奇偶性的应用
奇偶性的应用
例1、已知,8)(35-++=cx bx ax x f 且10)(=d f ，求)(d f -；
变式练习：,)(235x cx bx ax x f +++=10)2(=f ，求)2(-f ；
例2、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，并且当0>x 时，1)(3++=x x x f ，求)(x f 的解析式。
例3、已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且11)()(-=
+x x g x f ，求)(x f 和)(x g 的解析式。
例4、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且1
)(2+++=
nx x m x x f ，求)(x f
变式练习：1、b a bx ax x f +++=3)(2
的图象关于y 轴对称，定义域]2,1[a a - ，求)(x f 的值域；
2、设函数x a x x x f ))(1()(++=
为奇函数，则a =
例5、（1）设)(x f 为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，求证：)(x f 在（—∞，0）上是减函数；
（2）设)(x f 为偶函数，且在],[b a 上是减函数，求证：)(x f 在],[a b --上为增函数；
例6、设)(x f 为偶函数，且定义域在)1,1(-，且在)1,0[上为增函数，若0)4()2(2<---a f a f ，试求实数a 的取值范围。
变式练习：若)(x f 为奇函数，且定义域在)1,1(-，且在)1,0[上为增函数，若0)23()2(<-++a f a f ，试求实数a 的取值范围。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1
C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.
函数的奇偶性及其应用举例
函数的奇偶性及其应用举例 （湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚） 【摘要】 函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线，也是高中数学的核心 内容，那么真正掌握函数，其中最主要的就是掌握函数的基本性质。函数的奇偶性是函数重要性质之一。近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。 【关键词】 函数的奇偶性，判定，应用 一、奇、偶函数的定义： 若函数)(x f ，在其定义域内，任取x 都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或者， 则称函数)(x f 在区间I 上是奇函数（或者偶函数） 二、函数的奇偶性分类 ???? ? ?? =--=-≠--≠-=--=-)()()()()()()()(:)()(:)()(:x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 且既奇且偶函数： 且非奇非偶函数偶函数奇函数 三、奇、偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数 偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 四、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称 ②若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。 五、 判断函数奇偶性的方法： （1）定义法：欲判断函数)(x f 在给定区间或者定义域内的奇偶性：
第一步：先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称，若 不对称，则函数)(x f 一定是非奇非偶函数。 第二步：若对称，再判断)(x f -与)(x f 的关系： ①若)(x f -=-)(x f ,则)(x f 是奇函数 ②若)(x f -=)(x f ,则)(x f 是偶函数 ③若)(x f -=-)(x f 且)(x f -=)(x f ,则)(x f 是既奇且偶函数 ④若)(x f -≠-)(x f 且)(x f -≠)(x f ,则)(x f 是非奇非偶函数 （2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数； 图象关于y 轴对称的函数是偶函数。， 六、函数奇偶性的应用： （1）函数奇偶性的判断 例1、（2011年高职统考第4题）下列函数为奇函数的为 )0(.5 1<=x x y A )0(.7 1>=x x y B 2 1.x y C = 3 1.x y D = 析：A,B ，C 这三个函数的定义域都不关于原点对称，故均为非奇非偶函数， 只有D 选项，定义域为()+∞∞-,，关于原点对称，并且()3 13 1x x -=-，故D 项所在函数为奇函数。 例2、（2014年文化综合第25题改编）下列函数中为奇函数的是 A ．2 ()1f x x =- B ．3 ()f x x = C ．5()3x f x ?? = ??? D ．2 ()log f x x = 析：A 项2()1f x x =-的定义域为()+∞∞-,关于原点对称，但 () 11)(2 2 -=--=-x x x f ，)()(x f x f =-故为偶函数； C 项5()3x f x ?? = ??? 定义域 为()+∞∞-,关于原点对称，但)()()()(,35)(x f x f x f x f x f x -≠-≠-??? ??=--且， 故为非奇非偶函数；D 项2()log f x x =，定义域为()+∞,0，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，只有B 项符合。 例3、判断函数12)(2+-=x x x f 的奇偶性： 析：（法1-定义法）()f x 函数的定义域是()-∞+∞， ， ∵ 2()21f x x x =-+，
对称性、奇偶性和周期性的综合运用
函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一．函数的对称性 （一）函数)(x f y = 的图象自身对称 1、轴对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x ， ) ()(x b f x a f -=+ ? ) (x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x += -++= 对 称. 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论3：)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称. 求对称轴方法：22)()(b a x b x a x += -++= 2、中心对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x ， c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称. 推论： b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点 ),(b a 对称. 推论：b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称. 推论：b x a f x f 2)2()(=++- ? )(x f y =的图象关于点 ),(b a 对称. 求对称中心方法：.2 2,2)()(c c y x b x a x ==-++=纵坐标横坐标 小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；
