第四章 圆与方程 章末复习课

学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．

1．圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

2．点和圆的位置关系

设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?点P在圆外．

(2)(x0－a)2＋(y0－b)2

(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点P在圆上．

3．直线与圆的位置关系

设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r→相离；d＝r→相切；d

4．圆与圆的位置关系

设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则

5.求圆的方程时常用的四个几何性质

6．与圆有关的最值问题的常见类型

(1)形如μ＝y －b

x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题． 7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法

运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法

运用根与系数的关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].

注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 8．空间中两点的距离公式

空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.

类型一 求圆的方程

例1 根据条件求下列圆的方程．

(1)求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程；

(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程． 解 (1)由题意知，线段AB 的垂直平分线方程为 3x ＋2y －15＝0，

∴由?????

3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，

解得?

????

x ＝7，y ＝－3，

∴圆心C (7，－3)，半径为r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. (2)方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心坐标为(a ，b )，半径为r ＝10， 圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为d ＝|a －b |

2.

由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得 d 2＋(422

)2＝r 2

，

即(a －b )22＋8＝10，∴(a －b )2＝4.

又∵b ＝2a ，

∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.

方法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝10， ∵圆心C (a ，b )在直线y ＝2x 上，∴b ＝2a . 由圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42， 将y ＝x 代入(x －a )2＋(y －b )2＝10， 得2x 2－2(a ＋b )x ＋a 2＋b 2－10＝0.

设直线y ＝x 交圆C 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝

2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝42，

∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16.

∵x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1x 2＝a 2＋b 2－10

2，

∴(a ＋b )2－2(a 2＋b 2－10)＝16，即a －b ＝±2.

又∵b ＝2a ，∴????? a ＝2，b ＝4或?????

a ＝－2，

b ＝－4.

∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.

反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式．

第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)． 第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F )． 第四步：代入圆的方程．

注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．

跟踪训练1 如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为________．

答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2

解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB . 由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝

|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与

x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. 类型二 直线与圆的位置关系

例2 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；

(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；

(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．

解 (1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2. ①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.

由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离为d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切． ②当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.

由题意知，|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝3

4

.

∴方程为y －1＝3

4(x －3)，即3x －4y －5＝0.

故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝4

3

.

(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为

|a ＋2|

a 2

＋1

， ∴? ??

???

|a ＋2|a 2＋12＋???

?2322＝4，解得a ＝－34. 反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．

(2)几何方法：若弦心距为d ，圆半径为r ，则弦长为l ＝2

r 2－d 2.

解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线． 跟踪训练2 已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P ，且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 弦的中点的轨迹方程．

解 (1)如图所示，|AB |＝43，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，

∴|AD |＝23，|AC |＝4. 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.

设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离为|－2k －6＋5|k 2＋1＝2，得k ＝3

4

，

此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.

又∵当直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0， ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，所以k CD ·k PD ＝－1， 即y －6x ＋2·y －5x

＝－1， 化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. 类型三 圆与圆的位置关系

例3 已知一个圆的圆心坐标为A (2,1)，且与圆x 2＋y 2－3x ＝0相交于P 1、P 2两点，若点A 到直线P 1P 2的距离为5，求这个圆的方程． 解 设圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，

所以直线P 1P 2的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0. 由已知得|2＋2×1＋r 2－5|

5＝5，

解得r 2＝6.

故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝6.

反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法

若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法

①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

跟踪训练3 已知两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________． 答案 (－2，－1)

解析 两圆的圆心坐标分别为O 1(－1,1)和O 2(2，－2)， 由平面几何知，直线O 1O 2垂直平分线段PQ ， 则12·PQ O O k k ＝k PQ ·1－(－2)

－1－2＝－1，∴k PQ ＝1.

∴直线PQ 的方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. 由点P (1,2)在圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2上， 可得r ＝5，

联立?

???? (x ＋1)2＋(y －1)2

＝5，y ＝x ＋1，

解得?????

x ＝1，y ＝2或?????

x ＝－2，y ＝－1.

∴Q (－2，－1)．

类型四 数形结合思想的应用

例4 曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，512)

B ．(5

12，＋∞)

C ．(13，34]

D ．(512，34

]

答案 D

解析 首先明确曲线y ＝1＋

4－x 2表示半圆，

由数形结合可得512＜k ≤3

4

.

反思与感悟 数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．

跟踪训练4 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则y

x 的最大值为________，最小值为

________． 答案

3 － 3

解析 如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．

设y

x

＝k ，即y ＝kx ， 则当圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k －0|

k 2＋1

＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3.

