圆锥曲线与立体几何(教师版)

第十三讲 圆锥曲线

一：学习目标

通过具体问题的综合解法与解析解法的比较，让学生体验解析几何处理几何问题，形成用代数方法解决几何问题的能力，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质。 二：知识梳理 1． 椭圆的定义

第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即

|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c).

第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0

中定点不在定直线上），即

e d

PF =|

|(0

如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程， 若焦点在x 轴上，列标准方程为

122

22=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为???==θ

θsin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 122

22=+b

x a y (a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念：对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122

22=+b

y a x ，a 称半长轴长，b 称半短轴

长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦

点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c

a x 2

-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为

离心率，且a

c e =

，由c 2+b 2=a 2

知0

22b

y a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是

椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex.

5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为

12020=+b

y

y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；

3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为θ

2

222

cos 2c a ab l -=。 6．双曲线的定义，第一定义：满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹；

第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。

7．双曲线的方程：

中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为122

22=-b y a x ， 参数方程为???==?

?tan sec b y a x （?为参数）。

焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 122

22=-b

x a y 。

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 122

22=-b

y a x (a, b>0),

a 称半实轴长，

b 称为半虚轴长，

c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F 1(-c,0),

F 2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,22c a x c a x =-=离心率a c

e =，由a 2+b 2=c 2知e>1。两条渐近线方程为x a k

y ±=，双曲线12222=-b

y a x 与12222-=-b y a x 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。

若a=b ，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论：1）焦半径公式，对于双曲线122

22=-b

y a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它的两个焦点。

设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则

|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a.

2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ

2222

cos 2c a ab -。

10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点F 坐标为)0,2

(

p

，准线方程为2p x -=，标准方程为

y 2

=2px(p>0)，离心率e=1.

11．抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线y 2

=2px(p>0)上任一点， 1）焦半径|PF|=2

p x +

； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为

θ

2cos 12-p

。

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若01，则点P 的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为θ

ρcos 1e ep

-=。

三．方法与例题

1．与定义有关的问题。

例1.已知定点A （2，1），F 是椭圆

116

252

2=+y x 的左焦点，点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P 的坐标。

[解] 由题设a=5, b=4, c=2245-=3,53==

a c e .椭圆左准线的方程为325-=x ，又因为116

1

254<+，所以点A 在椭圆内部，又点F 坐标为（-3，0），过P 作PQ 垂直于左准线，垂足为Q 。由定义知

5

3

||||==e PQ PF ，则

35|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+3

5

|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM ⊥左准线于M)。所以当且仅当P 为AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得4

15

5±

=x ，又x<0，所以点P 坐标为)1,4

15

5(-

2．求轨迹问题。

例2.已知一椭圆及焦点F ，点A 为椭圆上一动点，求线段FA 中点P 的轨迹方程。

[解法一] 利用定义，以椭圆的中心为原点O ，焦点所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：

2

222b y a x +=1（a>b>0）.F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为'F 。连结'

AF ，OP ，则'21//AF OP =。所以|FP|+|PO|=

2

1

(|FA|+|A 'F |)=a.所以点P 的轨迹是以F ，O 为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c ），将此椭圆按向量m=(2c

,0)平移，得到中心在原点的椭圆：14

42222=+b

y a x 。由平移公式知，所求椭圆的方程为

.14)2(42

2

22=++b y a c

x [解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x 1, y 1)，则2

,211y

y c x x =-=

，即x 1=2x+c, y 1=2y. 又因为点A 在椭圆12222=+b y a x 上，所以.1221221=+b y a x 代入得关于点P 的方程为1424222

2

=+?

?? ??

+b

y a c x 。它表示中心为??

?

??-0,2c ，焦点分别为F 和O 的椭圆。 例3 .长为a, b 的线段AB ，CD 分别在x 轴，y 轴上滑动，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨

迹。

[解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A ，B ，C ，D 的坐标分别为A(x-

2a ,0), B(x+2a ,0), C(0, y-2

b

), D(0, y+2b ), 记O 为原点，由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为4422

