必修②第四章圆与方程

§4.1圆的标准方程

*7学习目标.

1. 掌握圆的标准方程， 能根据圆心、半径写出圆的

标准方程；

2. 会用待定系数法求圆的标准方程 .

探典型例题

例 写出圆心为A(2, J3)，半径长为5的圆的方程, 并判断点M 1(5,—7),M 2(—^/5,—1)是否在这个圆上.

*2学习过程…

一、课前准备

(预习教材P 124~ P 127，找出疑惑之处)

1. 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什

么？ 圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是 什么呢？

小结：点 M(X 0,y 0)与圆(x-a)2

+(y-b)2

= r 2

的关

系的判断方法：

9(X 0 —a)2

+(y 0—b)2

>r 2

，点在圆外；

3(沟 _a)2

+(y 0—b)2

= r 2

，点在圆上；

⑶(X 0-a)2

+(y 0—b)2

，点在圆内.

变式:L ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, J)

C(2,-8)，求它的外接圆的方程

2. 什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线 都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也 可用一个方

程来表示呢？如果能，这个方程又有什 么特征呢？

例2已知圆C 经过点A(1,1)和 B(2,_2)，且圆心在直 线l:x — y +1=0上，求此圆的标准方程.

探究：确定圆的标准方程的基本要素?

二、新课导学 探学习探究

新知：圆心为A(a,b),半径为

(X —a)2 +(y —b)2 叫做圆的

标准方程.

特殊：若圆心为坐标原点，这时

a =

b =0 ,则圆的方程就是

2,2 2

反思：

1. 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出 关于a, b,r 的方程组，求 (a,b)和半径r .

2. 待定系数法求圆的步骤： 圆的标准方程为(X —a)2

知条件，建立关于a,b,r a,b,r 或直接求出圆心

(1)根据题意设所求的 + (y —b)2

=r 2

；(2)根据已 的

方程组；(3)解方程组，

求出a,b,r 的值，并代入所设的方程，得到圆的方 程.

的圆的方程

r

第四章圆与方程 *7

月 日 班级： 姓名:

2

心学习评价

探自我评价你完成本节导学案的情况为 ( ).

A.很好

B.较好

C. 一般

D.较差

探 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1. 已知A(2, 4),B(—4,0)，则以AB 为直径的圆的方 程

().

A . (x +1)2

+(y -2)2

=52 B . (x +1)2

+(y + 2)2

=52

2 2 2 2

C . (x-1) +(y -2) =52

D . (x —1) +(y +2) =52

2. 点P(m 2

,5)与圆的x 2

+y 2

=24的位置关系是 ().

A .在圆外

B .在圆内

C .在圆上

D .不确定

3. 圆心在直线x = 2上的圆C 与y 轴交于两点

I

i A(0,—4月(-0,,则圆C 的方程为( ). :A . (X -2)2+(y -3)2 =5B . (x J)2

+(y -可2

=25

-C . (x-2)2

+(y + 3)2 =5D . (x-2)2

+(y + 3)2=25 '4.圆关

于(x +2)2

+y 2

=5关于原点(0,0)对称的圆

的方程

5.过点A(2,4)向圆X 2

+y 2

=4所引的切线方程

i 上课后作业一

.1.已知圆的圆心在直线

2x + y=0上，且与直线

:x +y —1=0切于点(2,-1)，求圆的标准方程.

三、总结提升 探学习小结

一. 方法规纳

⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径 .

⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与 圆的位置关系.

⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大 大化简计算的过程与难度.

二. 圆的标准方程的两种求法：

⑴根据题设条件，列出关于 a b r 的方程组, 方程组得到a b r 得值，写出圆的标准方程 ⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆 心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程

2 2

2.已知圆x +y =25 -求：⑴过点 A(4,-3)的切线 方程.⑵过点B(-5,2)的切线方程-

2008年下学期?高一

探动手试试

练1.已知圆经过点 P(5,1)，圆心在点C(8,-3)的圆 的标准方程.

