数学分析习作-数列极限与函数极限的异同
云南大学
数学分析习作课（1）读书报告
题目：数列极限与函数极限的异同
（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院
专业：数理基础科学
姓名、学号：
任课教师：
时间： 2009-12-26 摘要
极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的
重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；
极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基
础；
极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用
的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知
识；
在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。
关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算
一数列极限与函数极限的定义
1、数列与函数：
a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，….
通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N
(，
),
n
n
f∈故也称之为整标函数。
b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f，
得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为)
f
y=。
(x
(x
f，即)
称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值)
f的全体所组成的范围叫作
(x
函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。
2、 （一） 数列极限的定义：
对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有
ε<-A x
n
，则称
数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n
的极限为A ，记为x
n
n lim ∞
→=A.
例1.试用定义验证：01
lim =∞→n
n .
证明：分析过程，欲使,1
01ε<=-n
n
只需ε
1
>n 即可，故
εεε<->?+??
?
???=?>?01:,11,0n N n N .
例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞
→q n
证明：分析过程.欲使[]ε
<=-n
n q q 0，
只需q
n lg lg ε
>
（注意0lg ???
????????????????=?n
q N n q N
对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n
α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ N n >时，恒成立不等式εβ 例3.试用定义验证：.31 4 2322 2lim =-++-∞→n n n n n 证明：分析过程. ε<<-+-= --++-<>n n n n n n n n n n n 1 95) 423(310 531423222 222. 故， εεε<-++->??? ? ???=?>?4232:},2,1max{,022n n n n N n N . 例4.试用定义验证：)1(11lim >=-∞ →a a n n . 证明：分析过程.欲使εα<=-=-n n n a a 11，注意到n n a α+=1， 利用不等式Bernoulli 得， 只需εα<< n a n .故 N n a N >?+?? ? ???=?>?,1,0εε：ε<-1n a . 例5．试用定义验证：1lim =∞ →n n n . 证明:分析过程.仿照上例的证法，记n n n α+=1，有 2 2 )1(1)1(n n n n n n αα-+≥+=， 只需εα< n 2 .故 0>?ε，122+?? ? ???=?εN ，N n >?.：ε<-1n n . 例6.关于数列{}n x ，证明：若对于某个常数A 以及)1,0(∈q ，N N ∈?0，0N n >?： A x q A x n n -≤--1， 则有A x n n =∞ →lim . 证明：由0lim =∞ →n n q 可知， ∈?>?1,0N εN ,1N n >?:1 00+-< o ε,于是由题设可得， {}10,max N N n >?: ε<-≤--A x q A x N N n n 00. 例7.设11=x ，n n x x += +11 1，N n ∈.证明：2 1 5lim -=∞ →n n x . 证明:显然0>n x ，注意到 21 5) 1)(15(21521121501-- ++=+-+=--+n n n x x x x 2 1 532-- （二）函数极限的定义： 定义1设R b f →-∞),(:，若存在R A ∈，0>?ε，a X >?， ),(+∞∈?X x ：ε<-A x f )(，则称当x 趋于∞+时的极限为A ，记为 A x f n =∞ →)(lim 或)()(+∞→→x A x f . 类似的， 设R b F →-∞),(:，若存在R A ∈，0>?ε,b X 则称当趋于-∞时的极限为A ，记为 A x f n =∞ →)(lim 或)()(-∞→→x A x f . 定义2.设R R :→f ，若存在R A ∈，0>?ε,(),)(:,,0ε<-+∞∈?>?A x f X x X , 则称当x 趋于∞时)(x f 的极限为A ，记为 A x f x →∞ →)(lim 或)()(∞→→x A x f . 