高一上学期数学知识点总结(含答案)
高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结
一、集合与命题
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如(1)设P Q 、为两个非空实数集合,定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈,若{0,2,5}
P =,}6,2,1{=Q ,则P Q +中元素的有________个。(答:8)(2)非空集合}5,4,3,2,1{?S ,且满足“若S a ∈,则S a ∈-6”,这样的S 共有_____个(答:7) 2.遇到A B =?时,你是否注意到“极端”情况:A =?或B =?;同样当A B ?时,你是否忘记?=A 的情形?要注意到?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合{|10}
A x a x =-=,{}2|320
B x x x =-+=,且A B B =,则实数a =______.(答:10,1,2
a =) 3.对于含有n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为,n 2,12-n ,
12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 (答:7)
4.集合的运算性质: ⑴A B A B A =??; ⑵A B B B A =??;⑶A B ??
u u A B ?痧; ⑷u u A B A B =???痧; ⑸u A B U A B =??e; ⑹()U C A B
U U C A C B =;⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ,若}2{=B A ,}4{)(=B A C U ,}5,1{)()(=B C A C U U ,则A =_____,B =___.(答:{2,3}A =,{2,4}B =)
5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如:(){}
|x y f x =—函数的定义域;(){}
|y y f x =—函数的值域;(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集,如设集合{|M x y ==,集合N ={}2|,y y x x M =∈,则M N =_ _
(答:[4,)+∞);
6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关于x 的不等式250ax x a
-<-的解集为M ,若3M ∈且5M ?求实数a 的取值范围。 (答:(]519253a ??∈????
,,) 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”,则逆命题为“若q 则p ”;否命题为“若p 则q ” ;逆否命题为“若q 则p ”。提醒:(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价;(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”;(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定;(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假,这也是反证法的理论依据。(5)哪些命题宜用反证法?如(1)“在△ABC 中,若∠C=900,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 (答:在ABC ?中,若90C ∠≠,则,A B ∠∠不都是锐角);(2)已知函数2(),11
x x f x a a x -=+>+,证明方程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾),由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若B A ?,则A 是B 的充分条件;若B A ?,则A 是B 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的充要条件。如设命题p :|43|1x -≤;命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。若p 是q 的必要而不充分的条件,则实数a 的取值范围是 (答:1
[0,]2
) 二、不等式
1. 不等式的性质:
(1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a bc
d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则a c b d ->-),
但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;
(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则a b c d
>);
(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >>
(4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b
>。 如(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题: ①2
2,bc ac b a >>则若;②b a bc ac >>则若,22;③22,0b ab a b a >><<则若;④b
a b a 11,0<<<则若;⑤b a a b b a ><<则若,0;⑥b a b a ><<则若,0;⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0; ⑧11,a b a b
>>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧) (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答:[]1,7)
(3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ (答:12,2??-- ??
?) 2. 不等式大小比较的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;
(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;
(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。
如设2a >,12
p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >) 3. 一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式,若0a >,则b x a >
;若0a <,则b x a
<;若0a =,则当0b <时,x R ∈;当0b ≥时,x ∈?。如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3
1,(--∞,则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______(答:{|3}x x <-)
4. 一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当0?=和0?<时的解集你会正确表示吗?设0a >,12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根,且x x <,则其解集如下表:
如解关于x 的不等式:01)1(2<++-x a ax 。(答:当0a =时,1x >;当0a <时,1x >或x a <
;当01a <<时,11x a <<;当1a =时,x ∈?;当1a >时,11x a
<<) 5. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0,其次若0≠a ,则一定有
042≥-=?ac b 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时,你是否注意到同样的情形?如:(1)
()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立,
则a 的取值范围是_______(答:(1,2]);(2)关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么?(答:k D ∈,其中D 为()f x 的值域)
6. 一元二次方程根的分布理论。方程2
()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么?
0()0()0
2f m f n b m a
n ?≥>><-??????、()0f k <)。根的分布理论成立的前提是开区间,若在闭区(0()02f k b k a ?≥>->???????、间],[n m
),(n m 上实根分布的情况,得出结果,再令n x =和m x =检查端点的情况.
