清华大学2018年自主招生曁领军计划真题
清华大学 2018年领军计划测试题
注:2018领军数学试题均为不定项选择,以下题目为回忆版本,部分问题选项缺失。
1. ,,p q r 均为素数，且
pqr
p q r
++为整数，则（ ）
A. ,,p q r 中一定有一个是2
B. ,,p q r 中一定有一个是3
C. ,,p q r 中一定有两个数相等
D.
pqr
p q r
++也为素数
【答案】D
A 项：举反例：3,5,7p q r ===，此时
7pqr
p q r
=++；
B 项：举反例：2,5,7p q r ===，此时5pqr
p q r
=++；
C 项：由A 、B 知C 项不对；
D 项：由题意p q r ++为pqr 的因子，而pqr 的因子只有1,,,,,,,p q r pq pr qr pqr ,结合大小关系，可知///p q r pq pr qr pqr ++=，不妨设p q r ≤≤，若
p q r pqr ++=，则3pqr p q r r =++≤，从而3pq ≤，这是不可能的，故只能
//p q r pq pr qr ++=这意味着//pqr
p q r p q r
=++，均为素数，则D 正确。
2. ,,,,a b c d e 均为素数，且平均数为13，则（ ） A. 中位数最大为17 B. 中位数最大为19 C. 中位数最小为5 D. 中位数最小为7
【答案】B
平均数为13的五个数之和为65，设中位数的最大值为x ，则有365x <，从而知
x 最大为19，又3,5,19,19,19满足要求，故最大值为19；对于最小值，可构造出
3,3,3,3,53使得中位数为3，而易证中位数为2不成立，因此最小值为3。
3. 整数,,x y z 满足5x y z ++=，问这样的(),,x y z 有几组（ ） A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 【答案】C
解法一：若,,x y z 中有两个零，共2326C ?=组解；若,,x y z 中只有一个零，
共11
23
4248C C ??=组解；若,,x y z 均非零，共234248C ?=组解。 综上，所求解的组数=6+48+48=102组。 解法二：
若||0x =：此时x 只能取0，而012345,,,,,543210
y y y y
y y z z z z z z ==
±=±=±=±=±?????
???
????=±=±=±=±=±=??????，
共20组；
若||1x =：此时x 可取1±，而01234
,,,,43210y y y y y z z z z z ==±=±=±=±??????????
=±=±=±=±=?????
，共21632?=组；
若||2x =：此时x 可取2±，而0123,,,3210y y y y
z z z
z ==±=±=±????????
=±=±=±=????，共21224
?=组；
若||3x =：此时x 可取3±，而012
,,210y y y z z z ==±=±??????
=±=±=???，共2816?=组； 若||4x =：此时x 可取4±，而01
,10y y z z ==±????
=±=??，共248?=组； 若||5x =：此时x 可取5±，而y ,z 只能都等于0，共2组. 综上，所求总组数2032241682102=+++++=。
4. 如下图所示，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=，P 为BC 延长线上一点，
AP CD E ?=，BE PD Q ?=,AP 与ABD 外接圆交于F ，则（ ）
A. ,,,E F D Q 四点共圆
B. ,,,B F P Q 四点共圆
C. ,,,B F C E 四点共圆
D. ,,,C P F D 四点共圆
【答案】C
解：注意到A ，B ，F ，D 四点共圆，所以60BFA BDA ∠=∠=?，所以
180120BFE BFA ∠=?-∠=?，而60BCE ∠=?，所以180BFE BCE ∠+∠=?，所以B ，F ，C ，E 四点共圆，C 项正确。
5. P 为椭圆1C ：22
143
x y +=上的动点，过P 作1C 切线交圆2C ：
2212x y +=于M,N ，过M,N 作2C 切线交于Q ，则（ ）
A. OPQ S ?的最大值为
2
B. OPQ S ?
C. Q 的轨迹是22
13648x y +
= D. Q 的轨迹是22
14836
x y +
= 【答案】AC
解：设点(,)Q Q Q x y ，点(,)P P P x y ，则过点Q 作圆2C 的两条切线，切点弦MN 所
在的直线方程为：12Q Q x x y y ?+?=，○
1
而过椭圆1C 上点P 处的切线MN 所在直线方程为：
1341243
P P P P x x y y x x y y ??+=??+?=，○2 比较○1○2得3,4Q P Q P
x x y y ==，○3 又点P 在椭圆1C 上：22
143
P P
x y +
=，○4 联立○
3○4得2
2136
48
Q
Q
x y +
=，故C 正确，D 错误；
点(,),(3,4)P P P P P x y Q x y
，||OQ = 直线OQ 方程为：430P P y x x y -=， 点P 到直线OQ
距离d =
=
所以11
||||22OPQ
P P S OQ d x y ?=?=
，又221||43P P P P x y x y +=≥≤，
所以11||||22OPQ P P S OQ d x y ?=
?=≤
，A 正确，B 错误. 综上，选AC 。
6. 实数,,x y z 满足2210
414140
x y z z xy z +-+=??--+=?，则22x y +（ ）
A. 最小值为
329 B. 最小值为64
9
C. 最大值为8
D. 最大值为9 【答案】AC
解：由210x y z +-+=得21z x y =++，代入2414140z xy z --+=得：
22(1)7(1)140()5()80x y xy x y x y x y xy ++--+++=?+-+-+=，
令,x y m xy n +==，则上式等价于2258058m m n n m m --+=?=-+，○
1 实数,x y 可看做关于t 的一元二次方程20t mt n -+=的两根：
240m n ∴?=-≥，○
2 联立○
1○2得：228
4(58)043
m m m m --+≥?≤≤ 222222()221016(5)9x y x y xy m n m m m ∴+=+-=-=-+-=--+， 当4m =时，22x y +有最大值8；当83m =时，22x y +有最小值329
. 综上，选AC 。
7. ,,x y z 为正实数，求()()22222
244xy z
x xy y y yz z ++++的最大值（ ） A.
136 B. 132 C. 118 D. 1
16
【答案】A
解：()()
222222222
244244xy z xy yz
x xy y y yz z x xy y y yz z =?++++++++
1
1
1
43624x y y z
y x z y
=
?
≤
=++++，
取等条件：4,x y y z
y x z y
==，即22x y z ==。
8. 将长为1的线段随机截成三段，问他们能构成三角形的概率（ ） A.
14 B. 132 C. 119 D. 116
【答案】A
解：设截得的三段长分别为,,x y z ，则1x y z ++=，可行域为
1
0101
0101011
01
x y z x x y y x y z ++=?<
?<
S ?=，
再考虑构成三角形的条件，不妨假设三边中z 最大，则构成三角形的约束为
111x y z x y
z x y x
z x y y
+>=--??
=--≥??=--≥?
，作出可行域如上图阴影部分所示，阴影面积1'24S =， 再考虑到三边中x 最大或y 最大的概率与z 最大概率相同，故所求构成三角形的概率'134
OAB
S P S ?==.
9. 7个互不相等的素数排成一排，任意相邻的3个和均大于100，问这7个素数的和的最小值（ ）
A. 208
B. 206
C. 201
D. 198 【答案】A
解：不妨设符合要求的一排素数依次是1234567,,,,,,x x x x x x x ，则有
1234567100,100,2x x x x x x x ++>++>≥，7
1
1001002202i i x =∴>++=∑，故首先排
除C 、D 选项；
注意到A 、B 选项均为偶数，故这7个素数中必含有2。 若42x =：
注意到123x x x ++必为奇数，假设123101x x x ++=，由于2是最小的素数，即41x x <，则234100x x x ++≤，矛盾，所以123103x x x ++≥，同理567103x x x ++≥，此时
7
1
208i
i x
=≥∑；
若42x ≠：
由对称性不妨假设123,,x x x 中某个等于2，则123102x x x ++≥，
若43x =，必有567103x x x ++≥，否则567101x x x ++≤时会导致456100x x x ++≤产生矛盾，故此时7
11023103208i i x =≥++=∑，
若45x ≥，此时567101x x x ++≥，7
1
1025101208i i x =≥++=∑.