下面讨论当x 趋于某一实数0x 时函数的变化情况 函数)(x f 在点0x 处的左极限，右极限也可分别记作)0(0-x f ，)0(0+x f 左极限，右极限统称为单侧极限. 若f 在0x 的某去心邻域中有定义，则由定义可知： )(lim x f o x x →存在)(lim 0x f x x -→?和)(lim 0 x f x x +→均存在且相等. 注 需要特别指出的是，由于在一元函数微积分中我们研究的函数的定义域 一般为区间或若干个区间的并集，因此在以后的有关函数极限的论证中，我们 ),(00 δx D U 将就记作),(00 δx U ，对0x 的左去心邻域右去心邻域也作类似的简化处 理. 几何意义 设)(x f y =，在平面xOy 上任意画一条以A y =为中心线，宽为ε2的 横带，则必存在一条以0x x =为中心线，宽为δ2的竖带，使得竖带内的函数图像（除点（)(,00x f x ）外）全部位于所给定的横带内. 例1 试用定义验证下列函数极限： (1)01 sin lim 0 =→x x x ; (2)32 1212 21lim =---→x x x x . 证明 （1）因为x x x ≤-01 sin ，所以 εδεδε<-∈?=?>?01 sin :),0(,,00 x x x U （2）当1≠x 时， ) 12(31 3212122+-= ----x x x x x . 因为1→x ，所以不妨设110<- 3 1)12(31 -< +-x x x ，于是 {}εδεδε<----∈?>=?>?3 2 121:),1(,03,1min ,02 20 x x x x U . 例2 说明下列函数在点0=x 处不存在极限： （1）);sgn()(x x f = （2）x x x f =)(： （3）x x f 110)(=. 证明： （1）因为1)00(,1)00(=+-=-f f ，所以)(x f 在0=x 处不存在极限. （但是有1)sgn(lim 0 =→x x .注意，)sgn(10)0sgn(lim 0 x x →=≠=.） （2）与（1）同理可得)(x f 在0=x 处不存在极限. 注意，本例中的函数与上例中的函数区别仅在点0=x 处是否有定义，但由极限 定义可知，这并不影响我们对函数在0=x 处的极限存在性的讨论. （3）因为+∞=+=-)00(,0)00(f f ，所以在0=x 处不存在广义极限. 二 数列极限和函数极限的存在性条件: (一) 数列极限的存在性条件： 定理：（单调有界数列收敛定理）单调增（减），上（下）有界的数列必为收敛数列;单调增（减），上（下）无界数列必为正（负）无穷大量. 证明： (i) 设{}n x 为单调数列，E 为数列{}n x 中一切项n x 所组成的数集，当然?≠E ，且数列{}n x 上有（无）界，即数集E 上有（无）界.记E sup =β，则+∞≤<∞-β.（注：为简化语言，习惯上我们将所述的E sup 就记作{}n x sup .） 若{}n x 上有界，则+∞<β，于是 N N ∈?>?,0ε(即E x N ∈?)：βεβ≤<-n x ， 注意到{}n x 递增，故 εβεββεβ<-?+<≤≤<->?n n N x x x N n :， 此即说明{}n x 收敛且收敛于β. 若{}n x 上无界，则+∞=β，于是 >?>?N M ,0N ，（即E x N ∈?）：M x N >, 仍由{}n x 递增知， M x x N n N n >≥>?:, 即证得{}n x 为正无穷大量. (ii) 设{}n x 为单调减数列.注意到，此时{}n x -为单调增数列，则由（i ）知 {}n n n x x -=-+∞ →sup )(lim ， 于是有 )())((lim lim lim n n n n n x x --=--=∞ →∞ →+∞ → =-{}{}n n x x inf sup =-. 而{}n x 下有（无）界，即{})(inf -∞=-∞>n x ，由此即得所证. 注：由上述证明可知：若数列{}n x 单调增，则}sup{lim n n n x x =∞ →；若数列{}n x 单调减，则{}n n n x x inf lim =∞ →.由此可得如下结论： 单调增（减）数列{}n x 收敛的充要条件是数列{}n x 上（下）有界 单调增（减）数列{}n x 若发散，则必为正（负）无穷大量 例1 设，证明：0lim =∞→n k n a n . 证明： 令n k n a n x =，则11)1( 1lim lim 1<=+=∞→+∞→a n n a x x k n n n n ，于是 ,010:,11n n n n x x x x N n N <??++ 可知，当n 充分大后，{}n x 单调减且有下界0，从而{}n x 收敛.记A n =∞ →lim ，则 011lim lim 1 =?=?? ? ??+==∞→+∞ →A a A x n n a x A n k a n n n . 注：利用此例可知， () εεε+<≤?<+>??>?1111:,,0n n n n N n N ， 由此证得1lim =∞ →n n n . 例2 设2222++++= n x （n 重根号），求n n x lim ∞ →. 解：由n x 的表达式可知有递推式 ∈+==+n x x x n n ,2,211N. 利用数学归纳法易知，20:<<∈?n x N n .于是 02)1)(2(21>+++-= -+=-+n n n n n n n n x x x x x x x x ， 此即说明{}n x 单调增且有上界2，从而{}n x 收敛.记A x n n =∞ →lim ，则 A x A n n n n x +=+==∞ →+∞ →2)2(lim lim 2 12, 解此方程得1-=A （舍），2=A ，即2lim =∞ →n n x . 例3 设n n n x ??? ??+=11，∈n N ，证明：{}n x 为收敛数列. 证法1 利用平均不等式，N n ∈?有 （i ）1 11)11(11111+????? ? ??+++ ? ??+=??? ??+=n n n n n n n n n x =11 111++=? ? ? ?? ++n n x n （ii ） ? ? ? ??+++??? ? ?++n n x n n n 于是{}n x 单调增且有上界4，从而{}n x 为收敛数列. 