高考数学：一个故事让你彻底了解罗素悖论
2019高考数学：一个故事让你彻底了解罗素
悖论
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得
到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。所以罗素悖论用数学式表达是这样子的：设性质P(x)表示“x不属于A”，现假设由性质P确定了一个类A也就是说“A={x|x?A}”。那么问题是：A属于A是否成立？首先，若A属于A，则A是A的
元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。
《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》 “四次”数学危机 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那
科技英语阅读翻译介绍
科技英语阅读翻译介绍 关于科技英语阅读翻译介绍 罗素悖论的提出是基于这样的一个事例：设想有这样一群理发师，他们只给不给自己理发的人理发。假设其中一个理发师符合上述的 条件，不给自己理发；然而按照要求，他必须要给自己理发。但是 在这个集合中没有人会给自己理发。（如果这样的话，这个理发师 必定是给别人理发还要给自己理发） 1901年，伯特兰·罗素悖论的发现打击了他其中的一个数学家 同事。在19世纪后期，弗雷格尝试发展一个基本原理以便数学上能 使用符号逻辑。他确立了形式表达式（如：x=2）和数学特性（如偶数）之间的联系。按照弗雷格理论的发展，我们能自由的用一个特 性去定义更多更深远的特性。 1903年，发表在《数学原理》上的.罗素悖论从根本上揭示了弗 雷格这种集合系统的局限性。就现在而言，这种类型的集合系统能 很好的用俗称集的结构式来描述。例如，我们可以用x代表整数， 通过n来表示并且n大于3小于7，来表示4，5,6这样一个集合。 这种集合的书写形势就是：x={n：n是整数，3 “悖论”（paradox） “悖论”（paradox）一词常见诸报端，其字面意思为“荒谬的理论或自相矛盾的话”。从逻辑上看，悖论性的语句具有这样的特征：如果假定这个语句为真，那么会推出这个语句为假；反之，如果假定这个语句为假，又会推出这个语句为真。说它对也不是，不对也不是，真是左右为难。 语义学悖论举例 悖论古已有之。一般认为，最早的悖论是古希腊的“说谎者悖论”。《新约全书·提多书》是这样记述的： 克里特人中的一个本地先知说：“克里特人总是撒谎，乃是恶兽，又馋又懒。”这个见证是真的。 这个克里特岛的“先知”是伊壁孟尼德（Epimenides）。后来欧布里德（Eubulides）将他的话改进为： 我正在说谎。 这句话是真的，还是假的？ 如果是句真话，由这句话的内容可知：说话者正在撒谎，既然是撒谎，那么说的是假话；反之，如果这句话是假的，说假话就是说谎，这句话的内容正是“我正在说谎”，因此这句话又是真的。 后来又发现了好几种“说谎者悖论”的变种，例如所谓“说谎者循环”： A说：“下面是句谎话。” B说：“上面是句真话。” “说谎者悖论”和“说谎者循环”是与自然语言的表达方式密切相关的悖论，涉及真假、定义、名称、意义等语义方面的概念，这类悖论被称为“语义学悖论”。语义学悖论的实例很多，“格列林 （K.Grelling）-纳尔逊（L.Nelson）悖论”就饶有趣味，它与形容词的应用有关： 将形容词分为两类，一类称为“自谓的”，即可对于它们自身成立、对自己为真的。例如，形容词“Polysyllabic（多音节的）”本身是多音节的，“English（英文的）”本身是英文的，它们都是自谓的。另一类称为“它谓的”，即对于它们自身不成立、对自己不真的。例如，形容词“Monosyllabic（单音节的）”是它谓的，因为这个词不是一个单音节词；“英文的”也是它谓的，因为这个词是中文的而不是英文的。问题来了：形容词“它谓的”是不是它谓的？ 得到的结果是：如果“它谓的”是它谓的，那么会推出“它谓 的”不是它谓的，反之亦然。导致了自相矛盾。 集合论悖论与公理化 罗素悖论与第三次数学危机 自相矛盾的悖论，是数学史上一直困扰着数学家的难题之一。20世纪英国著名哲学家、数学家罗素曾经提出过一个著名的悖论——“理发师难题”，其内容如下： 西班牙的塞维利亚有一个理发师，这位理发师有一条极为特殊的规定：他只给那些“不给自己刮胡子”的人刮胡子。 理发师这个拗口的规定，对于除他自己以外的别人，并没有什么难理解的地方。但是回到他自己这里，问题就麻烦了。如果这个理发师不给自己刮胡子，那么按照规定，他就应该给自己刮胡子；可是他给自己刮胡子的话，按照规定他又不应该给自己刮胡子。