考向3直线与椭圆的综合问题
考向3 直线与椭圆的综合问题(高频考点)
命题视角 直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有： (1)由已知条件求椭圆的方程或离心率； (2)由已知条件求直线的方程； (3)中点弦或弦的中点问题； (4)弦长问题；
(5)与向量结合求参变量的取值．
【典例3】 (2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点? ??
??1，32的椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点
B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆
C 的右准线l 于M ，N 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点B 的坐标为? ??
??
85，335，试求直线PA 的方程；
(3)记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，试问y M ·y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
[思路点拨] (1)根据椭圆定义求出a 的值，再由c ＝1求出b 的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A ，P 点坐标，就可写出直线PA 的方程，(3)先根据直线AB 垂直x 轴的特殊情况下探求y M ，
y N 的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值．本题难点在如何利用条件消去参数．点共
线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键．
[解] (1)由题意，得2a ＝
1－1
2
＋? ??
??32－02
＋ 1＋1
2
＋? ??
??32－02
＝4，即a ＝2， 又c ＝1，∴b 2
＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)∵B ? ????85，335，∴P ? ????－8
5
，－335，又F (1，0)，∴k AB ＝3， ∴直线AB ：y ＝3(x －1)，
联立方程组???
??
x 24＋y 2
3＝1，
y ＝3x －1，
解得A (0，－3)，
∴直线PA ：y ＝－
3
4
x －3，即3x ＋4y ＋43＝0.
(3)当k AB 不存在时，易得y M y N ＝－9，
当k AB 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)， ∴x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，得x 2＋x 1
x 2－x 1
4
＝－
y 2＋y 1
y 2－y 1
3
，
∴
y 2＋y 1
y 2－y 1x 2＋x 1x 2－x 1＝－34＝k PA ·k AB ，令k AB ＝k ＝y 2x 2－1，则k PA ＝－3
4k
，
∴直线PA 方程：y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)，∴y M ＝－3
4k
(x 2＋4)－y 2， ∴y M ＝－
3
x 2＋4
x 2－1
4y 2
－y 2，∴直线PB 方程：y ＝y 2x 2
·x ，∴y N ＝4y 2
x 2
，
∴y M y N ＝－3×x 2＋4
x 2－1
x 2
－
4y 2
2
x 2，又∵x 224＋y 22
3
＝1，∴4y 2
2＝12－3x 2
2， ∴y M y N ＝－3×
x 2＋4
x 2－1＋4－x 22
x 2
＝－9，所以y M y N 为定值－9.,
【通关锦囊】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． (3)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．
(4)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判直线与方程是否相交． (5)与向量结合的问题，通常利用向量的坐标运算即可．
【变式训练3】 (2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为3
3
，过点F 且与x
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43
3
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →
＝8，求k 的值．
[解] (1)设F (－c,0)，由c
a ＝
3
3
，知a ＝3c . 过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有－c
2
a 2
＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3
， 于是26b 3＝433，解得b ＝2，则b 2
＝2
又因为a 2
－c 2
＝b 2
，从而a 2
＝3，c 2
＝1， 所以所求椭圆的方程为x 23＋y 2
2
＝1.
(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组?????
y ＝k x ＋1，x 23＋y
2
2
＝1消去y ，得(2＋3k 2
)x 2
＋6k 2
x ＋3k 2
－6＝0.
根据根与系数的关系知x 1＋x 2＝－6k 2
2＋3k 2，x 1x 2＝3k 2
－6
2＋3k 2.
因为A (－3，0)，B (3，0)，
所以AC →·DB →＋AD →·CB →
＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2
(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2
)x 1x 2－2k 2
(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2
＋122＋3k
2.
由已知得6＋2k 2
＋12
2＋3k
2＝8，解得k ＝± 2.