证法2 令1 11+? ?? ??+=n n n y ，N n ∈，利用平均不等式，N n ∈?有 11111 1 ?? ? ? ??+=? ? ? ??+=++n n n n n n y 2 11) 1(2+?????? ? ?++++>n n n n n 12 111++=?? ? ?? ++=n n y n 于是{}n y 单调见减且有下界0，从而{}n y 收敛.注意到 N n y n n x n n ∈+=,1 ， 由此即知{}n x 收敛且与{}n y 收敛于同一极限. 由本例，我们得到了微积分中一个重要极限，且记此极限为e ，即 e n n n n n n =? ?? ? ?+=??? ??++∞→∞→1 1111lim lim 7182818.2=e 是自然对数的底.同时，此例中的两种证法可知， N n n e n n n ∈?? ? ??+< . ()1 例4.设n n c n ln 1 211-+++ = ，证明：{}n c 为收敛数列. 证明 由()1式，N n ∈?： ()n n n n n n n 12111ln 112111ln 11+++<+<+++?<+<+ . 于是， )(i 01 ln 111<+-+= -+n n n c c n n ()ii 0ln )1ln(>-+>n n c n ， 即{}n c 单调减且有下界0，从而{}n c 为收敛数列 （二）函数极限存在性条件 （归并定理） 定理1 {}n x x x A x f ??=→)(lim 0 ，若00x x x n →≠，则A x f n n =∞ →)(lim . 定理中的A 可以是实数，也可以是-∞+∞∞,,.以下只对加以证明（其余情形略） 证明：必要性.由R A x f x x ∈=→)(lim 0 的定义， εδδε<-∈?>?>?A x f x x U )(:),(,0,000 . 任取数列{}n x 满足00x x x n →≠，由数列极限定义可知，对上述0>δ， ∈?N N ,δ<->?0:x x N n n , 注意到o n x x ≠,即有 ()A x f x U x N n n n -?∈>?),(:00 δε<, 此即说明A x f n n =∞ →)(lim . 充分性.用反证法.若A 不是)(x f 在点0x 处的极限，则 000 0)(:),(,0,0δδδε≥-∈?>?>?A x f x U x 取一列)(1 N n n n ∈= δ，则 ),(00 n n x U x δ∈?即()00:10ε≥-??? ? ? <- 由此取得的自变量数列{}n x 满足00x x x n →≠，但A 却不是相应的函数值(){}n x f 数列 的极限，由此得到矛盾. 例 说明函数x x f 1 sin )(=在点0=x 处不存在单侧极限. 证明： 取2 1π π+ = n x n ，则1)(2=n x f ，()()N n x f n ∈-=-112，显然00→ n x f 不存在极限，从而函数()x f 在0=x 处不存在右极限. 若考察(){}n x f -，则同理可说明)(x f 在0=x 处不存在左极限. 定理2.设f 在0x 的某一去心邻域中有定义，则)(x f 在点0x 处存在极限的充要条件是 ()εδδε<-∈?>?>?'''00 ' '' )(:),(,,0,0x f x f x U x x . 证明： 必要性.设R A x f x x ∈=→)(lim 0 ，则由定义， 2 )(:),(,0,000 ε δδε< -∈?>?>?A x f x U x ε<-+-≤-A x f A x f x f x f )()()()(' ''''' 充分性（略） 三 收敛数列和函数极限的性质 （一）收敛数列的性质 1唯一性 定理1. 若数列{}n x 收敛，则其极限唯一. 证法一： 用反证法：若a x n x =∞ →lim ，b x n n =∞ →lim ，且b a <，取0>-= z a b ε，则由定义， ;222:,1b a a b a x a b a x N n N n n +=-+ ->?? 2 22:,2b a a b b x a b b x N n N n n += -->?-<->??. 于是，{}21,m ax N N N n =>?：2 2b a x b a n +<<+，由此得到矛盾 证法二： 记a x n n =∞ →lim ，b x n n =∞ →lim ，则由定义，0>?ε， (): ,,00'''δx U x x ∈?? 2 :,11ε <->??a x N n N n ； 2 :,22ε <->??b x N n N n . 于是，{}21,m ax N N N n =>?： εε ε =+ < -+-≤-2 2b x a x b a n n . 由于b a ,是确定的常数，因此由的任意性即知b a =. 2有界性 定理2 若数列{}n x 收敛，则{}n x 有界. 证明： 设a x n n =∞ →lim ，取1=ε，则由定义知，N n N >??,： 11+ 令{}1,,max 21+=a x x x M N ，则N n >?：M x n ≤. 由上述证明可知：数列的有界性与所谓的“往后有界性”（即数列自某项后有界）等价. 3保号性 定理3 若,0lim >=∞ →a n 则.0:,>>??n x N n N 事实上，我们可以得出结论：0:,),,0(>>>??∈?c x N n N a c n 证明： ),0(a c ∈?，取0>-=c a ε，则由定义知，N n N >??,： ()c c a a x c a a x n n =-->?-<-. 4不等式性 定理4 设a x n n =∞ →lim ，b y n n =∞ →lim ，若b a <，则.:,n n y x N n N <>?? 证明： 取02 >-= a b ε，由定义可知， ;222:,1b a a b a x a b a x N n N n n +=-+?? 2 22:,2b a a b b y a b b y N n N n n += -->?-<->??. 于是，{}21,m ax N N N n =>?：n n y b a x <+<2 . 推论：设a x n n =∞→lim ，b y n n =∞ →lim ，若n n y x N n N ≥>??:,，则b a ≥. 