坐标系和参数方程
坐标系和参数方程
介绍
坐标系和参数方程是数学中常用的工具，它们用来描述和分析平面和空间中的几何问题。坐标系是一种用来标定位置的系统，而参数方程是一种用参数表示坐标的方式。在本文中，我们将深入探讨这两个概念的原理、应用以及它们在几何问题中的作用。
坐标系：呈现空间位置
坐标系是描述平面或空间中点的位置的一种方法。它由一组坐标轴以及原点组成。在平面坐标系中，通常有两条垂直的轴，分别称为x轴和y轴。在三维空间中，可以有三条互相垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。
笛卡尔坐标系
笛卡尔坐标系是最常见的坐标系之一。在二维平面中，它由x轴和y轴组成，原点为坐标轴的交点。在三维空间中，笛卡尔坐标系由x轴、y轴和z轴组成，原点为坐标轴的交点。我们可以使用有序对或三元组来表示点的位置。
极坐标系
极坐标系是另一种常见的坐标系，它用来描述平面上的点。在极坐标系中，一个点的位置由它到原点的距离（称为极径）和与x轴的夹角（称为极角）来表示。极径通常用正实数表示，极角可以使用度或弧度来度量。
其他坐标系
除了笛卡尔坐标系和极坐标系，还有其他一些坐标系，如球坐标系、柱坐标系等。不同的坐标系适用于不同的问题和计算方法。理解这些坐标系及其转换关系对于解决几何问题非常有帮助。
参数方程：描述曲线和曲面
参数方程是一种用参数表示几何对象坐标的方式。它通常用于描述曲线和曲面。一个参数方程可以由参数的函数构成，每个参数对应一个坐标。
曲线的参数方程
对于平面曲线，参数方程可以用参数t表示曲线上的点。例如，对于直线y = 2x + 3，可以将x表示为t，然后通过参数方程x = t，y = 2t + 3来描述直线上的点。通过改变参数t的值，我们可以获得直线上的所有点。
曲面的参数方程
对于曲面，参数方程可以用两个参数u和v表示曲面上的点。例如，球体可以使用参数方程x = r * sin(u) * cos(v)，y = r * sin(u) * sin(v)，z = r * cos(u)来表示，其中r是球的半径，u和v是参数的取值范围。
应用
坐标系和参数方程在许多数学和物理应用中都扮演着重要角色。
几何问题
坐标系和参数方程可以用来解决各种几何问题，如直线的交点、曲线的弧长、曲面的曲率等。通过正确选择坐标系和设置合适的参数方程，我们可以简化问题的求解过程，并获得更直观的几何解释。
物理模型
在物理学中，坐标系和参数方程被广泛用于建立物理模型。例如，运动物体的轨迹可以使用参数方程来描述。通过在模型中加入适当的物理参数，我们可以预测物体的位置和速度。
计算机图形学
坐标系和参数方程在计算机图形学中也起着重要的作用。计算机生成的图像通常使用笛卡尔坐标系，并通过参数方程来定义曲线和曲面。通过控制参数的变化，可以创建各种复杂的图形效果。
总结
通过本文的介绍，我们对坐标系和参数方程有了更深入的理解。坐标系是用来标定位置的系统，而参数方程是一种用参数表示坐标的方式。它们在几何问题的解决、
物理模型的建立和计算机图形学中都扮演着重要的角色。通过熟练掌握坐标系和参数方程的原理与应用，我们可以更好地理解和解决各种几何问题。
坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程知识点 一、坐标系 1.笛卡尔坐标系：也称直角坐标系，是最常用的坐标系。它由两个垂 直的轴线（通常是x轴和y轴）组成，将平面划分为四个象限。点的位置 可以通过它们在x轴和y轴上的坐标来表示。 2.极坐标系：极坐标系是通过一个有向半径和一个有向角度来描述平 面上的点的位置。半径表示点到原点的距离，角度表示该点与栅线的夹角。 3.柱坐标系：柱坐标系是由极坐标系和垂直于平面的z轴组成的。它 通过一个有向半径、一个有向角度和一个有向高度来描述空间中的点的位置。 4.球坐标系：球坐标系是通过距离原点的距离、垂直于平面的角度和 与该点连接的直线与正z轴的夹角来描述空间中的点。 二、参数方程 参数方程是指通过引入一个或多个参数，将变量的取值与参数值建立 关系的方程组。参数方程可以用于描述曲线、曲面等几何图形。 1. 曲线的参数方程：如果xy平面上的点(x, y)满足方程组x = f(t)，y = g(t)，则称其为曲线的参数方程，其中t是参数。在参数方程中，x和y的取值由参数t的取值决定，通过改变参数t的取值可以得到 曲线上的不同点。 2.空间曲线的参数方程：类似于平面曲线，空间曲线的参数方程可以 表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。参数方程中的x、y、z分别表示曲线 上的点在x轴、y轴和z轴上的坐标，而t是参数。
3.曲面的参数方程：将平面曲线的参数方程推广到三维空间中可以得 到曲面的参数方程。通常情况下，曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u和v是参数。通过改变参数u和v的取值可 以得到曲面上的不同点。 4.参数方程的特点：参数方程具有灵活性，可以描述更加复杂的几何 图形。通过改变参数的取值范围和步长，可以得到曲线、曲面上不同点的 坐标。参数方程的另一个重要特点是可以简化计算，使得求解与几何图形 相关的问题更加方便。 在实际应用中，坐标系和参数方程常常用于描述直线、圆、椭圆、抛 物线、双曲线等几何图形，并可以通过变换、旋转等操作得到更复杂的几 何图形。掌握了坐标系和参数方程的相关知识，可以更好地理解和应用解 析几何中的各种概念和问题。
坐标系与参数方程
《坐标系与参数方程》 基础知识梳理： 一．坐标系 (一）、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 建系的原则一般 （1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 2、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ?：x x,(0) y y,(0)λλμμ'=?>??'=?>? 的作用下，点P(x,y)对应到点P /(x /,y / )，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压 缩变换； 当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换. 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示。 伸缩变换的两个性质： （1）在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变； （2）在伸缩变换作用下，线段的中点仍为中点。 “圆的一组平行弦的中点是圆的直径”依据伸缩变换的性质，得“椭圆的一组平行弦的中点的轨迹是椭圆的过中心的一条弦”。这里由圆的性质变换到了椭圆的性质。在伸缩变换前后圆的某些性质与椭圆的某些性质极为相似。 在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆；椭圆变成圆或椭圆；双曲线变成双曲线；抛物线变成抛物线。 伸缩变换的应用 设P (x ，y )是变换前图形f (x ，y )＝0上点的坐标，P ′(x ′， y ′)是变换后P 点对应点的坐标．在伸缩变换 ?? ? x ′＝λ·x λ>0 ，y ′＝μ·y μ>0 下，若已知P 点坐标(x ，y )， 则变换后所对应点P ′的坐标为(λx ，μy )；反之，若已知 P ′的坐标为(x ′，y ′)，则P 点的坐标为??? ?1λ x ′，1μ y ′. 故将x ′＝λx ，y ′＝μy 代入变换后的曲线方程，可求变换前的方程；将x ＝1λx ′，y ＝1 μy ′代入变换前的方程，可 求变换后的曲线方程，利用这个思想，我们也可以根据变换前、变换后的曲线方程，求出其相应的伸缩变换．所以，伸缩变换前的曲线方程、伸缩变换后的曲线方程、伸缩变换三者，知道其中的两个，我们可以求第三个. （二）极坐标系 1、极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ。有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ,θ).极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2k π)(k ∈Z)表示同一个点。极点O 的坐标为(0,θ) (θ∈R ). 极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．在极坐标系下，一对有序实数ρ,θ对应惟一点P (ρ,θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ,θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,2k π+θ)或(-ρ,(2k+1)π+θ)，(k ∈Z )．极点的极径为0，而极角任意取． 若ρ＜0,则-ρ>0,规定点(-ρ,θ)与点(ρ,θ)关于极点对称，即(-ρ,θ)与(ρ,π+θ)表示同一点。 如果规定ρ>0, 0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示；同时，极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的。 2、极坐标与直角坐标的互化公式： (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 cos sin x y θθ=??=?ρ ρ，222 tan (0) x y y x x θ?=+? ?=≠?? ρ O
坐标系和参数方程
坐标系和参数方程 介绍 坐标系和参数方程是数学中常用的工具，它们用来描述和分析平面和空间中的几何问题。坐标系是一种用来标定位置的系统，而参数方程是一种用参数表示坐标的方式。在本文中，我们将深入探讨这两个概念的原理、应用以及它们在几何问题中的作用。 坐标系：呈现空间位置 坐标系是描述平面或空间中点的位置的一种方法。它由一组坐标轴以及原点组成。在平面坐标系中，通常有两条垂直的轴，分别称为x轴和y轴。在三维空间中，可以有三条互相垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。 笛卡尔坐标系 笛卡尔坐标系是最常见的坐标系之一。在二维平面中，它由x轴和y轴组成，原点为坐标轴的交点。在三维空间中，笛卡尔坐标系由x轴、y轴和z轴组成，原点为坐标轴的交点。我们可以使用有序对或三元组来表示点的位置。 极坐标系 极坐标系是另一种常见的坐标系，它用来描述平面上的点。在极坐标系中，一个点的位置由它到原点的距离（称为极径）和与x轴的夹角（称为极角）来表示。极径通常用正实数表示，极角可以使用度或弧度来度量。 其他坐标系 除了笛卡尔坐标系和极坐标系，还有其他一些坐标系，如球坐标系、柱坐标系等。不同的坐标系适用于不同的问题和计算方法。理解这些坐标系及其转换关系对于解决几何问题非常有帮助。 参数方程：描述曲线和曲面 参数方程是一种用参数表示几何对象坐标的方式。它通常用于描述曲线和曲面。一个参数方程可以由参数的函数构成，每个参数对应一个坐标。
曲线的参数方程 对于平面曲线，参数方程可以用参数t表示曲线上的点。例如，对于直线y = 2x + 3，可以将x表示为t，然后通过参数方程x = t，y = 2t + 3来描述直线上的点。通过改变参数t的值，我们可以获得直线上的所有点。 曲面的参数方程 对于曲面，参数方程可以用两个参数u和v表示曲面上的点。例如，球体可以使用参数方程x = r * sin(u) * cos(v)，y = r * sin(u) * sin(v)，z = r * cos(u)来表示，其中r是球的半径，u和v是参数的取值范围。 应用 坐标系和参数方程在许多数学和物理应用中都扮演着重要角色。 几何问题 坐标系和参数方程可以用来解决各种几何问题，如直线的交点、曲线的弧长、曲面的曲率等。通过正确选择坐标系和设置合适的参数方程，我们可以简化问题的求解过程，并获得更直观的几何解释。 物理模型 在物理学中，坐标系和参数方程被广泛用于建立物理模型。例如，运动物体的轨迹可以使用参数方程来描述。通过在模型中加入适当的物理参数，我们可以预测物体的位置和速度。 计算机图形学 坐标系和参数方程在计算机图形学中也起着重要的作用。计算机生成的图像通常使用笛卡尔坐标系，并通过参数方程来定义曲线和曲面。通过控制参数的变化，可以创建各种复杂的图形效果。 总结 通过本文的介绍，我们对坐标系和参数方程有了更深入的理解。坐标系是用来标定位置的系统，而参数方程是一种用参数表示坐标的方式。它们在几何问题的解决、
坐标系与参数方程 坐标系
坐标系与参数方程 坐标系 1.平面直角坐标系 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ· x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0的作用下，点 P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)如图所示，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系. 对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ). (2)极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ或⎩ ⎪⎨⎪⎧ ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程
