基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结
一、指数函数的概念
(1)、指数函数的定义
一般地,函数x
y a =(0a >,且1a ≠)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R 。 (2)、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数,所以在底数0a >且1a ≠的前提下,x R ∈。
(3)、指数函数x y a =(0a >且1a ≠)解析式的结构特征 1、底数:大于0且不等于1的常数。 2、指数:自变量x 。 3、系数:1。
二、指数函数的图象与性质
一般地,指数函数x
y a =(0a >,且1a ≠)的图象与性质如下表:
三、幂的大小比较方法
比较幂的大小常用方法有:(1)、比差(商)法;(2)、函数单调性法;(3)、中间值法:
要比较A 与B 的大小,先找一个中间值C ,再比较A 与C 、B 与C 的大小,由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。
四、底数对指数函数图象的影响
(1)、对函数值变化快慢的影响
1、当底数1a >时,指数函数x
y a =是R 上的增函数,且当0x >时,底数a 的值越大,函数图象越“陡”,说明其函数值增长得越快。
2、当底数01a <<时,指数函数x
y a =是R 上的减函数,且当0x <时,底数a 的值越小,函数图象越“陡”,说明其函数值减小得越快。 (2)、对函数图象变化的影响
指数函数x y a =与x y b =的图象的特点:
1、1a b >>时,当0x <时,总有01x x a b <<<;当0x =时,总有1x x a b ==;当
0x >时,总有1x x a b >>。
2、01a b <<<时,当0x <时,总有1x x a b >>;当0x =时,总有1x x a b ==;当
0x >时,总有01x x a b <<<。
五、对数的概念
(1)、对数:一般地,如果x a N =(0a >,且1a ≠),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
(2)、常用对数:我们通常把以10为底的对数叫做常用对数,为了简便,N 的常用对数10log N 简记为lg N 。
(3)、自然对数:我们通常把以无理数e ( 2.71828e =)为底的对数称为自然对数,
为了简便,N 的自然对数log e N 简记为ln N 。
六、对数的基本性质
根据对数的定义,对数log a N (0a >,1a ≠)具有如下性质: 1、0和负数没有对数,即0N >; 2、1的对数是0,即log 10a =; 3、底数的对数等于1,即log 1a a =;
4、对数恒等式:如果把b a N =中的b 写成log a N ,则log a N
a
N =。
七、对数运算性质
如果0a >且1a ≠,0M >,0N >,那么 (1)、()log log log a a a MN M N =+; (2)、log log log a
a a M
M N N
=-; (3)、log log n a a M n M =(n R ∈)。
八、换底公式
设log a N x =,则x a N =,两边取以b 为底的对数,则有
log log log log log x b b b a b N a x a N a ===?,又log 0b a ≠,log log log b a b N
N a
=
,由此得
到对数的换底公式。
换底公式的两个推论:
log log m n a a n N N m =
,1
log log a b b a
=
。 九、对数函数
(1)、对数函数的定义
一般地,我们把函数log a y x =(0a >,且1a ≠)叫做对数函数,其中x 是自变量,
函数的定义域为()0+∞,
。 (2)、一个函数是对数函数的条件
1、系数为1;
2、自变量x 出现在真数的位置上,且0x >;
3、底数0a >,且1a ≠。 (3)、常用对数函数与自然对数函数 1、常用对数函数:以10为底的对数函数lg y x =为常用对数函数。 2、自然对数函数:以无理数e 为底的对数函数ln y x =为自然对数函数。
十、对数函数的图象与性质
一般地,对数函数log a y x =(0a >,且1a ≠)图象与性质如下表:
十一、幂函数
一般地,函数y x α
=叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数。
十二、幂函数的图象
幂函数y x α=在第一象限的图象特征:
(1)、1α>,图象过点()00,,()11,,下凸递增,如3y x =。 (2)、01α<<,图象过点()00,,()11,,上凸递增,如1
2
y x =。
(3)、0α<,图象过点()11,,下凸递减,且向两坐标轴无限逼近,如1
y x -=。
十三、常见的幂函数的性质
(1)、所有的幂函数在()0+∞,上都有定义,并且图象都通过点()11,; (2)、若0α>,则幂函数的图象过原点,并且在区间[)0+∞,上为增函数; (3)、若0α<,则幂函数图象在区间()0+∞,
上是减函数,在第一象限内,当x 从右边趋向于原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴,当x 趋向于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴;
(4)、当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数。
十四、函数零点的概念
对于函数()y f x =,我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()y f x =的零点。 由函数零点的概念可知,函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根,也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标。
十五、函数零点的判定(存在性定理)
一般地,如果函数()y f x =在区间[]a b ,上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
()()0f a f b ?<,那么,函数()y f x =在区间()a b ,内有零点,即存在()c a b ∈,,使
得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根。
以上结论称为零点存在性定理,它是判断函数()y f x =的零点是否存在的方法。
十六、二分法
一般地,对于图象在区间[]a b ,上连续不断且()()0f a f b ?<的函数()y f x =,通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而
得到零点近似值的方法叫做二分法。
高中数学三角函数基础知识点及答案
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z , 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 弧度:一周的弧度数为2πr/r=2π,360°角=2π弧度,因此,1弧度约为57.3°,即57°17'44.806'', 1°为π/180弧度,近似值为0.01745弧度,周角为2π弧度,平角(即180°角)为π弧度, 直角为π/2弧度。(答:25-;5 36 π- ) (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈; α终边在y 轴上的角可表示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称,则α=____________。 (答:Z k k ∈+ ,3 2π π) 4、α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角,则2 α 是第_____象限角 (答:一、三) 5.弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22 S lR R α==,1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。 (答:22cm ) 6、任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是220r x y =+>,那么 s i n ,c o s y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec r x α=()0x ≠, ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。