但请注意，若将条件改为“n n y x N n N >>??:,”，其结论仍为“b a ≥”.请考 察数列??????=n x n 2}{，{}? ?? ???=n y n 1. 若a x n n =∞ →lim ，b y n n =∞ →lim ，且b a ≤，则对于n x 与n y 之间的大小关系无任何 结论可得. 5夹逼性 定理5 设有数列{}n x ，{}n y ，{}n z ，若n n n z y x N n N ≤≤>??:,00， 且a z n n n n x ==∞→∞ →lim lim ， 则{}n y 收敛，且a y n n =∞ →lim 证明： 由极限定义，0>?ε， ε<->??a x N n N n :,11; ε<->??a z N n N n :,22. 于是，{}{}ε<--≤-=>?a z a x a y N N N N n n n n ,max :,,max 210. （二）函数极限的性质 1.唯一性 定理1 若函数f 在点0x 处的广义极限存在则必唯一 证明： 设()A x f x x =→lim 0 且()B x f x x =→lim 0 .先取{}n x 满足：00x x x n →≠，则 由Heine 定理可知： ()A x f n x x =→lim 0 且()B x f n x x =→lim 0 ， 再由数列(){}n x f 广义极限的唯一性即知B A =. 2局部有限性 定理 2 若函数f 在点0x 处极限存在，则存在的0x 某一去心邻域)(00 x U 使得)(x f 在该邻域内有界. 证明： 设()A x f x x =→lim 0 R ∈，则由定义，对于1=ε， 1)(1)(:)(),(00 00+ 3局部保号性 定理3 若()A x f x x =→lim 0 ()+∞≤ 00x U x x U ∈??0)(>x f . 事实上，有更强的结论：()A c ,0∈?，:)(),(00 00x U x x U ∈??0)(>>c x f . 证明： 用反证法.如若不然，则 ()A c ,0∈?，N n ∈?，()c x f n x U x n n ≤??? ? ? ∈?:1,00 ， 注意到由此得到的数列{}n x 满足：00x x x n →≠，由Heine 归并定理及数列极限的不等 式性推得 ()c x f A n n ≤=∞ →lim ， 上式与假设A c <矛盾 4不等式性 定理4 若(),)(lim lim 0 x g x f x x x x →→<则:)(),(00 00x U x x U ∈??)()(x g x f <. 证明： 用反证法。如若不然，则 N n ∈?，())(:1,00n n n x g x f n x U x ≥??? ? ? ∈?， 注意到由此得到的数列{}n x 满足：00x x x n →≠，由Heine 归并定理及数列极限的不等式性推得 ()()()x g x g x f x f x x n n n n x x lim lim lim lim 0 )(→∞ →∞ →→=≥=， 上式与题设(),)(lim lim 0 x g x f x x x x →→<矛盾. 5夹逼性 定理5 :)(),(00 00x U x x U ∈??()x h x g x f ≤≤)()(，且(),)(lim lim 0 A x h x f x x x x ==→→则()x g 在 点0x 处的广义极限存在且为A 证明： 在)(00 x U 中任取数列{}n x 满足: 00x x x n →≠,则 ()N n x h x g x f n n n ∈≤≤,)()(， 由Heine 归并定理的必要性得 (),)(lim lim A x h x f n n n n ==∞ →∞ → 最后，由满足条件的数列{}n x 取法的任意性，由Heine 归并定理的充分性即知函数()x g 在0x 处广义极限存在且为A . 四 数列极限与函数极限的运算 （一）数列极限的运算 定理1 （有关无穷小量的运算性质） （1） 有限个无穷小量之和仍为无穷小量. （2） 无穷小量与有界量之积为无穷小量. 证明: (1)设 {}),,2,1()(m k x k n =为m 个无穷小量，由于.,1 ) (N n y m k k n n x ∈=∑=，由于 ()()m k x k n n ,,2,10lim ==∞ →，由定义有 ()() (),,,2,10:,,0m k m x x N n N k n k n k k =< =->??>?ε ε 因此， {}() ()εε =? <≤= -=>?∑∑==≤≤m m x x y N N n m k k n m k k n n k m k 1 1 10:max . 此即说明为{}n y 无穷小量 (2)设{}n α为无穷小量，{}n β为有界数列，则由定义有 M n M n ≤?>?β:,0； ,0>?εM N n N n ε α:,>?? 因此，对上述的ε与N ，当N n >时有 n n n n βαβα=-0εε =? M . 此即说明{}n n βα为无穷小量. 定理2 数列{}n x 收敛的充要条件是，存在常数A 及无穷小量{}n α，使得 N n A x n n ∈+=,α. 收敛数列的运算 定理3 设{}n x ，{}n y 为两个收敛数列，则它们的和（差）数列{}n n y x ±，积数列{} n n y x 以及当0lim ≠∞→n n y 且0≠n y ()N n ∈?时的商数列? ?? ???n n y x 均收敛，此外还成立如下等式： ()1()=±∞→n n n y x lim n n x lim ∞→±n n y lim ∞ →； ()2()=∞ →n n n y x lim n n x lim ∞ →.n n y lim ∞ →，特别地，对于();,lim lim n n n n x c cx R c ∞ →∞ →=∈ ()3n n n n n n n y x y x lim lim lim ∞ →∞→∞→=. 定理4 （与无穷大量与关的若干性质） （1）若{}n x 为无穷大量，{}n y 为有界数列，则{}n n y x ±为无穷大量； 若{}n x 为正（负）无穷大量，{}n y 为上（下）有界数列，则{}n n y x +为正（负）无穷大量； 特别地，若{}n x ，{}n y 同为正（负）无穷大量，则{}n n y x +为正（负）无穷大量； （2）若{}n x 为无穷大量，{}n y 满足：0:,>≥>??c y N n N n ，则{}n n y x 为无穷大量. 