概念方法微思考 1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？ 提示 不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点. 2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？ 提示 平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π 3.( √ ) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ ) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( × ) 题组二 教材改编 2.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 2 B.ρ＝ 1cos θ＋sin θ ，0≤θ≤π 4 C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 2
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程 直角坐标系是由X轴和Y轴组成的二维平面。在直角坐标系中，一个 点的位置可以通过它在X轴和Y轴上的坐标值来确定。例如，点P的坐标 为(x,y)，其中x是点P在X轴上的位置，y是点P在Y轴上的位置。直 角坐标系可以方便地表示直线、抛物线、圆等曲线。 参数方程是一种描述曲线的数学表达方式，其中曲线上的每个点都是 由参数变量的函数关系决定的。参数方程中通常有两个参数变量，例如t 和s，分别表示曲线上一些点的位置。通过固定其中一个参数变量并对另 一个参数变量进行取值，可以得到曲线上的一系列坐标点，从而描绘出整 个曲线。 参数方程可以用于描述比较复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。与直 角坐标系不同，参数方程可以很方便地表示曲线上的点的倾斜和弯曲程度。通过调整参数变量的取值范围，还可以对曲线进行调整和变形。 举一个简单的例子来说明直角坐标系和参数方程的区别和应用。考虑 一条直线y=2x+1、在直角坐标系中，我们可以通过给定的函数关系来确 定直线上任意点的坐标。例如，当x=0时，y=1，这表示直线过点(0,1)。 当x=2时，y=5，这表示直线过点(2,5)。 而在参数方程中，我们可以将直线表示为x=t，y=2t+1，其中t是参 数变量。通过对参数变量t进行取值，可以得到直线上的一系列坐标点。 例如，当t=0时，x=0，y=1，这表示直线过点(0,1)；当t=1时，x=1， y=3，这表示直线过点(1,3)。
可以看出，直角坐标系和参数方程在表示曲线上的点的方式上有所不同。直角坐标系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，而参数方 程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标。 在实际应用中，根据不同的需要和问题，我们可以选择使用直角坐标 系或参数方程来描述曲线。直角坐标系更适用于描述直线、抛物线和圆等 简单的曲线，而参数方程更适用于描述复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。通过选择适当的表示方式，我们可以更方便地理解和分析曲线的形状和特性。 总之，坐标系与参数方程是数学中常用的表示曲线的方式。直角坐标 系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，适用于描述简单的曲线；而参数方程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标，适用于描 述复杂的曲线。通过选择适当的表示方式，我们可以更清晰地理解和分析 曲线的形状和特性。
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第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系。 (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；
②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式： 设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的
二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标
(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程_知识点总结 一、坐标系 1.直角坐标系 直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。 2.极坐标系 3.球坐标系 球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。 二、参数方程 1.一维参数方程 一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。 2.二维参数方程 二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。 3.三维参数方程