因此，这位理发师无论是否给自己刮脸，都不符合自己的那条规定。这真是令人哭笑不得的结果。 罗素还提出过与“理发师难题”相似的几个悖论，数学上将这些悖论统称为“罗素悖论”或者“集合论悖论”。为什么又叫“集合论悖论”呢？因为“罗素悖论”都可以用集合论中的数学语言来描述，归结成一种说法就是：在某一非空全集中，有这样一个确定的集合，这个集合中“只有不属于这个集合的元素”。 那么，全集中的某一个指定元素，和这个确定集合之间是什么关系呢？不难分析，如果这个元素包含于这个集合的话，那么根据这个集合的定义，这个元素就应该是“不属于这个集合”的元素；可如果这个元素“不属于这个集合”，那么根据这个集合的定义，这个元素就应该在这个集合中，即包含于这个集合。这就是说，全集中的每一个元素，与这个确定集合之间都不存在确定的包含关系，这无疑是讲不通的。 自从康托尔创立了数学领域中的“集合论”，用集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天衣无缝”。因此集合论被誉为“数学大厦的基石”。然而“罗素悖论”的发现，证明了集合论中竟然存在自相矛盾的悖论，这足以暴露集合论本身的缺陷。 “罗素悖论”在20世纪数学理论中引起了轩然大波。“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众说纷纭，悲观者甚至因此把当代数学比作“建立在沙滩上的庞然大物”。这就是数学史上著名的“第三次数学危机”。 对于悖论存在及其意义的探究 摘要：悖论的存在已有数千年历史,悖论到底如何定义的?是为什么会存在的?历史上人们又是怎么对待悖论的?悖论能够怎样被解决?悖论的存在又有什么意义?这一切问题都需要我们深入思考研究。 关键词:悖论；逻辑哲学；存在；本体论；形而上学 一、什么是悖论？ 在人类思想史上，已经提出了各种各样的谜题与悖论，它们对人类理智构成了严重的挑战，许多大家、巨擘以及无名氏前仆后继地对其进行了艰辛的探索。从古希腊、中国先秦时期到现代数学、逻辑学等众多学科中，已经发现了各种各样的悖论或怪论，悖论已经成为数学、逻辑学、哲学、语言学、计算机科学、思维科学等多学科专家共同探讨的课题，谈论“悖论”几乎成为时髦。那么,到底什么是悖论呢?悖论，亦称为吊诡或诡局，是指一种导致矛盾的命题。通常从逻辑上无法判断正确或错误称为悖论，似非而是称为佯谬；有时候违背直觉的正确论断也称为悖论。悖论的英文paradox一词，来自希腊语paradoxos，意思是“未预料到的”，“奇怪的”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 二、悖论与逻辑哲学 说谎者悖论被认为是世界上最早的悖论,由公元前六世纪的哲学家克利特人艾皮米尼地斯提出:“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这个悖论最简单的表述形式是:“我在说谎”。如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。这类悖论的一个标准形式是：如果事件A 发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。悖论的存在显然是因为某些命题正在逻辑上存在不合理性从而引起了众多学者的探究。 虽然逻辑不能等同于逻辑哲学，但是逻辑哲学基本上是和逻辑同时产生的，任何逻辑学家都在无形中进行着对逻辑哲学的研究。尤其是对于数学这样的极其讲究严密的逻辑性的研究领域，逻辑哲学的研究根本无法避免。著名的“罗素悖论”的出现甚至引起了第三次数学危机。所谓的罗素悖论是罗素针对当时建立不久的集合论体系提出的一个基础上存在的矛盾：“定义两个集合：P={A∣A∈A} ，Q={A∣A?A} 。问题：Q∈P 还是 Q?P？”。显然，无论是指定哪个判断为真，最后都能够推断出与其相反的结论。为了使其更容易被理解，罗素悖论又被称为“理发师悖论”：“有一个理发师说：‘我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸’”。那么这个理发师要不要给自己刮脸呢？无论他怎么做，最后都一定会违背自己当初的话。 悖论的流行引发了世界上的思想风暴。越来越多的人认识到我们现有社会中存在的不完美，思维方式不能再局限于既定逻辑，而要尝试打破规则，因为悖论的存在充分说明了现有的规则有着无法忽视的漏洞，甚至会动摇社会根基。 三、悖论与本体论 西方哲学从古希腊开始一直以研究世界的本原为己任, 形成了西方哲学的本体论传统。