综上，7
1
208i i x =≥∑，构造符合要求的排列2,11,89,5,19,79,3，其和为208.
10. 实数,,a b c 满足2221a b c ++=，求()a a b c ++的最大值（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 1+ 【答案】A
解法一（排除法）：由2221a b c ++=得||1a ≤，再由柯西不等式得：
||a b c ++≤=
所以()||||a a b c a a b c ++≤?++≤，故只能选A.
解法二：2()()a a b c a b c a ++=++，欲求()a a b c ++的最大值，显然应考虑a 与
b c +同号的情形，不妨设0a ≥： 由2221a b c ++=可得
222()()a a b c a b c a a a a ++=++≤+=+
令sin (0)2
a π
θθ=≤≤
，则上式等价于2()sin sin a a b c θ++≤+
1cos 221arctan 2222θθθ-=
+=-≤。
11. 如下图所示，在Rt ABC 中，=90ABC ∠，斜边AC 上有一点D 使得AB AD =，E 为BC 上一点使得BAD BDE θ∠=∠=，求0
lim BE
BC
θ+
→=（ ） A.
23 B. 25 C. 3
4
D.
【答案】A
解：设||AB λ=，又=
90ABC ∠，BAD θ∠=且AB AD =，
2
2
2
DBC π
πθ
θ
-∴∠=-
=
，
||tan BC λθ=，
在△DBE 中，由于3,,2
2
BDE DBE BED θ
θ
θπ∠=∠=∴∠=-
， 又可求得||2sin
2
BD θ
λ=，由正弦定理
2sin
||||2||sin 3sin sin sin 2
BD BE BE BED BDE θ
λθθ=?=
?∠∠， 0
2sin
2sin 3sin
2sin 222lim lim lim cos 3tan 3sin 2
BE
BC θθθθ
λθ
θθ
θθλθ
+
+
+
→→→?∴==?=.
12. A,B 为两个随机事件，(),()0P A P B >,问()
()
P A B P A B =的充要条件（ ） A. ()()()P AB P A P B =
B. 1()2P A B =
C. ()
1
2
P A B =
D. A,B 独立 【答案】AD
解：(
)
P A B 表示在事件B 发生的条件下事件A 不发生的概率，()
P A B 表示在
事件B 不发生的条件下事件A 也不发生的概率；
()
()
P A B P A B =表示无论事件B 是否发生，事件A 不发生的概率不变，即A 与B 相互独立，故D 正确，由相互独立事件的性质知A 正确，B 、C 不正确。
13. 已知k a ()1,2,...,7k =为和为1的7个非负实数，记
{}123234345456567max ,,,,M a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++++，求M 的最小值（ ） A.
37 B. 13 C. 12 D. 2
7
【答案】B 解：假设min 13M <，则当M 取最小值时，12356711,33a a a a a a ++<++<，又7
1
1i i a ==∑，所以此时413a >
，进而34513M a a a ≥++>，矛盾；所以假设不成立，即min 13M ≥。 取14713a a a ===，其他23560a a a a ====，此时1
3
M =，故选B 。
14. 记()
10
22
20
012201...x x
a a x a x a x ++=++++，求6
30
k k a =∑=（ ）
A. 92
B. 192
C. 93
D. 193 【答案】C
解：用数学归纳法容易证明多项式22012(1)...n n n x x a a x a x a x ++=++++展开式右端系数(0,1,2,...,)i a i n =满足：1
2
[][
][
]3
3
3
331
32
00
n
n n i i i i i i a a
a
--++====
=
∑∑∑
所以当10n =时，()10
2220012201...x x a a x a x a x ++=++++右端系数满足
6
66331320
k
k k k k k a
a a ++=====∑∑∑，又66620
1210331320
(111)k k k i k k k i a a a a ++====++==++∑∑∑∑，
10
6
930
333k k a =∴==∑.
15. 设()(3)x f x e x =-，过点()0,a 可作()f x 的三条切线，则（ ） A. a e >- B. 3a <- C. a e >-或3a <- D. 3a e -<<- 【答案】D
解：可设过点()0,a 的切线方程为y a kx -=，并设切点为00(,)P x y ，
则切点在()y f x =上：000(3)x y e x =-，○1 切点在切线上：00y a kx -=，○
2 切点处导数定义：000'()(2)x k f x e x ==-，○
3 联立○1○2○3得02
00
(33)x a e x x -=-+， 令2()(33)x g x e x x =-+，
则2'()()x g x e x x =-，()g x 单调区间(,0),(0,1),(1,)-∞↑↓+∞↑， 作出()g x 草图如下，易知过点()0,a 可作()f x 的三条切线等价于
33e a a e <-
16. 9个站成一排拍照，从其中人选3人，求他们互不相邻的概率（ ） A.
512 B. 57 C. 112 D. 17
【答案】A
解：从9个人中任挑3人的方法总数为39C 种，
从中任挑3个人，若3个人都相邻，则方法总数为7；若只有两个人相邻，方法总数为6256?+?（其中第一个6表示相邻的两个人在最左边或最右边的种数，5表示相邻的两个人在其他位置）。 综上，所求概率3
9762565
112
C +?+?=-=。
17. 已知椭圆22
143
x y +
=和圆22(4)1x y +-=上各有一动点A,B ，求AB 的最大值（ ）
A.
1
B. 5
C. 1
D. 1 【答案】B
解：问题转化为先求椭圆上动点A 到圆心(0,4)C 的距离最大值，再加上半径1即为AB 的最大值：
设00(,)A x y ，由A
在椭圆上得222
2
00000414(433
x y y x y +
=?=-≤≤，
22
2
2
2200
00041
||(4)4(4)(12)6833
y AC x y y y ∴=+-=-+-=-++
，当0y =
max ||4AC ==+
所以max max ||||15AB AC =+=
18.
求()
1sin102cos 401cos 20??+++??
的值（
）
A.
B.
C.
2
D.
【答案】D 解：原式2cos10
3sin10
sin102cos 40]2cos 10+=?+
132cos10sin10
22[sin102cos 40]2
cos10cos10
+=?+?（）
sin(1030)22cos10cos 4022cos(4010)6=?++=-=
19. 已知6
20
x y x ax by c +≤??
≥??++≥?
，2z x y =+的最大值为11，最小值为3，求b c a +（ ）
A. 3
B. 5
C. -5
D. -3 【答案】C
解：作出可行域，最大值应在直线6x y +=与直线0ax by c ++=交点处取得，此时226115,1z x y x x x y =+=+-=?==，代入0ax by c ++=得5b c
a
+=-，经检验符合题意。
20. 已知复数,,,x y z w 满足：2
2
1x y +=，2
2
1z w +=，且0xz yw +=，则下列选项正确的是（ ）
A. x w =
B. y z =
C. 0xw yw +=
D. 1xw yz -= 【答案】ABD
解：0||||||||||||xz yw xz yw x z y w +=?=??=?，结合221x y +=及22
1z w +=知： 若0x =，则必有0w =，此时x w =；若0x ≠，则0w ≠，此时||||
||||||||
y z x w x w =?=。同理y z =，故AB 正确。
若C 项正确，由题干条件0xz yw +=可知此时xz xw =，两边取模得：
||||||||||||x z x w z w ?=??=，显然不一定，故假设不成立，C 不对。
D 项：由221x y +=，22
1z w +=，及0xz yw +=得：
2
2
2
2
2
2
2
2
()()()()()()()()10
x y z w xz yw xz yw x y z w xz yw xz yw ++-++=++-++=-2222
1x w y z xwyz yzxw ?+--=，
所以2
2
2
2
()()()()1xw yz xw yz xw yz xw yz x w y z xwyz yzxw -?-=-?-=+--=， 即1xw yz -=，D 项正确.
