线性代数辅导讲义

2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-

主讲：汤家凤

第一讲 行列式

一、基本概念

定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。

定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。

定义3 行列式—称nn

n n n

n

a a a a a a a a a D

21

222

2111211

=

称为n 阶行列式，规定

n n

n nj j j j j j j j j a a a D 21212121)

()1(∑-=

τ

。

定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn

n n n n a a a a a a a a a D

21

2222111211

=

中元素ij a 所在的i 行元

素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j

i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。

二、几个特殊的高阶行列式

1、对角行列式—形如

n

a a a 00

000

021

称为对角行列式，n n

a a a a a a

2121

00

=。

2、上（下）三角行列式—称

nn n n a a a a a a 00

0222

11211

及

nn

n n a a a a a a 212221

11

00

为上（下）三角行

列式，

nn nn

n

n a a a a a a a a a 221122211211

0=，

nn nn

n n a a a a a a a a a

22112

1

222111

0=。

3、

||||B A B O O A ?=，||||B A B O C A ?=，||||B A B

C O

A ?=。

4、范得蒙行列式—形如1

121

12121111

),,,(---=

n n

n n n n a a a a a a a a a V

称为n 阶范得蒙行列式，

且

n

i j j i n n

n n n

n a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==

11121

12

121)(1

11

),,,(。 【注解】0),,,(21≠n a a a V 的充分必要条件是n a a a ,,,21 两两不等。 三、行列式的计算性质

（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即T

D D =。

2、对调两行（或列）行列式改变符号。

3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。 推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。 推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。

推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。

4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即

nn

n n in i i n nn

n n in i i n nn

n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a a

21

211121121

21

112112

1

221

1112

11+=+++。 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即

nn n n jn

j j jn

in j i j i n nn n n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a

2

1212

2111121121212111211+++=，其中k 为任意常数。 【例题1】设321,,,,γγγβα为4维列向量,且4|,,,|||321==γγγαA ，

21|,3,,|||321==γγγβB ，求||B A +。

【例题2】用行列式性质1~5计算8

42321

1

23

-。 【例题3】计算行列式21

64729541

732152-----=

D 。 【例题4】计算n

n a a a a D ++++=

11

1

1

1111111111

11321

，其中)1(0n i a i ≤≤≠。

（二）行列式降阶的性质

6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即

),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=，

),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=。

7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。

【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算8

42321

1

23

-。 【例题2】设2

1

64729541

732152-----=

D ，求（1）24232221M M M M +++；（2）3231M M +。 四、行列式的应用—克莱姆法则

对方程组???????=+++=+++=+++0

00221122221211212111n nn n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ） 及

??????

?=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212********* （II ） 其中)(II 称为非齐方程组，)(I 称为)(II 对应的齐次方程组或)(II 的导出方程组。

令n

n n n nn

n n

n n nn

n n n n b a a b a a

b a a D a a b a a b a a b D a a a a a a a a a D 21

2

2221

1

1211222221121121

2222111211

,,,===

，其中D

称为系数行列式，我们有

定理1 )(I 只有零解的充分必要条件是0≠D ；)(I 有非零解（或者)(I 有无穷多个解）的充分必要条件是0=D 。

定理2 )(II 有唯一解的充分必要条件是0≠D ，且),,2,1(n i D

D x i

i ==

；当0=D 时，)(II 要么无解，要么有无穷多个解。

第二讲 矩阵

一 、基本概念及其运算 （一）基本概念

1、矩阵—形如??

?

?

?

?

?

??mn m m n n a a a a a a a a a 2

1

22221

11211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列

数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。

（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。

（3）称???

?

? ??=11 E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。

（5）转置矩阵—设???????

??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211

，记??

???

?

?

??=mn n n m m T

a a a a a a a a a A

212221212111

，称T

A 为矩阵A 的转置矩阵。

2、同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。

3、伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称

ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子

式，记??

??

?

??

??=*

nn n

n

n n A A A A A A A A A A

212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。 （二）矩阵的三则运算

1、矩阵加减法—设???????