掌握1条规律 椭圆焦点位置与x 2
，y 2
系数之间的关系
给出椭圆方程x 2m ＋y 2
n
＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m >n >0；椭圆的焦点在y 轴上?0 熟记2种方法 求椭圆标准方程的方法 1．定义法：根据椭圆定义，确定a 2 ，b 2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． 2.待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a 2 ，b 2 . 掌握3种技巧 与椭圆性质、方程相关的三种技巧 1．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2 ＝a 2 －c 2 就可求得e (0＜e ＜1)． 2.待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点；(2)对称轴是否为坐标轴．若题目涉及直线与椭圆相交，注意整体代入、设而不求的思想方法运用． 3.椭圆上任意一点M 到焦点F 的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . 规范解答之11直线与椭圆的综合问题 (14分)(2014·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是 椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C . (1)若点C 的坐标为? ?? ??43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2 ＋c 2 ＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.(2分) 因为点C ? ????43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2 ＝1.(4分) 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(6分) (2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y b ＝1. 解方程组???? ? x c ＋y b ＝1，x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1， 得? ???? x 1＝2a 2 c a 2＋c 2， y 1 ＝b c 2－a 2 a 2＋c 2 ， ? ?? ?? x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为 ? ?? ??2 a 2c a 2＋c 2， b c 2－a 2a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为? ?? ??2a 2c a 2＋c 2，b a 2－c 2 a 2＋c 2.(8分) 因为直线F 1C 的斜率为b a 2－c 2 a 2＋c 2－0 2a 2c a 2＋c 2－ －c ＝b a 2－c 23a 2c ＋c 3 ，直线AB 的斜率为－b c ，且F 1C ⊥AB ，所以b a 2－c 23a 2c ＋c 3 ·? ?? ??－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2 ＝15，因此e ＝55.(14分), 【智慧心语】 易错提示：(1)忽略a ，b ，c 三者的关系，造成运算量大而出现错误； (2)不知把直线BF 2的方程写成截距式x c ＋y b ＝1，导致无法得出关于a ，b ，c 的等式； (3)方程整理错误； (4)方程求解错误． 防范措施：(1)注意题已知条件关系的挖掘； (2)写直线方程时，要注意分析已知条件，选取恰当的形式； (3)要强化化简及运算能力． 【类题通关】 (2014·苏州市高三调研测试)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，点 P ? ?? ?? 2e ，12 在椭圆上(e 为椭圆的离心率)． (1)求椭圆的方程； (2)若点B ，C (C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC →·OB → ＝0，求实数λ的值． [解] (1)由条件，a ＝2，e ＝c 2，代入椭圆方程，得c 2 4＋14b 2＝1.∵b 2＋c 2＝4，∴b 2＝1，c 2 ＝3. 所以椭圆的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1. (2)设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y ＝kx ，代入椭圆方程x 2 4 ＋y 2＝1即x 2＋4y 2 ＝4， 得(1＋4k 2 )x 2 ＝4，∴x ＝2 1＋4k 2 . 则C ? ???? 21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 又直线AB 方程为y ＝k (x －2)，代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2 －4＝0. ∵x A ＝2，∴x B ＝ 2 4k 2 －11＋4k 2 . 则B ? ????24k 2 －11＋4k 2 ，－4k 1＋4k 2. ∵OC →·OB →＝0，∴24k 2－11＋4k 2·21＋4k 2＋－4k 1＋4k 2·2k 1＋4k 2 ＝0. ∴k 2 ＝12.∵C 在第一象限，∴k >0，k ＝22. ∵OC →＝? ????21＋4k 2，2k 1＋4k 2，BA →＝? ????2－24k 2－11＋4k 2，4k 1＋4k 2＝? ????41＋4k 2，4k 1＋4k 2， 由OC →＝λBA → ，得λ＝k 2＋14. ∵k ＝ 22，∴λ＝32 . 课堂练习： 一、填空题 1．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2 ＋y 2 b 2＝1(0 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． [解析] 设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2 ＋y 2b 2＝1， ∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2 ，0)． ∴AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2 )． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→ ＝3F 1B → ， ∴(－21－b 2 ，－b 2 )＝3(x 0＋1－b 2 ，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2 ，y 0＝－b 2 3 . ∴点B 的坐标为? ????－531－b 2，－b 23. 将B ? ????－53 1－b 2，－b 23代入x 2＋y 2 b 2＝1，得b 2 ＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1. [答案] x 2 ＋32 y 2＝1 2．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ， B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________． [解析] 设A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )， 则???? ? x 21a 2＋y 21 b 2＝1， ①x 2 2a 2 ＋y 22b 2 ＝1. ② ①－②得 x 1＋x 2 x 1－x 2 a 2 ＝－ y 1－y 2 y 1＋y 2 b 2 . ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2 a 2y 1＋y 2 . ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2. 