21. 英国，法国，意大利，巴西，西班牙和德国六个国家参加足球比赛。甲乙丙对话：
甲说：意大利和西班牙肯定不是冠军； 乙说：冠军肯定出自法国或德国； 丙说：巴西肯定不是冠军；
已知这三人说的话，恰有两人正确一人错误，问冠军球队是哪个国家的（ ） A. 巴西 B. 德国或法国 C. 英国 D. 意大利或西班牙 【答案】C 解：假设分析法：
若甲说话错误，则冠军来自意大利或西班牙，但此时导致乙的说法就错误，与条件矛盾，故假设不成立；
若乙说话错误，此时要使得甲，丙说法正确，则冠军只能是英国；
若丙说话错误，则冠军是巴西，此时会导致乙的说法错误，与题设矛盾，故假设不成立。
综上，冠军只能是英国。
22. 数列{}n a 满足：
111,()(2)2
n
n n a a a n N n a ++==∈-+，则下列选项正确的是（ ）
A. 929a =
B. 102503
a = C. 1n n a a +≤ D. 02n a <≤ 【答案】CD 解：11(2)21
22(2)2n n n n n n n
a n a a n n a a a a ++-+=
?==+--+
111(1)12(1)n n n n a a +++-=+-，即数列1{1}n n a +-成首项1
1
111a +-=，公比为2的等比数列，1111
1122(1)
n n n n n a a n --∴
+-=??=--， 令991
11
9:2(91)248
n a -==
=--，A 错误； 令1010111
10:2(101)503
n a -==
=--，B 错误；
112[2(1)]210n n n n n ------=-≥，即122(1)n n n n --≥--，
11
11
22(1)
n n n n a a n n +-∴=
≤=---，C 正确； *n N ∈时，12(1)1n n ---≥，所以11
0122(1)
n n a n -<=≤≤--，D 正确。
23. ,,A B C 为三角形的内角，已知tan ,tan ,tan A B C 均为整数，问tan A 的可能值（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1 【答案】BCD
解：在三角形中，tan tan tan tan()1tan tan B C
A B C B C
+=-+=-
-?，设
tan ,tan ,tan k A x B y C ===，则,,k x y Z ∈，1
x y
k xy +=
-， 1
x y
k kxy k x y k x y kxy xy +∴=
?-=+?++=-，注意到123123++=??，所以k 取1,2,3均可，B ，C ，D 正确； 假设4k =成立，此时
444(41)(41)171
x y
xy x y x y xy +=?--=?--=-， 显然该不定方程无整数解，故4k ≠，A 错误。
24. 数列{}n a 满足：111
,2(1)2n n a na n a +==+，记1
n
n k k S a ==∑，求n S 的表达式（ ）
A. 222n n +-
B. 1212n n ++-
C. 1222n n ++-
D. 1
22n
n +- 【答案】A
解：1112(1)12n n n n a a na n a n n ++=+?
=
+，即数列{}n a n
成公比为1
2的等比数列， 1111
()()122
n n n n a a a n n -∴=??=?，所以 12111
1()2()...()222
n n S n =?+?++?，
2311111
1()2()...()2222
n n S n +=?+?++?， 两式错位相减得：
12311111111111()1()1()...1()()1()()22222222
n n n n n S n n ++=?+?+?++?-?=--? 2
22
n n n S +∴=-，选A 。
25. 若参数,M λ使得22
212
1212()x x x x M x x λ++≥+对于任意非负实数12,x x 恒成立，则下列选项中正确的是（ ） A. 若0λ=，则M 的最大值为0 B. 若0λ>，则M 不存在最小值
C. “M 的最大值为1”的充要条件是“2λ≥”
D. 若6λ=-，则M 的最小值为-2 【答案】BC
解：A 项：当0λ=时，原式等价于22
212
12()x x M x x +≥+，若12,x x 至少有一个等于0，则不等式22
212
12()x x M x x +≥+对于任意非负实数12,x x 恒成立的充要条件是 1M ≤；若12,x x 均非零，即120,0x x >>时，
12
22
22
2122112122212121221
()22
x x x x x x x x M x x M x x x x x x x x +++≥+?≤=++++，
120,0x x ?>>，12212x x t x x =+≥，此时12
211221
2=1222x x x x t x x t t x x +=-++++值域为1
[,1)2，所
以12
M ≤
， 综上，M 最大值为
1
2
，故A 错误； B 项：若0λ>，则原式22
212
1212()x x x x M x x λ++≥+对任意0M ≤恒成立，此时M 可取无穷小，B 正确；
C 项：同A 项分析，若12,x x 至少有一个等于0时可得1M ≤；若12,x x 均非零，
则12
22
22
212122112121222121212
21
()22x x x x x x x x x x x x M x x M x x x x x x x x λλλ++++++≥+?≤=++++，
2λ≥时易得M 最大值为1，同理当M 最大值为1亦可得2λ≥（否则若2λ<，
则1M <，矛盾），故C 正确；
D 项：在C 项的基础上，6λ=-时，考虑120,0x x >>情形，
12
22
22112121212
2166()2x x x x x x x x M x x M x x x x +-+-≥+?≤++，同A 分析知
12
21
12
21
62x x x x x x x x +-++值域为
[1,1)-，此时只须1M ≤-即可，M 最小值不存在，D 错误。
26. 有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ） A.
3
B. 3
C. 3
D. 3
【答案】BCD
解： 可分类讨论，构成符合要求的三棱锥无外乎下面几种情形：
如图（1），三棱锥中底面△BCD 为边长等于2的正三角形，AB 垂直于底面BCD ，即△ABC 与△ABD 为等腰直角，AB
为三棱锥的高，此时易计算得三棱锥体积
V =
D 正确； 如图（2），若,,BAC CAD DAB ∠∠∠三者中两者为直角，△BCD 为边长等于2
的正三角形，此时可把公共直角边作为高，计算得三棱锥体积3
V =（事实上此时三棱锥为正三棱锥），B 正确；
如图（3），若△ABD 与△CBD 均为边长等于2的正三角形，2
ABC ADC π
∠=∠=，
此时计算得三棱锥体积3
V =
，C 正确；
（1）
（2）
（3）
27. 复数z 满足310z z ++=，下列选项正确的有（ ）
A. 1z >
B. 1z <
C. 1z z +<
D. 1
2
z z +> 【答案】D
解：先考察原方程的实根，在实数范围内考察函数3()1f x x x =++，()f x 只有一
个零点01(1,)2x ∈--，所以方程310z z ++=只有一个实根01
(1,)2
x ∈--，此时
0|2|1z z x +=>，故先排除A ，C 选项；
下面再考查方程310z z ++=的虚根(,,0)z a bi a b R b =+∈≠，代入原方程得：
323
2
2
3
23
310
(31)(3)030a ab a a ab a a b b b i a b b b ?-++=?-+++-+=??-+=??，又0b ≠，解得 32
2
331
318210(2)(2)103a a b a a a a a a
++=+=?++=?++=，由上述讨论知
12(1,)2a ∈--，故此时1
|||2|12
z z a <+=<，D
项正确，又此时
||1z ==>，故B 项错误. 综上，只有D 项正确。
28. 向量,a b 的模长为正整数且()()3105a b a b ++=，()()333a b a b ++=，则
（ ）
A. ,120a b =
B. ,135a b =
C. ()
3a a b += D. ()