练2.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程

§4.1圆的一般方程

?w 学习目标一,

1. 在掌握圆的标准方程的基础上， 理解记忆圆的 一般

方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的 圆心半径.掌握方程X 2

+y 2

+DX +Ey +F =0表示 圆的条件；

2. 能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆 的标准

方程.能用待定系数法求圆的方程；

3?培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力

心学习过程

——U y 士N H — ■ 4 H J —yN — H — — a H-H J ■

一、课前准备

(预习教材P 127~ P 130，找出疑惑之处)

1?已知圆的圆心为 C(a,b)，半径为r ,则圆的标 准方

程 ______________________________ ，若圆心为坐标

原点上,

_____________ -

新知：方程X 2

+y 2

+Dx +Ey +F =0表示的轨迹.

⑴当D 2*—4

"时，表示以诗霜为圆

1 ~

2 ---- 2

----- 心，-J D 2

+E 2

-4F 为半径的圆；

2

⑵当D 2+E 2

-4F=0时，方程只有实数解

y=__E ，即只表示一个点(-D ，--)

2 2 2

2 2

D +

E -4

F c 。时，方程没有实数解，因而它不表 示任何图形- 小结：方程x +y +Dx +Ey + F=O 表示的曲线不 一定是圆2只有当D 2

+E 2

-4F >0时，它表示的曲 线才是圆，形如 X 2

+y 2

+DX +Ey +F =0的方程称 为圆的一般方

程.

2. 求过三点 A(0,0), B(1,1),C(4,2)的圆的方程.

例2已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上(x +1 2 +y 2

=4运动，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程.

问题2.方程x 2

+y 2 +Dx +Ey +F =0在什么条件

下表示圆？

；(3 )当

思考:

1. 圆的一般方程的特点?

2. 圆的标准方程与一般方程的区别?

二、新课导学 探学习探究

问题 1.方程 x 2

+y2-2X +4y +1=0表示什么图 形？方

程x 2

+y 2

-2x +4y + 6 =0表示什么图形？

典型例题

1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程? 如果是，请求出圆的圆心及半径 .

2 2

⑴ 4x +4y -4x +12y + 9=0 ； ⑵ 4x 2

+4y 2

-4x

+12y +11 =0 .

第四章圆与方程 *2

月 日

班级： 姓名: 4

2008年下学期?高一

练1.求过三点 A(0,0), B(1,1),C(4,2)的圆的方程，并 求这个圆的半径长和圆心坐标 .

你完成本节导学案的情况为 ( B.较好 C. 一般 D.较差

(时量：5分钟满分：10分)计分：

1. 若方程X 1 2

+y 2

—x +y +m =0表示一个

圆，则有 ().

练2.已知一个圆的直径端点是 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)，

试求此圆的方程.

1

1 A . m<

2 B.m<2

C . m <—

D . m <

2

2

2. 圆X 2

+y 2

-4x -1 =0的圆心和半径分别为 (). A . (2,0),5 B . (0,/),75c . (0,2), 75 D . (2,2),5

3. 动圆 X 2

+ y 2

—(4 m + 2)x —2my + 4m +4m +1 = 0 的

圆心轨迹是(

A . 2x + y —1 = 0 C . 2x-y+1=0

4. 过点 C(—1,1),D (1,3),圆心

在

:心课后作业

] ■■■■■■

■■■■■■■■ ■ ■ ■ ■ aaH 厶■■■■■■■

'1.设直线 2x+3y +1=0 和圆 x 2

+y 2 -2x-3=0 相 i 交于A,B ，求弦AB 的垂直平分线方程.

三、总结提升 探学习小结

1 .方程x 2

+y 2 +DX +Ey +F =0中含有三个参变

数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个 圆，

还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转 化.

2 ?待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前 也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数， 利用

根与系数的关系确定一元二次方程的系数等 .这种 方法

在求圆的方程有着广泛的运用， 要求熟练掌握.

3.

使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选

：

是 __________________________

2 2

5. 圆 x +y —4x-5=0 的点至U 直线 3x-4y + 20 =0的距离的最大值为 __________________________

择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于 ：

a,b,r 或D,E,F 的方程组；⑶解出a, b,r 或D,E,F ,: 代入标准方程或一般方程. :

探自我评价

A.很好

探当堂检测 X —2y +1 =0 x-2y —1 =0 X 轴上的圆的方程

2.求经过点A(—2,-4)且与直线l:x+3y—26 = 0相切于点B(8,6)的圆的方程.