22b y a x -=-，即.4

2

22

2

b a y x -=-

当a=b 时，轨迹为两条直线y=x 与y=-x ；

当a>b 时，轨迹为焦点在x 轴上的两条等轴双曲线； 当a

例4 .过双曲线122

22=-b

y a x (a>0, b>0)的右焦点F 作B 1B 2x ⊥轴，交双曲线于B 1，B 2两点，B 2与左焦点F 1

连线交双曲线于B 点，连结B 1B 交x 轴于H 点。求证：H 的横坐标为定值。

[证明] 设点B ，H ，F 的坐标分别为(asec α,btan α), (x 0, 0), (c, 0)，则F 1，B 1，B 2的坐标分别为(-c,

0), (c, a

b 2

-), (c, a b 2)，因为F 1，H 分别是直线B 2F ，BB1与x 轴的交点，所以

.cos sin sin ,cos sin 20α

ααααb a ac ab x b a ab c ++=-=

①

所以ααααα222220cos cos sin sin 2)sin (b ab a c b b a cx -++=ααααα222222sin cos sin sin )

sin (c b ab a c b b a +-++=

)

sin )(sin ()cos sin (sin )

sin (2b c b c b a a c b b a +-+++=αααααα。 由①得,)

sin (cos sin 0

x c b a b a ααα+=

+

代入上式得,)sin (sin 20

20b c x a b

a cx -=

αα

即 c

a x 2

-=（定值）

。 例5.椭圆12222=+b

y a x 上有两点A ，B ，满足OA ⊥OB ，O 为原点，求证：2

2||1

||1OB OA +为定值。 [证明] 设|OA|=r 1,|OB|=r 2,且∠xOA=θ,∠xOB=θπ+2

，则点A ，B 的坐标分别为A(r 1cos θ, r 1sin

θ),B(-r 2sin θ,r 2cos θ)。由A ，B 在椭圆上有

.1cos sin ,1sin cos 2222222222212221=+=+b r a r b r a r θθθθ即222221sin cos 1b

a r θ

θ+= ①.cos sin 12

22222b a r θθ+=

②①+②得

2

2221

1||1||1b

a OB OA +=+（定值）。 4．最值问题。

例6 .设A ，B 是椭圆x 2+3y 2

=1上的两个动点，且OA ⊥OB （O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。 [解].由题设a=1，b=

33,记|OA|=r 1,|OB|=r 2,t r r =2

1，参考例8可得22211

1r r +=4。 设m=|AB|2

=)12(41)11)((4122222122212

221t

t r r r r r r ++=++=

+, 因为θ

θθ2

2

2222222221sin 1sin cos 1b a b a a b a r -+=+=，且a 2>b 2，所以2212111b r a ≤≤， 所以b ≤r 1≤a ，同理b ≤r 2≤a.所以b a t a b ≤≤。又函数f(x)=x+x 1在??????1,2

2

a

b 上单调递减，在??

?

???22,1b a 上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当a b t =

或b

a

时，|AB|取最大值332。

例7.设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为

23，若圆C ：=-+22

)2

3(y x 1上点与这椭圆上点的最大距离为71+，试求这个椭圆的方程。

[解] 设A ，B 分别为圆C 和椭圆上动点。由题设圆心C 坐标为??

? ??

23,0，半径|CA|=1，因为|AB|≤

|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A ，B ，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值71+，所以|BC|最

大值为

.7因为2

3

=

e ；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,t 3,t ，椭圆方程为142222=+t y t x ，并设点B 坐标为B(2tcos θ,tsin θ)，则|BC|2=(2tcos θ)2+2

23sin ??? ?

?-θt =3t 2sin 2

θ-3tsin θ+

49+4t 2=-3(tsin θ+2

1)2+3+4t 2

. 若2

1≤t ，则当sin θ=-1时，|BC|2取最大值t 2

+3t+749<，与题设不符。

若t>21,则当sin θ=t

21-时，|BC|2取最大值3+4t 2，由3+4t 2

=7得t=1.

所以椭圆方程为14

22

=+y x 。

5．直线与二次曲线。

例8.若抛物线y=ax 2

-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a 的取值范围。

[解]抛物线y=ax 2

-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y 轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x 1,y 1)，'P (-y 1,-x 1)，满足y 1=a 121-x 且-x 1=a(-y 1)2

-1，相减得x 1+y 1=a(2

121y x -),因为P 不在直线x+y=0

上，所以x 1+y 1≠0,所以1=a(x 1-y 1)，即x 1=y 1+

.1a 所以.011

121=-++a

y ay 此方程有不等实根，所以0)11(41>--=?a a ，求得4

3

>a ，即为所求。

例9.若直线y=2x+b 与椭圆14

22

=+y x 相交， （1）求b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求b 的值。

[解] 二方程联立得17x 2+16bx+4(b 2

-1)=0.由Δ>0，得17-

设两交点为P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，由韦达定理得|PQ|=17

1745||12

212

b x x k -?=-+。

所以当b=0时，|PQ|最大。 四．课后练习

1．双曲线与椭圆x 2

+4y 2

=64共焦点，它的一条渐近线方程是y x 3+=0，则此双曲线的标准方程是_________.