??=mn m m n n a a a a a a a a a A 21222

21

11211

，??

??

?

?

?

??=mn m m n n b b b b b b b b b B 2

1

222

21

11211

，则 ??

?

?

?

?

?

??±±±±±±±±±=mn mn m m m m n n n n b a b a b

a b a b a b a b a b a b a A

2

211

2222

2221211112121111。

2、数与矩阵的乘法—设???????

??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211

，则??

?

?

?

?

?

??=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA

2

1

22221

11211

。

3、矩阵与矩阵的乘法：

设???????

??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221

11211，??

?

?

?

?

?

??=ns n n s s b b b b b b b b b B 2

1222

21112

11，则

??

??

?

?

? ??=ms m m n s c c c c c c c c c C 2

1

22221

11211，其中∑==n k kj ik ij b a c 1（s j m i ,,2,1;,,2,1 ==）。 【注解】（1）O B O A ≠≠,推不出O AB ≠。

（2）BA AB ≠。

（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。

若BA AB =，则)2)((232

2B A B A B AB A --=+-，再如

)2)(3(62E A E A E A A +-=--。

（4）方程组的三种形式 形式一：基本形式

??????

?=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ）与???????=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212*********（II ） （I ）（II ）分别称为齐次与非齐线性方程组。

记,,,21212

1

22221

11211

??

??

?

?

?

??=??????? ??=???????

??=m n mn m m n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A 则方程组（I ）、（II ）可改写为 形式二：方程组的矩阵形式

0=AX ， （I ）

b AX =， （II ）

令???

?

? ??=????? ??=????? ??=????? ??=????? ??=m n mn n n m m b b b x x X a a a a a a 11121221111,,,,,ααα，则有

形式三：方程组的向量形式

O x x x n n =+++ααα 2211 （I ） O x x x n n =+++ααα 2211 （II ） 二、矩阵的两大核心问题—矩阵的逆矩阵与矩阵的秩

【背景】初中数学问题：对一元一次方程)0(≠=a b ax ，其解有如下几种情况 （1）当0≠a 时，b ax =两边乘以

a 1得a

b

x =。 （2）当0,0==b a 时，方程b ax =的解为一切实数。 （3）当0,0≠=b a 时，方程b ax =无解。

矩阵形式的线性方程组解的联想：对线性方程组b AX =，其解有如下几种情况

（1）设A 为n 阶矩阵，对方程组b AX =，存在n 阶矩阵B ，使得E BA =，则Bb X =。 （此种情况产生矩阵的逆阵理论）

（2）设A 为n 阶矩阵，对方程组b AX =，不存在n 阶矩阵B ，使得E BA =，方程组b AX =是否有解？

（3）设A 是n m ?矩阵，且n m ≠，方程组b AX =是否有解？

（后两种情况取决于方程组的未知数个数与方程组约束条件的个数即矩阵的秩） （一）逆矩阵

1、逆矩阵的定义—设A 为n 阶矩阵，若存在B ，使得E BA =，称A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记为1

-=A B 。

【例题1】设A 为n 阶矩阵，且O E A A =--22

，求1

1)(,--+E A A 。

【例题2】设A 为n 阶矩阵，且O A k =，求1)(--A E 。 2、关于逆矩阵的两个问题

【问题1】 设A 为n 阶矩阵，A 何时可逆？ 【问题2】 若A 可逆，如何求1

-A ？ 3、逆阵存在的充分必要条件

定理 设A 为n 阶矩阵，则矩阵A 可逆的充分必要条件是0||≠A 。 4、逆阵的求法

（1）方法一：伴随矩阵法 *

-=

A A A

|

|11。 （2）初等变换法 )|()|(1

-A E E A 初等行变换。

5、初等变换法求逆阵的思想体系 第一步，方程组的三种同解变形 （1）对调两个方程；

（2）某个方程两边同乘以非零常数； （3）某个方程的倍数加到另一个方程， 以上三种变形称为方程组的三种同解变形。 第二步，矩阵的三种初等行变换 （1）对调矩阵的两行；

（2）矩阵的某行乘以非零常数倍； （3）矩阵某行的倍数加到另一行，

以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。 若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。 第三步，三个初等矩阵及性质

（1）ij E —将E 的第i 行与第j 行或者单位矩阵E 的第i 列与第j 列对调所得到的矩阵，如

23010100001E =???