特别地，{}n x 为正（负）无穷大量的充要条件是{}n x -为负（正）无穷大量. （3）若0:≠>?n x N n ，则{}n x 为无穷大（小）量的充要条件是??? ???n x 1为无穷小（大） 量； 特别地，若()00:,<>>??n x N n N ，则{}n x 为正（负）无穷大量的充要条件是 ??? ???n x 1为无穷小量. 可利用如下结论求数列极限： ????? ??>∞=<=++++++--∞→m l m l b a m l b n b n b a n a n a m m m l l l n ,,,000 1 10110lim 例1 （1）lim ∞ →n 07 32 5232=-+-n n n （2）lim ∞ →n 32 7 32522 2=-+-n n n （3）lim ∞ →n 7 32 522-+-n n n =∞ 例2 求下列极限 （1）lim ∞ →n () 13--+n n ； 解：因为≤0( ) 13--+n n = 1 34-++n n n n 43 4< +≤ ， 且易知lim ∞ →n n 4 =0，所以原式=0 （2）lim ∞→n ()???? ??+++?+?11321211n n =lim ∞→n ???? ????? ??+-++??? ??-+??? ? ?-111 3121211n n =lim ∞→n ??? ? ? +-111n =1 （3）lim ∞→n ??? ??+++22221 n n n n =lim ∞→n 21n +lim ∞→n 22n ++ lim ∞→n 2n n =21 （二）函数极限的运算 以下只就函数在0x 处的极限加以叙述，其余情形不再一一说明. 1四则运算 定理1 设()()x g x f ,在点0x 处均存在极限，则： （1）()()x g f x x ±→lim 0 =()±→x f x x lim 0 ()x g x x lim 0 →； （2）()()=?→x g f x x lim 0 ()?→x f x x lim 0 ()x g x x lim 0 →， 特别地，对于,R c ∈()()c x cf x x =→lim 0 ()x f x x lim 0 → （3）()=???? ??→x g f x x lim 0()()x g x f x x x x lim lim 0 →→（当()0lim 0 ≠→x g x x 时）. 2复合运算 定理2 设()u f u u lim 0 →A =，()0lim 0 u x g x x =→，且()∈??x x U ,00()(),:000 u x g x U ≠则 ()()x g f u u lim 0 →A =，()-∞+∞∞∈,,A . 证明： 在()00 x U 中任取数列{}n x 满足：00x x x n →≠，记相应的()n n u x g =，则由题设，对()x g 在0x 处的极限运用Heine 归并定理的必要性，有 00u u u n →≠. 再对在处的极限运用Heine 归并定理的必要性，并由复合函数的定义，即有 ()()n n x g f lim ∞→=()()()A u f x g f n n n n ==∞ →∞→lim lim . 最后，由满足条件的数列{}n x 取法的任意性，运用Heine 归并定理的充分性即知复合函数g f 在0x 处的广义极限存在且为A . 注：特别注意条件()∈??x x U ,00 ()(),:000 u x g x U ≠试举例说明，若无此条件，则定理的结论不一定成立. 例 试证：()1,0000 lim ≠>=→a a a a x x x x . 证明：首先证明1lim 0 =→x x a . 注意到x a 为单调函数，因此其在0=x 处的单侧广义极限必存在，现分别取 n x n x n n 1 ,1-==，则所得的函数{}n x 分别严格递减，严格递增趋于0，且有 11lim =∞→n n a ，=-∞→n n a 1 lim 11111lim ==∞ →n n a ， 于是由Heine 归并定理知，=+ →x n a lim 01lim 0=- →x n a ，从而有1lim 0 =→x n a . 对于一般情形，利用上述结果，结合函数的极限运算法则，有 0000 0000 1lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x a a a a a a a =?==?=-→-→→. [参考文献] 《大学数学?数学分析（上）》，上海交通大学数学系—数学分析课程组编.—北京：高等教育出版社， 第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为 云南大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时间： 2009-12-26 摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基 础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用 的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知 识； 在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f， 得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x 函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一） 数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg 《数学分析》10第三章-函数极限 第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两 部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极 限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :() n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时， 函数()f n 变化趋势。 