22b a b += 【答案】AC 解：()(
)
22
310534105a b
a b a b a b ++=?++=，○
1 (
)(
)
2
2
3333433a b a b a b a b ++=?++?=，○
2 向量,a b 的模长均为正整数，由○1知2
2
1054353
a a b
b --≤
<，故||5b ≤，
若||1b =，代入○
1得此时||a 无整数解；
若||2b =，代入○
1得此时||a 无整数解； 若||3b =，代入○
1得此时||a 无整数解； 若||4b =，代入○
1得此时||3a =； 若||5b =，代入○
1得此时||a 无整数解； 综上，||3,||4a b ==，代入○
2得6a b ?=-，1cos ,,1202
a b a b <>=-?<>=?， 所以()3a a b +=，()
10b a b +=. 综上，A ，C 正确。
29. 若函数()f x 满足：对于任意三角形的三边长,,a b c ，()()(),,f a f b f c 也能构成三角形三边长，则称()f x 具有性质P ，则（ ）
A. ()f x =P
B. ()2f x x =不具有性质P 【答案】AB
解：
2222a b c +>?->?>?>，故A 项正确；
三边长2,3,4构成三角形，但2222,3,4不构成三角形，因为222234+<，故B 也正确。
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清华大学2017年领军计划试题
清华大学2017年自主招生与领军计划数学试题 （1）设函数2()x x f x e e ax =+-，若对0,()2x f x ?≥≥，则实数a 的取值范围是 ()(,3]A -∞ ()[3,)B +∞ ()(,2]C -∞ ()[2,)D +∞ 解答：问题等价于22x x e e ax +≥+在[0,)+∞上恒成立； 记2()x x g x e e =+，()2h x ax =+，两函数均过(0,2)，且(0)3g '=，可知(,3]a ∈-∞. 答案A. （2）设,A B 为两个随机事件，且,0()1A B P A ?<<，则 ()()1()A P AB P B =- ()()1()B P AB P B =- ()(|)()C P B A P B = ()(|)()D P B A P B = 解答：（A ）()1()1()P AB P AB P A =-=-，所以A 错； （B ）()()1()1()P AB P A B P A B P B ==-=-，所以B 对； （C ）()() (|)1()() P AB P A P B A P A P A = ==，所以C 错； （D ）()()() (|)1()1() P B A P B P A P B A P A P A --==--，所以D 错；答案B. （3）从0,1,2, ,9 中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242， 这样的四位数共有 ()1692A 个 (B)3672个 (C)3708个 (D)3888个 解答：十个数中先选出3个数，再从中选出一个作为用两次的，再选出两个位置放这个数， 剩下两个数再排列一下，共有32 104324320C C ???=个. 下面考虑0被排在了首位的情况： 1°0在后三位还出现了一次：则在剩下9个数中再选两个，于是有2 93!216C ?=个. 2°0只出现在首位：则在剩下9个数中再选两个，其中一个重复两次，于是有 2923216C ??=个.
2016年清华大学领军计划测试物理学科
2016年清华大学领军计划测试 物理学科 1、友谊的小船说翻就翻，假如你不会游泳，就会随着小船一起沉入水底。从理论上来说，你和小船沉入水底后的水面相比于原来（ ） A.一定上升 B.一定下降 C.一定相等 D.条件不足，无法判断 2、在光滑地面上，物块与弹簧相连作简谐运动，小车向右作匀速直线运动，则对于弹簧和物 块组成的系统（填守恒或者不守恒）， 当以地面为参考系时，动量 ，机械能 ； 当以小车为参考系时，动量 ，机械能 ； 3、如图所示，光滑导轨上垂直放置两根质量为m 、且有电阻的金属棒，导轨宽处与窄轨间距 比2:1，平面内有垂直纸面向内的磁场。现给左边的杆一个初速度0v ，在系统稳定时，左 杆仍在宽轨上右杆仍在窄轨上运动。则这个过程产生热量Q = 。 4、空间内有一水平向右的电场E ，现有一带电量为q 的小球以初速度为0v 斜 向上抛出，已知 3E q =，求小球落地点距离抛出点的最远距离。 5、现有一轻质绳拉动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，小球 质量为m ，速度为v ，重力加速度为g ，轻绳与竖直方向夹角为θ， 求小球在运动半周时，绳子拉力的冲量 6、如图所示，有a b 、两个物体，a 物体沿长为L 、倾角为θ、动摩擦因数05μ.=的斜面滑下后，在长为L 的光滑水平面BC 运动；b 从C 点正上方高为45.L 处下落。二者同时释放，在C 处相遇，则sin θ= 。 E
7、在水平面内，金属棒MN 一角速度ω绕O 点顺时针旋转，空间内有竖直向下的磁场，如图 所示。已知MO NO >，则下列说法正确的是（ ） A .M 点电势高于N 点 B .M 点电势低于N 点 C .若增大ω，则MN 点电势差增大 D .若增大B ，则MN 点电势差增大 8、在如图所示电路中，小灯泡规格为“63V W ，”，34ΩR =。电源内阻为1Ω，电压表、电流 表均为理想电表，闭合开关，调节滑动变阻器阻值，使电压表示数为0，此时灯泡正常发光，电流表的表示数为1A ，则电流电动势E = ，输出功率P = ， 2R = 。 9、弹性绳原长为2L L R <<） ，劲度系数为k ，上端拴在半径为R 的光滑圆轨的顶端，下端系一重量为G 的小球，小球套在圆轨上。平衡时，弹性绳与竖直方向夹角为θ。用L R k G ，，，表示此时弹性绳的弹力。 10、在一质量均匀分布的星球（近似为球面）的北极和南极打一条竖直贯通的通道，一小球从 北极由静止释放，不与通道发生碰撞，则小球作 运动。 11、潜水员为测量一湖深度，测得湖面上27t =℃，51010a P .P =?，并将一盛有空气的试管从 湖面带入潜入湖底，整个过程管口始终向下。潜至湖底后水充满试管的一半，7t =℃，则湖深约（ ） A .5m B .10m C .15m D .20m 12、一用钉鞘锁定的导热活塞将导热气缸分成体积相等的左右两室，:5:3P P =左右， 拔出钉鞘活塞移动至稳定状态，外界温度恒定，则（ ）。 A .稳定后左右两室体积比为5:3 B .左室气体对右室气体做功 C .左室气体吸热 D .右室气体吸热
清华大学高考自主招生领军计划历年面试真题(2015年—2018年)
清华大学高考自主招生领军计划历年面试真题(2015年—2018年) 同样，小北也为大家准备了清华近4年的综合评价招生面试真题。清华也是从2015年才 开始在全国范围开展综合评价招生！ 清华大学2018年领军计划面试题 学科面试：1.建筑系：7位考官面试一个学生，不仅考查学生的综合素质，还考查他们对于各省市建筑的理解和表达。 2.数学系：给出4道题目让考生现场在黑板上作答，考官根据考生的解答思路或提问或追问。清华大学2017年领军计划面试题 1.材料阅读：影响你选择大学以及专业志愿的有哪些因素？请列举出来并说明理由。 可以借鉴但不局限于所给三则材料：第一则选择大学更重要还是选择专业更重要，第二则选 择专业有哪些影响因素，第三则大学排名，包括US NEWS、泰晤士、QS、软科世界大学排名、毕业生就业力排名等等。 2.对人才培养的看法 3.对清华理念的理解 清华大学2016年领军计划面试题 1.时政题是南京一个母亲盗窃超市为给自己的女儿过儿童节，警察赶到后宽大处理并帮助筹 集善款，你怎么看？反映了什么社会问题？ 2.如果你在清华创立社团，你会创建什么社团？怎样让它发展得更好？ 3.大学应该无微不至地照顾学生，宽容对待他们的小错误还是应该训练学生适应社会？ 4.关于考生个人，被问到为什么选择这个专业 清华大学2015年领军计划面试题 1.你对“中国式过马路”怎么看? 2.你对“中国梦”怎么理解? 3.2012年度的五大新闻是什么，如果你是新闻评论员，请对这些新闻事件作出评论。 4.你对“钓鱼岛事件”怎么看? 清华大学与北大相似，题目涉及范围较广，与经济、社会的各个方面相关。童鞋们在做 好充分准备的同时也要大方主动的展示自己的想法，不要太过于谨慎，甚至羞于表达。
2017年清华大学领军计划物理试题