?

? ??。 性质： 1）1||-=ij E ；1）ij ij E E =-1

；

3）A E ij 即为矩阵A 的第i 行与第j 行对调，ij AE 即为矩阵A 的第i 列与第j 列对调，即A E ij 是对A 进行第一种初等行变换，ij AE 是对A 进行第一种初等列变换。

（2）)0)((≠c c E i —将E 的第i 行乘以非零常数c 或E 的第i 列乘以非零常数c 所得到的矩

阵，如)5(5000100013-=???

?

? ??-E 。

性质：1）c c E i =|)(|；2）)1()(1

c

E c E i i =-；

3）A c E i )(即为矩阵A 的第i 行非零常数c ，)(c AE i 即为矩阵A 的第i 列非零常数c ，即

A c E i )(为对A 进行第二种初等行变换，)(c AE i 为对A 进行第二种初等列变换。

（3）)(k E ij —将E 第j 行的k 倍加到第i 行或E 的第i 列的k 倍加到第j 列所得到的矩阵。 性质：

1）A k E ij )(即A 第j 行的k 倍加到第i 行，)(k AE ij 即A 第i 列的k 倍加到第j 列； 2）1|)(|=k E ij ；3）)()(1

k E k E ij ij -=-。

第四步，三个问题

【问题1】 设A 是n 阶可逆矩阵，A 可都经过有限次初等行变换化为E ？ 【问题2】 设A 是n 阶不可逆矩阵，A 是否可以经过有限次初等行变换化为???

?

??O O O E r

？ 【问题3】设A 是n 阶不可逆矩阵，A 是否可以经过有限次初等变换化为???

? ??O O O E r

？ 第五步，初等变换法求逆阵的理论

定理1 设A 是n 阶可逆矩阵，则A 经过有限次初等行变换化为E ，且)()(1

-→A E E A 。 定理2设A 是n 阶不可逆矩阵，则存在n 阶可逆矩阵P 和Q ，使得???

? ??=O O O E PAQ r

。 6、逆矩阵的性质 （1）A A =--1

1)(。

（2）1

1

1)(--=A k

kA 。 （3）111

)(---=A B AB ，更进一步111

11121)(-----=A A A A A A n n n 。

（4）T T A A )()

(11

--=。

（5）???? ??=?

???

??---11

1

B O O A B O O A ，???

? ??=???

? ??---O A B O

O B A O 111

。 【例题1】设可逆矩阵A 的j i ,行对调所得的矩阵为B 。 （1）证明：B 可逆。 （2）求B A 1

-。

【例题2】设B A ,分别为n m ,阶可逆矩阵，b B a A ==||,||，求*

???

?

??O B A O 。

【例题3】设可逆阵A 的2,1两行对调得矩阵B ，讨论*

A 与*

B 之间的关系。

【例题4】设,,133312

321131

1312

11

23

2221

3332

31

232221

131211

????

?

??+++=?????

??=a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ???

?

?

??=????? ??=101010001,10000101021P P ，则 （ ）

B P AP A =21)( B P AP B =12)( B A P P

C =21)( B A P P

D =12)(

【例题5】设????

?