而k AB ＝0－－13－1＝12，∴b 2a 2＝12 ，∴a 2＝2b 2 ， ∴c 2 ＝a 2 －b 2 ＝b 2 ＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1. [答案] x 218＋y 2 9＝1 二、解答题 3．(2014·课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2 与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3 4 ，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)根据c ＝a 2 －b 2 及题设知M ? ????c ，b 2a ，b 2 a 2c ＝34 ，2b 2 ＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2 ＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12 . (2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2a ＝4，即b 2 ＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则? ?? ?? 2－c －x 1 ＝c ， －2y 1＝2，即????? x 1＝－32c ， y 1＝－1. 代入C 的方程，得9c 2 4a 2＋1 b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2 代入②得9a 2 －4a 4a 2 ＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2 ＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27. 4．以定点A (2,8)和动点B 为焦点的椭圆经过点P （－4,0）、Q (2,0)． (1)求动点B 的轨迹方程； (2)是否存在实数k ，使直线y =kx +2与上述B 点轨迹的交点Ｃ，Ｄ恰好关于直线l ：y=2x 对称？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由． 解：⑴设B(x,y)，依题设及椭圆定义有： |PA|+|PB|=|QA|+|QB| ∴|QB|－|PB|=|PA|－|QA|＝288)42(22=-++ ∴B 的轨迹是以P ，Q 为焦点的双曲线的左支，由2a ＝2，2c ＝6，得b 2 =c 2 －a 2=32－12 ＝8 故所求的轨迹方程为(x+1)2 －8 2 y =1(x ≤－2) ⑵若存在，设交点为C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)∵C、D 关于l :y=2x 对称，∴CD 中点在l 上，y 1+y 2＝2(x 1+x 2)…①．又C 、D 在直线y =kx +2上，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4…②，由①、②得x 1+x 2= k -24 ……③ 由?? ???=-++=18)1(222 y x kx y 得(8－k 2)x 2 +4(2－k)x －4＝0 ∴x 1+x 2=－ 2844k k --?）（……④．由③、④得2 8)4(424k k k --=- 解得k =38 但k CD ·k ＝3 16 238=?≠－1，故直线CD 与l 垂直∴这样的实数k 不存在。 5．过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b x a y 上一点P 引圆O ：2 22b y x =+的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直 线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点 （1）设),(00y x P ，且000≠y x ，求直线AB 的方程； （2）若椭圆C 的短轴长为8，且1625 | |||2 222=+ON b OM a ，求此椭圆的方程； （3）试问椭圆C 上是否存在满足PA → ·PB → =0的点P ，说明理由． 解：（1）直线AB 的方程：)0(002 00≠=+y x b y y x x （2）椭圆C 的方程： )0(125 162 2≠=+xy y x （3）假设存在点),(00y x P 满足PA → ·PB → =0，连结OA 、OB ，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB 为正方形， |OP|=2|OA| ∴2 20202b y x =+ ① 又P 在椭圆上∴22202202b a y b x a =+ ② 由①②得222222 )2(b a b a b x --=，2 2222 0b a b a y -= ∵0>>b a ∴2 2b a > ∴当022 2 >≥b a 即b a 2≥时，椭圆C 上存在点P 满足题设条件； 当22 2b a <即b a b 2<<时，椭圆C 上不存在满足题设的点P.． 考向3 直线与椭圆的综合问题(高频考点) 命题视角 直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有： (1)由已知条件求椭圆的方程或离心率； (2)由已知条件求直线的方程； (3)中点弦或弦的中点问题； (4)弦长问题； (5)与向量结合求参变量的取值． 【典例3】 (2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点? ?? ??1，32的椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点 B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆 C 的右准线l 于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若点B 的坐标为? ?? ?? 85，335，试求直线PA 的方程； (3)记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，试问y M ·y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． [思路点拨] (1)根据椭圆定义求出a 的值，再由c ＝1求出b 的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A ，P 点坐标，就可写出直线PA 的方程，(3)先根据直线AB 垂直x 轴的特殊情况下探求y M ， y N 的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值．本题难点在如何利用条件消去参数．点共 线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键． 【通关锦囊】 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． (3)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解． (4)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判直线与方程是否相交． (5)与向量结合的问题，通常利用向量的坐标运算即可． 【变式训练3】 (2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为3 3 ，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43 3 . (1)求椭圆的方程； (2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB → ＝8，求k 的值． 掌握1条规律 椭圆焦点位置与x 2 ，y 2 系数之间的关系 给出椭圆方程x 2 m ＋y 2 n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上?m >n >0；椭圆的焦点在y 轴上?0 1．定义法：根据椭圆定义，确定a 2 ，b 2 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． 