2017年清华大学领军计划测试物理试题 1、质量为m 的小球距轻质弹簧上端h 处自由下落，弹簧的劲度系数为k ，求小球在运动过程中的最大动能E km 。已知重力加速度为g . 2、一卫星在距赤道20000km 上空运行，求赤道上的人能观察到此卫星的时间间隙。已知地球半径R 0=6400km. 3、在粗糙地面上，某时刻乒乓球的运动状态如图所示，判断一段时间后乒乓球的可能运动状况 A 、静止 B 、可能原地向前无滑滚动 C 、原地向左滚动 D 、原地向右滚动 4、距O 点10m 处有一堵2m 高的墙，同方11m 处有一堵3m 高的墙，今将一小球（可看作质点）从O 点斜抛，正好落在两墙之间，求斜抛速度可能值。 5、半径为2r 的线圈，内部磁场分布如图，磁感应强度均为B 。有一长为4r 的金属杆（横在中间），其电阻为R 。金属杆的右半边线圈电阻为R ，左半边线圈电阻为2R ，当两个磁场磁感应强度从B 缓慢变化至0时，求通过右半边的电荷量。 6、一交警以50kmh -1速度前行，被超车后用设备进行探测，声波发出频率为10Hz ，接受频率为8.2Hz ，求前车的速度。
7、圆柱体M ，弹簧连接在M 的转轴上（圆柱体可绕转动轴转动）。压缩弹簧后放手，圆柱 体纯滚动，问圆柱体的运动是否为简谐振动？如果是，周期是多少？已知弹簧劲度系数为k ，重力加速度为g 。 8、杨氏双缝干涉实验中，双缝距光屏8cm ，现将光屏靠近双缝，屏上原来3级亮纹依旧为亮纹，则移动的距离可能为（ ） A ．4.8 B. 4 C. 3.4 D. 3 9、有一辆汽车以恒定功率由静止开始沿直线行驶，一定时间t 内走过的路程为s ，求s 与t 的几次方成正比。 10、有一封闭绝热气室，有一导热薄板将其分为左右体积比1：3的两部分，各自充满同种理想气体，左侧气体压强为3atm,右侧气体压强为1atm.现将薄板抽走，试求平衡以后气体的压强。 11、如图有一电容，由三块金属板构成，中间填充相对介电常数为ε的介质，中间两块极板面积为s ，真空介电常量为ε0，求此电容的大小。 12、如图。用长同为l 的细绳悬挂四个弹性小球，质量依次满足m 1>>m 2>>m 3>>m 4。将第一个小球拉起一定角度后释放，试问最后一个小球开始运动时速度为多少？ 13、如图所示导热U 形管中封有长为l 0的水银柱，当U 形管开口向下时，其中空气柱长度为l 1，开口向上时，空气柱长度为l 2，试求l 1/l 2。 + 1 2 3 4 0 0 1 l 2
2016年清华大学领军计划招生数学试题(问卷)
1 2016年清华大学领军计划测试数学试题 1.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两条直线12,l l 的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点，若||MN 为定值，则 a b = （ ） C.2 D.4 2.已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112 x y z ++=的解的组数为 ( D ) A.8 B.10 C.11 D.12 3.将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44?的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有___________种填法。 4.已知O 为ABC ?内一点，且满足::4:3:2AOB AOC BOC S S S ???=，AO AB AC λμ=+ ， 则λ=___________，μ=_________。 5.“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”是“ABC ?为锐角三角形”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.各项均不相同的数列{}n a 中，1i i k N ≤<<≤，,,i j j k k i a a a a a a +++至少有一项在{}n a 中，N 的最大值为 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9 7.已知实数,,x y z 满足22211 x y z x y z ++=??++=?，则 （ ） A.max ()0xyz = B.min 4()27xyz =- C.min 23z =- D.以上都不对
2016年清华大学领军计划机考试试题分析
2016年清华大学领军计划机考试试题分析 2016年清华大学领军计划/自主招生笔试举行，今年仍然采用了去年的机考模式，在开考前开通了机考模拟系统，让学生提前熟悉考试形式及操作方法。 2016年通过清华大学自主招生、领军计划及自强计划初审的6000余名考生在全国36个考点参加初试。物理探究科目中涉及了人类首次探测到引力波。清华招办主任刘震表示，该题通过介绍相关实验背景和结果，考查学生提取信息、加工信息并利用关键信息进行推理判断的能力。在考试中其中数学40道题目、语文30道题目、物理35道题目。 阅读与表达:《红楼梦》二次入选、文言文考《左传》 阅读与表达主要从语文基础知识、阅读角度进行考试，阅读与表达考查了《红楼梦》文本解读以及宋词的格律炼字等。这也是清华连续第二年将《红楼梦》中的内容放入考题当中。在选择题目中试题涉及到：字音、字形、词语、句子衔接、错别字、文言文等内容外，还考查了汉字书写的笔顺问题、书体知识、传统文化知识等。文言文则是考查的《左传》的内容。语文还有一道创新题，大意是让考生翻译民族语言。 物理探究考察内容：引力波、小船说翻就翻、台球等物理知识实际应用
2016年清华大学自主招生的物理与探究对物理学科的基础知识和物理学科的应用进行了科学的地考察，既涉及到物理学科的核心知识，也考察到了物理前沿科学的知识，注重物理学科的社会实际应用：例如大家最熟悉的引力波材料分析、相对论、友谊的小船等，物理学科35道题目中其中有1/3的题目大部分学生是可以做的，剩下的部分相对灵活，涉及面广，试题与大学物理的衔接和部分竞赛内容相似，但是与竞赛不同的是自主招生试题考查学生的知识的应用性 和灵活处理，部分题目可以根据知识和推理等得出答案。例如高空粒子衰变周期考察，像友谊的小船这个题目考察了浮力问题不需要太深的物理知识就可以选择，还有物理学科基础常识向光学仪器分辨率问题、还有科学普及科学史类关于世界诺贝尔奖关于物理学科的内容及人物。另外，台球是非常受年轻人欢迎的运动，涉及许多经典力学的规律，试题就以情境设计问题，引导学生学以致用。 2016年清华自主招生物理学科非常注重理论联系实际，紧密联系生产、生活和科技前沿，深入挖掘情境背后的物理内涵，考查学生构建物理模型，灵活运用物理知识解决实际问题的能力。同时，也强调通过设置一些饶有兴趣的现象，引导学生探究背后的物理原因”这是清华大学招办主任的阐述。 数学与逻辑考察内容：
清华大学历年自主招生试题汇总
清华大学历年自主招生试题汇总 以下是2014年清华“领军计划”部分面试题： 1、怎么看待单独二孩政策？ 2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议？ 3、怎么看待社会公平？ 以下是2014年清华“自强计划”部分面试题： 结构性参考题目： 提问：在你的同龄人中，当有些同学在为上学、吃饭、治病乃至整个家庭的生计发愁时，另外一些同 学则在享受美味的食品、穿着流行的服装、接受各种优质的教育培训。你如何看待这一现象?你是否认为这是一种社会不公? 追问：你心目中的社会公平是怎样的?是否能够实现?若能实现，简要阐述实现的方法;若不能实现，请说说为什么? 自由提问参考题目： 请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。 你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业? 你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因是有哪些?应该如何解决? 你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的? 考察点： 主要考察学生的个人理想与社会理想，是否能够独立思考并勇于创新，是否能够采取积极的方式克服 困难与挫折;是否能够保持积极向上的心态等。 以下是清华大学2013年自主招生复试考题： 1.近期上海、南京、杭州等地连续出现“H7N9禽流感”感染病例引起关注，公众非常想知道这方面的 相关信息。假如你是一位新闻发言人，你认为公众需要什么样的信息? 追问:假如你发布信息后，社会出现恐慌，那该怎么办? 2.“人类一思考，上帝就发笑”。请就人类社会发展与大自然的关系发表评论。