§4.2直线、圆的位置关系

*7学习目标

1?理解直线与圆的几种位置关系；

2. 利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求 圆心到

直线的距离；

3. 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关 系.

一哎丈L 学习过程，

一、课前准备

(预习教材P 133~ P 136，找出疑惑之处)

1.把圆的标准方程(X —a)2

+(y —b)2

=r 2

整理为圆 的一般

方程 _________________________________________ . 把 X 2

+y 2

+Dx +Ey +F =0(D 2

+E 2

-4F >0)整理 为圆的标

准方程为 .

圆心(_3,

_!)到直线的距离为d ，则判别直线与

2 2

圆的位置关系的依据有以下几点： ⑴当d 汀时，直线I 与圆C 相离； ⑵当d =r 时，直线I 与圆C 相切；

⑶当d c r 时，直线I 与圆C 相交； 新知2：如果直线的方程为 y = kx + m ，圆的方程为 (x-a)2

+(y -b)2

=r 2

，将直线方程代入圆的方程， 消去y

得到x 的一元二次方程式 PX 2

+Qx + R = 0， 那么：⑴

当△ <0时，直线与圆没有公共点；

⑵当A =0时，直线与圆有且只有一个公共点； ⑶当△ >0时，直线与圆有两个不同的公共点； 探典型例题

例1用两种方法来判断直线

3x-4y+6=0与圆

(X-2)2

+(y-3)2

=4 的位置关系.

2.

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象 台的台风预报：台风中心

位于轮船正西 70 km 处,

受影响的范围是半径为 30km 的圆形区域.已知港口 位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变 航线，那么它是否会受到台风的影响？

3. 直线与圆的位置关系有哪几种呢?

例2如图2,已知直线I 过点M(5,5且和圆 C : X 2

+ y 2

=25相交，截得弦长为4/5 ,求I 的方程

二、新课导学 探学习探究 新知1：设直线的方程为l:ax +by+c=0,圆的方 程为C:x 2

+y 2

+Dx+Ey+F = 0 ,圆的半径

为r

，

4.我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用

直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？

第四章圆与方程 ?—

2008年下学期?高一

月 日 班级： 姓名:

7

5.圆X 2

+y 2 =16上的点到直线

x-y-3 = 0的距

离的最大值为

.

练2.求圆心在直线 2x-y =3上，且与两坐标轴相 切的圆的方程.

二亠如,_课后作业"

. . 2 2

.1.圆 X +y +2x+4y-3=0 上至卩直线 l:x +y +1 ==0的

距离为72的点的坐标.

三、总结提升 %学习小结 判断直线与圆的位置关系有两种方法 ① 判断直线与圆的方程组是否有解 a.有解，直线与圆有公共点.有一组则相切；有两组, 则相交 b 无解，则直线与圆相离

② 如果直线的方程为 Ax +By + C =0，圆的方程 为（X —a ）2 +（y —b ）2 =r 2，则圆心到直线的距离 2.若直线4x-3y + a=0与圆

交；⑵相切；⑶相离；分别求实数

X 2

+y 2

=100 .⑴相 a

的取值范围.

Aa +Bb +C ⑴如果 ⑵如果 ⑶如果 J A 2

+B 2 ' d r 直线与圆相离.

变式：求直线X y 5 =0截圆X 2

+y 2

-4x +4y +6

=0所得的弦长.

心学习评价

%动手试试

练1.直线y =x 与圆X 2

+（y -1 ） =r 2

相切,求r 的

值.

%自我评价

A.很好 %当堂检测 1. 直线 3x-4y + 6=0与圆（X -2）2 +（y-3）2

=4 A .相切B .相离C .过圆心D .

2 2

2. 若直线x + y +m =0与圆x +y

m 的值为（ ）.

A . 0 或 2

B . 2

C . 42 3已知直线l 过点（—

2,0,）当 X 2

+y 2

=2x 有两个交点时，其斜率 是

（ ）.

A . （^42,242） C .（半爭

4.过点M （2,2）的圆 你完成本节导学案的情况为 （

B.较好

C. 一般

D.较差 （时量：5分钟满分：10分）计分：

2

相交不过圆心

=m 相切，则

D .无解 直线l 与圆 k

的取值范围

B .（J272）

/ 1 1 D -（—；,：）

8 8

x 2

+ y 2

=8的切线方程为