高三数学第一轮复习讲义 多面体和球

高三数学第一轮复习讲义 多面体和球

【知识归纳】

1、多面体有关概念：

（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。

（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。

2、正多面体：

（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。

（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：

正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 3、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r ＝2

2

d R -。

提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。

4、球的体积和表面积公式：V ＝234,3

4

R S R ππ=。 【基础训练】

（1）．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是 （ ）

A ．三棱锥

B ．四棱锥

C ．五棱锥

D ．六棱锥

（2）．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 A ．24 B ．22 C ．18 D ．16（ ） （3）．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 （ ） （4）．已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V 分别等于 （ ） A ．F=6,V=26 B ．F=8,V=24 C ．F=12,V=20 D ．F=20,V=12 （5）在半径为10cm 的球面上有C B A ,,三点，如果?=∠=60,38ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为__ __；

（6）已知球面上的三点A 、B 、C ，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13， 则球心到平面ABC 的距离为____ __ （7）．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面

一头的圆周长的

4

1

，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是 A ．41 B ．π2141- C ．81 D ．π

2181-（ ）

（8）在球内有相距9cm 的两个平行截面，面积分别为49πcm 2π2则球的表面积为___ ___； （9）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的表面积与体积；

（10）已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱长均为

3，?=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为__ ____； 【例题选讲】

【例1】已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为

2

13, 试求第

三条侧棱长的取值范围．

【例2】已知简单多面体的顶点数．面数．数分别为V ．F ． E ． 多面体的各面为正x 边形，过同一顶点的面数为y ． 求证： .2

1111=-+E y x

空

x (时间)

P

Q

满

y(水量) O

A

C

D

【例3】如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB=a ． （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1； （Ⅱ）求点D 到平面ACC 1的距离；

（Ⅲ）判断A 1B 与平面ADC 的位置关系， 并证明你的结论．

【例4】如图，在三棱锥ABC —S 中，⊥SA 平面ABC ，1==AC AB ，2=SA ，D 为BC 的中点．（1）判断AD 与SB 能否垂直，并说明理由； （2）若三棱锥ABC —S 的体积为

6

3

，且BAC ∠为 钝角，求二面角A BC ——S 的平面角的正切值； （3）在（Ⅱ）的条件下，求点A 到平面SBC 的距离．

【例5】．过半径为R 的球面上一点P 引三条长度相等的弦PA 、PB 、PC ，它们间两两夹角相等。

（1）若∠APB=2θ，求弦长关于θ的函数表达式. （2）求三棱锥P —ABC 体积的最大值（14分）

【巩固练习】

1．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对 角线长为 A ．5 B ．6 C ．32 D ．14 【 】 2．长方体三条棱长分别是AA ′=1，AB=2，AD=4，则从A 点出发，沿长方体 的表面到C ′的最短矩离是A ．5 B ．7 C ．29 D ．37【 】 3．平行六面体的棱长都是a ，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该

平行六面体的体积为 A ．3

a B ．

3

2

1a C ．322a D ．323a 【 】 4．正四棱锥的一个对角面与侧面的面积之比为8:6，则侧面与底面所成的二

面角为A ．12π B ．4π C ．6π D ．3

π

【 】

5．设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数

是E ，面数是F ，则它们之间的关系不正确的是 【 】 A ．nF=2E B ．mV=2E C ．V+F=E+2 D ．mF=2E 6．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为1、2、3，则此三棱锥的外接球面积为A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 【 】 7．半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，A 与B 、A 与C 之间的球面距离都是

2π，B 和C 之间的球面距离为3

π

，则过A 、B 、C 三点的截面与球心的距离是 A ．

7

21

B ．

7

2

2 C ．

3

3 D ．

2

2

【 】 8.地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经 30°）的最短距离为（地球半径为R ） 【 】 （A ）R （B ）

42R π （C ）3R π （D ）2

R

π 9.在底面边长为6㎝、高为14㎝的正三棱柱内放入相同的n 个球，使球半径尽

量大，则n ＝

10．在平行四边形ABCD 中，AD=a ，AB=2a ，∠ADC=60°，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，以MN 为折痕把平行四边形折成三棱柱AMB —DNC 的两个侧面，求三棱柱体积的最大值.

11．如图，直三棱柱的底面为Rt △ABC ，

∠ACB=90°，AB=4，∠ABC=15°，将两侧面 C 1CAA 1与C 1CBB 1铺平在一个平面内，得矩形

A ′

B ′B 1′A 1′.此时A ′

C 1⊥B ′C 1，求棱柱的侧面积.

12．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，底面边长为3，侧棱长为4，连CD 1，作C 1M ⊥CD 1交DD 1于M.

（1）求证：BD 1⊥平面A 1C 1M.

（2）求二面角C 1—A 1M —D 1的大小.

[参考答案]

【基础训练】

（5）（答：6cm ）（6）（答：12）（8）（答：22500cm π）（9）（答：表面积3π，

）（10）（答：2

9

π） 【例题选讲】

1． 解: 如图, 四面体ABCD 中,AB=BC=CA=1（2分）, DA=DC=

2

13（4分）, 只有棱

DB 的长x 是可变的． 在三角形ACD 中, M 为AC 的中点,

MD=

32121322

=??? ??-???? ??．

由MF-MB

得:

.2

3323<

???

?

?===-+xF yV xF E E F V 22

?

????=-+?===-+?222222E x E y E E

yV x E F E F V ， 由此得到所证等式.

