第四讲 平抛运动、圆周运动的临界问题

能力提升课

第四讲 平抛运动、圆周运动的临界问题

热点一 平抛运动中的临界问题 (师生共研)

1．有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．

2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．

3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．

[典例1] (2015·全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )

A.L 12g

6h ＜v ＜L 1g

6h

B.L 14g

h ＜v ＜ (4L 21＋L 22)g

6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g

6h D.L 14

g h ＜v ＜12

(4L 21＋L 2

2)g

6h

解析：当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小．由平抛

运动规律得L 12＝v 1t,2h ＝12gt 2，联立解得v 1＝L 14

g

h .当发射机正对右侧台面的某个

角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大．由平抛运动规律得 L 21

＋(L 22)

2

＝v2t′，3h＝1

2gt′

2，联立解得v

2

＝

1

2

(4L21＋L22)g

6h.即速度v的最大取值范围为

L1 4g

h＜v＜

1

2

(4L21＋L22)g

6h，D正确，选项A、B、C错误．

答案：D

[反思总结]

处理平抛运动临界问题应抓住两点

1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界状态的条件．

2．要用分解速度或者分解位移的方法分析平抛运动的临界问题．

如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m．某人在离墙壁距离L＝1.4 m，距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是()

A．v＞7 m/s

B．v＞2.3 m/s

C．3 m/s＜v＜7 m/s

D．2.3 m/s＜v＜3 m/s

解析：小物体穿过窗口并落在地上，需满足的条件为能穿过窗口的右上沿和左下

沿，结合公式h＝1

2gt

2，x＝v t，沿右上沿时，x

1

＝L＝1.4 m，h1＝h＝0.2 m时，代

入数据得v1＝7 m/s，沿左下沿时，x2＝L＋d＝1.8 m，h2＝H＋h＝1.8 m时，代入数据得v2＝3 m/s，则3 m/s＜v＜7 m/s，故选C.

答案：C

热点二水平面内圆周运动的临界问题(自主学习)

水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，

一类是与弹力有关的临界问题． 1．与摩擦力有关的临界极值问题

物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有f m ＝m v 2

r ，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心． 2．与弹力有关的临界极值问题

压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．

2－1. [摩擦力有关的临界问题] 如图所示，叠放在水平转台上的小物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动，A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 、m ，A 与B 、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为μ，B 、C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r .设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法中正确的是( )

A ．

B 对A 的摩擦力一定为3μmg

B ．

C 与转台间的摩擦力大于A 与B 间的摩擦力 C ．转台的角速度一定满足ω≤ 2μg

3r D ．转台的角速度一定满足ω≤ μg 3r

答案：C

2－2.[绳子张力的临界问题] (2019·山东滕州一中检测)质量为m 的小球由轻绳a 、b 分别系于一轻质木架上的A 和C 点，绳长分别为l a 、l b (且l a ≠l b )，如图所示，当轻杆绕轴BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a 在竖直方向，绳b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b 被烧断的同

时轻杆停止转动，则( )

A ．小球仍在水平面内做匀速圆周运动

B ．在绳b 被烧断瞬间，绳a 中张力突然增大到 mg ＋mω2l a

C ．无论角速度ω多大，小球都不可能再做完整的圆周运动

D ．绳b 未被烧断时，绳a 的拉力等于 mg ，绳b 的拉力为 mω2l b

解析：绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向C 点，对小球受力分析，受重力G ，a 绳子的拉力F 1，b 绳子的拉力F 2，根据牛顿第二定律有：F 1＝ mg ；F 2＝mω2l b ；小球的线速度为：v ＝ωl b ；绳子断开后，杆停止转动，由于惯性，小球将绕A 点转动，若速度较小，小球将在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动，若速度较大，也有可能在垂直于平面ABC 的竖直平面内绕A 点做完整的圆周运动，故A 、C 错误，D 正确；在最低点时：F a － mg ＝m (ωl b )2

l a

；解得：F a ＝mg ＋

m (ωl b )2l a

，则a 绳中张力突然增大到 mg ＋m (ωl b )2

l a

，B 错误．

答案：D

2－3.[接触与脱离的临界问题] 用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为F T ，则F T 随ω2变化的图象是图乙中的( )

