2021届安徽省太和一中高三上学期开学摸底检测数学(文)试题

安徽省太和第一中学2021届高三开学摸底检测

文科数学

本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}260A x x x =-->，{lg(1)1}B x x =+，则

(

)R

B A ?=（ ）

A ．{39}x x <

B ．{23}x x -

C ．{29}x x -

D ．{13}x x -<

2．在复平面内，复数

|34|

12i i

-+对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．若角α的终边经过点()

sin60,cos120??，则tan2α=（ ）

A ．

B ．-

C D 4．函数()

2sin ln 1y x x =?+的部分图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．已知数列{}n a 为等差数列，415222,21a a a a =+=-．若2020m a =，则m =（ ） A ．671 B ．672 C ．2013 D ．2014

6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为120，则判断框内应补充的条件为（ ）

A ．4i <

B ．4i

C ．5i <

D ．5i 7．“ABC 为锐角三角形”的充分不必要条件是（ ） A ．0AB AC ?>

B ．sin sin sin cos cos cos A B

C A B C ++>++ C ．,,A B C 成等差数列，且||3

A C π

-<

D ．2

2

2

AC BC AB +>

8．已知向量,OA OB 的夹角为60?

，||1,||2OA OB ==，点C 为AOB ∠的平分线上的一点，且

(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则

m

n

=（ ） A ．13 B ．

1

2

C ．2

D ．3 9．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，

,AC BD 是其两条对角线，8BD =，且ACD 为正三角形，则四边形ABCD 的面积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．已知圆2

2

:4O x y +=与x 轴交于,M N 两点，点P 在直线:0l x y +-=上，过圆O 上的任意两点,S T 分别向l 作垂线，垂足为,S T ''，以下说法不正确的是（ ）

A ．||||PM PN +的最小值为

B ．PM PN ?为定值

C ．SPT ∠的最大值为

3

π D ．当ST 为直径时，四边形SS T T ''面积的最大值为16

11．一圆柱形容器，底面半径为1，高为3，里面装有一个小球，小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切．过圆柱上底面圆周上一点作一个平面α，使得α与小球恰好相切，则α与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为（ ） A

B ．12 C

．2 D ．35

12．已知函数()x

f x e =，函数()

g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，令(),0,

()|()|,0,

f x x h x

g x x ?=?

>?则方程

22()e h x x e =+解的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若实数,x y 满足20,210,1,x y x y x -??

-+???

则x y +的最小值为_____．

14．随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费市场逐渐回暖，某商场统计的人流量x （单位：百人）与销售额y （单位：万元）的数据表有部分污损，如下所示．

已知x 与y 具有线性相关关系，且线性回归方程 1.230.08y x =+，则表中污损数据应为_____． 15．已知向量(2,),(ln ,2)a y b x ==-，且a b ⊥，那么

y

x

的最大值为_____． 16．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支，如图，O 为双曲线的一支的顶点．小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB 与OC 垂直，80cm,20cm AB OC ==，若该双曲线的焦点位于直线OC 上，则在点O 以下的焦点距点O ______cm ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）

在ABC 中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，,4

B AB S π

=

=为ABC 的面积，

()2222sin S a b c C =+-．

（1）求C ；

（2）若点D 在直线CB 上，且AD AC ⊥，求线段CD 的长度． 18．（12分）

为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图．

（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？

（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如下．

（i ）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii ）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率． 19．（12分）

如图，四棱锥S ABCD -的各侧棱长均为2，底面ABCD 为矩形，2AB AD ==过底面对角线AC 作与直线SB 平行的平面α，且平面α交SD 于点E ．

（1）试确定点E 的位置，并说明理由； （2）求三棱锥E ABC -的体积． 20．（12分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，但不在x 轴上，当点P 在C

上运动时，12PF F 的周长为定值6，且当112PF F F ⊥时，13

2

PF =． （1）求C 的方程．

（2）若斜率为(0)k k ≠的直线l 交C 于点M ，N ，C 的左顶点为A ，且1

,,AM AN k k k

-成等差数列，证明：直线l 过定点． 21．（12分）

已知函数()(1)ln

()a

x

f x x a R e =-∈． （1）若关于x 的不等式()ln 1f x x a +-对任意的正数x 恒成立，求实数a 的取值范围．

（2）证明：()*111

ln(1)23

1

n n N n +>

+++

∈+． （二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3,

3sin 4x y θθ=+??=+?