(也可由平面几何知识，得OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)

1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋5

4

a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )

A ．a ＜－2或a ＞2

3

B ．－2

3＜a ＜2

C ．a ＞1

D ．a ＜1

答案 D

解析 由题意知a 2＋4a 2－4(5

4a 2＋a －1)＞0，

解得a ＜1.

2．以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝9 答案 B

3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°＜α≤30° B ．0°＜α≤60° C ．0°≤α≤30° D ．0°≤α≤60°

答案 D

解析 设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0， 圆心(0,0)到直线l 的距离为d ＝|3k －1|k 2

＋1≤1，

解得0≤k ≤3，

即0≤tan α≤3，∴0°≤α≤60°.

4．两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C

解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121； (x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为 C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8. 圆心距为|C 1C 2|＝

(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.

∵r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2， ∴两圆相交，则公切线共2条．

5．已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0. (1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；

(2)当直线与圆相交，且所得弦长为210

5

时，求实数m 的值．

解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)． 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切，所以

|3＋3|1＋m

2

＝2，

解得m ＝±2 2.

(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝

|3＋3|1＋m

2

.

由24－(

|3＋3|

1＋m 2

)2＝

210

5

， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9. 故m ＝±3.

圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有

(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．

(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．

(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．

课时作业

一、选择题

1．已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2

D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

答案 B

解析由圆心在x＋y＝0上，可排除C，D.再结合图象，或者验证选项A，B中，圆心到两直线的距离是否等于半径2即可．

2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则()

A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1

C.1

a2＋1

b2≤1 D.

1

a2＋

1

b2≥1

答案 B

解析若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则

1

a2＋b2

≤1，即a2＋b2≥1.

3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()

A．{1，－1}

B．{3，－3}

C．{1，－1,3，－3}

D．{5，－5,3，－3}

答案 C

解析∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，

当两圆内切时，|a|＝1，当两圆外切时，|a|＝3，

∴实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}，故选C.

4．在空间直角坐标系中，以A(m,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形，其中m∈Z，则m的值为()

A．4 B．－4

C ．－6或4

D ．6或4

答案 A

解析 如果由顶点A (m,1,9)，B (10，－1,6)，C (2,4,3)构成的△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，

则|AC |＝|BC |， ∴

(m －2)2＋(1－4)2＋(9－3)2＝

(10－2)2＋(－1－4)2＋(6－3)2，

∴53＝(m －2)2，∵m ∈Z ，∴方程无解．

如果由顶点A (m,1,9)，B (10，－1,6)，C (2,4,3)构成的△ABC 是以AC 为底边的等腰三角形， 则|AB |＝|BC |， ∴

(m －10)2＋(1＋1)2＋(9－6)2＝

(10－2)2＋(－1－4)2＋(6－3)2，

∴(m －10)2＝85，∵m ∈Z ，∴方程无解．

如果由顶点A (m,1,9)，B (10，－1,6)，C (2,4,3)构成的△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形， 则|AB |＝|AC |， ∴

(m －10)2＋(1＋1)2＋(9－6)2＝

(m －2)2＋(1－4)2＋(9－3)2，

∴(m －10)2＝32＋(m －2)2，解得m ＝4，故选A.

5．已知圆心为(2,0)的圆C 与直线y ＝x 相切，则切点到原点的距离为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D. 3 答案 B

解析 如图，设圆心为C ，切点为A ，

圆的半径为r ＝|2－0|

2＝2，|OC |＝2，

∴切点到原点的距离为

22－(2)2＝ 2.故选B.

6．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 C

解析 过O 作OC ⊥AB ，垂足为点C ，

由圆的方程x 2＋y 2＝4，得圆心O 的坐标为(0,0)，半径为r ＝2. ∵圆心到直线3x ＋y －23＝0的距离为d ＝|OC |＝23

2

＝3， ∴直线被圆截得的弦长为|AB |＝2

r 2－d 2＝2，

∴△AOB 为等边三角形，即∠AOB ＝60°，

∴直线被圆截的劣弧AB 所对的圆心角为60°，故选C.

7．已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．2 3

答案 D

解析 由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0，得(x －3)2＋(y ＋1)2＝1， 表示以C (3，－1)为圆心，1为半径的圆．

由题意可得直线l ：kx ＋y －2＝0经过圆C 的圆心(3，－1)， 故有3k －1－2＝0，得k ＝1，则点A (0,1)， 即|AC |＝(0－3)2＋(1＋1)2＝13， 则|AB |＝

|AC |2－r 2＝

(13)2－1＝23，故选D.

