二次函数与一二次方程关系解题技巧

一、一元二次方程及其解法解题技巧

类型一巧用一元二次方程的定义解题

【例1】若关于x 的方程是一元二次方程，则= ____________ ．

【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1) 只含有一个未知数；(2) 未知数的最高次数为2；(3)

整式方程．依题意，得，解得；

【答案】

【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要

是整式方程.

类型二巧用一元二次方程的根的意义解题

【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是_________________________________________________ ．【解析】把0 代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程

，从而求得．但二次项的系数，即，所以．

【答案】

【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件．【例3】已知是方程的两根，且，则的

值等于( )

A．－5 B．5 C．－9 D．9

【解析】由于m、n 是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1 =0，即m2－2m=1，n2－2n=1 ．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9．

【答案】C 【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n 与已知方程之间

的关系．从而使问题得到快速求解．

类型三巧构一元二次方程的根

【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则

该方程的一根必为___________ ．

【解析】 结合一元二次方程根的定义，当 时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的

一根必为 x= ． 【答案 】x=

【小结】 估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．

类型四 判断一元二次方程根的范围

【 例 5】根据下列表格中的对应值，判断方程

（ 为常数）的一

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】 由表格中的数据发现：当 x=6. 18时，代数式 的值为－ 0.01；当 x=6. 19时，

代数式 的值为 0. 02，要从表格中判断 =0 的解，可发现未知数 x 的值应处于 6.

18 到 6. 19 之间．

【答案】C

【小结 】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．

类型五 与一元二次方程的根有关的开放题

【例 6】已知关于 的一元二次方程的一个根是 1，写出一个符合条件的方程： ___________________________ ． 【解析 】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为

1的常数项．

【答案 】答案不唯一，如：

即

等．

二、实际问题与一元二次方程解题技巧

近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事 件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（ 1）审；（ 2）设；（ 3）列；（ 4）解；（ 5）检验；（ 6）答．

2．一元二次方程的应用

几何问题

类型一增长率、减少率问题

【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050 元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100 平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8 折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月 1. 5 元，请问哪种方案更优

惠？

分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为第二次下调后为列方程求解即可；2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．

解】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得．解得=

10％，（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．

（2）方案①的房款是：4050×100×0. 98=396900（元）；

方案②的房款是：4050×100－1. 5×100×12×2=401400（元）．

∵ 396900< 401400，

∴选方案①更优惠．

【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍” “增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长

率公式为（为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量）．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．类型二病毒倍数传播问题

【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，

被感染的电脑会不会超过700 台？

【分析】设一台每轮感染给x 台电脑，则第一轮后有（1+ x）台，经过第二轮感染后，共有．

解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，依题意，得．

解得x=8 或－10（负值不合题意，舍去）．

∵>700，∴若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会超过700 台．

【小结】 “传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传 染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的 增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和．解这类问 题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解．

类型三 几何图形问题

【例 3】在一块长 16 m ，宽 12 m 的矩形荒地上， 要建造一个花园， 要求花园面积是荒地面积的一半， 下面分别是小华与小芳的设计方案．

同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符 合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．

解】 （1）不符合． 设小路宽度均为

m ，根据题意得：

，解这个方程得：

但 不符合题意，应舍去，∴ ．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为 2 m ．

【小结】 几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周 设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案．在有关几何图形的面积表示中，通常有三种 处理办法：直接表示、间接表示与变换表示．解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成 规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行 取舍．

类型四 市场经济与其它问题

【例 4】某批发商以每件 50元的价格购进 800件 T 恤．第一个月以单价 80元销售，售出了 200件； 第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200 件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单 价每降低 1元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40 元．设第二个月单价降低 x 元．

时间 第一个月

第二个月 清仓时

单价（元） 80

40

销售量（件）

200

2T 9000 分析】 设小路宽度为 m ，则花园的长为 花园的宽为 ，根据面积可得方程．

【分析】（1）由“ 第二个月单价降低x 元”知第二个月的单价为（80－x），销售量为（200+10x）件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800－200－（200+10x）；（2）销售额－成本=利润，由“

获利9000 元”建立方程进行求解．

【解】（1）80－x，200+10x，800－200－（200+10x）；

（2）根据题意，得80×200+（80－x）（200+10x）+40[800 －200－（200+10x）] －50×800=9000．整理，得x2－20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，当x=10 时，80－x=70> 50．

答：第二个月的单价应是70 元．

【小结】市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4 元，那么平均每天就可多售出8 件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200 元，那么每件童装应降价多少？

【分析】每件的利润是40－x元，因每件童装降价4 元，那么平均每天就可多售出8 件．则件数为件，抓住总利润列出方程进行求解．

解】设每件童装应降价x 元，则，解得．因为要

尽快减少库存，所以x=20．答：每件童装应降价20 元．【小结】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润×件数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键．

三、二次函数及其图象解题技巧类型一抛物线的平移问题抛物

线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式．

【例1】把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2 个单位再向下平移3 个单位，所得图象的解析式为y ＝x2－2x－3，则b、c 的值为（）

A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2 【分析】y＝x2－2x－3＝（x2－2x+1）－4＝（x－1）2－4，这个函数图象的顶点坐标为（1，－4），故原抛物线的顶点坐标为（－1，－1）．

验证：（－1，－1）（1，－4）．

∴ y＝x2+bx+c 可化为y＝（x+1）2－1．即y＝x2+2x．

∴b＝2，c＝0．【答案】B 类型二抛物线的旋转和轴对称变换

将抛物线绕顶点旋转180°，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入．

【例2】将抛物线y＝2x2-12x+16 绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）

A．y＝－2x2－12x+16 B．y＝－2x2+12x－16

C．y＝－2x2+12x－19 D．y＝－2x2+12x－20

【分析】将y＝2x2－12x+16 化为顶点式，得y＝2（x－3）2－2．∴该抛物线的顶点坐标为（3，－2），将该抛物线绕顶点旋转180°后，顶点仍然是（3，－2），解析式中二次项的系数变为－2，所以所得抛物线的解析式为y＝－2（x －3）2－2，即y＝－2x2+12x－20．

【答案】D

类型三抛物线的对称性（重点）

【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a>0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b+c 的值是

（）

A．0 B．－1 C．1 D．2

【分析】∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，又经过点P（3，0），∴利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（- 1，0），因此a－b+c＝0．

【答案】A

类型四函数y＝ax2+bx+c（a≠ 0）的增减性二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件．

【例4】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：

11221212

正确的是（）

A．y1> y2 B．y1

【分析】从表中可以发现x＝1和x＝3时，y的值都是1．说明函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1

y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近．因

此y1< y2.

【答案】B

类型五根据条件确定最大值和最小值

【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x+3 的最大值为 ____________ ，最小值为_______ ．

【分析】y ＝x 2－2x+3＝（x －1）2+2，该函数图象的顶点为 （1，2），画出满足条件－ 2≤ x ≤3的图象． 如 图所示．当 x ＝1 时， y 有最小值，其最小值为 2；当 x ＝－2 时， y 有最大值，其最大值为 11．

【答案 】11；2

类型六 利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值

【例 6】（ 1）求函数 y ＝x+ （x >0）的最小值；

（2）已知矩形的面积为 a ，一条边的长为 x ．当x 为何值时， 矩形的周长 y 最小，这个最小值是多少？

【 分析 】可设法将 x+ “配方”．

2) y ＝2(x+ )(x >

0)

＝ ，即 x ＝ 1 时， y 有最小值，最小值为

2．