（θ为参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴，建立极坐标系， （1）求C 的极坐标方程；

（2）若直线l 过点(4,2)P ，且与C 交于,M N 两点，点P 恰好为线段MN 的中点求，直线l 的斜率及||MN ． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|2||1|f x x m x =+-+． （1）若2m =-，求不等式()8f x 的解集；

（2）若关于x 的不等式()|3|f x m x +对于任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．

文科数学

一、选择题

1．D 【解析】由题意，得

{23}R

A x x =-，{19}

B x x =-<，故(){13}R A B x x ?=-<．

2．D 【解析】

|34|5

121212i i i i

-==-++，对应点为(1,2)-，在第四象限．

3．A 【解析】因为角α

的终边过点1,2

2??-

???，所以tan α=2

2tan tan 21tan ααα==-． 4．B 【解析】易证函数()

2sin ln 1y x x =?+为奇函数，排除A ，C ；当0x π<<时，0y >，排除D ．

5．B 【解析】设公差为d ，由5241

21,22,a a a a =-??=+?得13,

7,d a =??=?则由13(1)2020m a a m =+-=，解得672m =．

6．D 【解析】当1i =时，0S =；当2i =时，3S =；当3i =时，12S =；当4i =时，39S =；当5

i =

时，120S =．

7．C 【解析】A 选项，由0AB AC ?>，可得A 为锐角，不满足条件．B 选项，若ABC 为锐角三角形，则02

2

B A π

π

<

-<<

，则sin sin 2A B π??

>-

???

，即sin cos A B >，同理可得sin cos B C >，sin cos C A >，所以sin sin sin cos cos cos A A B C A B C =++>++，若,2

4

A B C π

π

=

==

，不等式成立，但此时A 并

非锐角，不满足条件．C 选项，因为,,A B C 成等差数列，所以2,3

A C

B B π

+==

；又由3

3

A C π

π

-

<-<

，

可得,A C 均小于

2

π，所以ABC 为锐角三角形．D 选项，由222

AC BC AB +>，得cos 0C >，所以C 为锐角，无法确定ABC 的形状．

8．C 【解析】如图，过点C 作11//,//CA OB CB OA ，则可得四边形11OB CA 为菱形，所以11OA OB =．设

1OA kOA =，则11OA k OB ==，则12k OB OB =，所以11OC OA OB =+=2

k

kOA OB +．又因为

OC mOA nOB =+，所以

22

m k

k

n ==．

9．B 【解析】设AD DC AC a ===，由托勒密定理知，AB a a BC a BD ?+?=?， 所以8AB BC BD +==． 又因为3

ABD ACD π

∠=∠=

，3

CBD CAD π

∠=∠=

，所以 ABD

BCD

ABCD S S

S

=+=

四边形11sin sin )23234

AB BD BC BD AB BC BD ππ?

+?=+?=

10．B 【解析】设(2,0),(2,0)M N -，则N 关于l

对称的点为2)N '

，所以||||PM PN +的

最小值为MN '=故A 正确；2

()()4PM PN OM OP ON OP OP ?=-?-=-不是定值，故B 错误；当OP 最小，且当,PS PT 为圆O 的切线时，SPT ∠最大，此时3

SPT π

∠=

，故C 正确；在四边形SS T T

''

中，//SS TT '

'

，且8SS TT ''+=．因此，当S T ''最长，即||4S T ST ''==时面积最大，最大值为16，故D 正确．

11．D 【解析】当平面α与小球相切，且与底面所成锐二面角最小时，如右图2CF =，DC DE CF =+，

2EF =，由222(2)2(2)DE DE +=+-得1

2DE =，所以该平面与圆柱下底面所成锐二面角的正弦值为

3

32552

=．

12．D 【解析】因为函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，()x

f x e =，所以()ln

g x x =，

,0,()|ln |,0,

x e x h x x x ?=?>?所以()h x 的图象如图所示．

方程2

2

()e h x x e =+可化为2()1x h x e =

+，即求函数()y h x =与21x y e

=+的图象的交点个数．当0x 时，21x y e =

+的图象恒过点(0,1)，此时有两个交点；当01x <<时，21x

y e

=+与()y h x =的图象有一个交点；当1x >时，设斜率为

2

1e 的直线与ln y x =的切点为()00,ln x x ，由斜率20

11k e x ==，所以2

0x e =，所以切点为()

2,2e ，此时直线方程为()2

212y x e e -=-，即21x y e =+，所以直线21x y e

=+与z x y =+恰好相切，有一个交点．

综上，此方程有4个解． 二、填空题

13．1 【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．

令z x y =+，则y x z =-+．作出直线:l y x =-，将直线l 平移经过点M 时在y

轴上的截距最小，此时

12,33M ??

