算符函数及其应用..
高一数学必修1-函数模型及其应用
高一数学必修1 函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解解实际应用题的一般步骤； 2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法； 3．渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价 1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述． 2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键． 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 【精典范例】 例1．写出等腰三角形顶角y （单位：度）与底角x 的函数关系． 【解】1802y x =- ()090x << 点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义． 例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C (万元)、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式.
分析：销售利润()L x =销售收入()R x -成本()C x ,其中成本()C x = (固定成本+可变成本). 【解】总成本与总产量的关系为 2000.3,C x x N *=+∈. 单位成本与总产量的关系为 200 0.3,P x N x *= +∈. 销售收入与总产量的关系为 0.5,R x x N *=∈. 利润与总产量的关系为 0.2200,L R C x x N *=-=-∈ ． 例3．大气温度()y C 随着离开地面的高度()x km 增大而降低，到上空11km 为止，大约每上升1km ，气温降低6C ，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C ）． 求：（1）y 与x 的函数关系式； （2） 3.5x km =以及12x km =处的气温． 【解】（1）由题意， 当011x ≤≤时，226y x =-， ∴当11x =时，2261144y =-?=-， 从而当11x >时，44y =-． 综上，所求函数关系为 []226,0,1144,(11,) x x y x ?-∈? =? -∈+∞??； （2）由（1）知， 3.5x km =处的气温为 226 3.51y =-?=C ， 12x km =处的气温为44C -． 点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题． 追踪训练一 1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企
多元函数的极值及其应用(精)
2012 年 5 月（上）科技创新与应用科教纵横多元函数的极值及其应用苏兴花（山东现代职业学院，山东济南 250104 ）多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛，相关的理论逐渐地完善起来，多元函数极值问题的应用也越来越广泛．然而在数学分析的教材中，与一元函数比较起来，多元函数极值的理论及应用却比较少，没有详细的讨论，例如二元函数极值的讨论中，当判别式时，无法判别二元函数的极值是否存在．鉴于这种状况与实际需要的矛盾，总结出几种较为简便的判别多元函数极值的方法，使得多元函数的极值问题的解决方法简单多样化，运用起来更加灵活与方便。 1 多元函数极值 1.1 极值的定义、性质和判定定理二元函数的极值定义 1 设二元函数 f(x,y 在点 P(a,b 的邻域 G 有定义，在 P 处给自变量的增量△P=(h,k，相应有函数增量．若，则称 P(a,b是函数 f(x,y的极大点（极小点）．极大点（极小点）的函数值 f(a,b称为函数 f(x,y的极大值（极小值）．极大值与极小值统称为函数的极值．定义 2 方程组的解（xy 平面上的某些点）称为函数 f(x,y的稳定点．定理 1 若函数 f(x,y在点 P(a,b存在两个偏导数，且P(a,b是函数 f(x,y的极值点，则 . 定理 2 设函数 f(x,y有稳定点 P(a,b，且在 P(a,b的邻域 G 存在二阶连续偏导数．令 1）若△<0，则 P(a,b是函数 f(x,y的极值点，(iA>0(或 C>0，P(a,b是函数 f(x,y的极小点; (iiA<0(或 C<0，P(a,b是函数 f(x,y的极大点． 2）若△>0，P(a,b不是函数 f(x,y的极值点． 1.2 多元函数极值推广 1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广定理设 f(P是 R n 中的实函数，且 f(P在点 P 0 取到极值，则 f(P 在点 P 0 的任何方向导数均为零． 1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广定理 1 设 n 元函数 f(x=f(x 1 ,x 2 ,...,x n 在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点 P(a 1 ,a 2 ,...,a n 是 f(x的稳定点．其中为实对称矩阵，其元素且不全为零 (i,j= 1,2,...,n即A≠0． 1 若 A 为正定矩阵，f(P为极小值; 2 若 A 为负定矩阵，f(P为极大值; 3 若 A 既不正定，也不负定，则 f(P不是极值．注意：若二次齐次多项式为零，即 A=0 时，此时不能用 A 的正定与负定来判断 f(P是否为极值，或判断 f(P是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判定．定理 2 设二元函数 f(x,y在点 P 0 (x 0 ,y 0 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且 P 0 是稳定点，又，即△=0 时，则当时， f 在点 P 0 无极值．例 2 判别函数是否存在极值．解
函数连续性、导数及其应用
§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00 x f x f x x =→一、连续函数的概念 函数连续要满足三个条件 (1) 在x =x 0有定义； (2) 存在；(3))(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x =→
例1. 2sin 21 ,0(),0ax x e x f x x a x ?+-≠?=??=? 在(-∞，+ ∞)上连续， 求的值 a 解：
定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数?(x)在开区间(a , b)内连续; 定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数?(x) 在闭区间[a , b]内连续. 一个函数在定义域上连续，从图像上看是连 续不断的，“一笔”可以画出来的。
二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义； (2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. )(lim 0 x f x x →)(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x ≠→
x 1 A 2A 0 x 0 x 1 A 2A 0 x A x 1 A 2A 0 x 1 A 0 x
间断点? ? ???? ???????振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：
论文函数的极值问题在实际中的应用.