2.待定系数法：设出椭圆的标准方程，运用方程思想求出a 2 ，b 2 . 掌握3种技巧 与椭圆性质、方程相关的三种技巧 1．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2 ＝a 2 －c 2 就可求得e (0＜e ＜1)． 2.待定系数法求椭圆方程，应首先判定是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点；(2)对称轴是否为坐标轴．若题目涉及直线与椭圆相交，注意整体代入、设而不求的思想方法运用． 3.椭圆上任意一点M 到焦点F 的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . 直线与椭圆的综合问题 (14分)(2014·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、 右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C . (1)若点C 的坐标为? ?? ??43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值． 【智慧心语】 易错提示：(1)忽略a ，b ，c 三者的关系，造成运算量大而出现错误； (2)不知把直线BF 2的方程写成截距式x c ＋y b ＝1，导致无法得出关于a ，b ，c 的等式； (3)方程整理错误； (4)方程求解错误． 防范措施：(1)注意题已知条件关系的挖掘； (2)写直线方程时，要注意分析已知条件，选取恰当的形式； (3)要强化化简及运算能力． 【类题通关】 (2014·苏州市高三调研测试)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，点 P ? ?? ?? 2e ，12 在椭圆上(e 为椭圆的离心率)． (1)求椭圆的方程； (2)若点B ，C (C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，且OC →·OB → ＝0，求实数λ的值． 课堂练习： 一、填空题 1．(2014·安徽高考)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2 ＋y 2 b 2＝1(0 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． 2．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右 焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________． 二、解答题 3．(2014·课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为3 4 ，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 4．以定点A (2,8)和动点B 为焦点的椭圆经过点P （－4,0）、Q (2,0)． (1)求动点B 的轨迹方程； (2)是否存在实数k ，使直线y =kx +2与上述B 点轨迹的交点Ｃ，Ｄ恰好关于直线l ：y=2x 对称？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由． 5．过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b x a y 上一点P 引圆O ：2 22b y x =+的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直 线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点 （1）设),(00y x P ，且000≠y x ，求直线AB 的方程； （2）若椭圆C 的短轴长为8，且16 25 ||||2222= +ON b OM a ，求此椭圆的方程； （3）试问椭圆C 上是否存在满足PA → ·PB → =0的点P ，说明理由． 直线与椭圆(教师版) 知识与归纳： 1..点与椭圆的位置关系 点P (x 0，y 0)在椭圆122 22=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ； 在椭圆上的充要条件是122 220=+b y a x . 2.直线与椭圆的位置关系. 设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：122 22=+b y a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二 次方程，此一元二次方程的判别式为Δ， 则l 与C 相离的?Δ<0； l 与C 相切?Δ=0； l 与C 相交于不同两点?Δ>0. 3.弦长计算 计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2， y 2)?|P 1P 2|=2 21221)()(y y x x -+- 212 212 1 11y y k x x k -+ =-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系 （推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， 2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或者2222212121212122111 ()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k = -+-=-+-=+-2 121221(1)[()4]y y y y k =+ +-) 一，直线与椭圆的位置关系 例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 的位置关系 解：由?? ???=++=14163 2 2y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162 -=?∴k （1）当45450)516(162 -<>>-=?k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆14 162 2=+y x 相交 《直线与椭圆的位置关系》的教学设计 濮阳市第一高级中学任素巧 【教学目标】 （一）知识目标 1、能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题 2、学会判断直线与椭圆公共点的方法 3、在计算直线与椭圆相交弦长或弦中点等有关问题时能够运用一元二次方程根与系数的 关系简化运算 （二）能力目标 1、培养学生数形结合思想与逻辑推理能力，运算能力 2、培养学生将直线与椭圆问题化归为方程问题来解决的能力 （三）德育目标 1、体会事物之间既有联系又有区别的辨证观点 2、学会抓主要矛盾、分解矛盾、解决矛盾的方法 【教学重点】直线与椭圆的位置关系、弦长问题、弦的中点问题 【教学难点】学生解题综合能力的培养 【教学过程】 一、复习引入 回忆初中学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？ 法一：利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系判断，即当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d 提问：回顾了直线与圆的位置关系的判断方法以后，那么对于直线与椭圆的位置关系如何判断呢？直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢？刚才两种方法都可以吗？ 一道直线与椭圆综合问题研究 已知椭圆C 的方程是22 221(0)x y a b a b +=>>，椭圆上的点到两焦点的距离之和为6，以坐标原点为圆心，b 为半径的圆和直线0x y +=相切。 （1）求椭圆的离心率； （2）若直线l 和椭圆C 交于,M N 两点，以MN 为直径的圆过点(3,0)A ，求A M N ?面积的最大值。 解：（1）263a a =?= ，由相切，得1b ==， 所以3e === （2）由（1），椭圆方程为2 219 x y +=， 当直线斜率为0时，设为y m =，将y m =代入2 219 x y += ，得x =± 所以221(1)3233222m m S x m +-=??