方程的根与函数的零点-教学案例

方程的根与函数的零点

一、设计理念

按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质。”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用。

二、教材分析

本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，是一节概念课。函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起.

三、学情分析

本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

四、教学目标

（一）三维目标：

1 知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根之间的关系.

2 过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程的根为

突破口，引出函数零点的概念,在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想.

3 情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思

维能力，以及分析问题解决问题的能力．

（二）重难点：

1教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系

2 教学难点：函数的零点的正确理解

五、教学手段

PPT，黑板，粉笔

六、教法学法

在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳—定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。

在学法上，精心设置了一个个问题链，并以此为主线，由浅入深，循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。

七、 教学过程

（一）回顾旧知，发现问题

问题1 观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，

提出疑问：方程的根与函数图象与轴交点的横坐标之间有什么关系？

结论：方程的根就是函数图象与X 轴交点的横坐标。

问题 2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象

为引出函数零点的概念做准备。】

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：对于函数y=f （x ）我们把使方程f （x ）=0的实数x 叫做函数y=f （x ）的零点。

问：零点是一个点吗？

2、你能说说方程的根、函数图象与x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？等价关系：

方程f （x ）=0有实数根

函数y=f （x ）的图象与x 轴有交点

函数y=f （x ）有零点

【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】

【设计意图：进一步理解零点的概念，灵活运用三者之间的关系。】

例1 求函数2

(x)x(x 16)f =- 的零点

小结：求函数零点的步骤： (x)0;

(2)(x)0;(3)f f ==(1)令解方程写出零点。

课堂练习:1.求下列函数的零点：3(1)21;(2)y 2log x y x =-=+

2.已知函数(x)f 是定义在R 上的奇函数，且(x)f 在(0,)+∞ 有一个零点，则(x)f 的零点个数为（ ）

（三）思考 问题3：方程ln 260x x +-= 是否有实根？有几个实根？

小结：函数零点的求法.

① 代数法：求方程()0f x =的实数根；

② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

（四）反思小结,提升能力

1．函数零点的定义

2

．等价关系

函数(x)

y f =的零点函数(x)y f =的图象与X 轴交点的横坐标

方程(x)0f =的实数根

八、板书设计