解析：设绳长为L ，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω＝0时，小球静止，受重力mg 、支持力F N 和绳的拉力F T 而平衡，F T ＝mg cos θ≠0，A 错误；ω增大时，F T 增大，F N 减小，当F N ＝0时，角速度为ω0，当ω＜ω0时，由牛顿第二定律得F T sin θ－F N cos θ＝mω2L sin θ，F T cos θ＋F N sin θ＝mg ，解得F T ＝mω2L sin 2 θ＋

mg cos θ，当ω＞ω0时，小球离开锥面，绳与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得F T sin β＝mω2L sin β，所以F T＝mLω2，可知F T－ω2图线的斜率变大，所以B正确，C、D错误．

答案：B

热点三竖直面内圆周运动的临界问题(师生共研)

1．轻绳和轻杆模型概述

在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．

2．两类模型对比

弹力可能向下，可能向上，也

直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是()

A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零

B ．小球过最高点的最小速度是gR

C ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大

D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小

解析：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v ＝gR 时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若v ＜gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg －F ＝m v 2

R ，随v 增大，F 减小，若v ＞gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg ＋F ＝m v 2

R ，随v 增大，F 增大，故C 、D 均错误． 答案：A [反思总结]

3－1.[过山车问题] 乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m 的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )

A ．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来

B ．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg 的压力

C ．人在最低点时对座位的压力等于mg

D ．人在最低点时对座位的压力大于mg

解析：人过最高点时，F N ＋mg ＝m v 2

R ，当v ≥gR 时，不用保险带，人也不会掉下来，当v ＝2gR 时，人在最高点时对座位产生的压力为mg ，A 、B 均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于

mg ，C 错误，D 正确． 答案：D

3－2.[绳模型问题] 如图所示，轻绳的一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力F T 、轻绳与竖直线OP 的夹角θ满足关系式F T ＝a ＋b cos θ，式中a 、b 为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( )

A.b

2m B ．2b

m C.3b m D ．b 3m

答案：D

3－3. [杆模型问题] 如图所示，长为3L 的轻杆可绕光滑水平转轴O 转动，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 、B ，球A 距轴O 的距离为L .现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动．当球B 运动到最高点时，水平转轴O 对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g ，则球B 在最高点时，下列说法正确的是( )

A ．球

B 的速度为零 B ．球B 的速度为2gL

C ．球A 的速度为2gL

D ．杆对球B 的弹力方向竖直向下 答案：B

3－4.[斜面上的轻杆模型分析] 如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L ＝0.8 m 的轻杆，一端固定在O 点，另一端系一质量为m ＝0.2 kg 的小

球，沿斜面做圆周运动，取g＝10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是()

A．4 m/s B．210 m/s

C．2 5 m/s D．2 2 m/s

解析：小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由2mgL sin α＝1

2m v

2

B

可得v B

＝4 m/s，A正确.

答案：A

1. (多选)如图所示是网球比赛场地，已知底线到网的距离为L，运动员在网前截击，若他在球网正上方距地面H处，将球以水平速度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．将球的运动视为平抛运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是( ABD )

A．根据题目条件能求出球的水平速度v

B．根据题目条件能求出球从击出至落地所用时间t

C．球从击球点至落地点的位移等于L

D．球从击球点至落地点的位移与球的质量无关

2. (2019·河南滑县联考)螺旋测微器是常见的长度测量工具，如图所示，旋动旋钮一圈，旋钮同时会随测微螺杆沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，已知旋钮上的可动刻度“0”刻线处A点的旋转半径为R＝5.0mm，内部螺纹的螺距x ＝0.5mm，若匀速旋动旋钮，则A点绕轴线转动的线速度和沿轴线水平移动的速度大小之比为( C )