如12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使0)(>c f ,求实数p 的取值范围。
(答:3(3,)2-) 7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗?二次方程2
0ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值,也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。如(1)不等式
32ax >+的解集是(4,)b ,则a =__________(答:18
);(2)若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ,其中0< ),1()1,(+∞---∞n m );(3)不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立,则实数b 的取值范围是_______(答:?)。 8. 简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。 如:(1)解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 (答:[){}1,2+∞-) (2)不等式(0x -≥的解集是____(答:[){}3,1+∞-) (3)设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ,且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<,()0g x ≥的解集为?,则不等式()()0f x g x >的解集为______(答:()[),12,-∞+∞) (4)要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x (解集非空)的每一个x 的值至少满足不等式 08603422<+-<+-x x x x 和中的一个,则实数a 的取值范围是.(答:817,8?????? ) 9. 分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如:(1)解不等式25123x x x -<--- (答:()()1,12,3-) (2)关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞,求关于x 的不等式 02>-+x b ax 的解集 (答:()(),12,-∞-+∞) 10. 绝对值不等式的解法: (1)分段讨论(最后结果应取各段的并集):如解不等式|21|2|432|+-≥- x x (答:R ) (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合;如解不等式|||1|3x x +->(答:()(),12,-∞-+∞) (4)两边平方:如若不等式|32||2|x x a +≥+对任意x R ∈恒成立,则实数a 的取值范围。(答:43?????? ) 11. 含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”。注意:按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集. (见4中例题) 12. 含绝对值不等式的性质: a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-; a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 如设2()13f x x x =-+,实数a 满足||1x a -<,求证:|()()|2(||1)f x f a a -<+ 13. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针。 如:(1)下列命题中正确的是 A.1y x x =+的最小值是2 B.2y =的最小值是2 C .423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D.423(0)y x x =-->的最小值是2- (2)若21x y +=,则24x y +的最小值是 ______(答: (3)正数,x y 满足 21x y += ,则y x 11+的最小值为______(答:3+) 14. 常用不等式有:(12211a b a b +≥≥≥+(当且仅当a b c ==时,取等号),根据目标不等式左右的结构选用;(2)a b c R ∈、、,222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号);(3)若 0,0a b m >>>,则b b m a a m +<+(糖水的浓度问题)。如果正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是_________(答:[)9,+∞) 15. 证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论。 常用的放缩技巧有: 2111 11111(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++- - =<<= 如(1)已知c b a >>,求证:222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ; (2) 已知R c b a ∈,,,求证:)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++; (3)已知,,,a b x y R + ∈,且 11,x y a b >>,求证:x y x a y b >++; (4)若*n N ∈(1)n +< n ; (5)已知||||a b ≠,求证:|||||||||||| a b a b a b a b -+≤-+; 16. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) (1)恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 如(1)不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围 (2)若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立,则x 的取值范围 (3)若不等式2 2210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立,求m 的取值范围. (2)能成立问题 若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >; 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如 已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集,求实数a 的取值范围____ (3)恰成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ; 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 三、函数 1. 函数的定义域A 和值域B 都是非空数集!据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。如(1)已知函数()f x ,x F ∈,那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=中所含元素的个数有 个(答: 0或1);(2)若函数422 12+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ,则b = (答:2) 2. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数”,那么解析式为2y x =,值域为{4,1}的“天一函数”共有______个(答:9) 3. 求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则): (1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,0次幂的底数不能为零。如(1)函数 3y x =-的定义域是____(答:(0,2)(2,3)(3,4));(2)若函数2743 kx y kx kx +=++的定义域为R ,则k ∈_______(答:30,4?????? );(3)函数()f x 的定义域是[,]a b ,0b a >->,则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答:[,]a a -); (2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。 (3)复合函数的定义域:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可;若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域,相当于当[,]x a b ∈时,求()g x 的值域(即()f x 的定义域)。 如(1)若函数)(x f y =的定义域为?? ????2,21,则(2)x f 的定义域为__________(答:{} 42|≤≤x x );(2)若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-,则函数()f x 的定义域为________(答:[1,5]). 4. 