中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c 中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值. （二）两个函数的图象相互对称 1、函数 )(x a f y +=与函数)(x b f y -=图象关于直线2a b x -= 对称； 特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于直线x=0(y 轴)轴对称； 函数)(x f y =与函数)(x f y -=图象关于 y 轴对称； 求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2a b x -= . 2、函数y ＝f(a ＋x)+c 与y ＝－f(b －x)+d 关于点)2 ,2(d c a b +-中心对称； 特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于点（0,0）（原点）中心对称. 函数)(x f y =与函数)(x f y --=图象关于原点对称函数. 求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得 2a b x -= ，纵坐标y= .2 d c + 二． 函数的奇偶性 1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y 轴（x=0）对称． 推论：若y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)，即y ＝f(x)的图像关于直线 x ＝a 轴对称. 2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称. 推论：若y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)，即y ＝f(x) 的图像关于点 （a ，0）中心对称. 三．函数的周期性 1. 定义：对于() f x 定义域内的任意一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()() f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做 () f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是() f x 的周期，所有周期中的最小正数叫 () f x 的最小正周期.
函数奇偶性与单调性的综合应用--专题.
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121)()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性；
3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； （2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系； （3）下结论 . 【典型例题】
(完整版)函数的单调性与奇偶性练习题基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式；
函数奇偶性的归纳总结
函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：
奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 抽象函数的单调性和奇偶性应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那 么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是 增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 函数奇偶性在解题中的应用 徐辉 函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是日常考试和高考中数学的重点和热点内容之一。它应用广泛，在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用的好，常能使难题变易，繁题变简，起到事半功倍的效果。 1．用于求值 例１：已知奇函数，则 解：因为奇函数， 所以对任意，都有成立． 令，则有，从而可得； 令，则有， 从而 ． 故． 注：此解利用了若函数是奇函数，则对定义域内的任意， 都有这一性质，特别地，当０在定义域内时，必有． 2．用于比较大小 例２．已知偶函数在区间上单调递减，试比较 的大小. 解：因为是偶函数，所以，故此题只需比较的大小即可． 又因在区间上单调递减，而且 所以，故． 注：此解利用了若函数是偶函数，则对定义域内的任意x，都有这一性质．当然此题也可利用偶函数图象关于y 轴对称这一性质，首先得到在区间是单调递增的，然后再用单调性进行求解． 3．用于求最值 例３．如果奇函数在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[-7,-3]上是（） A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 解：由在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，有, 又是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称, 故有在[-7,-3]上也是增函数，且当x=-3时，函数取得最大值， 故选B. 注:此解利用了奇函数图象关于原点对称这一性质. 4．用于求参数的值 例4.已知函数(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)＜3，求a、b、c的值. 解：由是奇函数，知f(-x)=-f(x)， 从而，即-bx+c=-(bx+c)，c=-c，∴c=0. 又由f(1)=2，知，得a+1=2b①， 而由f(2)＜3，知，得② 由①②可解得－1＜a＜2. 又a∈Z，∴a=0或a=1. 若a=0，则b=，应舍去； 若a=1，则b=1∈Z. ∴a=1，b=1，c=0. 注：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想建立方程或不等式，组成混合组，最终使问题得以解决. 当然此题也可采用取特殊值的方法得到c的值，如由f(－1)=－f(1)，可得c=0. 5．用于求函数的解析式 例５．已知定义在(－∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2－2x+2，求函数f(x)的解析式。解：当x<0时，－x>0，故f(－x)=(－x)2－2(－x)+2=x2+2x+2 因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数， 于是f(－x)=－f(x)，从而当x<0时，f(x)=－f(－x)=－(x2+2x+2)=－x2－2x－2， 函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用 例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线2 1=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性 解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n = 因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数n 都有：()0f n = 从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。