二、填空题

8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC 1的中点的坐标为________． 答案 (1,1，12

)

解析 画出图形(图略)即知CC 1的中点的坐标为(1,1，1

2

)．

9．若两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交，则正数r 的取值范围是________．

答案 (2－1，2＋1)

解析 ∵两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交， 圆x 2＋(y ＋1)2＝1的半径和圆心分别是1，(0，－1)， 圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2的半径和圆心分别是r ，(－1,0)，

∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和， 即|r －1|＜

(0＋1)2＋(－1－0)2＜r ＋1，

∴r －1＜2＜r ＋1， ∴r ∈(2－1，2＋1)，

即正数r 的取值范围是(2－1，2＋1)．

10．已知在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)的直线l 与直线x －y ＋1＝0垂直，且l 与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为________． 答案 1

解析 ∵直线l 的方程为y ＝－(x －1)， 即x ＋y －1＝0.

又由圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3，得x 2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (0，－1)到l 的距离为d ＝|－2|

2＝2，

∴|AB |＝2

r 2－d 2＝2

4－2＝22，

又原点O 到l 的距离为|－1|2＝2

2，

∴S △OAB ＝12×2

2

×22＝1.

11．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是______________．

答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心C (a ，a )，如图，

得22＋22＝2a 2， 解得a ＝±2，r 2＝8.

所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8. 三、解答题

12．已知圆心坐标为(3,4)的圆N 被直线x ＝1截得的弦长为2 5. (1)求圆N 的方程；

(2)若过点D (3,6)的直线l 被圆N 截得的弦长为42，求直线l 的斜率． 解 (1)由题意知，圆心到直线的距离为3－1＝2， ∵圆N 被直线x ＝1截得的弦长为25， ∴圆的半径为r ＝

5＋4＝3，

∴圆N 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9. (2)设直线l 的方程为y －6＝k (x －3)， 即kx －y －3k ＋6＝0，

∵圆心(3,4)到直线l 的距离为d ＝

21＋k

2

，r ＝3，弦长为42，

∴42＝2

9－d 2，化简得1＋k 2＝4，

解得k ＝±3.

13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A 、B 两点． (1)求公共弦AB 所在的直线方程；

(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A 、B 两点的圆的方程； (3)求经过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．

解 (1)由?

????

x 2＋y 2

＋2x ＋2y －8＝0，

x 2＋y 2

－2x ＋10y －24＝0?x －2y ＋4＝0.

∴圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的公共弦AB 所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.

(2)由(1)得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中，得y 2－2y ＝0，

∴????? x ＝－4，y ＝0或?????

x ＝0，

y ＝2，

即A (－4,0)，B (0,2)．

又圆心在直线y ＝－x 上，设圆心为M (x ，－x )， 则|MA |＝|MB |，|MA |2＝|MB |2， 即(x ＋4)2＋(－x )2＝x 2＋(－x －2)2， 解得x ＝－3.

∴圆心M (－3,3)，半径|MA |＝10.

∴圆心在直线y ＝－x 上，且经过A 、B 两点的圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10. (3)由A (－4,0)，B (0,2)， 得AB 的中点坐标为(－2,1)， 12|AB |＝12

(－4－0)2＋(0－2)2＝ 5.

∴经过A 、B 两点且面积最小的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 四、探究与拓展

14．当曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是( ) A ．(0，512)

B ．(13，34]

C ．(512，34]

D ．(5

12

，＋∞)

答案 C 解析 y ＝1＋

4－x 2可化为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)．

直线kx －y －2k ＋4＝0过定点A (2,4)且斜率为k ，

故设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为B (－2,1)，

当直线的斜率k 大于直线AD 的斜率且小于或等于直线AB 的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．

当直线与半圆相切时，有|－1－2k ＋4|

1＋k 2＝2，

解得k ＝512，即k AD ＝5

12

.

又∵直线AB 的斜率k AB ＝4－12＋2＝3

4，

∴直线的斜率k 的取值范围为(512，3

4

]．

15．已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4，直线l ：(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8. (1)求证：直线l 与圆C 恒相交；

(2)当m ＝1时，过圆C 上点(0,3)作圆的切线l 1交直线l 于点P ，Q 为圆C 上的动点，求|PQ |的取值范围．

(1)证明 直线l 的方程可化为m (x ＋2y －7)＋2x ＋y －8＝0，故l 恒过点A (3,2)． ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4， 即点A 在圆C 内， ∴直线l 与圆C 恒相交．

(2)解 由题易知直线l 1的方程为x ＝0. 又当m ＝1时，l ：x ＋y ＝5，

∴联立?

????

x ＝0，x ＋y ＝5，得交点P (0,5)，

∴|PC |＝22，

∴|PQ |∈[22－2,22＋2]．