追问:基于你的评价，你打算在当下和未来做些什么? 3.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段2分钟的演讲，可准备1分钟。 4.除了当选的10位人物外，举出你认为应该入围“2013‘感动中国’的一位人物”，并阐述理由。 2008年清华大学自主招生考试题目选 语文（此文与原考试选用的文章稍有出入）（语文试题应该算是完整版了）： 关于文学和它的寄主的故事 朱大可 关于文学死亡的话题，已经成为众人激烈争论的焦点。这场遍及全球的争论，映射了文学所面临的生 存危机。但文学终结并非危言耸听的预言，而是一种严酷的现实。本届诺贝尔文学奖，颁发给了多丽丝·莱辛，这位88岁高龄的英国女作家，代表了20世纪最后的文学精神。她是一枚被瑞典皇家委员会发现的化 石，她曾在20世纪中叶成为女权主义文学的激进代表，但其近15年来的作品，却遭到美国评论家哈罗德·布鲁姆的激烈抨击，认为它们只具有四流水准，完全不具备原创的能力。耐人寻味的是，在所有诺贝尔奖项 中，只有文学奖面临着二流化的指责，而造成这种状况的唯一原因，就是文学自身的全球性衰退。这种现 状，验证了20世纪60年代美国批评家关于“文学衰竭”的预言。 返观中国文学的狼藉现场，我们发现，汉语文学的衰退，主要基于以下三个方面的原因：第一，80年代以来活跃的前线作家，大多进入了衰退周期，而新生代作家还没有成熟，断裂变得不可避免。第二，重 商主义对文学的影响，市场占有率成为衡量作家成功与否的主要标准，这种普遍的金钱焦虑，严重腐蚀了 文学的灵魂和原创力，导致整个文坛垃圾丛生。第三，电影、电视、互联网、游戏等媒体的兴起，压缩了 传统文学的生长空间，迫使它走向死亡。 这是我关于文学衰败的基本看法。但我最近才意识到，这种看法其实是错误的。文学的衰败只有一个 主因，那就是文学自身的蜕变。建立在平面印刷和二维阅读上的传统文学，在经历了数千年的兴盛期之后，注定要在21世纪走向衰败。它是新媒体时代所要摧毁的主要对象。新媒体首先摧毁了文学的阅读者，把他们从文学那里推开，进而摧毁了作家的信念，把文学变成一堆无人问津的“废物”。 然而，尽管中国文坛充满了垃圾，但文学本身并不是垃圾，恰恰相反，文学是一个伟大的幽灵，飘荡 于人类的精神空间，寻找着安身立命的躯壳（寄主和媒体）。在可以追溯的历史框架里，文学幽灵至少两 度选择了人的身体作为自己的寄主。第一次，文学利用了人的舌头及其语音，由此诞生了所谓“口头文学” （听觉的文学）；而在第二次，文学握住了人手，由此展开平面书写、印刷及其阅读，并催生了所谓“书 面文学”（文字的文学）的问世。这两种文学都向我们提供了大量杰出的文本。在刻写术、纺织术、造纸 术和雕版印刷术的支持下，经历两千年左右的打磨，书面文学早已光华四射，支撑着人类的题写梦想。 文学还有两个值得关注的寄主，那就是歌曲和戏剧，它们跟传统文学并存，俨然是它的兄弟，照亮了 古代乡村社会的质朴生活。但就叙事和抒情的线性本质而言，它们都是口头和书面文学的变种而已。文学 的寄生形态，从来就是复杂多样的。它们制造了艺术多样性的幻觉。
2016年清华大学领军计划自招(数学+物理)试题
2016年清华大学领军计划测试题（数学+物理） 特别说明： 1、2016年清华领军计划测试为机考，全卷共100分。 2、考试时间：数学+物理共180分钟。 3、所有考题为不定项选择题。以下内容为回忆版本，部分题改编成填空题。 4、物理测试共35题，回忆版中共26题，供大家参考。 A 、 数学部分 1、已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两 条直线12,l l 的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点，若||MN 为定值，则 a b = （ ） A 、2 D 、4 2、已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程 1111 2 x y z ++=的解的组数为 ( ) A 、8 B 、10 C 、11 D 、12 3、将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44?的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有___________种填法。
4、已知O 为ABC ?内一点，且满足::4:3:2AOB AOC BOC S S S ???=，AO AB AC λμ=+， 则λ=___________，μ=_________。 5、“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”是“ABC ?为锐角三角形”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6、各项均不相同的数列{}n a 中，1i i k N ≤<<≤，,,i j j k k i a a a a a a +++至少有一项在{}n a 中， N 的最大值为 （ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知实数,,x y z 满足222 1 1 x y z x y z ++=?? ++=?，则 （ ） A.max ()0xyz = B.min 4 ()27xyz =- C.min 23 z =- D.以上都不对
清华大学2017年“领军计划”物理试题
清华大学2017年“领军计划”试题 1.质量为m的小球距轻质弹簧上端h处自由下落，弹簧的劲度系数为k，求小球在运动过 程中的最大动能E km.已知重力加速度为G. 2.一卫星在距赤道20000km上空运行，求赤道上的人能观察到此卫星的时间间隙.已知地球 半径R0=6400km. 3.在粗糙地面上，某时刻乒乓球的运动状态如图所示，判断一段时间后乒乓球的可能运动 状况 A.静止 B.可能原地向前无滑滚动 C.原地向左滚动 D.原地向右滚动 4.如图，距O点10m处有一堵2m高的墙A，距离O点11m处有另一堵3m高的墙B，今 将一小球(可看作质点，忽略墙的宽度)从O点斜抛，正好落在两墙之间，求斜抛速度可能值. O
5.半径为2r的线圈，内部磁场分布如图，磁感应强度均为B. 有一长为4r的金属杆(横在 中间)，其电阻为R.金属杆的右半边线圈电阻为R，左半边线圈电阻为2R，当两个磁场磁感应强度从B缓慢变化至0时，求通过右半边的电荷量. 6.一交警以50kmh-1速度前行，被超车后用设备进行探测，声波发出频率为10Hz，接收频 率为8.2Hz，求前车的速度. 7.圆柱体M，弹簧连接在M的转轴上(圆柱体可绕转动轴转动).压缩弹簧后放手，圆柱体纯 滚动，问圆柱体的运动是否为简谐振动？如果是，周期是多少？已知弹簧劲度系数为k，重力加速度为G. 8.杨氏双缝干涉实验中，双缝距光屏8cm，现将光屏靠近双缝，屏上原来3级亮纹依旧为 亮纹，则移动的距离可能为( ) A. 4.8 B. 4 C. 3.4 D. 3 9.有一辆汽车以恒定功率由静止开始沿直线行驶，一定时间t内走过的路程为s，求s与t 的几次方成正比. 10.有一封闭绝热气室，有一导热薄板将其分为左右体积比1：3的两部分，各自充满同种理 想气体，左侧气体压强为3atm，右侧气体压强为1atm.现将薄板抽走，试求平衡以后气体的压强.
清华大学“领军计划”物理试题.doc
清华大学2016年“领军计划”试题 1.友谊的小船说翻就翻，假如你不会游泳，就会随着小船一起沉入水底.从理论上来说，你 和小船沉入水底后的水面相比于原来( ) A．一定上升B．一定下降 C．一定相等D．条件不足，无法判断 2.在光滑地面上，物块与弹簧相连作简谐运动，小车向右作匀速直线运动，则对于弹簧和 物块组成的系统(填守恒或者不守恒)，当以地面为参考系时，动量，机械能；当以小车为参考系时，动量，机械能. 3.如图所示，光滑导轨上垂直放置两根质量为m、且有电阻的金属棒，导轨宽处与窄轨间 距比为2 :1 ，平面内有垂直纸面向内的磁场.现给左边的杆一个初速度 v，在系统稳定时，左杆仍在宽轨上右杆仍在窄轨上运动.则这个过程产生热量Q. 4.空间内有一水平向右的电场E，现有一带电量为q的小球以初速度为 v向右上抛出，已 知 3mg E ，求小球落地点距抛出点的最远距离.