求函数值域(最值)的方法: (1)配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间[,]m n 上的最值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系),如(1)求函数2 25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域(答:[4,8]);(2)当]2,0(∈x 时,函数3)1(4)(2 -++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值,则a 的取值范围是___(答:21-≥a ); 特别说明:二次函数在区间[],m n 上最值的求法,一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内。如果是选择、填空可以很快写答案:先看看2b a -是否在[],m n 内,如果在的话,算三个数()()()2b f m f n f a -、、,三数中谁最大谁就是最大值,谁最小谁就是最小值。如果不在的话,只要算两个数()()f m f n 、,大的就最大值,小的就最小值。 (2)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,如(1 )21y x =+_____(答:(3,)+∞ t =,0t ≥。运用换元法时,要特别要注意新元t 的范围); (3)函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的值域, (4)单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如求1(19)y x x x =- <<的值域为______(答:80(0,)9 ); (5)判别式法――对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式: ①2b y k x = +型,可直接用不等式性质,如求232y x =+的值域(答:3(0,]2 ) ②2bx y x mx n =++型,先化简,再用均值不等式,如(1)求21x y x =+的值域(答:1(,]2 -∞);(2) 求函数3y x =+的值域(答:1[0,]2 ) ③22x m x n y x mx n ''++=++型,通常用判别式法;如已知函数2281 mx x n y x ++=+的定义域为R ,值域为[]19,,求常数,m n 的值(答:5m n ==) ④2x m x n y mx n ''++=+型,可用判别式法或均值不等式法,如求211x x y x ++=+的值域(答:(,3][1,)-∞-+∞) (6)不等式法 ――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 提醒:(1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?(2)函数的最值与值域之间有何关系? 5. 分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x 时,一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式; 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如(1) 设函数2(1).(1)()41) x x f x x ?+=?≥??, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__________(答:(,2][0,10]-∞-);(2)已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?- ,则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________(答:3(,]2 -∞) 6. 求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式:2 ()f x ax bx c =++;顶点式:2()()f x a x m n =-+;零点式:12()()()f x a x x x x =--,要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式)。如已知()f x 为二次函数,且 )2()2(--=-x f x f ,且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。(答:21()212f x x x = ++) (2)代换(配凑)法――已知形如(())f g x 的表达式,求()f x 的表达式。如(1)若221)1(x x x x f +=-,则函数)1(-x f =_____(答:223x x -+);(2)若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当),0(+∞∈x 时, )1()(3x x x f +=,那么当)0,(-∞∈x 时,)(x f =________(答:(1x -). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即()f x 的定义域应是()g x 的值域。 (3)方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。如(1)已知()2()32 f x f x x +-=-,求()f x 的解析式(答:2()33f x x =--);(2)已知()f x 是奇函数,)(x g 是偶函数,且()f x +)(x g = 11-x ,则()f x = __(答:21 x x -)。 7. 函数的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 (2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性): ①定义法:如判断函数 y =____(答:奇函数)。 ②利用函数奇偶性定义的等价形式:()()0f x f x ±-=或()1()f x f x -=±(()0f x ≠)。如判断11()()212x f x x =+-的奇偶性___.(答:偶函数) ③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y 轴对称。 (3)函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若()f x 为偶函数,则()()(||)f x f x f x -==. ④若奇函数()f x 定义域中含有0,则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。如若 22()21 x x a a f x +-=+·为奇函数,则实数a =____(答:1). ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。如设) (x f 是定义域为R 的任一函数, ()()()2 f x f x F x +-=,()()()2f x f x G x --=。①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性; ②若将函数()101x f x =+,表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和,则)(x g =____(答:①)(x F 为偶函数,)(x G 为奇函数;②)(x g =12 x ) ⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个(()0f x =,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 8. 函数的单调性。 (1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用:定义法(取值――作差――变形――定号)如已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数,则a 的取值范围是____(答:(0,3]); ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意(0b y ax a x =+> 0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为(,)-∞+∞,减区间为[.(例如函数4y x x =+递增区间(),2-∞-,()2,+∞;单调递减区间是()()2,0,0,2-)如(1)若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4-∞,上是减函数,那么实数a 的取值范围是______(答:3-≤a ));(2)已知函数1()2 ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围_____(答:1(,)2 +∞); ③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减, (2)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,如求函数()f x =单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示. (3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数范围).如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ,求实数m 的取值范围。(答:1223 m -<<) 9. 常见的图象变换 ①函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的。如设()2,()x f x g x -=的图像由()f x 的图像向左平移1个单位得到,则()g x 为__________(答: ()1()2x g x -+=) ②函数()a x f y +=()0( 特别提示:上面两种是左右平移,可以间记为“左加右减” ③函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;