3． （Ⅰ）证法一：∵点D 是正△ABC 中BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，

又A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1．

证法二：连结A 1C 1，则A 1C=A 1B ． ∵点D 是正△A 1CB 的底边中BC 的中点， ∴A 1D ⊥BC ，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥B 1C 1．（4分） （Ⅱ）解法一：作DE ⊥AC 于E ， ∵平面ACC 1⊥平面ABC ，

∴DE ⊥平面ACC 1于E ，即DE 的长为点D 到平面ACC 1的 距离． 在Rt △ADC 中， AC=2CD=.2

3,a AD a =

∴所求的距离.4

3a AC AD CD DE =?=（9分）

解法二：设点D 到平面ACC 1的距离为x ， ∵体积11

1ACC D ACD C V V --= .2

1318

33

1112x CC a CC a ???=??∴

,43a x =

∴即点D 到平面ACC 1的距离为a 4

3．（9分） （Ⅲ）答：直线A 1B//平面ADC 1，证明如下：

证法一：如图1，连结A 1C 交AC 1于F ，则F 为A 1C 的中点，∵D 是BC 的中点，∴DF ∥A 1B ，

又DF ? 平面ADC 1，A 1B ?平面ADC 1，∴A 1B ∥平面ADC 1． （14分） 证法二：如图2,取C 1B 1的中点D 1，则AD ∥A 1D 1，C 1D ∥D 1B ， ∴AD ∥平面A 1D 1B ，且C 1D ∥平面A 1D 1B ，

∴平面ADC 1∥平面A 1D 1B ，∵A 1B ?平面A 1D 1B ，∴A 1B ∥平面ADC 1． （14分）4． 解：

（1）因为SB 在底面ABC 上的射影AB 与AD 不垂直，否则与AB =AC 且D 为BC 的中点矛盾，所以AD 与SB 不垂直；（4分） （2）设θ=∠BAC ，则6

3

2121312=

θ????=

sin V 解得 2

3=

θsin ，所以060=θ（舍），0

120=θ． ⊥SA Θ平面ABC ，AB =AC ，D 为BC 的中点 BC SD BC AD ⊥⊥,，

则SDA ∠是二面角S —BC —A 的平面角． 在SDA Rt ?中，4==

∠AD

SA

SDA tan , 故二面角的正切值为４；（9分）

（3）由（2）知，⊥BC 平面SDA ，所以平面SBC ⊥平面SDA ，过点A 作AE ⊥SD ，则

AE ⊥平面SBC ，于是点A 到平面SBC 的距离为AE, 从而17172=

∠=SDA AD AE sin 即A 到平面SBC 的距离为17

17

2．（14分） 5．解：（1）由题知P —ABC 为正三棱锥，作其高PO ′，则O ′为正△ABC 的中心,球心O 在PO ′上 设PO ′=h ,PA=a

.

,sin 43332)

sin 3

4

1(44sin 32:)1()2()

2(2,,)

1()sin 3

3

2(,,sin 3

3233,sin 2,222222

2

42222222222的函数表达式即为得代入将即则交球面于延长的大圆的平面截球的截面为球与过又即中在PC PB PA R a R a a R a a R h a PQ O P PB BQ PB Q O P PB O P a h a PB O P O B O PB Rt a AB O B O P O B a AB APB ==-=∴-=∴=+?=?'=∴⊥''=+='+''?==

'∴'⊥'=∴=∠αααααααΛΘΛΘΘΘ 3

max 3

222

22738)(,34"

",34

,2427

38)3)24(83)24(83)2(433433)2(,4

33)3(43,3

1

)2(R

V R h R h h R h R h h h R h h h R h h R h h b V h R h Q O O P O B PBQ Rt b

b S b O B h S V ABC P ABC P ABC ABC ABC P ==∴==-==++-≤??-=?-=?=

∴-='?'='?==='?=

--??-体积最大时当正三棱锥的高取时即当且仅当中在则设Θ1

0．解：在平行四边形ABCD 中，连结AC ，由已知，AD=a ,CD=2a ,∠ADC=60°

∴AD ⊥AC,MN ⊥AC ，设AC ∩MN=E ，故折成三棱柱AMB —DNC 后，∠AEC 是二面角A —MN —C 的平面角，△AEC 是这个三棱柱的直截面.由题可得,

3

max 38

3

)(,,90sin 83

,,2

3

,23a V a AD S V AEC a CE a AE AEC ==∴=?=∴=∠==

?三棱柱三棱柱即折成直二面角时当设οθθ

θ

11．解：在Rt △ABC 中,AC=4sin15°,BC=4cos15°

6

48)15cos 415sin 44(2

2,415cos 15sin 16,,,11211111111111+=?++=++=∴===?='?'=∴''⊥'⊥'''?C C S S S S AB C C B C C A C C B A C C C B C A B C A C CBB A ACC A ABB οοοοΘ侧中在翻折后12．

的平面角

为二面角则连内作在平面过平面平面又证明1111111111111111111111111111,,,)2(,,:)1(D AM C ED C E C MA E D DA D A D DA D A D C M

C A B

D M C BD M C CD C A BD C A D B --∠⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥Θ

的大小而为所求二面角得由又又111111111111111111111111111111,3

5

arctan ,35tan 5

9

,4

15

,493

4

tan ,5,3,4D M A C ED C ED D C ED C ED D A MD MA ED MA MD D C CC MD D C MD C CD MC CD D C C C --=∠==

∠∴=?=?=

=∴===∠∴⊥=∴==ΘΘ