高考复习函数知识点总结
高考复习 函数知识点总结 一.函数概念的理解以及函数的三要素 (1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则(函数关系式)也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ; 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ; 满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [,)a b ,(,]a b ; 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b < . (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① 分式的分母不为0; ② 偶次根式下被开方数大于0; ③ 0y x = ,则有0x ≠ ; ④ 对数函数的真数大于0,底数大于0切不等于1 注意:①解析式为整式的函数定义域为R ; ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则
其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集; ③对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出. f g x的定义域应由不等式() a b,其复合函数[()] (4)求函数的值域或最值 常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=,则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时,由于,x y为实数,故必须有 2()4()()0 ?=-?≥,从而确定函数的值域或最值. b y a y c y ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. (5)函数解析式 ①换元法;(用于求复合函数的解析式) ②配凑法;(用于求复合函数的解析式)
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n a n a n ? (1)根式的概念 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 ① 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. ②当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a ≥ 0 . ?a (a ≥ 0) ③根式的性质: ( n a )n = a ;当 n 为奇数时, = a ;当 n 为偶数时, =| a |= ?-a . (a < 0) (2) 分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂的意义是: a n = (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) .0 的正分数指数幂等于 0. a - m = ( )1 m ( ) 1(a > 0, m , n ∈ N , n > 1) ②正数的负分数指数幂的意义是: n n = n m + 且 .0 的负分数指数幂没有意 a a 义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3) 分数指数幂的运算性质 ① a r ? a s = a r +s (a > 0, r , s ∈ R ) ② (a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R ) ③ (ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R ) (4) 指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 y = a (a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数 a > 1 0 < a < 1 图象 y 1 y O y a x (0,1) x y a x y 1 O y (0,1) x 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 图象过定点(0,1),即当 x=0 时,y=1. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的变化情况 y >1(x >0), y=1(x=0), 0<y <1(x <0) y >1(x <0), y=1(x=0), 0<y <1(x >0) a 变化对 图象的影响 在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴. 在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴. 例:比较 n a n n a m
三角函数图像与性质知识点总结
三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1.“五点法”描图 (1)y =sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2,1 (π,0) ? ?? ??? 32π,-1 (2π,0) (2)y =cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1),? ?????π2,0,(π,-1),? ???? ? 3π2,0,(2π,1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y =sin x y =cos x y =tan x 定义域 R R {x |x ≠k π+π 2 ,k ∈Z} 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R 对称性 对称轴: x =k π+ π2(k ∈Z); 对称轴: x =k π(k ∈Z) 对称中心: 对称中心:? ?? ?? ?k π2,0 (k ∈Z)
3.一般地对于函数(),如果存在一个非零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以1叫做y=sin x,y=cos x的上确界,-1叫做y=sin x,y=cos x的下确界.
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角:{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角: {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号集合与函数知识点归纳