函数的极值问题在实际中的应用 一、函数求极值方法的介绍 利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。 1、一元函数极值的判定及求法 定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。 使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。 定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。 （1）若当时，当时，则在点取得最小值。 （2）若当时，当时，则在点取得最大值。 定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在 处二阶可导，在处二阶可导，且，。 （1）若，则在取得极大值。 （2）若，则在取得极小值。 由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，
在这些点的导数为0，即为驻点。因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。
高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用
高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用 高考要求 函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系 重难点归纳 1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念 等式lim 0 x x →f (x )=f (x 0)的涵义是 (1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在； (2)lim 0 x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义； (3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 函数f (x )在x 0处连续， 反映在图像上是f (x )的图像在点x =x 0处是不间断的 2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图像在点x =x 0处是间断的 其情形 (1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0 x x →f (x )≠f (x 0); (2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0 x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法 如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0 x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解 例1已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图像； (2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数 命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图像上有最直观的反映 因而画函数图像去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法 知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图像 错解分析 第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式 技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图像进行解答 解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2 42+-x x =x －2, 其图像如上图
函数极值最值的求法及其应用
函数极值最值的求法及其应用 学习目标：会用导数求函数的极值与最值并利用其解决相关的数学问题. 学习重点：利用导数求函数单调区间和极值最值，并能利用他们解决相恒成立问题、方程的根和函数的零点问题. 学习难点：含参函数的分类讨论和数形结合的思想方法. 学习方法：指导学习法. 课前五分钟展示：求函数)0()(>+=a x a Inx x f 在区间[]1,e 上的最小值. 基础知识回顾： 1、 单调区间： 在某个区间(a,b)内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调 注意：求参数范围时，若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则 '()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 2、 函数的极值与最值： 极大值和极小值：一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有)(x f ＜)(0x f 或)(x f ＞)(0x f ，就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值或极小值，记作极大值y =)(0x f ，0x 是极大值点或记作极小值y =)(0x f ，0x 是极小值点.
在定义中，极大值与极小值统称为 取得极值的点称为 极值点是自变量的值，极值指的是 最大值和最小值：观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的 函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在 []b a ,上必有最大值与最小值． 请注意以下几点： （1； （2）函数的极值不是唯一的； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系 ； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点取得最大值.最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 思考探究： 在连续函数)(x f 中，0)('= x f 是函数)(x f 在 x x =处取到极值的什么条件（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 典型例题： 题型一：利用导数求函数的极值最值问题： 例1：求函数5224+-=x x y 在区间[]2,3-上的最大值与最小值.
高考数学难点突破 难点33 函数的连续及其应用
116 难点33 函数的连续及其应用 函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. ●难点磁场 (★★★★)已知函数f (x )=?????≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32 x x x x x x (1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性； (2)求f (x )的连续区间. ●案例探究 ［例1］已知函数f (x )=2 42+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象； (2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数. 命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法. 知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画 出它的图象. 错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数 定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式. 技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答. 解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2 42+-x x =x －2, 其图象如上图 (2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2. (3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 2 2-=-→-→x x f x x =－4. 因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=?? ???-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x 则函数f (x )在R 上是连续函数. ［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b . 命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法. 知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正. 错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用 .
