幂函数练习题

课时作业13 简单的幂函数

|基础巩固|(25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( )

A ．81 B.1

3

C.1

81 D ．3

【解析】 设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，

∴α＝1

2.

∴f (x )＝x 12，∴f (9)＝91

2＝3，故选D.

【答案】 D

2．在下列四个图形中，y ＝x －1

2的图像大致是( )

【解析】 函数y ＝x －1

2的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选

D. 【答案】 D

3．定义在R 上的偶函数f (x )在x >0上是增函数，则( )

A ．f (3)

B ．f (－π)

C ．f (3)

D ．f (－4)

【解析】 因为f (x )在实数集R 上是偶函数，

所以f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)．

而3<π<4，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，

所以f (3)

即f(3)

【答案】C

4．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，则m＝( )

A．1 B．2

C．1或2 D．3

【解析】∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.

【答案】A

5．已知定义域为R的函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，且函数y＝f(x ＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是( )

A．f(0)>f(1) B．f(0)>f(2)

C．f(1)>f(2) D．f(1)>f(3)

【解析】因为函数y＝f(x＋2)为偶函数，

令g(x)＝f(x＋2)，

所以g(－x)＝f(－x＋2)＝g(x)＝f(x＋2)，

所以f(x＋2)＝f(2－x)，

所以函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，

又因为函数f(x)在(2，＋∞)上是增加的，

所以在(－∞，2)上为减少的，利用距对称轴x＝2的远近可知，f(0)>f(1)，f(0)>f(2)，f(1)>f(2)，f(1)＝f(3)．

【答案】D

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．

【解析】∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，

∴m2－1<0，解得－1

∵图像关于原点对称，且m∈Z，

∴m＝0，∴f(x)＝x－1.

【答案】f(x)＝x－1

7．函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，则a＝________.

【解析】函数f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数，图像关于y轴对称，所以1－a＝0，即a＝1.

【答案】1

8．已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则

函数F (x )＝f (x )＋3在[a ，b ]上的最大值与最小值之和为________．

【解析】 因为奇函数f (x )在[a ，b ]上的最大值为m ，所以它在[a ，b ]上的最小值为－m ，所以函数F (x )＝f (x )＋3在[a ，b ]上的最大值与最小值之和为(m ＋3)＋(－m ＋3)＝6.

【答案】 6

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )：

(1)是幂函数；

(2)是正比例函数；

(3)是反比例函数；

(4)是二次函数．

【解析】 (1)∵f (x )是幂函数，

故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，

解得m ＝2或m ＝－1.

(2)若f (x )是正比例函数，

则－5m －3＝1，解得m ＝－45.

此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.

(3)若f (x )是反比例函数，

则－5m －3＝－1，

则m ＝－25，此时m 2

－m －1≠0，

故m ＝－25.

(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，

即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.

10．比较下列各题中两个幂的值的大小：

(1)2.334，2.434； (2)(2)－32，(3)－32；

(3)(－0.31)65，0.3565.

【解析】 (1)∵y ＝x 34

为R 上的增函数， 又2.3<2.4，

∴2.334<2.434

. (2)∵y ＝x －32

为(0，＋∞)上的减函数，又2<3， ∴(2)－32>(3)－32

. (3)∵y ＝x 65

为R 上的偶函数， ∴(－0.31)65＝0.3165

. 又函数y ＝x 65

为[0，＋∞)上的增函数， 且0.31<0.35，

∴0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565

. |能力提升|(20分钟，40分)

11．已知f (x )＝ax 7－bx 5＋cx 3

＋2，且f (－5)＝m ，则f (5)＋f (－5)的值为

( )

A ．4

B ．0

C ．2m

D ．－m ＋4

【解析】 由f (－5)＝a (－5)7－b (－5)5＋c (－5)3＋2＝－a ·57＋b ·55－

c ·53＋2＝m ，

得a ·57－b ·55＋c ·53＝2－m ，

则f (5)＝a ·57－b ·55＋c ·53＋2＝2－m ＋2＝4－m .

所以f (5)＋f (－5)＝4－m ＋m ＝4.故选A.

【答案】 A

12．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．

【解析】 ∵f (2)＝0，f (x －1)>0，∴f (x －1)>f (2)，

又∵f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，

∴f (|x －1|)>f (2)，

∴|x －1|<2，∴－2

∴x ∈(－1,3)．故填(－1,3)．

【答案】 (－1,3)

13．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．

【解析】 ∵幂函数f (x )经过点(2，2)，

∴2＝2(m 2＋m )－1，即212

＝2(m 2＋m )－1. ∴m 2＋m ＝2.

解得m ＝1或m ＝－2.

又∵m ∈N *，∴m ＝1.

∴f (x )＝x 12

，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，

得{ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32

. ∴a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭

⎪⎪⎫1，32. 14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．

(1)求f (x )的解析式；

(2)画出f (x )的图像．

【解析】 (1)因为x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，

所以当x <0时，－x >0，

所以f (－x )＝－x (1－x )．

又因为f (x )为奇函数，

所以f (－x )＝－f (x )，

所以－f (x )＝－x (1－x )，

所以f (x )＝x (1－x )，

综上f (x )＝{ x 1＋x ，x ≥0，x 1－x ，x <0.

(2)f (x )的图像如图所示．