希望杯八年级数学竞赛试题及答案

全国数学邀请赛初二第一试

一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1．下列运动属于平移的是（）

（A）乒乓球比赛中乒乓球的运动．（B）推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行．

（C）空中放飞的风筝的运动．（D）篮球运动员投出的篮球的运动．

2．若x=1满足2m x2-m2x-m=0，则m的值是（）

（A）0．（B）1．（C）0或1．（D）任意实数．

3．如图1，将△APB绕点B按逆时针方向旋转90 后得到△A P B

'''，若BP=2，那么PP'的长为( )

（A

）（B

（C）2 ．（D）3．

4．已知a是正整数，方程组

48

326

ax y

x y

+=

?

?

+=

?

的解满足x>0，y<0，则a的值是（）

（A）4 ．（B）5 ．（C）6．（D）4，5，6以外的其它正整数．

5．让k依次取1，2，3,…等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①k+2；②k2；③2 k；④2 k 就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是（）

（A）①<②<③<④．（B）②<①<③<④．

(C) ①<③<②<④．(D) ③<②<①<④．

6．已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（）

（A）40 ．（B

）（C）20．（D

）．

7．Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )

（A）1：1．（B）2

（C）1

（D）1：2．

(英汉词典：length长度；diagonal对角线；square正方形；rhombus菱形；respectively分别地；ratio比；area面积)

8．直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（）．（A）132．（B）121．（C）120．（D）111．

9．若三角形三边的长均能使代数式是x2-9x+18的值为零，则此三角形的周长是（）．（A）9或18．（B）12或15 ．（C）9或15或18．（D）9或12或15或18．

10．如图2，A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面D上放了写有字母“G”的纸片，某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像，则下列判断中正确的是（）（A）镜面A与B中的影像一致．（B）镜面B与C中的影像一致．

（C）镜面A与C中的影像一致．（D）在镜面B中的影像是“G”．

二、A组填空题（每小题4分，共40分）

11．如图3，在△BMN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、BN、MN上，且四边形ABCD是平行四边形，∠NDC=∠MDA，则 ABCD的周长是．

12．如果实数a ≠b，且101

101

a b a

b a b

++

=

++

，那么a b

+的值等于．

13．已知x

=a M

的立方根，y =x 的相反数，且M =3a -7，那么x 的平方根是 ． 14．如图4，圆柱体饮料瓶的高是12厘米，上、下底面的直径是6厘米．上底面开有一个小孔供插吸管用，小孔距离上底面圆心2厘米，那么吸管在饮料瓶中的长度最多是= 厘米．

15．小杨在商店购买了a 件甲种商品，b 件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件7元，乙种商品每件19元，那么a b +的最大值是 ．

16．ABC

是边长为D 在三角形内，到边AB 的距离是1，到A 点的距离是2，点E 和点D 关于边AB 对称，点F 和点E 关于边AC 对称，则点F 到BC 的距离是 ．

17．如图5，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20

，再沿直线前进10米后，又向左转20

，……，这样下去，他第一次回到出发地M 时，行走了 米．

18．关于x 的不等式123x x -+-≤的所有整数解的和是 ． 19．已知点（1，2）在反比例函数a

y x

=

所确定的曲线上，并且该反比例函数和一次函数1y x =+ 在x b =时的值相等，则b 等于 ．

20．如图6，大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成，这些多边形（不包括大五边形）的所有内角和等于 ．

三、B 组填空题（每小题8分，共40分，每一题两个空，每空4分） 21．解分式方程

225111

m

x x x +=+--会产生增根，则m = 或 ． 22．Let A abcd = be a four-digit number. If 400abcd is a square of an integer, then A= 或 ．

（英汉词典：four-digit number 四位数；square 平方、平方数；integer 整数）

23．国家规定的个人稿酬纳税办法是：①不超过800元的不纳税；②超过800元而不超过4000元的，超过800元的部分按14%纳税；③超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人编写了两本书，其中一本书的稿酬

不超过4000元，第二本书的稿酬比第一本书多700元，两本书共纳税915元，则两本书的稿酬分别是= 元和 元．

24．直线l

交反比例函数y =

的图象于点A ，交x 轴于点B ，点A 、B 与坐标原点o 构成等边三角形，则直线l 的函数解析式为 或 ． 25．若n 是质数，且分数

4

17

n n -+不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n 或 ．

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛答案（初二）

提示：1、略

2、原式可化为：m(1-m)=0,m=0或m=1

3、由题意得△BPP ′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP ′

4、解方程组得：461236x a

a y a ?=??-?-?=?-?

∵x>0,y<0 ∴601230a a ->??-

5、当k>4时，2k

>k 2

>2k>k+2,所以选C

6、顺次连接该四边形的四边中点所得的四边形是矩形，面积是：

（

12×10）×（1

2×8）=20 7、S 正=12a 2 ， S 菱形=12

bc ，∵b:a=a:c ，即a 2

=bc ，∴S 正 ：S 菱形 =1：1

8、设另两边为a ，b ，则a 2

+b 2

=112

（不合题意舍去）或112

= a 2

- b 2

=(a+b)(a-b)=121 =121×1; ∵a,b 是自然数 ∴a+b=121, ∴周长是121+11=132

9、∵x2-9x+18=0，即（x-6）（x-3）=0 ，∴x=6或x=3，∴三角形三边分别是：

3，3，3或6，6，6或6，6，3。周长：9或15或18。

10、略 二、A 组填空题： 提示：

11 ABCD ∴BC //BM

∴NDC M ∠=∠

6

6NDC MDA MDA M

AM AD

BA AD BA AM BM BC DC BA AD ABCD

∠=∠∴∠=∠∴=∴+=+==∴+=+=∴ 周长为12

12. 1

1

10610++=++b a a b a

)1)(10()1)(10(++=++∴a a b b b a 化简得(a-b)(a+b-9)=0

b a ≠ 09=-+∴b a 9=+∴b a

13.由题意得

??

?-=-=+a

b b a 3763解得??

?-==2

5

b a

2

88733

==

∴=-=∴x a M

2±∴的平方根是x

14由题意得AB=5 BC=12 169BC AB AC 222=+=∴ 13AC =∴ 15由题意得7a+196=213 a=

7196

213- 在b 最小时 a+b 值最大 ∴???==25

2a b 即a+b=27 16. 画出图形,由对称的性质和等边

三角形的性质可设F 到BC 的距离为4

17 .由多边形外角和为3600

,个外角是020,可设该多边形为3600

=020=18边形

3

03

21≤≤∴≤-+-∴x x x

∴所有整数解为和为0+1+2+3=6

18．

19由题意设2=

1

a

∴a=2 1

20212

2-=-=∴=-+∴+=∴b b b b b b

或 20. 5个三角形 10个四边形

54500360101800

0=?+?°

三、B 组填空题

提示：21.去分母设2(x-1)-5(x+1)=m 当x=1时 m=-10 当x=-1时 m=-4 23.设第一本x 元 第二本x+700元

915%11)700(%14)800(=?++?-x x 解得:x=3800 x+700=4500

答:第一本3800元 第二本4500元 24.由题意得????

?=+=x

y x xy 23

2

2 解得??

?==31y x

??

?-=-=3

1

y x )3,1(A ∴或(1- 3-) )0.2(B ∴或(-2,0)

解析式为y=323+-x 或y=323--=x 25．11；31