??--=100110111A ，且E AB A =-2

，求B 。

（二）矩阵的秩

1、矩阵秩的定义—设A 是n m ?矩阵，A 中任取r 行和r 列且元素按原有次序所成的r 阶行列式，称为A 的r 阶子式，若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，而所有1+r 阶子式（如果有）皆为零，称r 为矩阵A 的秩，记为r A r =)(。

2、矩阵秩的求法—将A 用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵A 的秩。 【注解】

（1）设A 为n m ?矩阵，则},min{

)(n m A r ≤。 （2）0)(=A r 的充分必要条件为O A =。 （3）1)(≥A r 的充分必要条件为O A ≠。

（4）2)(≥A r 的充分必要条件是A 至少有两行不成比例。 （5）T

n a a a ),,,(21 =α，则???=≠=O

O

r ααα,0,1)(。

3、矩阵秩的性质

（1）)()()()(A A r AA r A r A r T

T

T

===。

【例题1】设A 是n m ?矩阵，证明：若O A A T

=，则O A =。 （2）)()()(B r A r B A r +≤±。

【例题2】设????

? ??=????? ??=n n b b a a 11,βα，T T A ββαα+=，证明：2)(≤A r 。

（3）)}(),(min{)(B r A r AB r ≤，等价于?

?

?≤≤)()()

()(B r AB r A r AB r 。

（口诀：即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高）

【例题3】设B A ,分别为n m ?与m n ?矩阵，且E AB =，求)(),(B r A r 。 （4）设s n n m B A ??,，且0=AB ，则n B r A r ≤+)()(。 【例题4】设A 为可逆矩阵，证明其逆矩阵唯一。 【例题5】设A A =2

，证明：n A E r A r =-+)()(。

（5）设Q P ,为可逆矩阵，则)()()()(PAQ r AQ r PA r A r ===。

（6）)2(1)(,01)(,1)(,)(≥??

???-<-===*

n n A r n A r n

A r n A r 。

（7）)()(B r A r B A r +≤???

?

??。

（8）?=1)(A r 存在非零向量βα,，使得T

A αβ=。

第三讲 向量

一、向量基本概念

1、向量—n 个实数n a a a ,,,21 所构成的一个数组称为向量，其中),,,(21n a a a 称为n 维

行向量，???

?

? ??n a a 1称为n 维列向量，构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。

2、向量的内积：∑==

=n

i i i T

b a 1

),(βαβα。

[注解]（1）βα

αββαT

==),(),(； （2）21

2||),(ααα==∑=n

i i a ；

（3）),(),(),(γαβαγβα+=+； （4）),(),(),(βαβαβαk k k ==。

（5）当0),(=βα，即

01

=∑=n

i i

i b

a 时，称向量α与β正交，记为βα⊥，注意零向量与

任何向量正交。

【注解】方程组的向量形式

齐次线性方程组可以表示为O x x x n n =+++ααα 2211； 非齐线性方程组可以表示为b x x x n n =+++ααα 2211，

其中???

?

? ??=????? ??=????? ??=????? ??=n mn n n m m b b b a a a a a a 1121221111,,,,ααα。

3、线性相关与线性无关

对齐次线性方程组O x x x n n =+++ααα 2211，

（1）O x x x n n =+++ααα 2211当且仅当021====n x x x 时成立，即齐次线性方程组只有零解，称向量组n ααα,,,21 线性无关；

（2）若有不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得O k k k n n =+++ααα 2211成立，即齐次线性方程组有非零解，称n ααα,,,21 线性相关。 4、向量的线性表示

对非齐线性方程组b x x x n n =+++ααα 2211，

（1）存在一组常数n k k k ,,,21 ，使得b k k k n n =+++ααα 2211成立，即非齐线性方程组有解，称β可由n ααα,,,21 线性表示；

（2）若b x x x n n =+++ααα 2211不能成立，即非齐线性方程组无解，称β不可由

n ααα,,,21 线性表示。

5、向量组的秩与矩阵的秩的概念

（1）向量组的极大线性无关组与向量组的秩—设n ααα,,,21 为一个向量组，若

n ααα,,,21 中存在r 个线性无关的子向量组，但任意1+r 个子向量组（如果有）线性相

关，称r 个线性无关的子向量组为向量组n ααα,,,21 的一个极大线性无关组，r 称为向量组n ααα,,,21 的秩。

[注解]（1）若一个向量组中含有零向量，则该向量组一定线性相关。

（2）两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例。 （3）向量组的极大线性无关组不一定唯一。

6、向量组的等价—设m A ααα,,,:21 与n B βββ,,,:21 为两个向量组，若

??????

