矩阵相似的性质

1 矩阵的相似

1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件

3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）

矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似

定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质

（1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=.

（2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。

（3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=，

C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =；

引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵，

那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）

证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩

（B ）=秩（1

B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ）

（2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即

11()()P AP B P f A P f B --=?=

证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1

110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1

110()n n n n f B a B a B a B a E --=++

+

由于A 相似于B ，则k

A 相似与k

B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得

1k k B X A X -=，

因此 ()()111110n n n n X f A X X a A a A a A a E X ----=++

+

111

1110n n n n a X A X a X A X a X AX a E -----=++

++

1

110n n n n a B a B a B a E --=++

+

()f B = 所以()f A 相似于()f B 。

（3）相似矩阵有相同的行列式，即,A B trA trB ==；

证明：设A B 与相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=，两边取行列式

得：111B C AC C A C A C C A ---====，从而相似矩阵有相同的行列式。

又由性质（2）知，A B 与有相同的特征多项式，因而有相同的特征值12,,,n λλλ，而

A 的迹12n trA λλλ=++

+，B 的迹12n trB λλλ=+++，从而trA trB =，即相似

矩阵有相同的迹

（4）A 与B 有相同的Jordan 标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。

证明：设A B 与相似，由性质2可知A B =，若A 可逆，即0A ≠，从而0B ≠，故B

可逆；若A 不可逆，即=0A ，从而=0B ,故B 不可逆。 （6）若A 与B 相似，B D 与相似，则0000A B C D ????

? ?????

与相似。

证明：A 与B 相似，即存在可逆矩阵P ,使得1

B P AP -=,

C

D 与相似，即存在可逆矩阵Q ,

使得1

D Q CQ -=，由于110000=0000B A P P D C Q Q --????????

? ? ??????

????? 1

000=000P A P Q C Q -?????? ? ?????????

显然00P Q ??

???

是可逆矩阵。由此可见，则0000A B C D ????

? ?????与相似。

定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

证明：先证前一部分。设线性空间V 中线性变换A 在两组基：

12,,,n εεε （1） 12,,.,n ηηη（2）

下的矩阵分别为A 和B ,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X ，则：

1212(,,,)(,,.,)n n A A A A εεεεεε=， 1212(,,,)(,,

,)n n A A A B ηηηηηη=

1212(,,

,)(,,.

,)n n X ηηηεεε=

于

是

1212(,,

,)(,,

,)

n n A A A A ηηηηηη=12[(,,.

,)]n A X εεε=

12(,,,)n A A A X εεε= 12(,,

,.)n AX εεε= 112(,,.,)n X AX ηηη-=

由此可得 1

B X AX -=

现在证后一部分。设n 级矩阵A 和B 相似，那么它们可以 看作是n 维线性空间V 中一个线性变换 在基12,,.,n εεε下

的矩阵。因为1B X AX -=，令：

1212(,,

,)(,,

,.)n n X ηηηεεε=,显然，12,,n ηηη 也是一组基，A 在这组基下的

矩阵

就是B 。

例一：证明12

n λλλ??

?

? ? ??

?与2

1i i in λλ

λ??

?

? ? ? ??

?

相似，其中 12

,,

,n

i i i 是

1,2,

,n 的一个排列。

证明：设：

1

2

1212(,,)(,,

)n n n A λλεεεεεελ?? ? ?== ? ??

?

，则

2

1

12

1

2(,

,,)(,

,,.)i i n n in A λλ

εεεεεελ?? ? ?== ? ? ??

?

，因为12

n λλλ??

? ? ? ???

和

2

1i i in λλ

λ?? ?

? ? ? ??

?

是线性变换A 在不同基下的矩阵，故它们相似。

定理2.1：设,A B 是数域P 上的两个n 级矩阵，A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵

E A λ-和E B λ-等价。

例一：设,,a b c 是实数，b c a A c a b a b c ?? ?= ? ???，c a b B a b c b c a ??

?

