排序算法总结
一、 排序问题
1.1 排序问题的定义
排序问题的输入是一个线性表，该线性表的元素属于一个偏序集；要求对该线性表的元素做某种重排，使得线性表中除表尾外的每个元素都小于等于（或大于等于）它的后继。
设R 为非空集合A 上的二元关系，如果R 满足自反性(对于每一个x A ∈，
(,)x x R ∈)，反对称性((,)&(,)x y R y x R x y ∈∈?=)和传递性
((,)&(,)(,)x y R y z R x z R ∈∈?∈)，则称R 为A 上的偏序关系，记作≤。如果
(,)x y R ∈，则记作x y ≤，读作“x 小于等于y ”。存在偏序关系的集合A 称为
偏序集。（注意，这里的≤不是指数的大小，而是指在偏序关系中的顺序性。x y ≤的含
义是：按照这个序，x 排在y 前面。根据不同的偏序定义，≤有不同的解释。例如整除关系是偏序关系≤，3≤6的含义是3整除6。大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系5≤4是指在大于或等于关系中5排在4的前面，也就是说5比4大。）
在实际应用中，经常遇到的偏序关系是定义在一个记录类型的数据集合上的。在该记录类型中有一个主键域key ，key 域的类型是某一个偏序集，记录的其他域称为数据。比较线性表中的两个元素Li 和Lj 的大小，实际上是比较Li.key 和Lj.key 的大小（这种比较当然也是偏序集中的比较）。举例而言，某公司的数据库里记 录了员工的数据，每一项纪录包括姓名，编号，年龄，工资等几个域，如果以编号为key 域对员工记录排序，则是将员工记录按照编号排序；如果以工资为key 域对员工记录排序，则是将员工记录按照工资高低排序；如果以姓名为key 域对员工记录排序，则是以员工姓名的汉语拼音按照字典顺序排序。 1.2 排序问题的分类
如果一个排序算法利用输入的线性表在原地重排其中元素，而没有额外的内存开销，这种排序算法叫做原地置换排序算法(in place sort)；如果排序后并不改变表中相同的元素原来的相对位置，那么这种排序算法叫做稳定排序算法(stable sort)。
排序问题一般分为内排序( internal sorting )和外排序( external sorting )两类： 内排序：待排序的表中记录个数较少，整个排序过程中所有的记录都可以保留在内存中；
外排序：待排序的记录个数足够多，以至于他们必须存储在磁带、磁盘上组成外部文件，排序过程中需要多次访问外存。 1.3 排序问题的计算复杂性
对排序算法计算时间的分析可以遵循若干种不同的准则，通常以排序过程所需要的算法步数作为度量，有时也以排序过程中所作的键比较次数作为度量。特别是当作一次键比较需要较长时间，例如，当键是较长的字符串时，常以键比较
次数作为排序算法计算时间复杂性的度量。当排序时需要移动记录，且记录都很大时，还应该考虑记录的移动次数。究竟采用哪种度量方法比较合适要根据具体情况而定。在下面的讨论中我们主要考虑用比较的次数作为复杂性的度量。
为了对有n 个元素的线性表进行排序，至少必须扫描线性表一遍以获取这n
个元素的信息，因此排序问题的计算复杂性下界为()n Ω。
如果我们对输入的数据不做任何要求，我们所能获得的唯一信息就是各个元素的具体的值，我们仅能通过比较来确定输入序列12<,,,>n a a a L 的元素间次序。即给定两个元素i a 和j a ，通过测试,,,,i j i j i j i j i j a a a a a a a a a a <≤=≥>中的哪一个成立来确定i a 和j a 间的相对次序。这样的排序算法称为比较排序算法。下面我们讨论一下比较排序算法在最坏情况下至少需要多少次比较，即比较排序算法的最坏情况复杂性下界。
我们假设每次比较只测试i j a a ≤ ，如果i j a a ≤ 成立则i a 排在j a 前面，否则
i a 排在j a 后面。任何一个比较排序算法可以描述为一串比较序列:
(,),(,),,(,),i j k l m n a a a a a a L L
表示我们首先比较(,)i j a a ，然后比较(,)k l a a ，...，比较(,)m n a a ，...，直到我们获取了足够的信息可以确定所有元素的顺序。显而易见，如果我们对所有的元素两两进行一次比较的话(总共比较了2n C 次)，就一定可以确定所有元素的顺序。但是，如果我们运气足够好的话，我们可能不必对所有元素两两进行一次比较。比如说对于有三个元素123<,,>a a a 的线性表进行排序，如果我们先比较1a 和2a ，得到
12a a ≤；然后比较2a 和3a ，得到23a a ≤；则不必比较1a 和3a ，因为根据偏序集的传递性，必有13a a ≤；但是如果23a a ≥，我们还必须比较1a 和3a 才能确定1a 和
3a 的相对位置。如果我们适当的安排比较的次序的话，也可以减少比较的次数。这样我们可以用一棵二叉树表示比较的顺序，如下图所示：
图 二叉树表示比较的顺序
该树的每一个非叶节点表示一次比较，每一根树枝表示一种比较结果，每一个叶节点表示一种排列顺序。这样的一棵二叉树叫做决策树，它用树枝表示了每次决策做出的选择。如此我们可以将任何一个比较排序算法用一棵决策树来表示。
请注意上图只表明了对三个元素的一种比较算法，这种比较算法依次比较
122313(,),(,),(,)a a a a a a ，一旦中间某步得到足够的信息就可以停止比较，但是当算法执行完后（三次比较后），一定可以确定三个元素间的次序。因此我们有理由将算法在最坏情况下的比较次数作为算法复杂性的度量，对于本例该算法在最坏情况下要进行23C 次比较。
显然，一棵决策树中最高叶节点的高度就是该决策树对应的算法在最坏情况下所需的比较次数，而决策树中最低叶节点的高度就是该决策树对应的算法在最好情况下所需的比较次数。
我们的问题就变为：对于任意一棵决策树（任意一种比较排序算法），它的最高的树叶的高度是多少？这个高度就对应于比较排序算法所需的最多比较次数（在运气最坏的情况下）；换句话说，对于任何一个输入，该算法至少需要比较多少次就可以对元素进行排序。
我们发现，决策树的每个叶节点对应一个n 个元素的排列，其中可能有重复的；但是由于决策树表明了所有可能遇到的情况，因而n 个元素的所有排列都在决策树中出现过。n 个元素共有!n 种排列，即决策树的叶节点数目至少为!n 。又因为一棵高度为h 的二叉树（指二叉树的最高树叶高度为h ）的叶节点数目最多为2h 个（这时正好是满二叉树，即每个非叶节点都有两个子节点），因此!2n h ≤，得到log(!)h n ≥，其中log 以2为底。根据Stirling 公式有!(/)n n e n >，于是