本体论的最主要特征就是研究存在问题, 即关于什么样的实体存在, 以及作为实体在资格 芝诺悖论的极限分析 学生姓名：王慧文指导教师：岳进 摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们 似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些 谬论。在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。在哲学方面违反了辩证法的客观 性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸 要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。 同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。 关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断 引言： 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。 芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。运动只是假象，不动不变才是真实。假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。 1、悖论对数学产生的作用 1.1从悖论说起 什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础之中深刻地揭露出该理论体系中的无法回避的矛 悖论及其解决方案 1、一连串悖论的出现 罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。但是，罗素悖论并不是头一个悖论。老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。这些悖论合在一起，造成极大问 题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。 头一个发表的悖论是布拉 里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于 这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章 里提出的。这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致 了以后许多年的热烈讨论。有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。 布拉里·福蒂本人认为这个矛 盾证明了这个序数的自然顺序只是 一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有 做工作。 罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分 了相容集和不相容集。这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。 布拉里·福蒂文章中对良序集有一个错误的概念，这个概念是康托尔1883年引进来的，但—直没有受到什么重视。1887年8月，在布拉里·福蒂的文章发表以后，阿达马在第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错误的良序集的定义。因为布拉里．福蒂所考虑的关于良序集的概念太弱了，他不得不引进自己的完全 科技英语阅读1-10单元译文： Unit 1 罗素悖论的提出是基于这样的一个事例：设想有这样一群理发师，他们只给不给自己理发的人理发。假设其中一个理发师符合上述的条件，不给自己理发；然而按照要求，他必须要给自己理发。但是在这个集合中没有人会给自己理发。（如果这样的话，这个理发师必定是给别人理发还要给自己理发） 1901年，伯特兰·罗素悖论的发现打击了他其中的一个数学家同事。在19世纪后期，弗雷格尝试发展一个基本原理以便数学上能使用符号逻辑。他确立了形式表达式（如：x =2）和数学特性（如偶数）之间的联系。按照弗雷格理论的发展，我们能自由的用一个特性去定义更多更深远的特性。 1903年，发表在《数学原理》上的罗素悖论从根本上揭示了弗雷格这种集合系统的局限性。就现在而言，这种类型的集合系统能很好的用俗称集的结构式来描述。