?+++=+++=+++=n

mn m m m n

n n n k k k k k k k k k βββαβββαβββα 22112222121212121111， 则称向量组m A ααα,,,:21 可由向量组n B βββ,,,:21 线性表示，若两个向量组可以相互线性表示，称两个向量组等价。 二、向量的性质

（一）向量组的相关性与线性表示的性质

1、若n ααα,,,21 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。

2、设n ααα,,,21 线性无关，而βααα,,,,21n 线性相关，则β可由n ααα,,,21 线性表出，且表示方法唯一。

3、若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关；

4、若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关；

5、设n ααα,,,21 为n 个n 维向量，则n ααα,,,21 线性无关0|,,,|21≠?n ααα 。

6、若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关。

7、若n ααα,,,21 为一个两两正交的非零向量组，则n ααα,,,21 线性无关。 8、设n ααα,,,21 为两两正交的非零向量组，则n ααα,,,21 线性无关，反之不对。 【例题1】 设321,,ααα线性无关，432,,ααα线性相关，证明：4α可由321,,ααα线性表示。 【例题2】设321,,ααα线性无关，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，讨论321,,βββ的相关性。

【例题4】设4321,,,αααα线性无关，令

144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，讨论4321,,,ββββ的相关性。

（二）向量组的秩的性质

1、设n m B A βββααα,,,:,,,,:2121 为两个向量组，若A 组可由B 线性表出，则A 组的秩不超过B 组的秩。

2、等价的向量组由相等的秩。

3、矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩三者相等。

【注解】（1）设n ααα,,,21 线性无关，b n ,,,,21ααα 线性无关的充分必要条件是b 不可由向量组n ααα,,,21 线性表示，等价于1),,,(),,,,(2121+=n n r b r αααααα 。

（2）设n m B A βββααα,,,:,,,,:2121 ，若向量组A 可由向量组B 线性表示，而向量组B 不可由向量组A 线性表示，则)()(B r A r <。

第四讲 方程组

一、线性方程组的基本概念

方程组???????=+++=+++=+++.0,0,

0221122221211212111n mn m m n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （I ），称（I ）为n 元齐次线性方程组。

方程组???????=+++=+++=+++.

,,22112

222212*********m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （II ）称（II ）为n 元非齐线性方程组，方程组

（I ）又称为方程组（II ）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。

二、线性方程组解的结构

1、设s X X X ,,,21 为齐次线性方程组O AX =的解，则s s X k X k X k +++ 2211为

O AX =的解，其中s k k k ,,,21 为任意常数。特殊情形，21X X +及1kX （k 为任意常数）

都是O AX =的解。

2、设0X 为齐次线性方程组O AX =的解，η为非齐线性方程组b AX =的解，则η+0X 为

方程组b AX =的解。

3、设21,ηη为非齐线性方程组b AX =的解，则21ηη-为O AX =的解。

4、设t ηηη,,,21 为b AX =的一组解，则t t k k k ηηη+++ 2211为b AX =的解的充分必要条件是121=+++t k k k 。 三、线性方程组解的基本定理

定理1 （1）齐次线性方程组O AX =只有零解的充分必要条件是n A r =)(；

（2）齐次线性方程组O AX =有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是n A r <)(。 定理2 （1）非齐线性方程组b AX =无解的充分必要条件是)()(A r A r ≠。

（2）b AX =有解的充分必要条件是)()(A r A r =。更进一步地，当n A r A r ==)()(时，方程组b AX =有唯一解；当n r A r A r <==)()(时，方程组b AX =有无穷多个解。 四、线性方程组的通解

（一）齐次线性方程组O AX =的基础解系与通解

【例题1】求方程组???????=-+-=++=++=+-++0050720854315325

2154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

【例题2】求方程组???