log()log()h n n n e >-，即(log())h n n =Ω。
这样我们就证明了对于任意一种利用比较来确定元素间相对位置的排序算法，其最坏情况下复杂性为(log())n n Ω。
在下文中我们将讨论几种比较排序算法，其中快速排序在平均情况下复杂性为
(log())O n n ，最坏情况下复杂性为2()O n ；堆排序和合并排序在最坏情况下复杂性为(log())O n n ，因此堆排序和合并排序是渐进最优的比较排序算法。
排序算法是否还能够改进呢？从前文我们知道，如果要改进排序算法的效率，就不能只利用比较来确定元素间相对位置。因此我们还需要知道元素的其他附加信息，光知道元素的大小信息是不够的。下文中我们介绍的计数排序，基数排序和桶排序是具有线性时间复杂性的排序算法，这些算法无一例外地对输入数据作了某些附加限制，从而增加已知的信息，因此可以不通过比较来确定元素间的相对位置。
1.4 常见排序算法
表 各排序算法的时间复杂度、空间复杂度及稳定性
二、直接插入排序法(插入排序)
2.1 算法思想
每次选择一个元素K 插入到之前已排好序的部分A[1…i]中，插入过程中K 依次由后向前与A[1…i]中的元素进行比较。若发现发现A[x]>=K,则将K 插入到
A[x]的后面，插入前需要移动元素。
图直接插入排序法思想2.2 代码实现(C语言)
2.3 算法时间复杂度
最好的情况下：正序有序(从小到大)，这样只需要比较n 次，不需要移动。因此时间复杂度为()O n 。
最坏的情况下：逆序有序,这样每一个元素就需要比较n 次，共有n 个元
素，因此实际复杂度为2()O n 。 平均情况下：
2()O n 。 2.4 稳定性
稳定性，就是有两个相同的元素，排序先后的相对位置是否变化，主要用在
排序时有多个排序规则的情况下。在插入排序中，K1是已排序部分中的元素，当K2和K1比较时，直接插到K1的后面(没有必要插到K1的前面，这样做还需要移动！！)，因此，插入排序是稳定的。、
三、希尔排序算法(插入排序)
3.1算法思想
希尔排序，也称递减增量排序算法，是插入排序的一种高速而稳定的改进版本。它的基本思想是先取定一个小于n 的整数1d 作为第一个增量,把表的全部记录分成1d 个组,所有距离为1d 的倍数的记录放在同一个组中,在各组内进行直接插入排序；然后,取第二个增量21()d d <,重复上述的分组和排序,直至所取的增量1211()t t t d d d d d -=<<< {[0][ ][2][]}{[1][1][12][1]} {[1]{[21]{[31]{[(1)1]} R R d R d R kd R R d R d R kd R d R d R d R k d +++---+-L L M M M M L 图 希尔排序示例 说明：5d = 时，先从[]A d 开始向前插入，判断[]A d d -，然后[1]A d +与 [(1)]A d d +-比较，如此类推，这一回合后将原序列分为d 个组。<由后向前> 3.2代码实现(C 语言) 3.3算法时间复杂度 最好情况：由于希尔排序的好坏和步长d的选择有很多关系，因此，目前还没有得出最好的步长如何选择(现在有些比较好的选择了，但不确定是否是最好的)。所以，不知道最好的情况下的算法时间复杂度。 O N N，最坏的情况下和平均情况下差不多。 最坏情况下：(*log) O N N。 平均情况下：(*log) 3.4稳定性 由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以shell排序是不稳定的。(方便记忆：一般来 说，若存在不相邻元素间交换，则很可能是不稳定的排序。) 四、冒泡排序算法(交换排序) 4.1算法思想 冒泡排序（Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。 4.2代码实现(C语言) 4.3算法时间复杂度 最好情况下：正序有序，则只需要比较n 次，故为()O n 。 最坏情况下: 逆序有序，则需要比较(1)(2)1n n -+-++L ，故为()O n n *。 4.4稳定性 排序过程中只交换相邻两个元素的位置。因此，当两个数相等时，是没必要交换两个数的位置的。所以，它们的相对位置并没有改变，冒泡排序算法是稳定的。 五、快速排序算法(交换排序) 5.1算法思想 它是由冒泡排序改进而来的。其基本思想是：在待排序的n 个记录中任取一个记录(通常取第一个记录),把该记录放入适当位置后, 通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分。其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。其最核心的思想是将小的部分放在左边，大的部分放到右边，实现分割。 5.2代码实现(C 语言) 5.3算法时间复杂度 最好的情况下：因为每次都将序列分为两个部分(一般两部分复杂度都和 O n n。 log()n相关)，故为(log()) *次，故为最坏的情况下：基本有序时，退化为冒泡排序，几乎要比较n n *。 O n n () 5.4稳定性 由于每次都需要和中轴元素交换，因此原来的顺序就可能被打乱。如序列为 5 3 3 4 3 8 9 10 11会将3的顺序打乱。所以，快速排序是不稳定的。 六、直接选择排序算法(选择排序) 6.1算法思想 直接选择排序(Selection sort)是一种简单直观的排序算法。其基本思想为：首先在未排序序列中找到最小元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小元素，然后放到已排序序列末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。其具体做法是：选择最小的元素与未排序部分的首部交换，使所得序列的前面为有序。 6.2代码实现(C语言) 6.3算法时间复杂度 最好情况下：交换0次，但是每次都要找到最小的元素，因此大约必须遍历 n n *次，因此为()O n n *。减少了交换次数。 最坏情况下，平均情况下：()O n n *。 6.4稳定性 由于每次都是选取未排序序列A 中的最小元素x 与A 中的第一个元素交换，因此跨距离了，很可能破坏了元素间的相对位置，因此选择排序是不稳定的。 七、堆排序算法 7.1算法思想 堆排序（Heapsort ）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。堆排序的基本思想是：利用完全二叉树中双亲节点和孩子节点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大(或者最小)的记录。