例如，我们可以用x 代表整数，通过n来表示并且n大于3小于7，来表示4，5,6这样一个集合。这种集合的书写形势就是：x={n：n是整数，3 悖论的内容 因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。 这就形成了此一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。这样一来，此物体将永远停留在初始位置（或者说物体初始运动所经过的距离近似0），以至这物体的运动几乎不能开始。因此，我们得出了运动不可能开始的结论。 见《庄子·天下篇》，庄子提出：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 悖论的解释 其实此悖论的解释如下： 此悖论在设立时有意忽略了一个事实：那就是从A到B的“运动”必须是一个时间相关的概念而不仅仅是距离的概念。也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真！但是一旦运动起来，必然有一个速度，速度等于经过的距离除以历经的时间。什么时候速度为0呢？一种情况是距离为0，根本没有要动，另一种情况大家一般会忽略掉，就是经历的时间趋近于无限，不论距离多大，只要是一个固定值，那么速度就是0，于是悖论就成立了。 此悖论虽然没有提及时间，但是却故意掩盖了时间这个因素。 这同最小分割无关，因为在数学上，无限分割是成立的。 2.阿奇里斯悖论 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 —亚里士多德, 物理学VI:9, 239b15 如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题:t=lim(n->∞)(1/2+1/4+....1/ n)=1，而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。 为此，潜无限只能假设空间不可以无限分割，这样悖论就不存在了。但实无限认为，无限过程可以完成，即极限可以达到1，乌龟可以追上，无限过程怎么完成，凭信仰.我们的实数，极限，微积分都建立上实无限上，对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近. 3.飞矢不动悖论 十大数学悖论 1．?理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 ???? 2．?说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。? 所以怎样也难以自圆其说，这就是着名的说谎者悖论。?:? 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ ?????? 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论 有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 ????? 3．?跟无限相关的悖论： ????? {1，2，3，4，5，…}是自然数集： ????? {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。? 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？? ????????4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会 第一讲悖论与科学发展 一、什么是悖论 悖论是英文paradox一词的意译。从广义上说，凡似是而非或似非而是的论点，都可以叫做悖论。从狭义上说，悖论是从某些公认正确的背景知识中逻辑地推导出来的两个相互矛盾命题的等价式(即p→﹁p或p∧﹁p)。 悖论是一种特殊的逻辑矛盾，其特殊性表现在： 1.悖论是相对于一定的背景知识而言； 2.悖论是从某些公认的背景知识中合乎逻辑地推导出来的； 3.悖论是指两个相互矛盾命题的等价式(即p→﹁p或p∧﹁p)。 下列方框内的语句即提供了一个简单的语义学悖论的例子。它完全符合上述悖论概念的三个要点。在该悖论面前，经典逻辑 历史上人们对悖论的称谓： 难题（说慌者悖论） 不可解命题 悖论或二律背反（“悖论”在英文中还有一个词antinomy，这个词在哲学文献中又译为“二律背反”。德国哲学家康德首次把自己所发现的悖论称为“二律背反”(德文antinomie)。