==?=。 当直线斜率不为0时， 设:l x ty λ=+，1122(,),(,)M x y N x y ，由2219 x ty x y λ=+???+=??得222(9)290t y t y λλ+++-=， 由0?>得，229t λ<+， 所以212122229,99 t y y y y t t λλ--+==++，1212()2x x t y y λ+=++， 2212121212()()()x x ty ty t y y t y y λλλλ=++=+++。 因为以MN 为直径的圆过点(3,0)A ，所以0AM AN ?=u u u r u u u r ， 所以1122(3,)(3,)0x y x y -?-=，所以1212123()90x x x x y y -+++=， 所以22 1212(1)(3)()690t y y t y y λλλ++-++-+=， 所以222222(1)(9)2(3)69099 t t t t λλλλλ+---+-+=++， 椭圆（2）－－直线与椭圆的综合应用 考点一 如何处理直线与椭圆的位置关系 例1 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b >0)的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2， |PF 1|＝43，|PF 2|＝143 . (1)求椭圆C 的方程； （2）过点()0,4Q 的直线与椭圆无公共点，求该直线的斜率k 的取值范围； (3)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点， 且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程． 【解析】 (1)因为点P 在椭圆C 上， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3. 在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25， 故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2 ＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2 4 ＝1. （2）过点()0,4Q 的直线方程为4y kx =+，代入椭圆22 194 x y +=，整理得，()2294721080k x kx +++=。由于该直线与椭圆无公共点，所以， ()()2 2724108940k k ?=-??+<，解之得，k << 所以，直线的斜率k 的取值范围是k << (3)解法一：设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5， 所以圆心M 的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0. 因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k 4＋9k 2 ＝－2， 解得k ＝8 9 ，此时，0?>。 所以直线l 的方程为y ＝8 9(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0。 解法二：已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 所以圆心M 的坐标为(－2,1) 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意x 1≠x 2 且x 219＋y 21 4＝1① x 229＋y 22 4＝1② ①－②得 ()()()()121212120 9 4 x x x x y y y y -+-++=.③ 因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2, 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝89 ，即k ＝8 9。 由于圆心M (－2,1)在椭圆内，所以k ＝8 9 符合题意。 【直线与椭圆】典例精讲 已知直线:1l y kx =+与椭圆2 2 :14y C x +=相交于两点,A B . （1）若AB 的中点的横坐标等于 14，求k 的值； （2）若AB 的中点在直线14x = 上，求k 的值； （3）若AB 的中点在直线12y = 上，求k 的值； （4）若AB 的中点的横坐标大于 15 ，求k 的取值范围； （5）求AB 的中点横坐标的取值范围； （6）求A B x x 的取值范围； （7）若AB 的中点在圆2212 x y +=上，求k 的值； （8）若AB 的中点与短轴右顶点的连线斜率为1-，求k 的值； （9）若0OA OB =,求k 的值； （10）设点(2,0)N ,若0NA NB =，求k 的值； （11）设点(2,0)N ,若ABN 为直角三角形，是否与（13）同解，为什么？ （12）设1(,0)2 P ，若PA PB =,求k 的值； （13）设过AB 的中点且与l 垂直的直线为m ，求直线m 与x 轴交点横坐标的取值范围； （14）设直线l 与y 轴交于点M ，若2AM MB =,求k 的值； （15）若AB 求k的值； （16）求OAB面积的最大值及此时k的值； 1. 如图，,A B 是椭圆2 2:13 x W y +=的两个顶点，过点A 的直线与椭圆W 交于另一点C . （Ⅰ）当AC 的斜率为3 1时，求线段AC 的长； （Ⅱ）设D 是AC 的中点，且以AB 为直径的圆恰过点D . 求直线AC 的斜率. 2. 已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围； （Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程. 3. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为22，离心率22=e ，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；（Ⅲ）若以OP ，OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程。 x y O A B C D 直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳 考点一 弦中点问题 [典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是 x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A.1 2 B.22 C.32 D.55 [解析] 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1 ＝1.由 ??? x 21a 2 ＋y 21 b 2＝1，x 22a 2 ＋y 22b 2 ＝1， 两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2 x 1－x 2 ＝ － b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝ 1－b 2a 2＝3 2 ，故选C. [答案] C [解题技法] 1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2．解有关弦中点问题的注意点 对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． [题组训练] 1．已知椭圆：x 29＋y 2 ＝1，过点P ????12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．9x ＋y －5＝0 B ．9x －y －4＝0 C ．x ＋9y －5＝0 D ．x －9y ＋4＝0 椭 圆 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ?OA OB ⊥ ?121K K ?=- ?0OA OB ?=u u u r u u u r ? 