北京市东城区初三数学一模试题(含答案)

东城区2014—2015学年第二学期初三综合练习（一） 数学试题 2015.5

学校 班级 姓名 考号

考

生

须

知

1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4．在答题卡上选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．

是符合题意的． 1．与2-的和为0的数是 A ．2- B ．12-

C ．1

2

D ．2

2．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是

A ．4

24.510? B ．5

2.4510?

C ．6

2.4510? D ．6

0.24510? 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A ．圆柱 B ．球

C ．圆锥

D ． 棱柱

4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的

中位数和众数分别是

分数 50 60 70 80 90 100 人数 1

2

8

13

14

4

A ． 70,80

B ． 70,90

C ． 80,90

D ． 80,100

5． 在六张卡片上分别写有1

π,

, 1.5,3,0,23

-六个数,从中任意抽取一张,卡片上

的数为无理数的概率是 A ． 16

B ．

13

C ． 12

D ． 23

6．正五边形的每个外角等于

A. 36?

B. 60?

C. 72?

D. 108? 7．如图，AB 是O e 的直径，点C 在O e 上，过点C 作O e 的切线交AB 的 延长线于点D ，连接OC ，AC . 若50D ∠=?，则A ∠的度数是

A. 20? B ．25? C ．40? D ．50?

8．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1小时后，途中靠边停车接了

半小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程y （单位：千米）与行驶时间t （单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为 A. 43.5 B. 50 C. 56 D . 58

9. 如图，已知∠MON =60°，OP 是∠MON 的角平分线 ，点A 是OP 上一点，过点A 作ON 的平行线交OM 于点B,AB=4.则直线AB 与ON 之间的距离是 A.

3 B.2 C.3 D.4

10. 如图1， ABC △和DEF △都是等腰直角三角形，其中90C EDF ∠=∠=?，点A 与

点D 重合，点E 在AB 上，4AB =，2DE =.如图2，ABC △保持不动，DEF △沿着线段AB 从点A 向点B 移动， 当点D 与点B 重合时停止移动.设AD x =，DEF △与ABC △重叠部分的面积为S ，则S 关于x 的函数图象大致是

A B C D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式：22

4

mx my

-=．

128272+3的结果为．

13.关于x的一元二次方程230

x x m

+-=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行

阶梯水价，实施细则如下表:

北京市居民用水阶梯水价表单位: 元/立方米分档水量

户年用水量

（立方米）

水价

其中

自来水费水资源费

污水

处理费第一阶梯0-180（含） 5.00 2.07

1.57 1.36 第二阶梯181-260（含）7.00 4.07

第三阶梯260以上9.00 6.07

某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费元.

15．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．

图1图2

4

1.5

2.24

O

D

B

C

16．在平面直角坐标系xOy 中，记直线1y x =+为l .点1A 是直线l 与y 轴的交点，以1A O 为 边做正方形111A OC B ,使点1C 落在在x 轴正半轴上，作射线11C B 交直线l 于点2A ，以 21A C 为边作正方形2122A C C B ,使点2C 落在在x 轴正半轴上，依次作下去，得到如图

所示的图形.则点4B 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．如图，AC 与BD 交于点O ，OA OC =，OB OD =．

求证：DC AB ∥．

18. 计算：()1

1336043-??

-?+-+- ???

π.

19．解不等式组：()2131,5 4.2

x x x x --???-+??＞＜

20．先化简，再求值：22

2442111

a a a a a a -+-+÷+--，其中21a =． 21．列方程或方程组解应用题：

2015年“植树节”前夕，

某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？

22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()4,2A -向x 轴作垂线，垂足为B ，连接AO .双曲线 k

y x

=

经过斜边AO 的中点C ，与边AB 交于点D ． 第15题图 第16题图

F

（1）求反比例函数的解析式； （2）求△BOD 的面积． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23． 如图，ABC △中，90BCA ∠=?,CD 是边AB 上的中线，

分别过点C ，D 作BA ，BC 的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．

24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生

最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查 名学生； （2）请把条形图（图1）补充完整；

（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数； （4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．

25. 如图,在⊙O 中，AB 为直径，OC AB ⊥，弦CD 与OB 交于点F ，过点,D A 分别作⊙O 的切线交于点G ，且GD 与AB 的延长线交于点E ． （1）求证：12∠=∠;

（2）已知：:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3，求AG 的长．

26. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．

(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;

明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;

请回答：AF 与BE 的数量关系是

.

