了第一关.下面是否通过解方程组得交点轨迹的参数方程,然后再消参得所求轨迹方程呢?想象中就是非常繁琐的.上面题解中的方法充分体现了消参的灵活性,大大简化了解题过程.然而,事情到此并未结束,以上 刚刚结束的“中环杯”初赛,今年题型的变化纷纷让学生们措手不及,历来中环杯的难度都是各热门的数学杯赛竞赛中偏高的,小学中热门的数学竞赛,由于“希望杯”相对而言更注重基础,因此似乎对考生来说是最有“希望”拿到证书的数学竞赛。而掌握“希望杯”备考及竞赛过程中的几个要点,对取得好成绩大有帮助。更多信息请点击>> 破解简单题目中的玄机 “希望杯“主要考察学生奥数基础知识的掌握情况,一般奥数教材里的数论、几何、应用题等都会考到,覆盖面较广。比如学生的计算能力;是否能熟记基本的知识点;有无学会对知识和解题方法进行归纳总结,并举一反三,触类旁通等。 相对于其他杯赛,“希望杯”命题风格非常直白,考察学生运用知识点解决实际问题的能力。考试题目虽然比较简单,但可能暗藏陷阱,学生一不留神就可能“中招”。 “希望杯”竞赛的一个特色就是面向的参赛群体非常广泛。在校成绩突出的学生有机会获奖;成绩并不突出但学习踏实的学生同样也有机会获奖。“希望杯”的最终评奖结果在每年的六月初揭晓,而第一试是在每年三月初就公布成绩,进入第二试的比例为20%。有一点要提醒大家注意,“希望杯”第一试往往是“一题两解”,考生在解题时要考虑周全可能包含的各种情况,切勿粗心大意。 专家认为,“希望杯”思维能力竞赛的试题内容不超教学大纲,不超进度,贴近现行的数学课本,又稍高于课本。试题活而不难,巧而不偏,能将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来,而不只是让学生单纯地解答数学题目。 更重视解题过程 由于“希望杯”考察的知识点不偏不刁,这就对不一定具有数学天分但是学习踏实的同学很有利;而且“希望杯”的第二试试题重视解题过程,平时学习习惯好,作业过程认真清晰的学生有希望冲击更高的奖项。从这两点可以看出,“希望杯”非常有利于大部分成绩并不突出的同学获奖,这也是“希望杯”有别于其他杯赛的重要区别之一。 奥数知识基础相对扎实、解题认真的考生最适合报考“希望杯”,那些在学校学习处于中等偏上、学有余力的同学都可以参加。对他们来说,参加考试最大的意义在于检验知识的灵活运用能力。“希望杯”强调灵活的变通,这正符合喜欢思考、善于思考的学生的需求。学生不妨看看“希望杯”基础在哪,基础之上的变通又在哪,从而检测自己对于数学学习的掌握情况。我们建议只要对数学有兴趣者都可以参加,“希望杯”注重基础知识点的考察,难度又稍高于平时。考生要想获得名次,就肯定要花时间去“吃透”这些知识点。如果学生能以此标准来要求自己,那学起基础数学就更是应对自如了。 历年真题是法宝 1、25除以一个数的2倍,商是3余1,求这个数.[4] 2、学校今年绿化面积1800平方米,比去年的绿化面积的2倍还多40平方米,去年绿化面积是多少平方米? [3] 3、洗衣机厂今年每日生产洗衣机260台,比去年平均日产量的2.5倍少40台,去年平均日产洗衣机多少台? [3] 4、化肥厂用大、小两辆汽车运47吨化肥,大汽车运了8次,小汽车运了6次正好运完,大汽车每次运4吨,小汽车每次运多少吨? [3] 5、一匹布长36米,裁了10件大人衣服和8件儿童衣服,每件大人衣服用布2.4米,每件儿童衣服用布多少米? 6、甲车每小时行48千米,乙车每小时行56千米,两车从相距12千米的两地同时背向而行,几小时后两车相距272千米? [4] 7、饲养场共养4800只鸡,母鸡只数比公鸡只数的1.5倍还多300只,公鸡、母鸡各养了多少只? 8、哥哥和弟弟的年龄相加为35岁,哥哥比弟弟大3岁,哥哥和弟弟各多少岁? [4] 9、甲、乙两车同时从相距528千米的两地相向而行,6小时后相遇,甲车每小时比乙车快6千米,求甲、乙两车每小时各行多少千米? 10、小张买苹果用去7.4元,比买2千克橘子多用0.6元,每千克橘子多少元? [4] 11、学校图书馆购买的文艺书比科技书多156本,文艺书的本数比科技书的3倍还多12本,文艺书和科技书各买了多少本? [4] 12、甲有书的本数是乙有书的本数的3倍,甲、乙两人平均每人有82本书,求甲、乙两人各有书多少本. [4] 13、一只两层书架,上层放的书是下层的3倍,如果把上层的书搬60本到下层,那么两层的书一样多,求上、下层原来各有书多少本.[4] 14、有甲、乙两缸金鱼,甲缸的金鱼条数是乙缸的一半,如从乙缸里取出9条金鱼放人甲缸,这样两缸鱼的条数相等,求甲缸原有金鱼多少条.[4] 15、汽车从甲地到乙地,去时每小时行60千米,比计划时间早到1小时;返回时,每小时行40千米,比计划时间迟到1小时.求甲乙两地的距离.[5] 16、同学们种向日葵,五年级种的棵数比四年级种的3倍少10棵,五年级比四年级多种62棵,两个年级各种多少棵? 17、电视机厂生产一批电视机,如果每天生产40台,要比原计划多生产6天,如果每天生产60台,可以比原计划提前4天完成,求原计划生产时间和这批电视机的总台数.[5] 19、一把直尺和一把小刀共1.9元,4把直尺和6把小刀共9元,每把直尺和每把小刀各多少元? 20、甲、乙两个粮仓存粮数相等,从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后,甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍,原来每个粮仓各存粮多少吨? 21、甲、乙两堆煤共100吨,如从甲堆运出10吨给乙堆,这时甲堆煤的质量正好是乙堆煤质量的1.5倍,求甲、乙两堆煤原来各有多少吨? 22、甲仓存粮32吨乙仓存粮57吨以后甲仓每天存人4吨,乙仓每天存人9吨,几天后乙仓存粮是甲仓的2倍? 23、两根电线同样长短,将第一根剪去2米后,第二根长是第一根的1.8倍,原来两根电线各长多少米? [4] 24、一批香蕉,卖掉140千克后,原来香蕉的质量正好是剩下香蕉的5倍,这批香蕉共有多少千克? 25、小明去爬山,上山花了45分钟,原路下山花了30分钟,上山每分钟比下山每分钟少走9米,历年初中希望杯数学竞赛试题大全
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