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ=u u u r u u u r ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 椭圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题”?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题”?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ=?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角 代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为 关于直线0l 的对称0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 高二数学学案 序号 116-117高二年级 班 教师 毕 环 学生 复习三十五 直线与圆锥曲线的位置关系 〖学习目的〗1、掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并解决相关问题。 2、会求弦长与弦有关的问题； 〖重点难点〗弦长与弦有关的问题 〖学习过程〗 一、复习归纳 1、直线l 与椭圆C 的交点个数（即位置关系）： 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的方程， ①当⊿=0时, 椭圆和直线只有一个交点-------相切； ②当⊿>0时, 椭圆和直线有两个交点--------相交； ③当⊿<0 时, 椭圆和直线没有交点--------相离。 2、直线与双曲线的位置关系的判定 设直线l ：m kx y +=，双曲线C 方程为：b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2，联立l 与C 消去某一变量(x 或y) 得到关于另一个变量的方程。 1）当方程的二次项系数不为0，则该方程是一个一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ， 那么：l 与c 相离的充要条件是 ； l 与c 相切的充要条件是 l 与c 相交于不同两点的充要条件是 . 2）当方程的二次项系数为0时，该方程为一元一次方程，方程只有一个解，方程组只有一组解 此时直线与双曲线也只有一个交点，直线与双曲线的渐近线平行，但不是相切关系； 直线l 与双曲线C 的位置关系是 。 注意：直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的 条件 3．直线与抛物线的位置关系 设直线m kx y l +=:，抛物线C ：)0(22>=p px y ，将直线方程与抛物线方程联立整理成 关于x 的方程： 0)22(222=+-+m x p km x k ①若02≠k 即0≠k 时方程为关于x 的一元二次方程 当0>?时，方程有 的解，直线与抛物线有 个交点，此时直线与抛物线 ； 当0=?时，方程有 的解，直线与抛物线有 个交点，此时直线与抛物线 ； 当0??标、弦长等问题）韦达定理（解决中点坐）（或00 弦长公式：直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交于A 、B 两点，则 B A B A x x x x k AB 4)(122-+?+= 或 B A B A y y y y k AB 4)(112 2-+?+ = 二、例题讲解 题型一直线与圆锥曲线的位置关系的判断 例1 判断直线03=+-y x 与椭圆 14 162 2=+y x 的位置关系 变式： 若直线12+=x y 与椭圆152 2=+m y x 有公共点，求实数m 的取值范围 例2、已知双曲线C ：122=-y x 及直线l ：1-=kx y ，k 为何值时 l 与C 只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？ 《直线与椭圆的综合问题》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 考点一 弦中点问题 [典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方 程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A.1 2 B.22 C.32 D.55 [解题技法] 1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2．解有关弦中点问题的注意点 对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． [题组训练] 1．已知椭圆：x 29＋y 2 ＝1，过点P ????12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．9x ＋y －5＝0 B ．9x －y －4＝0 C ．x ＋9y －5＝0 D ．x －9y ＋4＝0 2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是2 7的椭圆的标准方 程为________________． 考点二 弦长问题 [典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6 3，焦距 为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . (1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值． [解题技法] 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ ??? ?1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． [题组训练] 1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的 值为( ) A ．±1 B ．±1 2 C. 2 D ．±2 2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝1 2，过F 1 的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程； (2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． 考向3直线与椭圆的综合问题 考向3 直线与椭圆的综合问题(高频考点) 命题视角 直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有： (1)由已知条件求椭圆的方程或离心率； (2)由已知条件求直线的方程； (3)中点弦或弦的中点问题； (4)弦长问题； (5)与向量结合求参变量的取值． 【典例3】 (2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点? ?? ??? 1，32的椭圆C ： x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若点B 的坐标为? ???? 85 ，335，试求直线PA 的方程； (3)记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，试问y M ·y N 联立方程组??? ?? x 24＋y 23＝1， y ＝3(x －1)， 解得A (0，－3)， ∴直线PA ：y ＝－3 4x －3，即3x ＋4y ＋43＝0. (3)当k AB 不存在时，易得y M y N ＝－9， 当k AB 存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)， ∴x 214＋y 213＝1，x 224＋y 22 3＝1，两式相减，得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)4 ＝－(y 2＋y 1)(y 2－y 1)3 ， ∴(y 2＋y 1)(y 2－y 1) (x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－34＝k PA ·k AB ，令k AB ＝k ＝y 2 x 2－1， 则k PA ＝－3 4k ， ∴直线PA 方程：y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)，∴y M ＝－3 4k (x 2 教学过程 一、知识讲解 考点/易错点1 直线与椭圆的位置关系 提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系 设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 若点),(00y x P 椭圆上，则122 220=+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆内，则122 220<+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆外，则1220 220>+b y a x ； 2.