(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=?,请参考明明思考问题的方法，求AF

BE

的值.

G B

F E

O D

C

A

图1 图2

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y

轴交于点C ．

（1）求抛物线()2

10y ax bx a =++≠的函数表达式；

（2）若点D 在抛物线()2

10y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求

点D 的坐标;

（3）在抛物线()2

10y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC

为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.

B

A

C

28. 已知：Rt △A ′BC ′和 Rt △ABC 重合，∠A ′C ′B =∠ACB =90°，∠BA ′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A ′BC ′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C ′C 和线段AA ′相交于点D ,连接BD ．

（1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A ′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；

（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.

29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时,

{}min a b a =,．如：{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．

(1)求{}

2min x -1,-2;

(2)已知2

min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;

(3) 已知当23x -≤≤时，2

2

min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.

图1 图2 图3

东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）

数学试题参考答案及评分标准 2015.5

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17． 证明：∵在ODC △和OBA △中，

∵,,,OD OB DOC BOA OC OA =??

∠=∠??=?

∴ODC OBA △≌△. …………3分 ∴C A ∠=∠. …………4分 ∴DC AB ∥． …………5分

()()1

118.3604

313441

5-??

-?+-+- ???

=-+=-L L L L 解：π分分

19． ()2131,8x x x x --???

-+??①

②

＞解：5＜2，

2x 由①得，＜， …………2分 1x -由②得，＞， …………4分

所以，不等式组的解集为12x -＜＜. …………5分

()()()222

2442

1112211112221131a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+÷

+----=+?

++---=

+

++=

+L L L 20.解：分

当21a =

时，2-12-12

22-112

=

+原式．…………5分 21．解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是()25x -元. …………1分 根据题意，列方程得：200=120(25)x x -， …………3分 解得： 15x =. …………5分 答：每棵柏树苗的进价是15元. 22． 解：（1）过点C 向x 轴作垂线，垂足为E .

∵CE x ⊥轴，AB x ⊥轴，()4,2A

-，

∴CE AB ∥，()4,0B -. ∴

1

2

OE OC CE OB OA AB ===. ∵4OB =，2AB =， ∴2OE =，1CE =.

∴()2,1C -. …………2分 ∵双曲线k

y x

=经过点C ， ∴2k =-.

∴反比例函数的解析式为2

y x

=-. …………3分 （2）∵点D 在AB 上，

∴点D 的横坐标为4-. ∵点D 在双曲线2

y x

=-上， ∴点D 的纵坐标为

1

2

. …………4分

∴BOD S △111

41222

OB BD =

??=??=.…………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23.（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥， ∴四边形DBCE 是平行四边形. ∴CE BD =.

又∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD AD =. ∴CE DA =. 又∵CE DA ∥，

∴四边形ADCE 是平行四边形.

∵90BCA ∠=?，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AD CD =.

∴四边形ADCE 是菱形. …………3分

（2）解：作CF

AB ⊥于点F .

由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =.

在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =.

∵

11

22

AB CF AC BC ?=?, ∴25

5

AC BC CF x AB ?=

=.

∵152CD AB x =

=, ∴4

sin 5

CF CDB CD ∠=

=.…………5分 24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分 答：一共调查了200名学生； （2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名）， 最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）； 补全条形图如图； …………3分 （3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：

60

200

×360°=108°； …………4分 （4）1500×30

200

=225（名）． …………5分

答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225． 25.（1）证明：连结OD ，如图.

∵DE 为⊙O 的切线，OD 为半径， ∴OD DE ⊥.

∴90ODE ∠=?，即290ODC ∠+∠=?.

F

∵OC OD =， ∴C ODC ∠=∠. ∴290C ∠+∠=?. 而OC OB ⊥，

∴390C ∠+∠=?. ∴23∠=∠.

∵13∠=∠， ∴12∠=∠. …………2分

（2）解：∵:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3， ∴1OF =. ∵12∠=∠， ∴EF ED =.