???

，所以x y +的最小值为1． 5．5.5 【解析】由表可知23456

45

x ++++=

=．因为线性回归方程过点(,)x y ，所以

1.2340.085y =?+=，所以表中数据应为55(

2.2

3.8 6.57.0) 5.5?-+++=．

15．1e 【解析】由题意可知0a b ?=，即ln ln ,

(0)y x y x x x x ==>．令ln ()x f x x

=，即求()f x 的最大值．2

1ln ()x f x x

'

-=

，当(0,)x e ∈时，()0,()f x f x '

>在区间(0,)e 上单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在区间(,)e +∞上单调递减，所以当x e =时，max 1()()f x f e e ==，即y x

的最大值为1

e ．

16

．1)- 【解析】设该双曲线的方程为22

221(0,0)x y a b a b -=>>．因为渐近线相互垂直，所以

a b =．由题意知，

22

22(20)401a a b

+-=

，解得30,a b c ===O 以

下1)cm ． 三、解答题

17．解：（1）由余弦定理，得2

2

2

2cos a b c ab C +-=，（1分） 所以22cos sin S ab C C =，

即sin 2cos sin ab C ab C C =， （2分） 解得1

cos 2

C =

． （4分） 因为(0,)C π∈，所以3

C π

=

． （6分）

（2）由题意及（1）知，6

ADC π∠=． 在ABD 中，因为

3sin

sin

6

4

AB AD

π

π=

，所以AD = （8分）

所以在Rt ACD

中，sin

3

AD CD π

=

=

= （12分） 18．解：（1）由题意知，小吃类所占比例为125%15%10%5%5%40%-----=， 按照分层抽样的方式随机抽取，

应抽取小吃类商贩10040%40?=（家），

果蔬类商贩10015%15?=（家）． （2分） （2）（i ）该果蔬经营点的日平均收入为

(750.0021250.0091750.0062250.0022750.001)50152.5?+?+?+?+??=． （5分）

（ⅱ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6，其中超过250元的有2天，记日收入超过250元的2天为12,a a ，其余4天为1234,,,b b b b 随机抽取两天的所有可能情况为：()()()121112,,,,,a a a b a b ，

()()()131421,,,,,a b a b a b ，()()()222324,,,,,a b a b a b ，()()()121314,,,,,b b b b b b ，()()2324,,,b b b b ，()31,b b ，

共15种， （9分）

其中至少有一天超过250元的所有可能情况为：()()()121112,,,,,a a a b a b ，()()()131421,,,,,a b a b a b ，

()()()222324,,,,,a b a b a b ，共9种． （11分）

所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为93

155

=． （12分） 19．解：（1）点E 为SD 的中点． （1分） 理由如下：

连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，如图．

因为//SB 平面,AEC SB ?平面SBD ，且平面AEC ?平面SBD EO =， 所以//EO SB ．

在SBD 中，因为O 为BD 中点，所以E 为SD 中点． （5分）

（2）如图，连接SO ．

由题意知，SB SD =，所以SO BD ⊥； 同理，SO AC ⊥．

因为AC BD O ?=，所以SO ⊥底面ABCD ．（7分）

又因为2AB AD ==，

所以BD =1SO =， （9分）

所以1111212232E ABC S ABC V V --=

=????=三棱锥三棱锥 （12分） 20．（1）解：由题意知，22223

,22,,26b a a c a b c ?=??

+=??=+??

所以2,1,a c b ?=?

=??

=? （3分）

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=． （4分） （2）证明：由题意知，(2,0)A -． 设直线:l y kx m =+，与椭圆C 方程联立，

得22

1,43,

x y y kx m ?+

=???=+? 整理得()

2223484120k x kmx m +++-=．

设()()1122,,,M x y N x y ，则122

2

1228,34412,34km x x k m x x k -?