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变 量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数: 1,0;()0,0.x f x x ≠?=?=? 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋 势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, L 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得 多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 一、x →+∞时函数的极限 １． 引言 设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研 究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于 ０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2 π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 考点42 数列的极限、函数的极限与连续性 一、选择题 1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-??+= ?-? ?,则=a ( ) (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6 【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值. 【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞??-+--??+= ???--???? 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3→∞??+-+===??-?? 所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞ )上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，当[ 0,2)x ∈时，()f x =2 2x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且{}n a 的前n 项和为S n ，则lim n n S →∞ =（ ）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32 【思路点拨】 首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2)f x f x =+可推得 1()(2)3 f x f x = -，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求 解. 【精讲精析】选D ， [)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，， ()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴= [)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则， 2(2)22(2)f x x x -=--+-（） 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1 g3.1030数列与函数的极限（1） 一、知识回顾 1、 数列极限定义 （1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim ∞→n a n =a 。 对前任何有限项情况无关。 *（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε0，则特别地 01 lim =∞→n n ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞ →n q n =0；;1lim ,1==∞ →n n q q ,1-=q 或n n q q ∞ →>lim ,1不存在。 若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：q a s s n n -= =∞ →1lim 1 3、数列极限的运算法则 如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B (3)lim ∞ →n n n b a =B A (B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞ →n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1…. 注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限; (2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练 1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322 lim n n n n n →∞+++= 2、135(21) lim 2462n n n →∞+++???+-+++???+=_________________ 3．