也就是说，以最小堆为例，根节点为最小元素，较大的节点偏向于分布在堆底附 近。 图 堆排序算法示例 7.2代码实现(C 语言) 7.3算法时间复杂度 最坏情况下接近于2(log )O n n ，因此它是一种效果不错的排序算法。 7.4稳定性 堆排序需要不断地调整堆，因此它是一种不稳定的排序。 八、归并排序算法 8.1算法思想 归并排序（Merge sort ）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer ）的一个非常典型的应用。 归并操作的过程如下： （1）申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列 （2）设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置 （ 3）比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置 （4）重复步骤3直到某一指针达到序列尾 （5）将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾 图 归并排序示例 8.2代码实现(C 语言) 8.3算法时间复杂度 最好的情况下：一趟归并需要n 次，总共需要2log n 次，因此为2(log )O n n * 最坏的情况下：接近于平均情况下，为2(log )O n n * （说明：对长度为n 的文件，需进行2log n 趟二路归并，每趟归并的时间为()O n ，故其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是2(log )O n n *。） 8.4稳定性 归并排序最大的特色就是它是一种稳定的排序算法。归并过程中是不会改变元素的相对位置的。 其缺点是，它需要()O n 的额外空间，但是很适合于多链表排序 九、基数排序算法 9.1算法思想 基数排序(Radix sort)是一种非比较型的整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。由于整数也可以表达字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮点数，所以基数排序也不是只能使用于整数。 9.2代码实现(C 语言) 9.3算法时间复杂度 9.4稳定性 十、排序算法分析比较 10.1直接插入排序 如果目标是把n个元素的序列升序排列，那么采用直接插入排序存在最好情况和最坏情况。最好情况就是，序列已经是升序排列了，在这种情况下，需要进行的比较操作需(n-1)次即可。最坏情况就是，序列是降序排列，那么此时需要进行的比较共有n(n-1)/2次。直接插入排序的赋值操作是比较操作的次数减去(n-1)次。平均来说直接插入排序算法复杂度为O(n2)。因而，直接插入排序不适合对于数据量比较大的排序应用。但是，如果需要排序的数据量很小，例如，量级小于千，那么直接插入排序还是一个不错的选择。插入排序在工业级库中也有着广泛的应用，在STL的sort算法和stdlib的qsort算法中，都将插入排序作为快速排序的补充，用于少量元素的排序（通常为8个或以下）。 10.2希尔排序 希尔排序是基于插入排序的一种算法，在此算法基础之上增加了一个新的 特性，提高了效率。希尔排序的时间复杂度为O(N*(logN)2)，没有快速排序算法快O(N*(logN))，因此中等大小规模表现良好，对规模非常大的数据排序不是最优选择。但是比O(N2）复杂度的算法快得多。并且希尔排序非常容易实现，算法代码短而简单。此外，希尔算法在最坏的情况下和平均情况下执行效率相差不是很多，与此同时快速排序在最坏的情况下执行的效率会非常差。专家们提倡，几乎任何排序工作在开始时都可以用希尔排序，若在实际使用中证明它不够快，再改成快速排序这样更高级的排序算法. 希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序，当刚开始元素很无序的时候，步长最大，所以插入排序的元素个数很少，速度很快；当元素基本有序了，步长很小，插入排序对于有序的序列效率很高。所以，希尔排序的时间复杂度会比 o(n^2)好一些。由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以shell排序是不稳定的 10.3冒泡排序 时间复杂度为O（n^2），虽然不及堆排序、快速排序的O（nlogn，底数为2），但是有两个优点：1.“编程复杂度”很低，很容易写出代码；2.具有稳定性。 其中若记录序列的初始状态为"正序"，则冒泡排序过程只需进行一趟排序，在排序过程中只需进行n-1次比较，且不移动记录；反之，若记录序列的初始状态为"逆序"，则需进行n(n-1）/2次比较和记录移动。因此冒泡排序总的时间复杂度为O(n*n)。 10.4快速排序 在最好的情况，每次我们执行一次分割，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递回调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作 log n次巢状的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。但是在同一阶层的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部份；因此，程序调用的每一阶层总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有 某些共同的额外耗费，但是因为在每一阶层仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳 在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(n log n)时间。 另外一个方法是为T(n)设立一个递回关系式，也就是需要排序大小为n的数列所需要的时间。在最好的情况下，因为一个单独的快速排序调用牵涉了O(n) 的工作，加上对n/2大小之数列的两个递回调用，这个关系式可以是：T(n) = O(n) + 2T(n/2) 解决这种关系式型态的标准数学归纳法技巧告诉我们T(n) = O(n log n)。 事实上，并不需要把数列如此精确地分割；即使如果每个基准值将元素分开为 99% 在一边和 1% 在另一边，调用的深度仍然限制在 100log n，所以全部执行时间依然是O(n log n)。 