??=-+++=-++=+--+0

22042220254321

532154321x x x x x x x x x x x x x x 。

【注解】齐次线性方程组基础解的的三大条件

一个向量组为齐次线性方程组的基础解系的充分必要条件是 （1）该向量组为方程组的解。（2）该向量组线性无关。 （3）该向量组的向量个数与方程组自由变量个数相等。

（二）非齐线性方程b AX =的通解

【例题1】设方程组???

?

? ??=????? ??????? ??-+0312123212

1321x x x a a 无解，求a 。

【例题2】b a ,取何值时，方程组???????-=+++=--+-=++=+++1

232)3(1220

43214324

324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有解，并求出其解。

【例题3】（1）设A 为n 阶阵，且A 的各行元素之和为0，0,1)(=-=AX n A R 则，求0=AX 的通解。 （2）设A 为n 阶阵，且0,0||≠=ki A A ，求0=AX 的通解。

（3）设b AX =为四元非齐方程组，321,,,3)(ααα=A R 为其3个解向量，且T

)8,9,9,1(1=α，

T )9,9,9,1(32=+αα，求b AX =的通解。

（4）321,,ααα设为4维列向量组，21,αα线性无关，),,(,23321213αααααα=+=A 且， 求0=AX 的一个基础解系。

（5）设4324321,,),,,,(ααααααα=A 线性无关，且4213212,3αααβααα++=+=， 求β=AX 的通解。

【例题3】设),,,2,1(21n r r i a a a in i i i <=??????? ??= α为n 维向量组，且r ααα,,,21 线性无关，???

?

??

? ??=n b b b 21β

为???????=++=++=++0

001121211111n rn r n n n n x a x a x a x a x a x a 的非零解，问βααα,,,,21r 线性相关性。 方程组补充 （一）理论拓展

定理1 若O AB =，则B 的列向量组为方程组O AX =的解。 【例题1】设O AB =，证明：n B r A r ≤+)()(。

【例题2】设A 为三阶非零矩阵，A 的第一行元素c b a ,,不全为零，???

?

? ??=k B 63642321，且

O AB =，求方程组O AX =的通解。

定理2 若O AX =与O BX =同解，则)()(B r A r =。 【例题1】证明：)()(A A r A r T =。

【例题2】设A 为s n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，且n B r =)(，证明：)()(BA r B r =。 （二）方程组的公共解

定理 O AX =与O BX =的公共解即为O X B A =???

?

??的解。

【例题1】设B A ,都是n 阶矩阵，且n B r A r <+)()(，证明：O AX =与O BX =有公共的非零解。

【例题2】设线性方程组（1）??

?=-=+00

4221x x x x 与方程组（2）???=+-=+-00432

321x x x x x x 。

（1）求两个方程组的基础解系。 （2）求两个方程组的公共解。

第五讲 特征值与特征向量

一、基本概念

1、矩阵的特征值、特征向量—设A 为n 阶矩阵，若存在λ和非零向量X ，使得X AX λ=，称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。 【问题1】设A 为n 阶矩阵，如何求A 的特征值？

【问题2】设A 为n 阶矩阵，0λ为A 的特征值，如何求矩阵A 的属于0λ的特征向量？

2、特征多项式、特征方程—令??

??

?

?

?

??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2

1

22221

11211，

称nn

n n n

n

a a a a a a a a a A E ---------=

-λλλλ

2

1

2222111211

||为矩阵A 的特征多项式，0||=-A E λ称为矩阵A 的特征方程。

【注解】（1）设A 为实矩阵，则A 的特征值不一定是实数。 （2）)(221121A tr a a a nn n =+++=+++ λλλ。 （3）||21A n =???λλλ 。

（4）n A r =)(的充分必要条件是)1(0n i i ≤≤≠λ。

【例题1】设???

??

??=122212221A ，求A 的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。

【例题2】设???

?

