导数及其应用测试题(有详细答案)
《导数及其应用》
一、选择题
1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为
A. B. C. D.
3.在曲线y =x 2
上切线的倾斜角为π4
的点是( )
A .(0,0)
B .(2,4) C.? ????14,116 D.? ??
??12,14 4.若曲线y =x 2
+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )
A .a =1,b =1
B .a =-1,b =1
C .a =1,b =-1
D .a =-1,b =-1 5.函数f (x )=x 3
+ax 2
+3x -9,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a 等于( )
A .2
B .3
C .4
D .5
6. 已知三次函数f (x )=13x 3-(4m -1)x 2+(15m 2
-2m -7)x +2在x ∈(-∞,+∞)是增函数,则m 的取值
范围是( )A .m <2或m >4 B .-4 7. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线,则实数a 的值为A .1- B .e C .ln 2 D .1 8. 若函数)1,1(12)(3 +--=k k x x x f 在区间上不是单调函数,则实数k 的取值范围( ) A .3113≥≤≤--≤k k k 或或 B .3113<<-<<-k k 或 C .22<<-k D .不存在这样的实数k 9. 10.函数()f x 的定义域为(),a b ,导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示, 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 10.已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则 (1) '(0) f f 的最小值为A .3 B .52 C .2 D .32 二、填空题 11.函数sin x y x = 的导数为_________________ 12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10,则f (2)等于____________. 13.函数2cos y x x =+在区间[0, ]2 π 上的最大值是 14.已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f , 0) ()(2 >-'x x f x f x ) (0>x ,则不等式 0)(2>x f x 的解集是 三、解答题 16. 设函数f (x )=sin x -cos x +x +1,0 17. 已知函数3 ()3f x x x =-. (Ⅰ)求)2(f '的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间. 18. 设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3. (1)求)(x f 的单调区间和极值; (2)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根,求实数a 的取值范围. (3)已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立,求实数k 的取值范围. 19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,0m n R m ∈< (1)求m 与n 的关系式; (2)求()f x 的单调区间; (3)当[1,1]x ∈-,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围。 20. 已知函数2()ln .f x x ax bx =-- (I )当1a =-时,若函数()f x 在其定义域内是增函数,求b 的取值范围; (II )若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且AB 的中点为0(,0)C x ,求证: 0'()0.f x < 21. 已知函数2 (),()2ln (x f x g x a x e e ==为自然对数的底数) (1)求()()()F x f x g x =-的单调区间,若()F x 有最值,请求出最值; (2)是否存在正常数a ,使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点, 且在该公共点处有共同的切线?若存在,求出a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。 《导数及其应用》参考答案 二、填空题: 11. 2cos sin 'x x x y x -= ;12. 18 13. 36 +π ; 14.}0|{ 16. [解析] f ′(x )=cos x +sin x +1=2sin(x +π 4 )+1 (0 令f ′(x )=0,即sin(x +π4)=-2 2, 解之得x =π或x =3 2 π. x ,f ′(x )以及f (∴f (x )的单调增区间为(0,π)和(32π,2π)单调减区间为(π,3 2π). f 极大(x )=f (π)=π+2,f 极小(x )=f (32π)=3π 2. 17. 解:(Ⅰ)33(2-='x x f ),所以9)2(='f . (Ⅱ)2 ()33f x x '=-, 解()0f x '>,得1x >或1x <-. 解()0f x '<,得11x -<<. 所以(,1)-∞-,(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间,(1,1)-为函数()f x 的单调减区间. 18. 解:(1)2,2,0)(),2(3)(212= -=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分 ∴当()0;,()0x x f x x f x ''<>><<,当,…………………2分 ∴)(x f 的单调递增区间是(,)-∞+∞和,单调递减区间是)2,2(-……3分 当245)(,2+-=有极大值x f x ;当245)(,2-= 有极小值x f x .…………4分 (2)由(1)可知)(x f y =图象的大致形状及走向(图略) ∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点,……6分 即当55a -<<+α=)(x f 有三解. …………………………………7分 (3))1()5)(1()1()(2-≥-+--≥x k x x x x k x f 即 ∵),1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立. …………………………………………9分 令5)(2-+=x x x g ,由二次函数的性质,),1()(+∞在x g 上是增函数, ∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分 19. 解:(1)2'()36(1).f x mx m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f = 即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+ (2)由(1)知,22 '()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m =-+++=--+ 当0m <时,有2 11 >+,当x 为化时,()f x 与'()f x 的变化如下表: 故由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m +单调递增,在(1,)+∞上单调 递减. (3)由已知得'()3f x m >,即22(1)20mx m x -++>又0m <,所以222 (1)0x m x m m - ++<,即222 (1)0,[1,1]x m x x m m - ++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++,其函数图象开口向上,由题意知①式恒成立,所以 22(1)0120(1)010 g m m g ? -<+++??? ??