然而，在最坏的情况是，两子数列拥有大各为 1 和n-1，且调用树（call tree）变成为一个n个巢状（nested）呼叫的线性连串（chain）。第i次呼叫作了O(n-i)的工作量，且递回关系式为： T(n) = O(n) + T(1) + T(n- 1) = O(n) + T(n- 1) 这与插入排序和选择排序有相同的关系式，以及它被解为T(n) = O(n2)。 讨论平均复杂度情况下，即使如果我们无法随机地选择基准数值，对于它的输入之所有可能排列，快速排序仍然只需要O(n log n)时间。因为这个平均 是简单地将输入之所有可能排列的时间加总起来，除以n这个因子，相当于从输入之中选择一个随机的排列。当我们这样作，基准值本质上就是随机的，导致这个算法与乱数快速排序有一样的执行时间。 更精确地说，对于输入顺序之所有排列情形的平均比较次数，可以借由解出这个递回关系式可以精确地算出来。 在这里，n-1是分割所使用的比较次数。因为基准值是相当均匀地落在排 列好的数列次序之任何地方，总和就是所有可能分割的平均。 这个意思是，平均上快速排序比理想的比较次数，也就是最好情况下，只大约比较糟39%。这意味着，它比最坏情况较接近最好情况。这个快速的平均执行时间，是快速排序比其他排序算法有实际的优势之另一个原因。 讨论空间复杂度时被快速排序所使用的空间，依照使用的版本而定。使用 原地（in-place）分割的快速排序版本，在任何递回呼叫前，仅会使用固定的額外空間。然而，如果需要产生O(log n)巢状递回呼叫，它需要在他们每一个储存一个固定数量的资讯。因为最好的情况最多需要O(log n)次的巢状递回呼叫，所以它需要O(log n)的空间。最坏情况下需要O(n)次巢状递回呼叫，因此需要O(n)的空间。 然而我们在这里省略一些小的细节。如果我们考虑排序任意很长的数列，我们必须要记住我们的变量像是left和right，不再被认为是占据固定的空间； 也需要O(log n)对原来一个n项的数列作索引。因为我们在每一个堆栈框架中都有像这些的变量，实际上快速排序在最好跟平均的情况下，需要O(log2 n) 空间的位元数，以及最坏情况下O(n log n)的空间。然而，这并不会太可怕，因为如果一个数列大部份都是不同的元素，那么数列本身也会占据O(n log n)的空间字节。 非原地版本的快速排序，在它的任何递回呼叫前需要使用O(n)空间。在最好的情况下，它的空间仍然限制在O(n)，因为递回的每一阶中，使用与上一次所 使用最多空间的一半，且 它的最坏情况是很恐怖的，需要 空间，远比数列本身还多。如果这些数列元素本身自己不是固定的大小，这个问题会变得更大；举例来说，如果数列元素的大部份都是不同的，每一个将会 各种排序算法的总结和比较 1 快速排序（QuickSort） 快速排序是一个就地排序，分而治之，大规模递归的算法。从本质上来说，它是归并排序的就地版本。快速排序可以由下面四步组成。 （1）如果不多于1个数据，直接返回。 （2）一般选择序列最左边的值作为支点数据。（3）将序列分成2部分，一部分都大于支点数据，另外一部分都小于支点数据。 （4）对两边利用递归排序数列。 快速排序比大部分排序算法都要快。尽管我们可以在某些特殊的情况下写出比快速排序快的算法，但是就通常情况而言，没有比它更快的了。快速排序是递归的，对于内存非常有限的机器来说，它不是一个好的选择。 2 归并排序（MergeSort） 归并排序先分解要排序的序列，从1分成2，2分成4，依次分解，当分解到只有1个一组的时候，就可以排序这些分组，然后依次合并回原来的序列中，这样就可以排序所有数据。合并排序比堆排序稍微快一点，但是需要比堆排序多一倍的内存空间，因为它需要一个额外的数组。 3 堆排序（HeapSort） 堆排序适合于数据量非常大的场合（百万数据）。 堆排序不需要大量的递归或者多维的暂存数组。这对于数据量非常巨大的序列是合适的。比如超过数百万条记录，因为快速排序，归并排序都使用递归来设计算法，在数据量非常大的时候，可能会发生堆栈溢出错误。 堆排序会将所有的数据建成一个堆，最大的数据在堆顶，然后将堆顶数据和序列的最后一个数据交换。接下来再次重建堆，交换数据，依次下去，就可以排序所有的数据。 Shell排序通过将数据分成不同的组，先对每一组进行排序，然后再对所有的元素进行一次插入排序，以减少数据交换和移动的次数。平均效率是O(nlogn)。其中分组的合理性会对算法产生重要的影响。现在多用D.E.Knuth的分组方法。 Shell排序比冒泡排序快5倍，比插入排序大致快2倍。Shell排序比起QuickSort，MergeSort，HeapSort慢很多。但是它相对比较简单，它适合于数据量在5000以下并且速度并不是特别重要的场合。它对于数据量较小的数列重复排序是非常好的。 5 插入排序（InsertSort） 插入排序通过把序列中的值插入一个已经排序好的序列中，直到该序列的结束。插入排序是对冒泡排序的改进。它比冒泡排序快2倍。一般不用在数据大于1000的场合下使用插入排序，或者重复排序超过200数据项的序列。 一、插入排序 介绍 插入排序的基本操作就是将一个数据插入到已经排好序的有序数据中，从而得到一个新的、个数加一的有序数据。 算法适用于少量数据的排序，时间复杂度为O(n^2)。 插入排算法是稳定的排序方法。 步骤 ①从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序 ②取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描 ③如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置 ④重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置 ⑤将新元素插入到该位置中 ⑥重复步骤2 排序演示 算法实现 二、冒泡排序 介绍 冒泡排序（Bubble Sort）是一种简单的排序算法，时间复杂度为O(n^2)。它重复地走访过要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。 这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。原理 循环遍历列表，每次循环找出循环最大的元素排在后面； 需要使用嵌套循环实现：外层循环控制总循环次数，内层循环负责每轮的循环比较。 步骤 ①比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个。 ②对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。在这一点，最后的元素应该会是最大的数。 ③针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。 ④持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。 算法实现： 三、快速排序 介绍 快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进，借用了分治的思想，由C. A. R. Hoare在1962年提出。 基本思想 快速排序的基本思想是：挖坑填数+ 分治法。 首先选出一个轴值(pivot，也有叫基准的)，通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。 实现步骤 数据结构各种排序算法总结 2009-08-19 11:09 计算机排序与人进行排序的不同：计算机程序不能象人一样通览所有的数据，只能根据计算机的"比较"原理，在同一时间内对两个队员进行比较，这是算法的一种"短视"。 1. 冒泡排序 BubbleSort 最简单的一个 public void bubbleSort() { int out, in; for(out=nElems-1; out>0; out--) // outer loop (backward) for(in=0; in swap(out, min); // swap them } // end for(out) } // end selectionSort() 效率：O(N2) 3. 插入排序 insertSort 在插入排序中，一组数据在某个时刻实局部有序的，为在冒泡和选择排序中实完全有序的。 public void insertionSort() { int in, out; for(out=1; out 这个星期做数据结构课设，涉及到两个基于链表的排序算法，分别是基于链表的选择排序算法和归并排序算法。写出来跟大家一起分享一下，希望对数据结构初学朋友有所帮助，高手就直接忽视它吧。话不多说，下面就看代码吧。 [c-sharp]view plaincopy 1.node *sorted(node *sub_root) 2.{ 3.if (sub_root->next) 4. { 5. node * second_half = NULL; 6. node * first_half = sub_root; 7. node * temp = sub_root->next->next; 8.while (temp) 9. { 10. first_half = first_half->next; 11. temp = temp->next; 12.if(temp) 13. temp = temp->next; 14. } 15. second_half = first_half->next; 16. first_half->next = NULL; 17. node * lChild = sorted(sub_root); 18. node * rChild = sorted(second_half); 19.if (lChild->data < rChild->data) 20. { 21. sub_root = temp = lChild; 22. lChild = lChild->next; 23. } 24.else 25. { 26. sub_root = temp = rChild; 27. rChild = rChild->next; 28. } 29.while (lChild&&rChild) 30. { 31.if (lChild->data < rChild->data ) 32. { 33. temp->next = lChild; 34. temp = temp->next; 35. lChild = lChild->next; 36. } 37.else 38. { 各种排序算法总结 排序算法有很多，所以在特定情景中使用哪一种算法很重要。为了选择合适的算法，可以按照建议的顺序考虑以下标准： （）执行时间 （）存储空间 （）编程工作 对于数据量较小的情形，（）（）差别不大，主要考虑（）；而对于数据量大的，（）为首要。主要排序法有： 一、冒泡（）排序——相邻交换 二、选择排序——每次最小大排在相应的位置 三、插入排序——将下一个插入已排好的序列中 四、壳（）排序——缩小增量 五、归并排序 六、快速排序 七、堆排序 八、拓扑排序 九、锦标赛排序 十、基数排序 一、冒泡（）排序 从小到大排序个数 () { ( <) { ( <) { ([]>[])比较交换相邻元素 { ; []; [][]; []; } } } } 效率（2）,适用于排序小列表。 二、选择排序 从小到大排序个数 { ; ( <) { ; ( <)每次扫描选择最小项 ([]<[]) ; ()找到最小项交换，即将这一项移到列表中的正确位置 { ; []; [][]; []; } } } 效率（2），适用于排序小的列表。 三、插入排序 从小到大排序个数 () { ( <)循环从第二个数组元素开始，因为[]作为最初已排序部分 { []标记为未排序第一个元素 ; (> []>)*将与已排序元素从小到大比较，寻找应插入的位置* { [][]; ; } []; } } 最佳效率（）；最糟效率（2）与冒泡、选择相同，适用于排序小列表若列表基本有序，则插入排序比冒泡、选择更有效率。 四、壳（）排序——缩小增量排序 从小到大排序个数 { ( <)增量递减 { ( <())重复分成的每个子列表 { ( <)对每个子列表应用插入排序 { []; ; (>[]>) { [][]; ; } []; } } } } 适用于排序小列表。 效率估计（^）（^），取决于增量值的最初大小。建议使用质数作为增量值，因为如果增量值是的幂，则在下一个通道中会再次比较相同的元素。 壳（）排序改进了插入排序，减少了比较的次数。是不稳定的排序，因为排序过程中元素可能会前后跳跃。 五、归并排序 从小到大排序 ( ) { (>) 每个子列表中剩下一个元素时停止 ()*将列表划分成相等的两个子列表,若有奇数个元素，则在左边子列表大于右侧子列表* ()子列表进一步划分 (); [] []新建一个数组，用于存放归并的元素 ( < <)*两个子列表进行排序归并，直到两个子列表中的一个结束* { ([]<[];) { [][]; 数据结构-各类排序算法总结 原文转自： https://www.360docs.net/doc/b611127718.html,/zjf280441589/article/details/38387103各类排序算法总结 一. 