三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。一个点在空间 中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为 关于参数t的函数。三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。 三、坐标系与参数方程的关系 坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。在直角坐标系中，一个函 数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。反之，一个函数 的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。参数 方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。 总结： 坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标 系和球坐标系。参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过 转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。坐标系与参数 方程是理解和解决几何问题的重要工具。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程 坐标系是研究平面几何的基本工具之一、它是由两条互相垂直的直线组成的。这两条直线分别称为x轴和y轴，它们的交点称为原点。坐标系通过给每个点一个特定的位置来描述平面上的点。 参数方程是用参数的形式来表示曲线或者曲面的方程。参数方程通常采用参数t来表示，可以用来描述曲线或者曲面上各个点的位置。通过参数的变化，我们可以得到构成曲线或曲面的各个点的坐标。 下面，我们来详细讨论一下坐标系和参数方程。 1.坐标系： 在平面直角坐标系中，我们用有序数对(x,y)表示一个点的位置。其中，x表示该点到y轴的水平距离，y表示该点到x轴的竖直距离。这种方法可以将平面上的每个点都唯一地用一对数表示出来。例如，点A的坐标是(2,3)表示它的x坐标是2，y坐标是3 坐标系可以帮助我们确定点之间的位置关系。通过计算两点之间的距离和角度，我们可以得出很多几何性质。此外，坐标系还可以方便地描述线段、直线、圆等几何图形。 在三维空间中，我们可以沿每个轴线引入一个新的坐标轴，这样就构成了三维直角坐标系。类似地，我们用有序数对(x,y,z)来表示一个点的位置，其中x表示到y轴的水平距离，y表示到x轴的竖直距离，z表示到xy平面的高度。 2.参数方程：
参数方程主要用于描述曲线或者曲面上的点的位置。它通常以参数t 的形式表示。例如，曲线C的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f和g是关于t的函数。 我们可以通过改变参数t的值来得到曲线上的不同点的坐标。与直角坐标系不同，参数方程可以帮助我们更好地描述复杂的曲线。例如，用参数方程可以很容易地描述一个圆的轨迹，而在直角坐标系中，这个描述就相对复杂。 参数方程的优点是可以表示一些复杂的曲线或者曲面，并且可以通过改变参数t的值来得到曲线或曲面上的不同点。然而，参数方程也有一些缺点。比如，在分析曲线和曲面的性质时，往往需要进行复杂的计算。此外，在参数方程中，曲线的方程可能是隐式的，不容易直观地理解。 综上所述，坐标系和参数方程是研究几何图形的基础工具。坐标系通过给每个点一个特定的位置来描述平面上的点，而参数方程通过引入参数来描述曲线或者曲面上的点的位置。它们各有优缺点，可以根据具体问题的需要选择使用。
坐标系与参数方程_知识点
1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 它的直角坐标是（x,y ）,极坐标是（几旳（'-0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如 点M 直角坐标（x, y ） 极坐标（P ,B ） 互化公式 ]x = Pcos 日 [y = Psi n 。 02 2*2 尸=x 十y tan 日=t (x A 0) x 在一般情况下，由tan 二确定角时，可根据点M 所在的象限最小正角 坐标系与参数方程知识点 设点P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换「： X = ' x • 17 iU y （ '0）的作用下，点P （x ，y ）对应到点P （x ，y ），称「为平面 e 0） 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位 （通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系. 注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ；平面直角坐标系内的点与坐标能建立 一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 （2）极坐标 设M 是平面内一点，极点0与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为1以极轴Ox 为始边，射线0M 为终边的角/XOM 叫做点M 的 极角，记为V .有序数对（「，二）叫做点M 的极坐标，记作M （「，二）. 一般地，不作特殊说明时，我们认为T _0, V 可取任意实数 特别地，当点M 在极点时，它的极坐标为（0, 71）0 €R ）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 . 如果规定 ::0,0 < 71 ：：：2二,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （丁） 表示；同时，极坐标 （丁） 表示的点也是唯 3.极坐标和直角坐标的互化 （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位 ，如图所示: （2）互化公式：设M 是坐标平面内任意一点 2.极坐标系的概念
坐标系和参数方程