A ．10∶1

B ．10π∶1

C ．20π∶1

D ．20∶1

解析：旋动旋钮一圈，测微螺杆便沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，A 点做圆周运动的线速度为：

v A 1＝2πR T ，A 点水平移动的速度为：v A 2＝x

T ，带入数据得：v A 1v A 2＝20π∶1，选项C

正确．

3. (2018·安徽六安舒城中学仿真卷)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO 1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r ＝1.5 m ．筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60° ，重力加速度g 取10 m/s 2，则ω的最小值是( C )

A ．1 rad/s

B ．30

3rad/s C.10 rad/s

D ．5 rad/s

解析：受力分析如图，受重力G ，弹力N ，静摩擦力f .由牛顿第二定律可知，mg cos θ＋N ＝m ω2r ，在平行于桶壁方向上，f max ＝μN ≥mg sin θ.由以上式子，可得ω≥10rad/s ，则ω最小值是10 rad/s ，故C 正确．

[A 组·基础题]

1. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转

动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘

面间的动摩擦因数为

3

2(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角

为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( C )

A. 5 rad/s B． 3 rad/s

C．1.0 rad/s D．5 rad/s

2. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M与m(M＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l(l＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过( D )

A.μ(M－m)g

ml B．

μ(M－m)g

Ml

C.μ(M＋m)g

Ml D．

μ(M＋m)g

ml

3. (2019·河南中原名校考评)如图所示，半径分别为R、2R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑的一起转动．质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块放置在小圆盘的边缘处．它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度转动时，两物块均相对圆盘静止，设最大静

摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( B )

A．二者线速度大小相等

B ．甲受到的摩擦力大小为14mω2

R C ．在ω逐渐增大的过程中，甲先滑动

D ．在ω逐渐增大但未相对滑动的过程中，物块所受摩擦力仍沿半径指向圆心 解析：大圆盘和小圆盘边缘上的线速度大小相等，当小圆盘以角速度ω转动时，大圆盘以ω

2转动；两物块做圆周运动的半径相等，但是角速度不同，则线速度大小不等，A 错误；根据v ＝ωr 知，大圆盘以ω

2转动，则小物块甲受到的摩擦力f ＝m ? ??

??

ω22R ＝14mω2R ，B 正确；根据μmg ＝mω2r 知，临界角速度ω＝

μg

r ，两物

块的半径相等，知临界角速度相等，在角速度ω逐渐增大的过程中，ω大＝1

2ω小，可知物块乙先滑动，C 错误；在角速度ω逐渐增大的过程中，甲乙的线速度逐渐增大，根据动能定理知，摩擦力对两物块均做正功，可知摩擦力一定有沿线速度方向的分力，所以物块受到的摩擦力的方向一定不是指向圆心，D 错误． 4. (2018·广东七校联考)如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，轮上A 、B 两点各粘有一小物体，当B 点转至最低位置时，此时O 、A 、B 、P 四点在同一竖直线上，已知：OA ＝AB ，P 是地面上的一点．此时A 、B 两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点．不计空气阻力，则OP 的距离是( A )

A.7

6R B ．52R C ．5R

D ．7R

解析：设OP 之间的距离为h ，则A 下落的高度为h －1

2R ，A 随圆轮运动的线速度为12ωR ，设A 下落的时间为t 1，水平位移为s ，则有：在竖直方向上有：h －12R ＝12gt 21

在水平方向上有：s＝1

2ωRt1

B下落的高度为h－R，B随圆轮运动的线速度为ωR，设B下落的时间为t2，水

平位移也为s，则有：在竖直方向上有：h－R＝1

2gt

2

2

在水平方向上有：s＝ωRt2

联立上式解得：h＝7 6R

选项A正确，B、C、D错误．

5．(多选) 水平面上有倾角为θ、质量为M的斜面体，质量为m的小物块放在斜面上，现用一平行于斜面、大小恒定的拉力F作用于小物块上，绕小物块旋转一周，这个过程中斜面体和小物块始终保持静止状态．下列说法中正确的是( AC )