排序的基本概念 排序(Sorting)是计算机程序设计中的一种重要操作，其功能是对一个数据元素集合或序列重新排列成一个按数据元素 某个项值有序的序列。 有n 个记录的序列{R1，R2，…，Rn}，其相应关键字的序列是{K1，K2，…，Kn}，相应的下标序列为1，2，…，n。通过排序，要求找出当前下标序列1，2，…，n 的一种排列p1，p2，…，pn，使得相应关键字满足如下的非递减（或非递增）关系，即：Kp1≤Kp2≤…≤Kpn，这样就得到一个按关键字有序的记录序列{Rp1，Rp2，…，Rpn}。 作为排序依据的数据项称为“排序码”，也即数据元素的关键码。若关键码是主关键码，则对于任意待排序序列，经排序后得到的结果是唯一的；若关键码是次关键码，排序结果可 能不唯一。实现排序的基本操作有两个： （1）“比较”序列中两个关键字的大小； （2）“移动”记录。 若对任意的数据元素序列，使用某个排序方法，对它按关键码进行排序：若相同关键码元素间的位置关系，排序前与排序后保持一致，称此排序方法是稳定的；而不能保持一致的排序方法则称为不稳定的。 二.插入类排序 1.直接插入排序直接插入排序是最简单的插入类排序。仅有一个记录的表总是有序的，因此，对n 个记录的表，可从第二个记录开始直到第n 个记录，逐个向有序表中进行插入操作，从而得到n个记录按关键码有序的表。它是利用顺序查找实现“在R[1..i-1]中查找R[i]的插入位置”的插入排序。 数据挖掘十大经典算法，你都知道哪些？ 当前时代大数据炙手可热，数据挖掘也是人人有所耳闻，但是关于数据挖掘更具体的算法，外行人了解的就少之甚少了。 数据挖掘主要分为分类算法，聚类算法和关联规则三大类，这三类基本上涵盖了目前商业市场对算法的所有需求。而这三类里又包含许多经典算法。而今天，小编就给大家介绍下数据挖掘中最经典的十大算法，希望它对你有所帮助。 一、分类决策树算法C4.5 C4.5，是机器学习算法中的一种分类决策树算法，它是决策树(决策树，就是做决策的节点间的组织方式像一棵倒栽树)核心算法ID3的改进算法，C4.5相比于ID3改进的地方有： 1、用信息增益率选择属性 ID3选择属性用的是子树的信息增益，这里可以用很多方法来定义信息，ID3使用的是熵（shang），一种不纯度度量准则，也就是熵的变化值，而 C4.5用的是信息增益率。区别就在于一个是信息增益，一个是信息增益率。 2、在树构造过程中进行剪枝，在构造决策树的时候，那些挂着几个元素的节点，不考虑最好，不然容易导致过拟。 3、能对非离散数据和不完整数据进行处理。 该算法适用于临床决策、生产制造、文档分析、生物信息学、空间数据建模等领域。 二、K平均算法 K平均算法（k-means algorithm）是一个聚类算法，把n个分类对象根据它们的属性分为k类（kn）。它与处理混合正态分布的最大期望算法相似，因为他们都试图找到数据中的自然聚类中心。它假设对象属性来自于空间向量，并且目标是使各个群组内部的均方误差总和最小。 从算法的表现上来说，它并不保证一定得到全局最优解，最终解的质量很大程度上取决于初始化的分组。由于该算法的速度很快，因此常用的一种方法是多次运行k平均算法，选择最优解。 k-Means 算法常用于图片分割、归类商品和分析客户。 三、支持向量机算法 支持向量机(Support Vector Machine)算法，简记为SVM，是一种监督式学习的方法，广泛用于统计分类以及回归分析中。 SVM的主要思想可以概括为两点： (1)它是针对线性可分情况进行分析，对于线性不可分的情况，通过使用非线性映射算法将低维输入空间线性不可分的样本转化为高维特征空间使其线性可分； (2)它基于结构风险最小化理论之上，在特征空间中建构最优分割超平面，使得学习器得到全局最优化，并且在整个样本空间的期望风险以某个概率满足一定上界。 四、The Apriori algorithm Apriori算法是一种最有影响的挖掘布尔关联规则频繁项集的算法，其核心是基于两阶段“频繁项集”思想的递推算法。其涉及到的关联规则在分类上属于单维、单层、布尔关联规则。在这里，所有支持度大于最小支 一插入排序 1.1 直接插入排序 基本思想：每次将一个待排序额记录按其关键码的大小插入到一个已经排好序的有序序列中，直到全部记录排好序。 图解： 1.//直接顺序排序 2.void InsertSort(int r[], int n) 3.{ 4.for (int i=2; i 代码实现： [cpp]view plain copy 1.//希尔排序 2.void ShellSort(int r[], int n) 3.{ 4.int i; 5.int d; 6.int j; 7.for (d=n/2; d>=1; d=d/2) //以增量为d进行直接插入排序 8. { 9.for (i=d+1; i //1. 希尔排序, 时间复杂度：O(nlogn)~ O(n^2) // 另称：缩小增量排序(Diminishing Increment Sort) void ShellSort(int v[],int n) { int gap, i, j, temp; for(gap=n/2; gap>0; gap /= 2) /* 设置排序的步长，步长gap每次减半，直到减到1 */ { for(i=gap; i } else /* 如果中间元素比当前元素小，但前元素要插入到中间元素的右侧 */ { low = mid+1; } } /* 找到当前元素的位置，在low和high之间 */ for (j=i-1; j>high; j--)/* 元素后移 */ { a[j+1] = a[j]; } a[high+1] = temp; /* 插入 */ } } //3. 插入排序 //3.1 直接插入排序, 时间复杂度：O(n^2) void StraightInsertionSort(int input[],int len) { int i, j, temp; for (i=1; i 【一】需求分析 课程题目是排序算法的实现，课程设计一共要设计八种排序算法。这八种算法共包括：堆排序，归并排序，希尔排序，冒泡排序，快速排序，基数排序，折半插入排序，直接插入排序。 为了运行时的方便，将八种排序方法进行编号，其中1为堆排序，2为归并排序，3为希尔排序，4为冒泡排序，5为快速排序，6为基数排序，7为折半插入排序8为直接插入排序。 【二】概要设计 1.堆排序 ⑴算法思想：堆排序只需要一个记录大小的辅助空间，每个待排序的记录仅占有一个存储空间。将序列所存储的元素A[N]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的元素均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的元素。