康德认为，人类的认识由感性、知性和理性三个环节组成，当人类运用作为知性固有的先天思维形式的范畴，试图去把握世界整体，即认识进入“理性”阶段时，必然陷入二律背反。）怪圈（1979年，美国数学家霍夫斯塔德(D.R.Hofstadter)认为悖论就是一个“怪圈”(strange loop,又译为奇异的循环)，它是由于“自我相关”而导致的。这种怪圈不仅存在于数学和思维中，也存在于绘画和音乐中。） 生活和艺术中的怪圈； 怪圈坏的效应：电话或收音机的噪音； 怪圈好的效应：电视的屏幕。 科学中的怪圈。 数学上，罗素提出了罗素悖论： 设A={X|X∈X},B={X|X不属于X},如果B∈A，则根据A 的定义，B∈B,反之亦然。 理发师悖论：给且只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。 二、悖论对科学发展的影响 1．一种重要的证伪手段 从逻辑上讲，一个科学理论必须满足相容性，当人们在该理论中发现了某个悖论的时候，就意味着这种相容性已遭到了破坏，在一定程度上说，这种理论也就被证伪了。落体悖论之于亚里士多德物理学，罗素悖论之于康托尔集合论就可以看着是这种证伪。 2．科学问题的生长点 在一个科学理论中发现了悖论，并不一定就立即证伪了该理论，因为理论有一定柔性，它可以提出辅助性假说以限制或消除悖论；甚至可以暂时视悖论而不见，把悖论暂时搁置起来，留待今后去解决。但无论如何，悖论就是悖论，人们不可能永远不正视它，研究它：讨论悖论是怎样产生的，如何消除悖论等问题。因此，悖论正是科学问题的生长点。 3．完善、发展原有理论 消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程。贝克莱悖论曾严重威胁着微积分的真理性(仅指内真理)；双生子悖论曾对爱因斯坦的狭义相对论形成有力的挑战，但后来终被解决，同时丰富和发展了爱因斯坦的 罗素悖论提出的背景研究 1902 年6 月16 日，罗素的着作《数学原理》( Principles of Mathematics) 发表前夕，他给弗雷格写了一封信，信中写道: “我在读您的着作《算术基础》( Grundgesetze derArithmetik) 时发现一个困境……。” 他提到的这个困境可以描述为:设谓词w 表示: 不能描述自己的谓词。那么w 能不能描述自己呢? 无论肯定还是否定的回答都会推出反面，因此我们只能说w 不是一个谓词。 罗素从这个困境想到了另一个看似不同但更一般的问题: 由所有不属于自己的集合组成的类也存在同样的困境。因此，由这些不属于自身的集合( 每个都是一个总体) 形成的类( 总体)是不存在的。这样，我们可以得出结论: 按照这种方式定义形成的类不能作为一个总体。 实际上，他们是两个截然不同的问题。第一个问题涉及到谓词，一个不能描述自己 的谓词。正如弗雷格在关于概念和对象的理论中描述的那样，他在给罗素的回复中也强调，如果严格区分个体能够满足的谓词和谓词能够满足的( 高阶) 谓词的话，那么考虑自己描述自己的谓词是没有意义的。“不能描述自己的谓词”是不存在的，因此，悖论也就不会发生。 当时，罗素并没有接受概念需要分类型的想法，而仅仅在《数学原理》的附录 B 中提到这种可能性。对于罗素来说，第一个悖论是最重要的。他只是在考虑其他理论，比如弗雷格的理论时，才在这些理论中描述第二个悖论的相关形式。相反地，弗雷格却立刻意识到第二个悖论揭示出了他的系统中存在的问题。 仅仅 6 天之后，6 月22 日，弗雷格马上给罗素写了回信，信中这样写道:看来一个等式的一般形式不一定总能写成赋值过程的等式①，我提出的基本定律V②是错的，§31 中的解释也不足以保证我给出的符号组合在任何情况下都有意义。 罗素的确是在考虑康托定理时想到了 罗素悖论的解决 罗素悖论 1901年,罗素提出了“不包含自己在内的集合的集合”这一悖论(策梅罗也同时独立地发现了这个悖论)。“罗素悖论”大家比较熟悉,但为了它的重要性,这儿不妨再说明几句。有的集合不包括自己在内,例如“人”这个集合,包括所有的人在内,却不能包括抽象的人这个总的概念在内,因为这是个概念,本身并不是一个具体的人。大多数集合属于这一类,罗素称之为“平常集”,即“不包括自身在内的集合刀。另一类集合却包括了集合本身,例如“概念”这个集合,本身也是一个概念。这一类集合,就叫做“非常集”。现拿“平常集”来说,它也有一个总的集合,那就是“所有不包括自身在内的集合的集合”,这就造成了一个悖论,因为既然定义了“不包括自身在内”,这个总集合当然不能包括自身在内,但如果不包括它自己在内,定义却是“所有不包括自身”的集合,因此又只能理解为包括它自身在内。