- 解之得403m m -<<又所以4 03m -<<即m 的取值范围为4(,0)3- 20.(1)由题意:bx x x x f -+=2 ln )(, )(x f 在),0(+∞上递增,∴021 )(≥-+= 'b x x x f 对),0(+∞∈x 恒成立,即x x b 21+≤对),0(+∞∈x 恒成立,∴只需min )21 (x x b +≤, 0>x ,∴ 2221≥+x x ,当且仅当2 2 =x 时取“=”,∴22≤b ,∴b 的取值范围为)22,(-∞ (2)由已知得,???=--==--=0ln )(0 ln )(22 22212111bx ax x x f bx ax x x f ????-=-=22221211ln ln bx ax x bx ax x ,两式相减,得: )())((ln 21212121x x b x x x x a x x -+-+=?])()[(ln 21212 1b x x a x x x x ++-=, 由b ax x x f -+= '21 )(及2102x x x +=,得: ])([221)(2211000b x x a x x b ax x x f ++-+=--= '2 111ln 1 222x x x x x x +-+= ]ln )(2[12 111122 2x x x x x x x x -+--=]ln )1() 1( 2[1212 121 12x x x x x x x x -+--= ,令)1,0(21∈=x x t , 且t t t t ln 122)(-+-=?)10(< 2 <+--='t t t t ?,∴)(t ?在)1,0(上为减函数, ∴0)1()(=>??t ,又21x x <,∴0)(0<'x f 21. 解:(1)3222() ()()()(0)x a x ea F x f x g x x e x ex -'''=-=-=> ①当0,()0a F x '≤>时恒成立 ()(0,)F x +∞在上是增函数,()F x F 只有一个单调递增区间(0,-∞) ,没有最值……3分 ②当0a > 时,()0)F x x =>, 若0x << ()0,()F x F x '<在上单调递减; 若x > ()0,())F x F x '>+∞在上单调递增, x ∴=当()F x 有极小值,也是最小值, 即min ()2ln F x F a a a a ==-=-…………6分 所以当0a >时,()F x 的单调递减区间为 单调递增区间为)+∞,最小值为ln a a -,无最大值…………7分 (2)方法一,若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点, 则方程()()0f x g x -=有且只有一解,所以函数()F x 有且只有一个零点…………8分[来源:学_科_ 网] 由(1)的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得…………10分 此时,2 ()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥ m i n ())0F x == 1,()()f g f x g x ∴==∴与 的图象的唯一公共点坐标为 又f g ''== ()()f x g x 与 的图象在点处有共同的切线, 其方程为1 y x -=- ,即1 y x =-…………13分 综上所述,存在a1 =,使()() f x g x 与 的图象有且只有一个公共点,且在该点处的公切线方 程为 1. y x =-…………14分 方法二:设() f x与g(x)图象的公共点坐标为 00 (,) x y, 根据题意得 ? ? ? = = ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' x f x f x g x f 即 2 2ln 22 x a x e x a e x ? = ? ? ? ?= ?? 由②得 2 x a e = ,代入①得 02 1 ln, 2 x x =∴=从而1 a=…………10分 此时由(1 )可知 min ()0 F x F == x x ∴>≠ 当且()0,()() F x f x g x >> 即 因此除 x= x,使 00 ()() f x g x =…………13分 故存在1 a=,使()() f x g x 与的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切线,易求得 公共点坐标为 ,公切线方程为1 y x =-…………14分 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( ) 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练(十) 一、选择题 1. 设函数f (x )存在导数且满足,则曲线y=f (x )在点 (2,f (2))处的切线斜率为( ) A .﹣1 B .﹣2 C .1 D .2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ,则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A .1y e x =-?+ B .1y x =-+ C . y x =- D .y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为( ) A .3 B .3 C. 32 D .6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ,则点P 的横坐标的取值范围为( ) A . []0,1 B .[]1,0- C .11,2??--???? D .1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ,则(0)f '=( ). A . n B .1n - C . (1)2 n n - D . 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为( ) A . B .2 C .3 D .2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线,则这样的切线条数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ,且a 2014,a 2016是函数f (x )= +6x ﹣1的极值点,则log 2(a 2000+a 2012+a 2018+a 2030)的值是( ) A .2 B .3 C .4 D .5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ,若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线,则实数m 的取值范围是( ) A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f (x )的图象如图所示,则导函数 y=f'(x )的图象可能是( ) A . B . C . D . 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数,且(2)0f =,当0x >时,有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立,则不等式()0xf x >的解集为( ) A .(-2,0)∪(2,+∞) B . (-∞,-2)∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-2,0)∪(0,2) 12.设f (x )=cosx ﹣sinx ,把f (x )的图象按向量=(m ,0)(m >0)平移后,图象恰好为函数y=﹣f′(x )的图象,则m 的值可以为( )导数练习题 含答案
导数及导数应用专题练习题
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