算法的平均时间复杂度为O(N log N)。 ⑵程序实现及核心代码的注释： for(j=2*i+1; j<=m; j=j*2+1) { if(j temp=su[i]; su[i]=su[0]; su[0]=temp; head(0,i-1); } cout<<"排序之后的数组为："< 排序算法： (1) 直接插入排序 (2) 折半插入排序(3) 冒泡排序 (4) 简单选择排序 (5) 快速排序(6) 堆排序 (7) 归并排序 【算法分析】 （1）直接插入排序；它是一种最简单的排序方法，它的基本操作是将一个记录插入到已排好的序的有序表中，从而得到一个新的、记录数增加1的有序表。 （2）折半插入排序：插入排序的基本操作是在一个有序表中进行查找和插入，我们知道这个查找操作可以利用折半查找来实现，由此进行的插入排序称之为折半插入排序。折半插入排序所需附加存储空间和直接插入相同，从时间上比较，折半插入排序仅减少了关键字间的比较次数，而记录的移动次数不变。 （3）冒泡排序：比较相邻关键字，若为逆序（非递增），则交换，最终将最大的记录放到最后一个记录的位置上，此为第一趟冒泡排序；对前n-1记录重复上操作，确定倒数第二个位置记录；……以此类推，直至的到一个递增的表。 (4)简单选择排序：通过n-i次关键字间的比较，从n-i+1个记录中选出关键字最小的记录，并和第i（1<=i<=n）个记录交换之。 (5)快速排序:它是对冒泡排序的一种改进，基本思想是，通过一趟排序将待排序的记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分记录的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。 (6)堆排序: 使记录序列按关键字非递减有序排列，在堆排序的算法中先建一个“大顶堆”，即先选得一个关键字为最大的记录并与序列中最后一个记录交换，然后对序列中前n-1记录进行筛选，重新将它调整为一个“大顶堆”，如此反复直至排序结束。 (7)归并排序:归并的含义是将两个或两个以上的有序表组合成一个新的有序表。假设初始序列含有n个记录，则可看成是n个有序的子序列，每个子序列的长度为1，然后两两归并，得到n/2个长度为2或1的有序子序列；再两两归并，……，如此重复，直至得到一个长度为n的有序序列为止，这种排序称为2-路归并排序。 【算法实现】 （1）直接插入排序： void InsertSort(SqList &L){ for(i=2;i<=L.length ;i++) if(L.elem[i] C/C++笔试面试题目汇总3——各种排序算法 原文:https://www.360docs.net/doc/b611127718.html,/u/1222/showart_318070.html 排序算法是一种基本并且常用的算法。由于实际工作中处理的数量巨大，所以排序算法对算法本身的速度要求很高。而一般我们所谓的算法的性能主要是指算法的复杂度，一般用O方法来表示。在后面我将给出详细的说明。对于排序的算法我想先做一点简单的介绍，也是给这篇文章理一个提纲。 我将按照算法的复杂度，从简单到难来分析算法。 第一部分是简单排序算法，后面你将看到他们的共同点是算法复杂度为O(N*N)（因为没有使用word,所以无法打出上标和下标）。 第二部分是高级排序算法，复杂度为O(Log2(N))。这里我们只介绍一种算法。另外还有几种算法因为涉及树与堆的概念，所以这里不于讨论。 第三部分类似动脑筋。这里的两种算法并不是最好的（甚至有最慢的），但是算法本身比较奇特，值得参考（编程的角度）。同时也可以让我们从另外的角度来认识这个问题。 第四部分是我送给大家的一个餐后的甜点——一个基于模板的通用快速排序。由于是模板函数可以对任何数据类型排序（抱歉，里面使用了一些论坛专家的呢称）。 一、简单排序算法 由于程序比较简单，所以没有加什么注释。所有的程序都给出了完整的运行代码，并在我的VC环境下运行通过。因为没有涉及MFC和WINDOWS的内容，所以在BORLAND C++的平台上应该也不会有什么问题的。在代码的后面给出了运行过程示意，希望对理解有帮助。 1.冒泡法：（Gilbert：点这里有视频） 这是最原始，也是众所周知的最慢的算法了。他的名字的由来因为它的工作看来象是冒泡： #include 飞鱼科技 排序算法总结思想&代码实现 付英奇 2016-2-24 In-place sort (不占用额外内存或占用常数内存)：插入排序、选择排序、冒泡排序、堆排序、快速排序。 Out-place sort：归并排序、基数排序、桶排序。 Stable sort：插入排序、冒泡排序、归并排序、基数排序、桶排序。Unstable sort：选择排序、快速排序、堆排序。 时间复杂度为O(N*logN)的算法：归并排序、快速排序、堆排序、希尔排序。时间复杂度为O(N*N)的算法：冒泡排序，选择排序、插入排序 时间复杂度为O(N)的算法【桶排序思想】：基数排序，计数排序。 空间复杂度O(1)的算法：插入排序、选择排序、冒泡排序、堆排序、希尔排序。空间复杂度O(logN)~O(N)的算法：快速排序。 空间复杂度O(N)的算法：归并排序 空间复杂度O(M)的算法：基数排序、计数排序。 插入排序：每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子序列中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。 voidinsertionSort(intnums[],int length) { inti, j, temp; for(i = 1;i < length; ++i) { j = i - 1; temp = nums[i]; while(j >= 0 && temp 专题——句子 句子之排序 1、考点 定义：排序类题就是把一组顺序错乱的句子按照正确的顺序重新排列，解这类题的关键是要找出这组句子的行文顺序，再把它们重新排列。 2、例题分析 例题1：将下列句子排列正确。 （）科学家对此进行研究。 （）正常人的眼睛能感知这个世界的五彩缤纷，识别红、橙、黄、绿、青、蓝、紫，以及它们之间的各种过渡色，总共约六十多种。 （）如牛、羊、马等，几乎不会分辨颜色，反映到它们眼里的只有黑、白、灰三种颜色，很单调。 （）那么，动物的感色能力又如何呢？ （）研究证实，大多数哺乳动物是色盲。 试题分析： 此题着重考察学生的语言组织能力。对于众多的句子如何确定第一句是解此题的关键。接着找出几个句子之间的联系点，这也是至关重要的一个因素。 解题思路： 首先，要通读所有的句子，整体感知这段文字，初步明确这段文字主要写的是什么，围绕什么来写的。