高一数学函数模型及其应用练习题2
函数模型及其应用测试题 一、选择题 1．某工厂的产值月平均增长率为P，则年平均增长率是（） A．11 +-D．12 (1)1 P P +- (1)P +B．12 (1)P +C．11 (1)1 答案：Ｄ 2．某人2000年7月1日存入一年期款a元（年利率为r，且到期自动转存），则到2007年7月1日本利全部取出可得（） A．7 a r +元 (1) (1) a r +元B．6 C．7 (1)(1)(1) +++++++ …元 a a r a r a r (1) a a r ++元D．26 答案：Ａ 3．如图1所示，阴影部分的面积S是h的函数(0) ≤≤，则该函数的图象可 h H 能是（） 答案：Ｃ 4．甲、乙两个经营小商品的商店，为了促销某一商品（两店的零售价相同），分别采取了以下措施：甲店把价格中的零头去掉，乙店打八折，结果一天时间两店都卖出了100件，且两店的销售额相同，那么这种商品的价格不可能是（）A．4.1元B．2.5元C．3.75元D．1.25元 答案：Ａ 5．某厂工人收入由工资性收入和其他收入两部分构成．2003年该工厂工人收入3150元（其中工资性收入1800元，其他收入1350元）．预计该地区自2004年开始的5年内，工人的工资性收入将以每年6％的年增长率．其他收入每年增加160元．据此分析，2008年该厂工人人均收入将介于（） A．42004400 元 元B．44004600 C．46004800 元D．48005000 元 答案：Ｂ 二、填空题 6．兴修水利开渠，其横断面为等腰梯形，如图2，腰与水平线夹角为60 ，要求浸水周长（即断面与水接触的边界长）为定值l，同渠深h=，可使水渠量最大．
函数极值与最值研究毕业论文
函数极值与最值研究 摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等， 关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧． Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number of
多元函数的极值及其应用
多元函数的极值及其应用 作者：程俊 指导老师：黄璇 学校：井冈山大学 专业：数学与应用数学
【摘要】 多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分，本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍，对多元函数的极值常见的求法进行了研究，并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用，突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向，而最优化问题是达到这一目标的有效途径，其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度，给经济方面，生活方面带来的益处不容小觑，本人浅谈极值问题，为了抛砖引玉，希望这一课题能有更广大额发展空间 【关键词】：多元函数；极值；生活中的应用
目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用……………………………………
引言 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域，在各种解决最优化中应用广泛，从而引发了本人对该课题的研究兴趣。 编者 2014年2月
函数一致连续性及其应用
1 函数一致连续性[1] 设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意 的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续. 1.1 函数一致连续的相关定理与证明 定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是 ()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x I x x δ δ. 证明 ①必要性 因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>?>?δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()2 21ε < -x f x f ,故可得出()()2 21,0 2121ε δ≤ -<-∈x f x f SUP x x I x x . 因为当00δδ<<时，有 ()()()()εε δδ <≤ -≤-<-<-∈∈2 21,21,0 21212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x I x x I x x . 故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x I x x δ δ. ②充分性 由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x I x x δ δ,所以0,00>?>?δε，对任意的1x ，I x ∈2只要 021δ<-x x ，就有 ()()εδ<-<-∈21,0 2121x f x f SUP x x I x x . 故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到 ()()()()()()εδδ <-≤-≤-<-<-∈∈21,21,210 21212121x f x f S U P x f x f S U P x f x f x x x x I x x I x x , 所以()x f 在区间I 上一致连续. 定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞ →n n n x x ，就有()()0lim =''-'∞ →n n n x f x f 证明 ①必要性 因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>?>?δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法 The latest revision on November 22, 2020
第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z 说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要 解方程组???==0 ),(0),(0000y x f y x f y x ，求得解),(),(),,(2211n n y x y x y x ??，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(y x f z =的驻点． 注意1．驻点不一定是极值点，如xy z =在)0,0(点． 怎样判别驻点是否是极值点呢下面定理回答了这个问题．
高考数学难点-函数的连续及其应用
难点33函数的连续及其应用 函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. ●难点磁场 (★★★★)已知函数f (x )=?????≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32 x x x x x x (1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性； (2)求f (x )的连续区间. ●案例探究 ［例1］已知函数f (x )=242+-x x ,(1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象； (2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数. 命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法. 知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画 出它的图象. 错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数 定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式. 技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答. 解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=2 42+-x x =x －2,其图象如上图 (2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2. (3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 2 2-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=?? ???-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x 则函数f (x )在R 上是连续函数. ［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b . 命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法. 知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正. 错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用 .