A．小物块受到斜面的最大摩擦力为F＋mg sin θ

B．小物块受到斜面的最大摩擦力为F－mg sin θ

C．斜面体受到地面的最大摩擦力为F

D．斜面体受到地面的最大摩擦力为F cos θ

6．(多选) (2018·山西省吕梁市期中)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( BC )

A．小球通过最高点时的最小速度v min＝g(R＋r)

B．小球通过最高点时的最小速度v min＝0

C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

解析：小球过最高点时可能受到外壁对其向下的压力或内壁对其向上的支持力，类似于轻杆端点的小球过最高点，则其通过最高点的最小速度为零．故A项错误，B项正确；小球在管道中运动时，向心力的方向要指向圆心；小球在水平线ab以下时，重力沿半径的分量背离圆心，则管壁必然提供指向圆心的支持力，

只有外侧管壁才能提供此力，内侧管壁对小球一定无作用力，C项正确；同理在水平线ab以上时，重力沿半径的分量指向圆心，外侧管壁对小球可能没有作用力，D项错误．

7. 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L ＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10 m/s2.求：

(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；

(2)小球落在空地上的最小速度．

解析：(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小球的水平位移：L＋x＝v01t1

小球的竖直位移：H＝1

2gt

2

1

解以上两式得v01＝(L＋x)

g

2H＝13 m/s

设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v02，则此过程中小球的水平位移：L＝v02t2

小球的竖直位移：H－h＝1

2gt

2

2

解以上两式得：v02＝L

g

2(H－h)

＝5 m/s

小球离开屋顶时的速度大小为5 m/s≤v0≤13 m/s.

(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越好围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小．

竖直方向：v2y＝2gH

又有：v min＝v202＋v2y

解得：v min＝5 5 m/s.

答案：(1)5 m/s≤v0≤13 m/s(2)5 5 m/s

[B组·能力题]

8. (多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B到轴的距离为物块A到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐慢慢增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( BC )

A．A受到的静摩擦力一直增大

B．B受到的静摩擦力先增大后保持不变

C．A受到的静摩擦力先增大后减小再增大

D．B受到的合外力先增大后保持不变

9. (多选)(2016·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( AB )

A．在绕过小圆弧弯道后加速

B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s

C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2

D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s

10．如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图，参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道．选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.

(1)若选手以速度v 0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v 0的最小值； (2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出，求该选手在空中的运动时间．

解析：(1)运动员从A 到B 点做平抛运动，设刚好能到达B 点，水平方向上h sin 60°＝v 0t

竖直方向上h cos 60°＝12gt 2 计算可得v 0＝310

2 m/s v 0的最小值为310

2 m/s.

(2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出，v 1＜v 0，选手会落到圆弧上， 水平方向上x ＝v 1t 1 竖直方向上y ＝12gt 2

1 根据几何关系x 2＋y 2＝h

2 计算可得t 1＝0.6 s.

答案：(1)310

2 m/s (2)0.6 s

11. (2017·河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN 调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l ＝0.60 m 的轻细绳，它的一端系住一质量为m 的小球P ，另一端固定在板上的O 点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v 0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g ＝10 m/s 2)

解析：小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力．在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mg sin α

小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有

F T＋mg sin α＝m v21 l①

研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有

－mgl sin α＝1

2m v

2

1

－

1

2m v

2

②

若恰好能通过最高点，则绳子拉力F T＝0③

联立①②③解得sin α＝1

2，解得α＝30°

故α的范围为0°≤α≤30°. 答案：0°≤α≤30°