5. 现有一轻质绳拉动小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，小球质量为m ，速度为v ，重力加速度为g ，求小球在运动半周时，绳对小球施加的冲量. 6. 如图所示，有a 、b 两个物体，a 物体沿长L 倾角为θ动摩擦因数=0.5μ的斜面滑下后，在长为L 的光滑水平面BC 上运动；b 从C 点上方高为4.5L 处下落.二者同时释放，在C 处相遇，则sin θ= . 7. 在水平面内，金属棒 MN 一角速度ω绕O 点顺时针旋转，空间内有竖直向下的磁场，如图所示.已知||||MO NO >，则下列说法正确的是( ) A ． M 点电势高于 N 点 B ． M 点电势低于 N 点 C ．若增大ω，则 M N 点电势差增大 D ．若增大 B ，则 M N 点电势差增大
2015年清华大学自主招生数学试题(领军计划)
2015年清华大学自主招生数学试题（领军计划） 说明：共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。全选对，得满分；选对但不全，得部分分；有选错的，得0分。 1、设复数22cos sin 33z i π π =+，则211 11z z +=--（ ） A.0 B.1 C.1 2 D.3 2 2、设{}n a 为等差数列，,,,p q k l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、设,A B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ） A.||||2OA OB ?≥ B.||||OA OB +≥ C.直线AB 过抛物线2y x =的焦点 D.O 到直线AB 的距离小于等于1 4、设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-； ②()()(),1x y f x f y f xy ++=+,(1,1)x y ∈-。则()f x 为（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数 5、如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x = 相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 6、ABC ?的三边长分别为,,a b c 。若2,3c C π =∠=，且s i n s i n ()2s i n 20C B A A +--=，则（ ） A.2b a = B.ABC ?的周长为2+ C.ABC ? D.ABC ?7、设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ） A.()f x 有极小值，但无最小值 B.()f x 有极大值，但无最大值 C.若方程()f x b =恰有一个实根，则36 b e > D.若方程()f x b =恰有三个不同实根，则36 0b e <<
清华大学自主招生数学试题解析
? 1? 2017年清华大学自主招生 暨领军计划试题解析 已知-?根绳子放在数轴的[0?斗」区阳丄二线密度二皿-护.求绳子的质屋- 解答加 解答 件先冇 cos 単十 i iin 4? 5 二(cos 警cos 夸一 sin 警sin 弩: 二 cos + isin 再I ] i 归纳法，可得3 警+ Tn 警, 1 E.世到 ttJ -' = 1,则 cw 1 — w -' TW " - C4J _'：7W + ru _l — 2 COS 〒 T tv ' + ⑴ 二 2cCrS 号.战 /(tw )/(a/ )f( OJ ? )/(oi 1) /(w)/(w _1 )/(w 2 )/(?"*) (4?十 W 十 2)(^~2 十 J 十 2)(^ 十 y + 2)(W _1 + 胪 + 2) (1 十洞十 2^ + w -] + 1 + 2M + 2w a 十 2w l + 4)(1 十 4 2^ + OJ -2 + 1 + 2^ + 2^ + 2M _r + 4) (6 + Gcos^ + 4cos 警)(6 + g 警 + Seos 警) (6 + ficos y - 4tos yj(6 + 4cOH 弩- E 阮、 (6 - 6孕 y + isin ^,/(x) = x z 十龙+若则f (川)几』〉的值为 + i^cos ^sin 警 + sin 警cos 弩 5 -75-l)(6 + ?5- 1
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《高校自主招生一数学》 贾广素工作室 ? 2 ? =11. 若 0「门 +flCOS （A ：-l ）= 0 有唯--解,则（ A. 厲的值唯? B. 口的值不唯一 C 门的值不存在 D.以上都不对 解答选A. 因为f （兀）=217 +acos （A ：-l ）关于x = l 对称,所以若f （x ）^唯一零点,则零点只 能为1.将兀=1彳弋入，得到a = T,此时f （x ） =2|x_11 -cos （x-l ）,^检验? = -1符合 题意" 04 已知皿1 *2 ,衍皿&€ ｛1、Z ，3,4：｝ ,口3皿4》为口I ■吐.心皿4中不同数字的 种类哀如N （1J23） =3,N （122,1｝二2,求所有的256个（血心gg ）的排列所得 7V （"l 山2 ,如■ 心）的平均值为（ ）. 解答选D- N 5\心、a 3心）为1的个数为4； N （心?如，為虫J 为2的个数为CS （CS+2Q ） = 84； N （尙0 心皿Q 为3的个数为二144* N （Q i *2 *麻3皿4 ）为球的个数为A] — 24. 1 17^ 从而 iijfR^^6(4xi + 84X2+114X3 + 24X1) = ^. 在△/WC 中 *sinZ/l + sinz^/?sinz^C 的最大值为( 解答选E 市积化和差公式得 sin^A + sin^Bsm^C =sin^A + y (cost^B - ZC) - cos(^B + 乙CM -sin^A - -^COB ^A + ~|~cos(Z 百—乙 C) 冬 sin^A - -^-cosZ^/4 + 令 Y I s + (_ 4) - Z 卩)+ Y A - 32 175 64 A - i B. 1 +75 D.无报大值 4
2016年清华大学领军计划数学试题(含部分解析)
2016年清华大学领军计划测试 1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：12 y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN =（ ） . A . B . C 2 . D 【解析】C (田)坐标+向量，设(cos ,sin )P a b θθ，OP ON NP =+，MN ON NP =-,1l 方向向量11 (1,)2 e =，21(1,)2e =-，1ON ne =，2NP me =，12OP ne me ∴=+cos sin 22 n m a n m b c θ-=????+=?? (,)(2sin ,cos )21222 n m a a MN m n b b θθ-=+=?== （孙）设(cos ,sin )P a b θθ，则PM l ，PN l 已知，M ，N 点已知. 法3：设00(,)P x y ，可得00001 11(,)242M x y x y ++，0000111(,)242 N x y x y --+ ，||MN =为定值，所以2241614 a b == 2=. 注（1）若将这两条直线的方程改为y kx =± 1k =； （2）两条相交直线上各取一点M ，N ，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或者椭圆. 2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112 x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 12 【解析】方法一、列举法.○111112666=++，○211131212++，○3 111488++，○41111055++，○51113918 ++ ○61113824++，○71113742++，○81114612++，○91114520++，○1011131015 ++
2018年清华大学领军计划测试物理学科解析
2018年清华大学领军计划测试 物理学科解析 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 2.客观题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在试卷上的无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试题为考生回忆版，有部分缺题 一．选择题 1．在粗糙地面上，某时刻乒乓球的运动状态如图所示，水平向右运动且逆时针旋转，则一段时间后乒乓球的可能运动状况： A、静止 B、可能向前无滑滚动 C、原地向左滚动 D、原地向右滚动 1．【参考答案】ABCD。 【名师解析】注意到角速度方向和平动速度造成的效果是相反的，所以在从初态到稳定过程中，以上过程都有可能出现。 2．杨氏双缝干涉实验中，双缝距光屏8cm，现将光屏靠近双缝，屏上原来3级亮纹处依旧为亮纹，则移动的距离可能为（） A.4.8 B.4 C.3.4 D.3 【参考答案】ABCD