坐标系和参数方程 大纲解析 主要考点： ①在极坐标系中用极坐标表示点的位置 ②极坐标和直角坐标的互化 ③在极坐标系中简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程 ④极坐标方程和直角坐标方程的互化 ⑤能选择适当的参数写出直线、圆、和圆锥曲线的参数方程 ⑥参数方程和一般方程的互化 特别是极坐标和参数方程的应用，将是高考的热点，考查形式既可以是选填题，也可以是解答题，但难度一般不会太大，如果出现难题，则一般会出现在参数方程方面。 知识梳理 （一）平面直角坐标系 1.坐标法 坐标法是解析几何中最基本的研究方法。它是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法。 2.直角坐标系的伸缩变换 设点P （x,y ）是直角坐标系中任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅=>⋅=) 0() 0(://μμλλϕy y x x 的作用下，点P （x,y ） 对应到点),(/ //y x P （二）极坐标系 1.极坐标系的概念 （1）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O ，称为极点。从O 出发引一条射线Ox ，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P 的位置就可以用线段OP 的长度ρ以及从Ox 到OP 的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P 点的极坐标，记为P （ρ，θ）；ρ称为P 点的极径，θ称为P 点的极角。 当限制ρ≥0，0≤θ<2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。 （2）极坐标系的四要素：极点，极轴、长度单位、角度正方向。 规定：极点的极径ρ=0，θ为任意值。 2.极坐标和直角坐标的互化 直角坐标化为极坐标：)0(tan ,2 2 2 ≠= +=x x y y x θρ 极坐标化为直角坐标：x=ρcosθ y=ρsinθ （三）简单曲线的极坐标方程 1.极坐标方程 用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r 为自变量θ的函数。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程 1．坐标系与极坐标 (1)理解坐标系的作用． (2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化． (3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义． 2．参数方程 (1)了解参数方程，了解参数的意义． (2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． (3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题． 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ′＝λ·x (λ＞0)， y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 ①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．
3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ ρ2＝x 2＋y 2 ，tan θ＝y x (x ≠0). [必记结论] 常见曲线的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝r (0≤θ＜2π)． (2)圆心为⎝⎛⎫r ，π 2，半径为r 的圆的极坐标方程：ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)． (3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )；θ＝α和θ＝π＋α. (4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π 2. (5)过点⎝⎛⎭⎫a ，π 2，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin θ＝a (0＜θ＜π)． 4．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标(x ，y )是某个变数t 的 函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )y ＝g (t )叫做这条曲线的参数方程，变数t 叫做参变数，简称参数．相 对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． [必记结论] 直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎪⎧ x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程 高考动向：坐标系与参数方程在高考中一般是5-10分的比较容易的题，常与几何证明选讲，不等式选讲和矩阵与变换等多个选修模块进行选择其一解答，知识相对比较独立，与其他章节联系不大，容易拿分。根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及它们位置关系的数据确立。有些问题用极坐标系解答比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手解答，计算简便。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定。 一、坐标系 （一） 知识归纳 1、 设点P （x ，y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ',(0), :',(0). x x y y λλϕμμ=∙>⎧⎨ =∙>⎩的作用下，点P （x ，y ）对应到点'(',')p x y ，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2、 极坐标和直线坐标的互化：设平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为) ,(y x 和),(θρ，则有cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩和222 tan x y y x ρθ⎧ =+⎪⎨=⎪ ⎩ 。 注意在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角。当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。M （ρ，θ）也可以 表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 3、柱坐标系、球坐标系概念。 （二） 典例讲解 题型一 伸缩变换问题 方法思路：图形变换中的伸缩变换我们可记作变换公式',(0), ',(0).x x y y λλμμ=∙>⎧⎨=∙>⎩ 在使用时， 需分清新旧坐标。 【例1】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换1'3 1'2 x x y y ⎧ =⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后的 如下是什么形状？ （1）22y x =；（2）22 1x y +=