至于所谓“非常集”,即“包括自己在内的集合”,例如“概念”这个“集合”，其中包含的元素同作为集合总体的“概念”相对言之,自然都是比较具体的概念,其实也是自相矛盾的。 人们至今对于罗素悖论相当重视,这不仅在于它指出了康托“不包括自己在内的合的集合刀的致命弱点,而且也由于这个悖论在形式逻辑概念问题上有重大意义,反映了逻辑学上的一些概念为什么必然自相矛盾这个问题。例如“否定刀这个概念是形式逻辑中不可少的,但“否定刀往往会转化为“肯定”。从辩证逻辑的观点看来,否定就包含着肯定,肯定也包含着否定,“包含自己刀和“不包含自己刀也是一种否定和肯定的关系,因为“包含”这个概念本身就包含着“不包含力。“谎话”可以是“真话”。但这一类辩证逻辑的判断,在形式逻辑领域中是不能允许其存在的。 悖论的解决 为了使康托集合论避免悖论的危害,本世纪初,策梅罗拟出了一套公理化系统,这一个系统后来经过法兰凯尔的补充,就是现在数学界最为通行的ZF系统。 简略地说,策梅罗的系统就是限制了康托集合论中产生悖论的所谓“概括公理”(comprehensionaxiom),因为这条公理允许构成包括一切集合的集合。根据策梅罗一法兰凯尔ZF系统的公理,就不允许构成这样的集合,因而也就躲开了康托悖论、布拉里-福尔蒂悖论,当然也包括罗素悖论。 围绕宗教，如佛教、基督教和道教，都有一些非理性或超越理性的思考，而这类思考也往往涉及到悖论问题。 ７－１“知者不言，言者不知” 语言是表达意义的工具。中国古人却很早就认识到了语言的缺憾。老子说：“道常无名。”孔子也认为：“书不尽言，言不尽意。”古书里也有“意不称物，文不逮意”。但是老子的说法里存在着一个悖论。 老子的：“知者不言，言者不知。”是一条悖论，被白居易一语道穿。白居易在《读老子》里说道：“言者不知知者默，此语吾闻于老君。若道老君是知者，缘何自着五千文？” ７－２禅宗公案的悖论形式 所谓“公案”就是禅师开悟的故事或非逻辑的言行，“禅”是佛教静思修行的方法。例如在禅宗里有一个“看话禅”，禅师以公案中的某些非逻辑、通常不可解的话语，让弟子参究，以杜塞其思量分别，迫使他们的智慧迸发，得以见到自己的“心性”。当禅师启发弟子开悟而提出悖解的问题时，弟子就要在考验中过迷悟的“禅关”。而禅诗、禅语就是他们把禅悟的理解、感受用文字的形式表现出来。 成中英在《禅的诡论和逻辑》（《中华佛学学报》第三期，１９９０年４月）一文里认为，公案是诡论，也就是悖论。比照罗素悖论的一般形式： 如果Ｐ是真，那么Ｐ是假。 禅诡论扩展的一般形式就是： 如果Ｐ是Ｑ，那么Ｐ不是Ｑ。 尽管禅宗公案变化无常，依境而发，但其诡论根源都离不开这一反矛盾律的形式。铃木大拙在《禅：答胡适博士》（Ｚｅｎ：ＡＲｅｐｌｙｔｏＤｒ．ＨｕＳｉｈ）一文中也说：“我们一般推论：Ａ是Ａ，因为Ａ是Ａ；Ａ是Ａ，所以Ａ是Ａ。禅同意或接受这种推论方式，但是，禅有它自己的方式，这种方式并不是一般可以接受的方式。禅会说：Ａ是Ａ，因为Ａ不是Ａ；或Ａ是Ａ，所以Ａ是Ａ。”语言是思维的载体，思维借助文字符号表达出来，因此语言的运用就反映了思维的逻辑。而禅宗公案往往并不遵循形式逻辑的基本规律： 同一律：Ａ是Ａ，Ｂ是Ｂ，等等；矛盾律，Ａ不是非Ａ，Ｂ不是非Ｂ，反之亦然；排中律，在Ａ或Ｂ之间必居其一，没有中立；充足理由律：Ａ真，因为Ｂ真，并且Ｂ能推出Ａ。 ７－３“见山不是山，见水不是水。” 这是唐代禅师青原惟信谈到其对禅体验的三个境界时说的：三十年前没有参禅时，见山是山，见水是水。后来有个入处，见山不是山，见水不是水。而今得个歇处，依前见山只是山，见水只是水。 其中“见山不是山，见水不是水”是一种单一形式的悖论。在禅宗里这类例子不胜枚举。如： “我是他，但他不是我。”（反矛盾律）“得即是失。”（反矛盾律）“既不是肯定也不是否定，二者都不对，你应该怎么说？”（反排中律）“勿言生，勿言无生。”（反排中律） 它们背后的禅理是语言和逻辑所无法达到的，这就是“空”，一种修行的悟解。如果围绕公案（悖论）、悟、空等基本概念，就可以对禅有一个基本的了解。 理发师悖论 “理发师悖论” 是“罗素悖论” 的通俗说法。说的是在很早以前的一个村庄里, 只有一个理发师, 他规定只替而且一定替不给自己理发的人理发。这就引出一个问题: 他该不该给自理发? 或者问: 他的头发应由谁理? 要是他给自己理发, 那么他就违反了自己的规定; 因为按规定, 他不应该为自己理发。要是他不给自己理发, 他也违反了自己的规定; 因为按规定, 他一定得给自己不理发的人理发, 所以他也得给自己理发。理发师发难了: 他不论怎么做“都自己打自己的耳光” 。 3 . 1 “理发师悖论”的数学表示设要回答的问题是: “ 一切不包含自身的集合所组成的集合” 是否包含自身的问题。