已知a 、b 、c 是实常数，且a cn c an b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是……… （ ） A . 121 B .61 C .2 3 D .6 XX大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 、学号： 任课教师： 时间：2009-12-26摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a 、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x 1，x 2，x 3，…，x n ，…. 通常记作{x n }，也可将其看作定义在自然数集N 上的函数x n =N n n f ∈),(， 故也称之为整标函数。 b 、函数的定义：如果对某个围X 的每一个实数x ，可以按照确定的规律f ，得到Y 唯 一一个实数y 和这个x 对应，我们就称f 是X 上的函数，它在x 的数值（称为函数值）是y ，记为)(x f ，即)(x f y =。 称x 是自变量，y 是因变量，又称X 是函数的定义域，当x 遍取X 的所有实数 时，在f 的作用下有意义，并且相应的函数值)(x f 的全体所组成的围叫作函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一）数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 > n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg 第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ = 数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3． 若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解：()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()() 112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 10 ．n = 解：原式n ≡有理化 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ??? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故 原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解：()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0x → 解：原式有理化 16．求0ln cos 2lim ln cos3x x x → 解：原式[][]0ln 1cos 21lim ln 1cos31x x x →--+-变形 注:原式02sin 2cos3lim cos 23sin 3x x x x x →∞?? ?∞??-?- 17．求02lim sin x x x e e x x x -→--- 解： 原式0020lim 1cos x x x e e x -→+-- 19．求lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞??-== ?+?? 解： (1) 拆项，111...1223(1) n n +++??+ 1111111...122311n n n ??????=-+-+-=- ? ? ???++????(2) 原式=lim 111lim 11n n n n n e e n →∞--+→∞??-== ?+?? 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．． 的，只要存在一个N ，就会存在无穷多 第三章 函数极限 教学目的： 1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限 和 ，并能熟练运用； 4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。 教学重（难）点： 本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。 教学时数：14学时 § 1 函数极限概念 （2学时） 教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起函数极限的δε-定义的清晰概念。会应用函数极限的δε-定义证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：函数极限的概念。 教学难点：函数极限的δε-定义及其应用。 一、 复习：数列极限的概念、性质等 二、 讲授新课： （一） 时函数的极限： 以时和为例引入. 的直观意义. 介绍符号: 的意义, 定义 ( 和 . ) 几何意义介绍邻域 其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义． 例1 验证 例2 验证 例3 验证 证…… 时函数的极限： （二） 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4 验证 例5验证 例6 验证 证由= 为使需有 为使需有 于是, 倘限制 , 就有 例7 验证 例8 验证 ( 类似有 （三）单侧极限: 1．定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义: 介绍半邻域 然后介绍等的几何意义. 例9 验证 证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系: Th 类似有: 例10 证明: 极限不存在. 例11 设函数 在点的某邻域内单调. 