= ? ???

,证明A 与B 相似。

证明：

b c a E A c a b a b c λλλλ---?? ?-=--- ? ?---??a b c c a b b c a λλλ---?? ?→--- ? ?---??c a

b b

c a a b c λλλ---?? ?

→--- ? ?---??

c a

b a b

c E B b c a λλλλ---?? ?

→---=- ? ?---??

故E A λ-和E B λ-等价，从而A B ∽

3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵

定义3.1.1：把矩阵A （或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换A ）的初等因子。

定理3.1.1：数域F 上的方阵A B 与相似的充要条件是E A λ-和E B λ-有相同的列式因子。

定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。

例1：证明：任何方阵A 与其转置方阵A ' 相似。

证明：因为E A λ-与E A λ'- 互为转置矩阵，它们对应k 阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故E A λ-与E A λ'- 等价，从而A 与A ' 相似。

例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。

证法一：设A B 与相似，即可存在可逆矩阵Q ，使1B Q AQ -=，又设A B 与的最小

多项式分别为()()12,g g λλ，于是：()()()111210g B g Q AQ Q g A Q --===,但是，

B 的最小多项式整除任何以B 为根的多项式，故()()12g g λλ=

证法二：设A B 与相似，则E A λ-和E B λ-等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A B 与有相同的最小的多项式。

4 相似矩阵与矩阵的对角化

矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。

定义3.1.2：数域F 上方阵A ，如果与一个F 上的对角方阵相似，则称A 在F 上可对角化。

定理3.2.3：复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子全是一次的。

定理3.2.4：复数矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 的不变因子都没有重根。

定理3.2.5：复数域上方阵A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根。

定理3.2.6：设A 是n 阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A 相似于对角矩阵；（2）属于A 的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A 有n 个线性无关的特征向量；（4）A 的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。

例4：设复矩阵A 的最小多项式()21k f λλ=-，证明：A 与对角阵相似。

证明：()()()()221,1,21k k f f k λλλλ-'=-= ，即A 的最小多项式无重根，所以A 的初等因子都是一次的，所以A 相似于对角阵。

例5：设A 为n 阶方阵，()f E A λλ=- 是A 的特征多项式，并令：

()()

()()()

,f G f f λλλλ=

'，证明：A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是

()0g A =。

证明：设()()

()

()

1

2

12n n n

r f E A λλλλλλλλ=-=---，其中12,,...r λλλ

互不相等，且12r n n n n ++

=，则：()()()()12r g λλλλλλλ=---。如果A

与一个对角矩阵相似，则E A λ-的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是12,,

,r λλλλλλ--- ，它们的乘积就是E A λ-最后一个不变因子

()n d λ，亦即()()()()()12n r d g λλλλλλλλ=---=。

但()n d λ 就 是E A λ-的 最 小 多 项 式 ， 所 以()()0n g A d A ==。反之，若()0g A =，则A 的最小多项式()n d λ整除()g λ，因而()n d λ没有重根，故A 与对角矩阵相似。

例7：设131210311A --??

?

= ? ???

，试证明：

（1）A 在复数域上可对角化；（2）A 在有理数域上不可对角化。

证明：⑴()323128f E A λλλλλ=-=-+- ,()23612f λλλ'=-+,

用辗转相除法可证得()()(),1f f λλ'=，故在复数域上A 相似于对角矩阵。

（2）若A 在有理数域上可对角化，那么A 的特征值必须都是有理数，从而()f λ有有理根，而()f λ的首项系数为1，从而()f λ的有理根必为整数根。由于()f λ的常数项为-8，如果()f λ有整数根必为1,2,4,8±±±±，用综合除法验算它们都不是()f λ的根，因此()f λ无有理根，从而得证A 在有理数域上不可对角化。

注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化

（即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关，例如，二阶方阵0110A -??

= ???在

实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵

00i B i ??= ?-??

相似，事实上，取11P i i ??=

?-?? ，即有1

P AP B -=。