如果说它不包含自身, 那么他就应当是这个集合的元素, 即包含自身; 如果说它包含自身, 即属于这个集合那么它又不应包含自身。用符号表示就 是:R ∈R ≡R R即命题R ∈R 等价于它的否命题R R 。 3 . 2 “ 罗素悖论” 的辨析及历史意义 “ 罗素悖论” 产生的原因在于集合的辩证性与数学方法的形式特性或者形而上学思维方法的矛盾。集合既是一种完成了的对象, 又具有无限扩张的可能性, 它是完成与过程的统一。而人们在认识集合这种辩证性时, 由于形式逻辑的驱使或者形而上学的思维方法往往是片面强调矛盾的一方, 且把它推向极端, 然后又把对立的双方机械的重新联结起来, 这样出现矛盾就不可避免了, 在“罗素悖论”的形成中,它一方面肯定的是集合本身无限扩张的可能性, 即强 调集合的过程性。另一方面,又对不能再予以扩张的集合即全集的绝对肯定,即又强调了集合的完成性。这样一来, 把绝对化了的双方又机械的联系起来,就必然构成了悖论。 “罗素悖论” 来自作为数学基础的集合论的内部, 推理简单明了, 毫不含糊, 一针见血地指出了当时集合论中存在的矛盾。大家知道,数学是科学的基础,而集合论又是公认的现代数学的基础, 正如一个宏伟大厦的地基出现了问题一样, “罗素悖论” 的提出, 使人们如闻霹雳, 震惊不已, 从而引发了第三次数学危机,但正是这一次数学危机, 促进了公理化集合论的诞生。 论数学史上的三次数学危机 学号：100521026 姓名：付东群 摘要：数学发展从来不是完全直线，而是常常出现悖论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学的可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。危机的产生、解决，又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。 关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论；悖论； 引言：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至面临危机。数学史也是数学家们克服困难和战胜的斗争记录。无理数的发现，微积分和非欧集合的创立，乃至费马定理的证明......这样的例子在数学史上不胜枚举，他们可以帮助人们了解数学创造的完美过程。对这种创造的过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中西区教益，获得鼓舞和增强信心。 第一次数学危机（无理数的产生） 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。 (一)、危机的起源 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机【1】。 （二）、危机的解决 由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。动摇数学基础的第一次危机并没有很轻易地被解决。大约到了公元前370年，这个矛盾终于被毕达哥拉斯学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法巧妙的处理了。但这个问题直到19世纪的戴德金和康托尔等人建立了现代实数理论才算彻底解决了。 集合论悖论的解决V7.5 2010.12.25 QQ:165442523 摘要：实数集R的所有幂集：P(R),P(P(R)),P(P(P(R))),...,Pn(R),...因为所有Pn(R)都是不包含自身的集合，罗素悖论中“所有不包含自身的集合”必包含所有Pn(R),也就是包含广义连续统假设中的全部基数{X0,X1,...Xn...}，从而无意义。 简而言之，集合可以包含自身，但集合不可以包含自身的幂集，这就是我与公理集合论最大不同点。 虽然我知道公理集合论是为了解决罗素悖论而产生的,但我认为公理集合论是在走弯路,甚至是误入岐路了.如果不包含下列的理论,我认为<<集合论>>是不完整的. 广义连续统假设:无限集合的基数必是X0,X1,...Xn...之一. 其中的基数X就是阿列夫,因为我找不到这个字符,所以用英文字母X表示了. 无意义公理:一个无限集的基数是极限limXn(n→∞),则这个集合是没有什么意义的. 这个公理是我引入的，我还没在别处见到过。 这个公理是易理解的，它就相当于公理集合论中的真类的概念，但公理集合论引入这个类的概念后就误入岐路了，至少作者是这样认为的。 李均宇第一定理：如果一个集合包含广义连续统假设中全部的基数，也就是集合{X0,X1,...Xn...