+=??+?-?=?+?

（7分） ()1212121212121243

2(2)2222242AM AN y y kx m kx m x x k k k m k x x x x x x x x m k

+++++=

+=+=+-?==+++++++-

1

2k

-?， （10分） 所以2k m =． （11分） 所以:2(21)l y mx m m x =+=+，恒过点1,02??

-

???

． （12分） 21．（1）解：()(1)ln

(1)(ln )ln ln a

x

f x x x x a x x x ax a e =-=--=--+， 由()ln 1f x x a +-，得ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立． （1分） 解法一： 即ln 11

ln x x a

x x x

+=+对任意的正数恒成立， 令1

()ln g x x x

=+

，只需min ()a g x ． （2分） 则22111()x g x x x x

'

-=

-=， 当1x >时，()0,()g x g x '

>在区间(1,)+∞上单调递增，

当01x <<时，()0,()g x g x '

<在区间(0,1)上单调递减． （4分） 所以min ()(1)1g x g ==．

所以1a ，即实数a 的取值范围为(,1]-∞． （5分） 解法二：

令()ln 1g x x x ax =-+，

则()ln 1(0)g x x a x '

=+->． （2分）

当()

10,a x e -∈时，()0,()g x g x '

<在区间()

10,a e -上单调递减， 当()

1,a x e -∈+∞时，()0,()g x g x '

>在区间()

1,a e -+∞上单调递增， 所以()

1111()(1)11a a a a g x g e e a ae e ----=--+=-， （4分） 所以110a e --，即1a ．

所以实数a 的取值范围为(,1]-∞． 5分

（2）证明：由（1）知，当1a =时，ln 10x x ax -+对任意的正数x 恒成立，即1

ln 1x x

-，当1x =时等号成立． （8分） 令1n x n +=

，则11

ln 111

n n n n n +>-=++． （10分）

所以1

ln(1)ln 1

n n n +->+，

1

ln 3ln 23->，

1ln 2ln12

->

累加，得

111ln(1)ln123

1

n n +->

+++

+， 即111

ln(1)231

n n +>

+++

+． （12分） 22．解：（1）由题意，得曲线C 的直角坐标方程为2

2

(3)(4)9x y -+-=， （2分） 即2

2

68160x y x y +--+=，

所以C 的极坐标方程为2

6cos 8sin 160ρρθρθ--+=． （5分） （2）解法一：

由（1）知曲线C 为圆2

2

(3)(4)9x y -+-=，圆心(3,4)C ． 若P 为相交弦MN 的中点（如图），

由垂径定理得CP MN ⊥． （7分） 所以直线的斜率11

2

CP k k -=

=． （8分） 在Rt CMP

中，||2||4MN MP ====． （10分） 解法二：

设直线l 的参数方程为4cos ,

2sin x t y t αα

=+??

=+?（t 为参数，α为倾斜角）， （6分）

代入曲线C 的直角坐标方程， 得2

(2cos 4sin )40t t αα+--=． 设点,M N 对应的参数分别为12,t t ， 因为点P 恰好为线段MN 的中点，

所以124sin 2cos 0t t αα+=-=， （7分） 即1tan 2

α=

， 所以直线l 的斜率为

1

2

． （8分） 又12124,2t t t t ===，

所以12||4MN t t =+=． （10分）

23．解：（1）当2m =-时，34,2,(),21,34,1,x x f x x x x x ---??

=--<<-??+-?

（1分）

当2x -时，348x --，解得4x -； （2分） 当21x -<<-时，不等式无解； （3分）

当1x -时，348x +，解得4

3

x

． （4分） 综上，不等式的解集为4(,4],3

??-∞-?+∞????

． （5分） （2）由题意知，|2|(|1||3|)x m x x ++++， 所以|2|

|1||3|x m

x x ++++． （7分）

记|2|

()|1||3|

x g x x x +=

+++，

则1

,(,3][1,),2

()|2|,(3,1),2

x g x x x ?∈-∞-?-+∞??=?+?∈--?? （8分）

所以1()0,2g x ??∈????

，

所以12

m

， 所以实数m 的取值范围为1,2

??+∞????

． （10分）