【名师解析】杨氏双缝干涉亮条纹的位置为k D x d λ= ，k =0，±1，±2，···， 其中，d 为双缝间距，D 为双缝到光屏的距离，λ为光的波长。 依题意有03D k D d d λλ=，0D D <，D 0=8cm ，其中，k 为正整数。 所以0 3D D k = ，k =4，5，6，···， 所以k =4，D =6cm ； k =5，D =4.8cm ； k =6，D =4cm ； k =7，D =3.4cm ； k =8，D =3cm ；···。 所以选项ABCD 正确。 3．有一辆汽车以恒定功率由静止开始沿直线行驶，不计阻力，一定时间t 内走过的路程为s ，则 A ．s 与t 成正比。 B ．s 与t 的二次方成正比 C. s 与t 的二分之一次方成正比 D. s 与t 的二分之三次方成正比 【参考答案】D 【名师解析】汽车功率恒定，即P F v =?恒定，F 是牵引力，v 是瞬时速度， 根据动能定理，有Pt= 21 2 mv ， 而v= ds dt ，
2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招生考试数学试题大全
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题 1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．取决于a 的值 【答案】C 【解析】注意)()(/x g e x f x =，答案C ． 2． 已知ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ?的形状唯一确定的有（ ） A ．Z c b a ∈==,2,1 B ．B b C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C ．0 60,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D ．060,1,3===A b a 【答案】AD ． 3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2 =-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线 B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行 C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点 D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点
【答案】BD 【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ． 4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ） A ．以线段A B 为直径的圆与直线2 3 -=x 一定相离 B ．||AB 的最小值为4 C ．||AB 的最小值为2 D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB 【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为 ||21 |)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2 a a A ，则)1,41(2a a B -， 于是2414||2 2 ++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||2 1 BM 不一定相等，因此命题错误． 5．已知21,F F 是椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有 （ ） A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2> 时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个 C ．21F PF ?的周长小于a 4 D ．21F PF ?的面积小于等于 2 2 a
清华大学领军计划测试物理试题及答案
清华大学领军计划测试物理试题及答案 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020
2016年清华大学领军计划测试 物理学科 注意事项： 清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积180分钟； 2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题； 清华领军计划测试，物理共35题，本回忆版本共26题，供参考。 【1】友谊的小船说翻就翻，假如你不会游泳，就会随着小船一起沉入水底。从理论上来说，你和小船沉入水底后的水面相比于原来 （） A.一定上升 B.一定下降 C.一定相等 D.条件不足，无法判断 【2】在光滑地面上，物块与弹簧相连作简谐运动，小车向右作匀速直线运动，则对于弹簧和物块组成的系统（填守恒或者不守恒），当以
地面为参考系时，动量________，机械能________；当以小车为参考系时，动量________，机械能________。 【3】如图所示，光滑导轨上垂直放置两根质量为m 、且有电阻的金属棒，导轨宽处与窄轨间距比为2：1，平面内有垂直纸面向内的磁场。现给左边的杆一个初速度0v ，在系统稳定时，左杆仍在宽轨上右杆仍在窄 轨上运动。则这个过程产生热量Q =________。 【4】空间内有一水平向右的电场E ，现有一带电量为q 的小球以初速度为0v 向右上抛出，已知3mg E = ，求小球落地点距离抛出点的最远距离。
【5】现有一轻质绳拉动小球在水平面内做句速圆周运动，如图所示，小球质量为m，速度为v，重力加速度为g，轻绳与竖直方向夹角为θ，求小球在运动半周时，绳对小球施加的冲量。 【6】如图所示，有a、b两个物体，a物体沿长L、倾角为θ、动摩擦因数0.5 μ=的斜面滑下后，在长为L的光滑水平面BC上运动；b从C 点上方高为4.5L处下落。二者同时释放，在C处相遇，则 sinθ=________。 【7】在水平面内，金属棒MN一角速度ω绕O点顺时针旋转，空间内有竖直向下的磁场，如图所示。已知MO NO >，则下列说法正确的是（）
2016年清华大学领军计划测试
机密★启用前 2016年清华大学领军计划测试 物理学科 注意事项： 1.2016清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积180分钟； 2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题； 3.2016清华领军计划测试，物理共35题，本回忆版本共26题，供参考。 【1】友谊的小船说翻就翻，假如你不会游泳，就会随着小船一起沉入水底。从理论上来说，你和小船沉入水底后的水面相比于原来（） A.一定上升 B.一定下降 C.一定相等 D.条件不足，无法判断 【2】在光滑地面上，物块与弹簧相连作简谐运动，小车向右作匀速直线运动，则对于弹簧和物块组成的系统（填守恒或者不守恒），当以地面为参考系时，动量________，机械能________；当以小车为参考系时，动量________，机械能________。 【3】如图所示，光滑导轨上垂直放置两根质量为m、且有电阻的金属棒，导轨宽处与窄轨间距比为2：1，平面内有垂直纸面向内的磁场。现给左边的杆 v，在系统稳定时，左杆仍在宽轨上右杆仍在窄轨上运动。则这个过一个初速度 程产生热量Q ________。
【4】空间内有一水平向右的电场E，现有一带电量为q的小球以初速度为 v 向右上抛出，已知E= 【5】现有一轻质绳拉动小球在水平面内做句速圆周运动，如图所示，小球质量为m，速度为v，重力加速度为g，轻绳与竖直方向夹角为θ，求小球在运动半周时，绳对小球施加的冲量。 【6】如图所示，有a、b两个物体，a物体沿长L、倾角为θ、动摩擦因数μ=的斜面滑下后，在长为L的光滑水平面BC上运动；b从C点上方高为 0.5 4.5L处下落。二者同时释放，在C处相遇，则sinθ=________。
20200225-2017年清华大学领军计划化学试题
2017清华大学领军计划化学试题 1、对于反应()() N O g g ，己知H>0，下列说法正确的是（） 2 4 A.已知T 温度下的反应速率比 1 T 温度下更大，则T 下的平衡常数比T 下的小 2 1 2 B.提高温度、增大压强都有利于平衡右移 C.恒压条件下提高温度，相比于恒容条件下提高温度，平衡移动更小 D.恒压条件下提高温度，相比于恒容条件下提高温度，反应速率提高更小 2、25℃时，草酸的K 与 K 分别为5.010?2 ,5.410-5 ，向5mL 浓度为0.01mol/L 的 a1 a2草酸氢钾（KHC O ）溶液中滴加体积为VmL 的同浓度NaOH 溶液，则下列说法正确的是 2 4 （） A. V 5 时，可能有c(Na+ )=c(HC O?)+2c(C O2?) 2 4 2 4 B. V=5 时，有c(Na+ )c(H+)c(C O2?)c(HC O?) 2 4 2 4 C. V 5 时，有c(Na+ )=c(H C O )+c(HC O?)+c(C O2?) 2 2 4 2 4 2 4 D.以上选项都不正确 3、某溶液中含有Fe3+、Al3+、Ca2+、Mg2+ ，欲测定前两者的总浓度，最简便的方法是 （） A.沉淀分离 B.酸度控制 C.络合屏蔽 D.氧化还原 4、不慎被磷火烧伤时，应该用下列哪种溶液浸泡过绷带处理？ A.硼砂 B.硼酸 C.硫酸铜 D.硫酸钠 5、酸沉降是指大气中的酸性物质迁移到地面的过程，包括“湿沉降”和“干沉降”。下列说法错误的是： A. 酸雨（雪、雾）是湿沉降，酸性胶体颗粒形成的气溶胶是干沉降 B. 无污染雨水为弱酸性 C. 我国酸雨的主要污染源为工厂、汽车排放的氮氧化物废气 D. 酸雨对湖泊、森林、土地等资源都有较大的危害，甚至会破坏局部的生态平衡 6、下列方程式不正确的是: A.汽车气囊中的反应：3NaN =Na N +4N 3 3 2 B.去水中的重金属汞离子：Hg2++S2?=HgS C.铁发生吸氧腐蚀：2Fe +O +2H O =2Fe(OH) 2 2 2 D.乙烯通入溴水当中：CH =CH +Br →BrCH CH Br 2 2 2 2 2 7、用滴管移取液体到试管中，下列操作正确的是: A.试管倾斜，滴管靠试管壁