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圆幂定理及其应用

教学目标

1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；

2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法；

3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育.

教学重点和难点

相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解

题是难点.

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容

.

2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?

提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，

从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.

(1)如图7-163，⊙O 的两条弦AB ，CD 相交于点P ，则PA ·PB ＝PC ·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：

一是如果圆内的两条弦交于圆心O ，则有PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝圆的半径R ，此时AB ，CD 是直径，相交弦定理当然成立.(如图

7-164)

二是当P 点逐渐远离圆心O ，运动到圆上时，点P 和B ，D 重合，这时PB ＝PD ＝O ，仍然有PA ·PB ＝PC ·PD ＝O ，相交弦定理仍然成立.(图7-165)

(2)点P 继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P ，成为两条割线，则有PA ·PB ＝PC ·PD ，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)

(3)在图7-166中，如果将割线PDC 按箭头所示方向绕P 点旋转，使C ，D 两点在圆上逐渐靠

近，以至合为一点C ，割线PCD 变成切线PC.这时有

PA ·PB ＝PC ·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167)

(4)如果割线PAB 也绕P 点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可

得PA ＝PB ，这就是我们学过的切线长定理.(图

7-168)

至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和

切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质.

经过一定点P 作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O 半径为R) 在图(1)中，PA ·PB ＝PC ·PD ＝PE ·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2

；

在图(2)中，PA ·PB ＝PT 2＝OP 2-OT

2

＝OP 2-R 2

在图(3)中，PA ·PB ＝PC ·PD ＝PT 2 ＝OP 2-R 2.

教师指出，由于PA ·PB 均等于｜OP 2-R 2｜，为一常数，叫做点P 关于⊙O 的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理. 二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)

例1 如图7-170，两个以O 为圆心的同心圆，AB 切大圆于B ，AC 切小圆于C ，交大圆于D ，E ，AB ＝12，AO ＝15，AD ＝8，求两圆的半径.

分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC 也可考虑用上述方法，但AC 未知，此时则可根据切割线定理先求出AE ，再利用垂径定理便可求出AC ，于是问题得解.

(由学生讨论、分析，得出解决)

例2 如图7-171，在以O 为圆心的两个同心圆中，A ，B 是大圆上任意两点，过A ，B 作小圆的割线AXY 和BPQ. 求证：AX ·AY=BP ·BQ

分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题

不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出

发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.

方法1 在图7-172中，过点A ，B 分别作小圆的切线AC ，BD ，C ，D 为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有

AC2＝AX ·AY ，BD2＝BP ·BQ. 再连结CO ，AO ，DO ，BO ，

易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC ＝BD 所以AX ·AY ＝BP ·BQ.

方法2 在图7-173中，作直线XP 交大圆于E ，F ，分别延长AY ，BQ ，交大圆于C ，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于

是有

AX ·XC ＝EX ·XF ，BP ·PD ＝FP ·PE. 易证AX ＝CY ，BP ＝DQ ，EX ＝FP.

所以AX ·XC ＝AX ·AY ，BP ·PD ＝BP ·BQ ，EX ·XF ＝FP ·PE. 所以AX ·AY ＝BP ·BQ.

方法3 如图7-174，由于点O 是圆内的特殊点，考虑过O 点的特殊割线，作直线

AO

交小圆于E ，F ，作直线BO 交小圆于C ，D ，则出现了割线定理的基本图形.于是有

AX ·AY ＝AE ·AF ，BP ·BQ ＝BC ·BD. 易证AE ＝BC ，AF ＝BD ， 所以AE ·AF ＝BC ·BD. 从而AX ·AY ＝BP ·BQ.

通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此题?

三、练习

练习1 已知P 为⊙O 外一点，OP 与⊙O 交于点A ，割线PBC 与⊙O 交于点B ，C ，且PB ＝BC.如果OA ＝7，PA ＝2，求PC 的长.

练习2 如图7-175，⊙O 和⊙O ′都经过点A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q ，M ，交AB 的延长线于N.求证：PN2＝NM ·NQ.

四、小结

用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观察并说出相应的定理.

教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的

.

五、习题

1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。

已知：如图5，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，P为BA延长线上任意一点，且PC、PD与⊙O1

。

和⊙O2分别切于C、D两点。求证：PC=PD

2、如图6，过点P作⊙O的切线PA，A为切点，过PA中点B作割线交⊙O于C、D，连结

。求证：EF∥PA。

PC并延长交⊙O于E，连结PD，交⊙O于F

3、如图7，已知PBD是⊙O的割线，PA、PC是⊙O的切线，A、C

（1）PA·AB=PB·AD；

（2）；

（3）AD·BC=AB·DC。

提示：（1）要证PA·AB=PB·AD，只要证得就可以了。而

PA、AD、PB、AB分别是△PAD和△PBA的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可。显然∠APD=∠BPA，∠ADP=∠BAP，因此△PAD∽△PBA。

（2）由问题（1）可知，因此要证，只需证。而PA2=PB·PD，故有。

（3）要证AD·BC=AB·DC，只需证得即可。由问题（1）可知，类似问题（1）可证得。因PA=PC，故。因此有。