? ??=100100110A ，求A 的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。

【问题1】设n A r <)(，则0是A 的特征值，问A 的非零特征值个数是否与A 的秩相等？ 【问题2】问每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数是否一致？

3、矩阵相似—设B A ,为两个n 阶阵，若存在可逆阵P ，使得B AP P =-1

，则称A 与B 相似，记为B A ~。 【注解】

（1）A A ~。 （2）若B A ~，则A B ~。 （3）若B A ~，C B ~，则C A ~。 （4）||||~B E A E B A -=-?λλ，反之不对。 （5）)()(~B r A r B A =?，反之不对。 （6）11

~;~~--?B A

B A B A T

T

（其中B A ,可逆）

。 （7）若B A ~，则)()(B tr A tr =，||||B A =。

4、矩阵的对角化—若一个矩阵和对角矩阵相似,则称矩阵可以对角化，设A 是n 阶矩阵，所谓A 可对角化，即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1

，其中Λ为对角矩阵。 二、特征值与特征向量的性质

（一）一般矩阵特征值与特征向量的性质 1、（重要性质）不同特征值对应的特征向量线性无关。

2、设A 为n 阶矩阵，0λ是矩阵A 的特征值，0X 是矩阵A 的对应于0λ的特征向量，则

（1）若A 可逆，则10-λ是矩阵1

-A 的特征值，0X 是矩阵1

-A 的对应于10-λ的特征向量。

（2）若A 可逆，则

|

|λA 为矩阵*A 的特征值，0X 是矩阵*

A 的对应于

|

|λA 的特征向量。

（3）设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 为一元n 次多项式，称

E a A a A a A a A f n n n n 0111)(++++=-- 为关于矩阵A 的矩阵多项式，则有

)(0λf 为矩阵)(A f 的特征值，0X 是矩阵)(A f 的对应于)(0λf 的特征向量。

3、矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。 （二）实对称矩阵特征值特征向量的性质

1、设A 为实对称阵，则A 的特征根都是实数。

2、设A 为实对称阵，则A 的不同特征根对应的特征向量正交。

3、A 可对角化A ?有n 个线性无关的特征向量。

4、设A 为实对称阵，n λλλ,,,21 为其特征根，则存在正交阵Q ，使得

????

? ??=n T

AQ Q λλ 1。

三、矩阵的对角化

（一）非实对称矩阵 （二）实对称矩阵

典型问题

（一）特征值、特征向量的性质

【例题1】设A 为四阶矩阵，B A ~，且A 的特征值为

5

1

,41,31,21，则____||1=--E B 。 【例题2】设A 为可逆矩阵，0λ为A 的一个特征值，则E A 2)(2+*的一个特征值为____。 【例题3】设21λλ，为A 的两个不同的特性根，21,X X 分别为21λλ，所对应的特征向量，则21X X +不是特征向量。

（二）特征值、特征向量的求法

【思路分析】特征值的求法常见有三种方法： （1）公式法，即通过0||=-A E λ求A 的特征值。 （2）定义法

（3）关联矩阵法

【例题1】设矩阵B A ,的每行元素之和分别为b a ,，其中A 可逆。（1）求1

-A 的每行元素之和；（2）求AB 的每行元素之和。

【例题2】设A 为n 阶矩阵，且O A A =+22，求A 的特征值。

【例题3】设???

?

?

??=????? ??=n n b b a a 11,βα，且3),(=βα，令T A αβ=，求A 的特征值及重数。

【例题4】A 是三阶矩阵，321,,ααα线性无关，

213132321,,ααααααααα+=+=+=A A A ，求矩阵A 的特征值。

（三）矩阵对角化问题

【思路分析】判断矩阵对角化常见思路有： （1）矩阵的特征值是否为单值。

（2）矩阵是否存在n 个线性无关的特征向量。 （3）矩阵是否为实对称矩阵。 【例题1】设?

??

?

??=d c b a A 且0<-bc ad ，证明A 可对角化。 【例题2】设???

?

? ??------=266157113A ，证明A 不可以对角化。

【例题3】???

?

? ??=122212221A ，求A 的特征根、特征向量，以及是否可以对角化？

【例题4】设A 为非零矩阵，且存在正整数k ，使得O A k =，证明A 不可以对角化。

【例题5】设????? ??=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，求y x ,满足的条件。

【例题6】ββ=???