本题答案填写：0 例2、（2006福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22 c f f ==<0，∴c a b <<，选D. 例3、（安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。 解析：由()()12f x f x +=得()() 14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5 f f f f f =-=-==--+。 【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一 般都比较灵活。本题应直观理解()() 12f x f x += “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。 例4、设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当0≤x ≤1时，()x x f =，则f （）等于（ ） A.0.5 B.－0.5 D.－ 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 函数奇偶性教学案例 课题：函数奇偶性 —数学组 一、教学目标 知识与技能： 1. 理解函数的奇偶性及其几何意义； 2. 学会判断函数的奇偶性； 3. 学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 过程与方法： 经历从具体情境抽象出函数的奇偶性定义的过程，提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力,感悟数形结合和类比的数学思想方法。 情感、态度与价值观： 1、通过本节课学习，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。 2、体会数学中的对称美。 二、教学重点、难点 1、重点：函数的奇偶性及其几何意义。 2、难点：判断函数的奇偶性的方法。 三、学情分析 根据就业1205烹饪班的实际情况，学生刚来我校时数学基础较差，学习习惯和方法落后，进校后对学习数学感到吃力，对学好数学信心不足。但通过半学期来同学们的刻苦努力，本班学生已熟悉中职数学的学习，对相关数学知识有了一定了解和掌握，也形成了自己的学习方法和习惯，对学习数学有了一些兴趣和信心。 四、学法与教学用具 1、学法：实践，观察，归纳，应用。 2、教学用具：白纸，直尺，粉笔，多媒体设备等。 五、教学过程 （一）：创设情景，揭示课题 同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，如:外表美，自然美，和谐美，对称美……；今天，我们就来讨论对称美，在我们日常生活中，存在许多对称的事物，比如：宏伟的建筑、美丽的蝴蝶，展翅飞翔的白鸽。。。 教师：你们还能列举出生活中的对称的实例吗？ 学生自由回答。 教师：如果把生活中的对称美引入到我们数学领域中，它又是怎样的情况呢？今天，我们就来学习函数中的对称问题。（引出课题：函数的奇偶性） 设计意图： 用多媒体展示一组图片，使学生感受到生活中的对称美。通过让学生观察图片导入新课，既激发了学生浓厚的学习兴趣，又为学习新知识作好铺垫。 函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5], 1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性； 例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ； 练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数； 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1 ） ()f x = （2 ）()f x =； （3） 2 1 ()2 f x x = +； 练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++ 函数2：函数的奇偶性 【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法； 【重点难点】 重点：函数的奇偶性的有关概念； 难点：奇偶性的应用 一、函数的奇偶性 1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做 偶函数． 2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫 做奇函数． 3.判断函数奇偶性的方法： （1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称． （2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 4.奇偶函数的简单性质： （1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为 增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数. （2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为 增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数. 二、函数奇偶性的应用 1、利用定义判断函数奇偶性 例1（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2 432)(x x x f +=； （3）1)(2 3--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ； （6）2211)(x x x f -+-=； （7）2211(0)2()11(0)2 x x g x x x ?+>??=??--x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式； 3.2.2第2课时奇偶性的应用 基础练 巩固新知夯实基础 1．已知奇函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x ) 奇偶性与单调性及典型例题 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象. 难点磁场 (★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数. 案例探究 ［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
函数奇偶性在解题中的应用
函数单调性奇偶性周期性和对称性的综合应用
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
奇偶性教学案例
函数的奇偶性及周期性综合运用
高中数学必修一函数的性质单调性与奇偶性典型精讲精练
函数奇偶性的定义与应用
奇偶性的应用(分层练习)
奇偶性与单调性及典型例题