},则这个集合的基数是limXn(n→∞) 这个定理是显而易见的，用反证法不难证明的。 李均宇第二定理:如果一个无限集合又包含自身的幂集,也就是集合 A={......,P(A)),则这个集合A的基数是limXn(n→∞) 证明:设无限集合A的基数是Xn,n是固定不变的.因为无限集合A又包含自身的所有子集或幂集,而幂集的基数是 X(n+1)=2^Xn,所以无限集合A的势变成 X(n+1),这与原先假设无限集合A的基数是Xn,n是固定不变的相矛盾,所以无限集合A的基数是limXn(n→∞). 李均宇第三定理: 如果一个集合包含一个无穷集的所有幂集，也就是集合 B={P(A),P(P(A)),P(P(P(A))),...,Pn(A),...},则这个集合B的基数是 limXn(n→∞),尤其是当A为实数集R时，集合 B={P(R),P1(R),P2(R),...,Pn(R),...},则这个集合B的基数是limXn(n→∞) 所有幂集,假设无穷集A，则其幂集P(A),幂集的幂集P(P(A)),幂集的幂集的幂集P(P(P(A))),...Pn(A).....称为其所有幂集。 因为一个无穷集的所有幂集的基数就是广义连续统假设中全部的基数，所以由李均宇第一定理知此定理成立。 李均宇第四定理: 假设集合P'n(A)与幂集Pn(A)等势，也就是基数一样，则P'n(A)也相当于幂集Pn(A)一样适用于李均宇第二和第三定理中。 一。基数悖论 定理1:所有集合的集合的基数是limXn(n→∞). 这个显而易见，这在<<集合论>>中早已有之，这里重述而已。因为所有集合的集合包含自身幂集，由李均宇第二定理知其基数是limXn(n→∞).所以这种集合在公理集合论中称为真类。 罗素类型论研究（一） 类型论是罗素为解决逻辑悖论而构造的一个重要理论，它以恶性循环原则为前提，其核心思想是不把类当实体看，其总体思想是任一函项必定属于一定的类型和阶。类型论提供了一种对悖论的统一的解决办法，其排除悖论的实质是把引起悖论的表达式归于“无意义”。类型论本身并不完善，引来了争论，争论的焦点首先是可化归性公理，其次是恶性循环原则，引起争论的实质是在类的实在性问题上实在论和唯名论的对立。类型论尽管在总体上不那么令人满意，但它给逻辑和哲学都带来了重大的影响，这种影响是积极的。 标签：罗素；类型论；类 类型论是罗素为解决逻辑悖论而构造出的一个极其重要的理论。有评论家说，它和罗素著名的摹状词理论一起对分析哲学的发展起到了强劲的推动作用。与摹状词理论相比，类型论还不够成熟，也没有获得“哲学的典范”那样高的哲学地位，但它解决的问题、引起的问题，以及它蕴涵的哲学意义，到今天仍值得我们深深地反思和深入地探究。类型论的技术性强，内容艰深复杂，本文试图在阐释它主要内容的基础上来展开对它的分析与评价。 一、缘起与建构 康托尔集合论有一个用来说明“集合”的概括原则，该原则说：任一性质均可定义一个集合，集合的元素恰好具有该性质。概括原则可以用符号表示为s={x|P(x)}，它等价于vx(x∈s—P(x))，该式的一个意思是“任意对象均可作为集合的元素”。任一集合由于都可以看做对象，因而都可以考虑其是否属于自身(或是否是自身的一个元素)的问题，因此，根据概括原则，就可以从性质“不属于自身”出发去构造一个新的集合s，它是由所有那些不属于自身的集合构成的，即s={x|x∈x}(其中x是集合)。由此可以构造出命题vx(x∈s—x∈x)，再由此根据逻辑规则立即得出：S∈S—S∈S。这就是“罗素悖论”。 “罗素悖论”产生了巨大的震撼力，它表明作为数学基础的集合论是不一致的，让整个数学大厦为之动摇，如何去解决它就成了摆在当时数学家们面前的一个十分紧要的问题。类型论就是罗素经过长期探索而构造出的一个解悖方案。 (一)从简单类型论到分支类型论 类型论有两种形态：一是《数学的原理》中的简单形态，二是《数学原理》中的分支形态，它们有联系也有差别。 罗素1903年在《数学的原理》中提出了一个解决悖论的初步方案，这个方案后来被称为简单类型论。罗素在这里指出，解决这类悖论的关键在于区分不同的逻辑类型。以此作为指导思想，罗素首先给出了类型的定义：“类型”即“命题函项的意义域”。据此，罗素区分了个体、个体的类、个体的类的类等不同层次悖论
罗素悖论与第三次数学危机
悖论的产生和意义
芝诺悖论的极限分析
悖论及其解决
科技英语阅读课文翻译及部分课文摘要Unit1-10
悖论大合集
十大数学悖论
自然辩证法讲义-悖论+观察
罗素悖论提出的背景研究
罗素悖论的解决
世界悖论大全
理发师悖论
数学史上的三次危机及其解决
集合论悖论的解决V7.5
罗素类型论研究(一)