函数模型及其应用
2021年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》 函数模型及其应用 1．几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型f(x)＝ k x＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝ba x＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝b log a x＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与x轴平行 随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × ) (2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)不存在x 0，使0x a 第八节 多元函数的极值及其求法 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法求最值实际问题。 难点：求最值实际问题建立模型，充分性判别法的证明。 作业：习题8－8（71P ）3,5,8,9,10 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相 类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题． 一．多元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2 243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的 偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 证明 不妨设函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值，依定义，在该点的邻域上均 有 ),(),(00y x f y x f <，),(),(00y x y x ≠ 成立． 特别地，取0y y =而0x x ≠的点，有000(,)(,)f x y f x y <也有成立． 函数的连续性及其应用 函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. ●难点磁场 (★★★★)已知函数f (x )=?????≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32 x x x x x x (1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性； (2)求f (x )的连续区间. ●案例探究 ［例1］已知函数f (x )=2 42+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象； (2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数. 命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法. 知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是 能准确画出它的图象. 错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学 连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式. 技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象 进行解答. 解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2 因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞) 当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2, 其图象如上图 (2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2. (3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 2 2-=-→-→x x f x x =－ 4. 适用学科 高中数学 态。 函数的极值和最值及其应用 函数极值的定义 ??????是函，则设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有xxxf?ff xx)(xf0000??????????的一，则的一个极大值。如果附近所有的点，都有 是函数数xxfxffxfx?f00个极小值，极大值与极小值统称为极值。 极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。 ???.的极值点，则这就是说可导函数在点取极若函数在点处可导，且为 0fx?xxff000????0xf. 值的必要条件是0函数最值的定义 ????xffx Xx?不小于其他所有的区间上有定义，如果存在一点，使得在设函数X00??????,xff?xxfxX?，，亦即0????????xfmaxxxff?是在上的最大值，又可记为；则称X00????????,x?f?xffxXfxx同样使得，亦即，不大于其他所有的o0????????xxfxf?fmin . 是在则称上的最小值，又可记为X00??xf在注意上未必一定有最大（小）值。：函数X最值和极值的联系与区别 （1）极值一定是函数在某个区间内的最值； （2）极值未必是最值； （3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。 函数极值、最值的求解方法 1、降元法 求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。 1 22，求函数的极值。例1：已知x?z?y22y?x?22，代人得解：由题设得xy2?x?y?2 22????282?z??2?x?x??2x 2??22?2?22?x???2?0???x?28??即函数的定义域为：2?2?22,?2?2?? 第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点 ),,(000z y x 处的切平面方程为第八节多元函数的极值及其求法
(整理)函数的连续性及其应用
函数模型及其应用教案
适用年级
高一
适用区域 通用
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 1.几类不同增长的函数模型的特点
2.用已知函数模型解决实际问题
3.建立函数模型解决实际问题
教学目标 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上
升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2．了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）
的实例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。
教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【教学建议】 本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程
中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华.本课内容是课本必修 1 中第三章 的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。 通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及 其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题， 函数 模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知 识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成. 【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状
第1页
导入的方法很多，仅举两种方法：
① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学
生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：
环节
教学内容设计
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群
喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859 年，有人从欧洲
创
带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧
草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断
设
增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳
大利亚，数量达到 75 亿只．可爱的兔子变
情
得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75
亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降
境
低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使
澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消
灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科
学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的
野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
师生双边互动 师：指出：一般而言，在理想条件 （食物或养料充足，空间条件充裕， 气候适宜，没有敌害等）下，种群 在一定时期内的增长大致符合“J” 型曲线；在有限环境（空间有限， 食物有限，有捕食者存在等）中， 种群增长到一定程度后不增长，曲 线呈“S”型．可用指数函数描述一 个种群的前期增长，用对数函数描 述后期增长的
第2页2函数的极值和最值及其应用
多元函数的极值及其求法