坐标系及参数方程
1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系． 一、直角坐标与极坐标的互化 如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎨ ⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ⎩⎨⎧ ρ2 ＝x 2 ＋y 2 ， tan θ＝y x x ≠0. 【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的围，要注意转化的等价性． 二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0 －α)． 几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α； ②直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过点M ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；
②圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； ③圆心位于M ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x 轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式． 三、参数方程 (1)直线的参数方程 过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)． (2)圆、椭圆的参数方程 ①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． ②椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ (θ为参数)． 【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值围保持一致． 考点一 坐标系与极坐标 例1．【2017XX ，理11】在极坐标系中，直线4cos()106 ρθπ -+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 【答案】2 【变式探究】【2016年高考理数】在极坐标系中，直线cos 3sin 10ρθρθ-=与圆 2cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB =______. 【答案】2 【解析】直线310x -=过圆22(1)1x y -+=的圆心，因此 2.AB = 【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()
(完整版)坐标系与参数方程
坐标系与参数方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为() 223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为 1{ x tcos y tsin α α=+=（t 为参数） ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ． （Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？ （Ⅱ）设曲线2C 与曲线1C 的交点为A ， B ， ()1,0P ，当7 2 PA PB +=时，求cos α的值． 2.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{ x t y m t ==+（t 为参数， m R ∈）， 以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为 ()223 032cos ρθπθ = ≤≤-． （1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为m 的值．
3.在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为{ 2x cosj y sinj ==，（ j 为参数） ，以O 为极点， x 轴的正半轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3 p q =与曲线2C 交于点4, .3p D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）在极坐标系中， ()12,,,2p A r q B r q ⎛⎫ + ⎪ ⎝⎭ 是曲线1C 的两点，求221211r r +的值. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是x 35cos { y 45sin α=+=+∂ ， （α为参数）。以坐标 原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系。 （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设1212l l l l 6 3 C π π θθ= = ：，：，若、与曲线分别交于异于原点的A ，B 两点， 求△AOB 的面积。 5．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{ x y ϕϕ ==（ϕ为参数） ，直线l 的参数 方程为1 2{ 2 x t y t =-=（t 为参数）.以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