?

? ??-=????? ??=AX a a a A ,211,111111,有解但不唯一,(1)求a 的值;(2)求可逆阵P ,

使得AP P 1

-为对角阵;(3)求正交阵Q ,使得AQ Q T

为对角阵。

（四）求矩阵A

【思路分析】特征值与特征向量部分求未知矩阵的思路为：

（1）求A 的特征值。

（2）求A 的不同特征值对应的线性无关的特征向量（注意：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交）

（3）令),,,(21n P ξξξ =，由????? ??=-n AP P λλ 11

得11-????

?

??=

P P A n λλ 。 【例题1】设???

?

?

??--=????? ??-=????? ??===?212,122,221),3,2,1(,32133αααααi i A A i i ，求A 。

【例题2】设三阶实对称阵A 的特征值分别为3,2,1，A 的属于特征值2,1的特征向量分别为T T )1,2,1(,)1,1,1(21--=--=αα。

（1）求A 的属于特征值3的特征向量；（2）求A 。 第六讲 二次型及其标准型

一、基本概念

1、二次型—含n 个变量n x x x ,,,21 且每项皆为二次的齐次多项式

∑∑==--=+++++=n i n

j j i ij n n n n n nn n x x a x x a x x a x a x a x x x f 11

1,121122

2

1112122),,,( 称

为二次型。

令??????? ??=n x x x X 21，??

?

??

?

?

??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2

1

222

21

11211

，则AX X X f T

=)(。

矩阵A 称为二次型的矩阵，显然A A T

=，即二次型的矩阵都是对称矩阵，矩阵A 的秩称为二次型的秩。 2、标准二次型—只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。

3、矩阵合同—设B A ,为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得B AP P T

=，称矩阵A 与B 合同，记为B A ?。

4、二次型的标准化—设AX X X f T

=)(为一个二次型，若经过可逆的线性变换PY X =（即

P 为可逆矩阵）把二次型AX X X f T =)(化为

2222211)()(m m T T PY

X T

y l y l y l Y AP P Y AX X X f +++==== ，称为二次型的标准化。

5、规范二次型—二次型的标准型的系数为1和1-的标准型，称为二次型的规范型。 二、二次型标准化方法 （一）配方法

【例题1】用配方法化二次型32212

32

22

1321245),,(x x x x x x x x x x f +--+=为标准型。

【例题2】用配方法化二次型2121),(x x x x f =为标准型。 （二）正交变换法

（1）求A 的特征值n λλλ,,,21 。

（2）求A 的线性无关的特征向量n ξξξ,,,21 。

（3）将n ξξξ,,,21 进行施密特正交化和规范化得n γγγ,,,21 ，令),,,(21n Q γγγ =。 （4）2

2

222

11)(n n T

T

QY

X T

y y y Y AQ Q Y AX X f λλλ+++==== 。

【例题1】用正交变换法化二次型3231212

32221321444),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为

标准型。

【例题2】设323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=。

（1）写出二次型的矩阵形式；（2）用正交变换法求二次型的标准型，写出正交阵。 三、正定矩阵与正定二次型

1、正定二次型定义—若对任意的O X ≠总有0>AX X T

，称AX X T 为正定二次型，A 称

为正定矩阵。

2、正定二次型的判别法 方法一：定义法

【例题1】设B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +为正定矩阵。 【例题2】设P 为可逆矩阵，P P A T

=，证明：A 为正定矩阵。

【例题3】设A 为m 阶实对称正定阵, B 为n m ?实阵,证明: AB B T

是正定矩阵的充分必要

条件是n B r =)(。 方法二：特征值法

【例题1】设A 为正定矩阵，证明：1

-A 为正定矩阵。 【例题2】设A 为正定矩阵，证明：1||>+A E 。 方法三：顺序主子式法

A 是实对称矩阵，则A 正定的充要条件是0||,,0,

022

21

121111>>>A a a a a a 。

【例题1】设二次型31212

32

22

13212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=为正定二次型，求t 的范围。