直线与椭圆的位置关系 （1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点； 相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系 设直线:,l y kx m =+椭圆22 22:1(0)x y M a b a b +=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得 22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-= 记该一元二次方程的判别式为?，则 ①当0?>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0?=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0?<时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导 设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式. 11AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）. 二、例题精析 【例题1】 【题干】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M 的离心率为23 ，右顶点到左焦点的距离为 32+ （1）求椭圆M 的方程. （2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围； （3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f . 【答案】（1）2 214 x y += （2）①相交：m <<，②相切： m =，③相离： m m <<或 （3）()(f t t = ∈ 直线和椭圆的位置关系（综合应用） 教学目标:（1）理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系； （2）掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式； （3）初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；进一步树立数形结合、 函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想 教学重点：利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系 教学难点：利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系弦长、最值等综合问题. 教学过程 一、知识讲解 提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，引出点与椭圆的位置关系 1、点与椭圆的位置关系：设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 若点),(00y x P 椭圆上，则122 220=+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆内，则1220 220<+b y a x ； 若点),(00y x P 在椭圆外，则1220 220>+b y a x ； 2、直线与椭圆的位置关系 （1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点； 相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系：设直线:,l y kx m =+椭圆22 22:1(0)x y M a b a b +=>>，联立直线与椭圆方 程消去y 得2 2 2 2 2 2 2 2 ()2()0a k b x a kmx a m b +++-=，记该一元二次方程的判别式为?，则 ①当0?>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0?=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0?<时，直线与椭圆相离，没有交点. 直线与椭圆的综合问题 建议用时：45分钟 一、选择题 1．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．－23 B ．－32 C ．－49 D ．－94 A [设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，斜率 为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 2 2＝144， 两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2 ＝k ，代入解得k ＝－23.] 2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 2 3＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,3)∪(3，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．(0,3)∪(3，＋∞) B [由??? y ＝x ＋2，x 2m ＋y 2 3＝1， 得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 由Δ＞0且m ≠3及m ＞0得m ＞1且m ≠3.] 3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为2 2，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223 B.42 3 C. 2 D ．2 B [由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2 ＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，? ?? ??4 3，－13，所以|AB |＝423.] 4．设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 2 3＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则实数k 等于( ) A ．± 32 B ．±23 C ．± 12 D ．±2 A [由题意可知，点A 与点 B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k ＞0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得????? y 1＝－3 2，y 2＝32， 解得k ＝32；同理可得当k ＜0时k ＝－3 2.故选A.] 5．(2019·长春模拟)经过椭圆x 22＋y 2 ＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．－1 3或－3 D ．± 13 B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1.代入椭圆方程x 22＋y 2 ＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43. 