在这段文字中，首先写的是人的眼睛对色彩的感知，而后过渡到动物。中间一句设问句是很好的承接，接下来是科学家投入了研究，最后是研究的结果，并以此举例说明。所有的句子试填好后，要将句子按正确的排列顺序通读一遍，最后检查序号是否正确。 参考答案：3 1 5 2 4。 例题2 ： 将①-④句填在横线上，顺序恰当的一项是（）。 沿池环水四周，新筑一道长600多米的环池路，还有那修复完美的明代遗迹“临流亭”， 四周环水，兀立池中，游客观望，流连忘返。 ①形态各异的飞禽雕塑，浮游水面 ②水上画舫往返，笑声朗朗 ③路面铺设的鹅卵石，在碧波辉映下，色彩鲜艳，晶莹闪烁 ④路边垂柳依依，清风送爽 ③④②① B、④②③① C、③④①② D、④③①② 解题指导： 这是一道在所给的语段中选择恰当的选项填空题。考查的是思维的连贯与严密。解答此类题目，要瞻前顾后，从空缺处的前文或后文找出句与句之间内在的联系，通过上下文要通畅连贯或句式要前后一致等方面来确定正确的选项。 此题空缺处前文是写“环池路”，与之文气连贯的当然是选项中③句，接着介绍“路面”，接着就为第④句介绍“路边”，然后由“沿池环水四周”的“路边”，自然引出第②句，介绍“水上”，最后第①句交待水上的“飞禽雕塑”，则“雕塑”又与后句的“临流亭”同属建筑，自然衔接。所以正确答案为“A”。参考答案：A 例题3 ： （）这时，我们才发现社区里的工作人员虽然很多，但是在一些死角里还会看见灰尘。 （）到了社区，同学们都冻得发抖，但又不敢松懈。 ( )虽然很冷，但我们每个人额头上都有豆大的汗珠。 （）有的同学在擦窗户，有的同学在扫水泥地面，有的同学在捡石头，有的同学在除草，还有同学在推小车送垃圾，我也和一些同学捡石块。 （）由于风太大的缘故，扫起来了许多的尘土，把大家呛得直打喷气，但大家都不觉得苦，继续埋头苦干。 （）我们各自分工之后，都开始行动起来了。 ( ) 同学们把自己的活干完之后又去帮忙干别的事了。 解题思路： 乱句排文的练习可以帮助学生训练思维，此题是按事件发展顺序排列，先是事件的起因，再是事件的过程，最后是结果。 题目答案：2 1 7 4 5 3 6 排序算法学习报告 一、学习内容 所谓排序，就是要整理文件中的记录，使之按关键字递增(或递减)次序排列起来。当待 排序记录的关键字都不相同时，排序结果是惟一的，否则排序结果不惟一。 在待排序的文件中，若存在多个关键字相同的记录，经过排序后这些具有相同关键字的记录之间的相对次序保持不变，该排序方法是稳定的；若具有相同关键字的记录之间的相对次序发生改变，则称这种排序方法是不稳定的。 要注意的是，排序算法的稳定性是针对所有输入实例而言的。即在所有可能的输入实例中，只要有一个实例使得算法不满足稳定性要求，则该排序算法就是不稳定的。 常见的排序算法 2.1插入排序 插入排序是这样实现的： 首先新建一个空列表，用于保存已排序的有序数列(我们称之为"有序列表")。 从原数列中取出一个数，将其插入"有序列表"中，使其仍旧保持有序状态。重复2号步骤，直至原数列为空。 插入排序的平均时间复杂度为平方级的，效率不高，但是容易实现。它借助了"逐步扩大成果"的思想，使有序列表的长度逐渐增加，直至其长度等于原列表的长度。 【示例】: [初始关键字][49] 38 65 97 76 13 27 49 J=2(38) [38 49] 65 97 76 13 27 49 J=3(65) [38 49 65] 97 76 13 27 49 J=4(97) [38 49 65 97] 76 13 27 49 J=5(76) [38 49 65 76 97] 13 27 49 J=6(13) [13 38 49 65 76 97] 27 49 J=7(27) [13 27 38 49 65 76 97] 49 J=8(49) [13 27 38 49 49 65 76 97] 2.2冒泡排序冒泡排序是这样实现的：首先将所有待排序的数字放入工作列表中。 从列表的第一个数字到倒数第二个数字，逐个检查：若某一位上的数字大于他的下一位，则将它与它的下一位交换。 重复2号步骤，直至再也不能交换。 数据结构各种排序算法总结 计算机排序与人进行排序的不同：计算机程序不能象人一样通览所有的数据，只能根据计算机的"比较"原理，在同一时间内对两个队员进行比较，这是算法的一种"短视"。 1. 冒泡排序BubbleSort 最简单的一个 public void bubbleSort() { int out, in; for(out=nElems-1; out>0; out--) // outer loop (backward) for(in=0; in 3. 插入排序insertSort 在插入排序中，一组数据在某个时刻实局部有序的，为在冒泡和选择排序中实完全有序的。public void insertionSort() { int in, out; for(out=1; out 插入排序 1、直接插入排序 原理:将数组分为无序区与有序区两个区,然后不断将无序区得第一个元素按大小顺序插入到有序区中去,最终将所有无序区元素都移动到有序区完成排序。 要点:设立哨兵,作为临时存储与判断数组边界之用。 实现: Void InｓertSｏrt(Nｏde L[],ｉnt leｎgｔｈ) { Inｔi，ｊ;//分别为有序区与无序区指针 for(i=1;i } ｝ Void Ｓｈeｌl(Ｎode L[］,int d) { Ｉnt ｉ,j； For(i=d+1;i<ｌenｇth；i++） { if(L[i] 各种排序方法复杂度总结 一、冒泡排序 主要思路是： 通过交换相邻的两个数变成小数在前大数在后，这样每次遍历后，最大的数就“沉”到最后面了。重复N次即可以使数组有序。 代码实现 voidbubble_sort（intarr[]，intlen） for（inti=0;i 冒泡排序改进2： 记录某次遍历时最后发生数据交换的位置，这个位置之后的数据显然已经有序。因此设置标志位记录每次遍历中最后发生数据交换的位置可以确定下次循环的范围。 二、直接插入排序 主要思路是： 每次将一个待排序的数组元素，插入到前面已排序的序列中这个元素应该在的位置，直到全部数据插入完成。类似扑克牌洗牌过程。 代码实现 void_sort（intarr[]，intlen） for（inti=1;i 三、直接选择排序 主要思路是： 数组分成有序区和无序区，初始时整个数组都是无序区，每次遍历都从无序区选择一个最小的元素直接放在有序区最后，直到排序完成。 代码实现 voidselect_sort（intarr[]，intlen） for（inti=0;i各种排序算法的总结和比较
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