在Rt ODE △中，3OD =,设DE x =，则EF x =，1OE x =+. ∵2

2

2

OD DE OE +=，

∴()2

2

2

31x x +=+，解得4x =.

∴4DE =，5OE =.

∵AG 为⊙O 的切线，OA 为半径，GD 为⊙O 的切线， ∴AG AE ⊥，GA GD =. ∴90GAE ∠=?.

在Rt AGE △中,设DG t =，则4GE t =+. ∵2

2

2

AG AE GE +=.

∴()2

2

2

84t t +=+，解得，6t =.

∴6AG =. -------------------5分

26. 解：（1）AF =BE ； …………1分

（2）

3AF

BE

=． …………2分 理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=?, ∴AC BD ⊥,60ABO ∠=?. ∴90FAO AFO ∠+∠=?. ∵AG BE ⊥，

∴90EAG BEA ∠+∠=?． ∴AFO BEA ∠=∠.

又∵90AOF BOE ∠=∠=?，

∴AOF BOE △∽△. …………3分

∴

AF AO

BE OB

=

. ∵60ABO ∠=?，AC BD ⊥，

∴tan 60AO OB =?=.

∴AF BE

= …………5分

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27．解：（1）∵抛物线

()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，

∴10,1 1.a b a b -+=??++=?

∴1,21.2

a b ?=-????=??

∴抛物线的函数关系式为211

122

y x x =-

++. …………2分 （2）∵1

22

b x a =-

=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-

++的对称轴为直线12

x =. 设点E 为点A 关于直线1

2

x =

的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线1

2

x =

于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，

则2m 0,

1.k m +=??

=?

解得1,21.

k m ?=-???=?

所以，直线EC 的函数表达式为1

12

y x =-

+. 当12x =

时，34

y =. ∴ 点D 的坐标为13,24??

???

. …………4分 （3）存在.

①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥， ∴90AOM CAM ∠=∠=?. ∵()0,1C ，()1,0A -， ∴1OA OC ==. ∴45CAO ∠=?.

∴45OAM OMA ∠=∠=?. ∴1OA OM ==.

∴点M 的坐标为()0,1-.

设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标， 则1110,1.k b b -+=??

=-?

解得111,

1.k b =-??=-?

所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.

令12x =

，则3

2

y =-. ∴点1P 的坐标为13,22??

-

??

?. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形， ∴1OC ON ==.

∴点N 的坐标为()1,0. ∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥， ∴21CP AP ∥.

∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =

，则1

2

y =. ∴点2P 的坐标为11,22??

???

. …………6分 综上，在对称轴上存在点1P 13,22??- ???，2P 11,22??

???

，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分 28.解:(1)

当60α=?时, BD A A '⊥. ------------1分

（2）补全图形如图1，

BD A A '⊥仍然成立；------------3分 （3）猜想BD A A '⊥仍然成立.

证明：作AE C C '⊥，A F C C ''⊥，垂足分别为点,E F ，如图2，则90AEC A FC ''∠=∠=?. ∵BC BC '=，

∴BCC BC C ''∠=∠. ∵90ACB A C B ''∠=∠=?，

∴90ACE BCC '∠+∠=?，'90A C F BC C ''∠+∠=?. ∴ACE A C F ''∠=∠. 在AEC △和A FC ''△中，

图2 图1

90,,,AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=???

''∠=∠??''=?

∴AEC A FC ''△≌△. ∴AE A F '=.

在AED △和A FD '△中，

90,,,AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=???

'∠=∠??'=?

∴AED A FD '△≌△. ∴AD A D '=. ∵AB A B '=，

∴'ABA △为等腰三角形. ∴BD A A '⊥------------7分

29．解：（1）∵2

0x ≥， ∴2

x -1≥-1. ∴2-x -1＞2.

∴{}

2min 2x =--1,-2. ┉┉2分 (2) ∵()2

2

11x x k x k -+=-+-2,

∴()2

111x k k -+--≥. ∵2

min{2,3}3x x k -+-=-， ∴13k --≥.

∴2k -≥. ┉┉5分 (3) 37m -≤≤. ┉┉8分