所以两个交点坐标为A (0，－1)，B ? ????43，13，所以OA →·OB → ＝(0，－1)· ? ???? 43，13＝－13.同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－1 3.] 二、填空题 考向3 直线与椭圆的综合问题(高频考点) 命题视角 直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，主要命题角度有： (1)由已知条件求椭圆的方程或离心率； (2)由已知条件求直线的方程； (3)中点弦或弦的中点问题； (4)弦长问题； (5)与向量结合求参变量的取值． 【典例3】 (2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点? ?? ??1，32的椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点 B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆 C 的右准线l 于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若点B 的坐标为? ?? ?? 85，335，试求直线PA 的方程； (3)记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，试问y M ·y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． [思路点拨] (1)根据椭圆定义求出a 的值，再由c ＝1求出b 的值，就可得到椭圆的标准方程，(2)根据条件分别解出A ，P 点坐标，就可写出直线PA 的方程，(3)先根据直线AB 垂直x 轴的特殊情况下探求y M ， y N 的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值．本题难点在如何利用条件消去参数．点共 线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键． [解] (1)由题意，得2a ＝ 1－1 2 ＋? ?? ??32－02 ＋ 1＋1 2 ＋? ?? ??32－02 ＝4，即a ＝2， 又c ＝1，∴b 2 ＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)∵B ? ????85，335，∴P ? ????－8 5 ，－335，又F (1，0)，∴k AB ＝3， ∴直线AB ：y ＝3(x －1)， 联立方程组??? ?? x 24＋y 2 3＝1， y ＝3x －1， 解得A (0，－3)， ∴直线PA ：y ＝－ 3 4 x －3，即3x ＋4y ＋43＝0. 《直线与椭圆综合问题》教案 一、教学目标： 1.知识与技能方面 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质； 2.判断直线与椭圆的位置关系主要是代数法，即通过联立直线方程和椭圆方程所得的二次方程的根的个数来进行，当直线过某一定点时，也可利用该定点与椭圆的位置关系，来判断直线与椭圆的位置关系； 3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长； 4.掌握“设点法”的计算方法、技巧。 【强调几点】 1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意； 2.直线与椭圆有交点时，注意由直线方程和椭圆方程联立所得二次方程的Δ≥0； 3.写韦达定理时，注意Δ>0； 4.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围。 2.方法与技巧 1.采用“设直线法”时一般利用“设而不求”的思想方法； 2.采用“设点法”时注意应用椭圆方程带入消元，利用“消元”的思想方法。 3.情感态度与价值观 培养学生勇于探索，锲而不舍的精神，激励学生的学习热情。 二、教学重难点： 1.需分析题目，打通思路，预估计算量，选择方法，设直线法还是设点法； 2.计算繁琐，难度大，导致错误率高。 三、教学过程： 【典例1】在平面直角坐标系中，已知椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的离心率为 2 3 ，C为椭 圆上位于第一象限内的一点。 （1）若点C的坐标为 5 (2,) 3 ，求,a b的值； （2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且12 AB OC =，求直线AB 的斜率。 【典例分析】 （1）根据离心率23 c e a ==，点C 坐标代入方程，结合222b a c =-，可计算得出,a b 的值； （2）方法一：“设点法”设00(,)B x y ，根据向量关系，可以得出()0022,2C x a y +，再根据点B,C 在椭圆上，代入椭圆方程，可计算得出00,x y 的值，进而计算得出直线AB 的斜率； 方法二：“设直线法”首先考虑直线AB 的斜率是否存在的问题。当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线:()AB y k x a =+，因为//AB OC ，可得直线:OC y kx =。分别与椭圆联立方程组，写出B,C 两点坐标，再带入12AB OC = 中求得k 的值。 【典例2】已知点)F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点，点12M ??? 在椭圆 C 上。 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且12 OA OB k k +=- ( O 为坐标原点)，求直线l 斜率的取值范围。 【典例分析】 （1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()，利用椭圆的定义，求得2a =，再理由椭圆中222c a b =-，求得b 的值，即可得到椭圆的方程； （2）设l 直线的方程为y kx m =+，联立方程组，采用“设而不求”的思想方法，利用韦达定理关系，求得1212,x x x x +，在由12 OA OB k k +=-，进而可求解斜率的取值范围。 四、总结 直线与椭圆综合问题是高考的热点问题，一般是一个小题、一个大题（17或18题，内容是直线与椭圆），属于中档题，是我们学生力争得分的题目，而这个题目的特点是计算量较大，重点考察学生的算理能力。而解决此类问题的方法主要是“设直线法”和“设点法”，同学们在做题时要合理选择方法，并且独立自主的进行演算，提高运算水平。 第二课时 直线与椭圆的综合问题 考点二 弦长问题 [典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . (1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值． [解题技法] 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ ??? ?1＋1 k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式． [题组训练] 1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423 ，则实数m 的值为 ( ) A ．±1 B ．±12 C. 2 D ．±2 2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12 ，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程； (2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． 考点三 椭圆与向量的综合问题 [典例] (2019·长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ? ???3，32. (1)求椭圆C 的方程； (2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直直线与椭圆位置关系(经典)
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