若存在, 则有 = §2 函数极限的性质（2学时） 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；， 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．， ；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<= 数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。 第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 3． 若()0lim x x f x →=∞，()0 lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞??? ? B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞??? ? C ． ()() 01lim 0x x f x g x →=+ D ． ()()0 lim 0x x kf x k →=∞≠ 解： ()()000lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==?∞∞ ∴选D 6．当n →∞时， 1k n 与1k n 为等价无穷小，则k=（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．-2 解：2 211sin lim lim 1,21 1n n k k n n k n n →∞→∞=== 选C 二 、填空题（每小题4分，共24分） 8．2112lim 11x x x →??-= ?--? ? 解：原式()()()112lim 11x x x x →∞-∞+--+ 111lim 12 x x →==+ 10 ．n = 解：原式n ≡有理化 32n ==无穷大分裂法 11．1201arcsin lim sin x x x e x x -→??+= ?? ? 解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0x x x x e e x x -→→≤=∴=又00arcsin lim lim 1x x x x x x →→== 故 原式=1 12．若()220ln 1lim 0sin n x x x x →+= 且0sin lim 01cos n x x x →=-,则正整数n = 解： ()222200ln 1lim lim sin n n x x x x x x x x →→+?= 20420,lim 02 n x n x n x →<>2,4,n n ∴>< 故3n = 三、计算题（每小题8分，共64分） 14．求0 x → 解：原式有理化 0x →0tan (1cos )1lim (1cos )2 x x x x x →-=?- 0tan 111lim lim 222 x x x x x x →∞→=?== 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 专题十 数列极限与函数极限 一、选择题 1．（2008年高考·湖北卷）已知m ∈N * , a 、b ∈R ，若0n lim →b x a x)(1m =++，则a ·b=（ ） A ．-m B ．m C ．-1 D ．1 2．∞→n lim )2n 8641864164141(+++++++++++ 的值为（ ） A ．1 B ．411 C ．1811 D ．2411 3．若函数?????>+≤+-=1)(x 1 3x 15a 1)(x a 2x x f(x)23在点x=1处连续，则实数a=（ ） A ．4 B ．-41 C ．4或-41 D ．4 1或-4 4．下列命题：①发果f(x)=x 1，那么∞→x lim f(x)=0；②如果f(x)=1x -，那么f(x)=0；③如果f(x)=2x 2x x 2++，那么2x lim -→f(x)不存在；④如果?????<+≥=0 x 1,x 0x ,x f(x)，那么0lim →x f(x)=0，其中真命题是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．③④ D ．①②④ 5．设abc ≠0，∞→x lim 31b ax a cx =++，∞→x lim 43c bx bx ax 22=-+，则∞→x lim a cx bx c bx cx 233+--+的值等于（ ） A ．4 B ．94 C ．41 D ．4 9 6．设正数a, b 满足2x lim →(x 2+ax-b)=4，则n 1n 1n 1n n 2b a ab a lim ++--+∞→等于（ ） A ．0 B ．41 C ．21 D ．1 7．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则1a 12a lim n n n +-∞→等于（ ） A ．4 1 B ．21 C ．1 D ．2 二、填空题 8．已知数列的通项a n =-5n+2，其前n 项和为S n ，则2n n n S lim ∞→=________． 9．2x lim →)2 x 14x 4(2---=________． 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)
数学分析习作-数列极限与函数极限的异同
??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
《数学分析》10第三章-函数极限
考点数列的极限函数的极限与连续性
高等数学函数极限练习题
g3.1030数列与函数的极限(1)
数学分析习作-数列极限及函数极限的异同
??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
高等数学1.3-函数的极限
数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题及解析
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专题十数列极限与函数极限
大学高等数学函数极限和连续
数学分析求极限的方法