2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1=_________.

3．双曲线122

22=-b

y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任一点，以|PF 1|为直径的圆与以|A 1A 2|

为直径的圆的位置关系为_________. 4．椭圆的中心在原点，离心率3

1

=e ，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M 横坐标为-1，M 到此准线异侧的焦点F 1的距离为_________.

5．4a 2

+b 2

=1是直线y=2x+1与椭圆122

22=+b

y a x 恰有一个公共点的_________条件.

6．若参数方程?????+=+=t

m y t

m x 22222

（t 为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是

_________.

7．如果直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆152

2=+m y x 总有公共点，则m 的范围是_________. 8．过双曲线16

92

2=-y x 的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.

9．过坐标原点的直线l 与椭圆

12

6)3(2

2=+-y x 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F ，则直线l 的倾斜角为_________.

10．以椭圆x 2+a 2y 2=a 2

(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的三角形最多可作_________个.

11．求椭圆122

22=+b

y a x 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。

12．设F ，O 分别为椭圆122

22=+b

y a x 的左焦点和中心，对于过点F 的椭圆的任意弦AB ，点O 都在以AB 为

直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。

13．已知双曲线C 1：122

2

22=-a

y a x (a>0)，抛物线C 2的顶点在原点O ，C 2的焦点是C 1的左焦点F 1。 （1）求证：C 1，C 2总有两个不同的交点。

（2）问：是否存在过C 2的焦点F 1的弦AB ，使ΔAOB 的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB 的方程与S ΔAOB 的最值，若不存在，说明理由。

竞赛讲座六 立体图形、空间向量

第十四讲 多面体 一、 知识梳理 多面体与旋转体 1.柱体(棱柱和圆柱)

(1)侧面积S c l =?侧(c 为直截面周长,l 为侧棱或母线长)(2)体积V Sh =(S 为底面积,h 为高) 2.锥体(棱锥与圆锥)

(1)正棱锥的侧面积'1

2

S c h =

?侧(c 为底面周长,'h 为斜高)(2)圆锥的侧面积:S rl π=侧 (r 为底面周长,l 为母线长)(3)锥体的体积:1

3

V Sh =(S 为底面面积,h 为高).

3.锥体的平行于底面的截面性质:

23

111123,S h V h S h V h

==. 4.球的表面积:2

4S R π=; 球的体积:34

3

V R π=

. 二、 例题赏析

1．正四面体的内切球和外接球的半径之比为( )

A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9

答案：B 设棱长为a ,外接球的半径为R,内切球的半径为r ,则2

22(

))33

R a a R -=-解得

A

B 4R a =

,3412

r a a a =-=,有r :R=1:3. 2．由曲线2

4x y =,2

4x y =-,4x =,4x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为1V ;满足

2216x y +≤,22(2)4x y +-≥,22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的

体积为2V ,则( ) A,1212V V =

B,122

3

V V = C,12V V = D,122V V = 答案：C 设(0,)(0)A a a >,则过A 的两个截面都是圆环,面积分别是2

2

2

(4)(44)x a ππ-=-和

222222212(){(4)[2(2)]}(44)x x a a a πππ-=----=-

3．在四面体ABCD 中,设1AB =

,CD =,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为3

π

,则四面体ABCD 的体积为多少？

答案：

2

1

过C 作//CE AB ,以CDE ?为底面,BC 为侧棱作棱柱ABF ECD -,则所求四面体的体 积1V 等于上述棱柱体积2V 的13,而CDE ?的面积1

sin 2

S CE CD ECD =??∠,AB 与CD 的公垂线MN 就是棱柱

ABF ECD -的高,于是21

sin 2

V MN CE CD ECD =

???∠

= 1321222??=,因此1211

32

V V ==.

3． 三个1212?的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B 两片,如图,把这

六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个多面体的体积为 .

答案：864 将几何体补成一个棱长为12的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为3

122

5．空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这

四个球都相切,则这个小球的半径为多少？

答案：

6

11

设半径为3的球心为A,B,半径为2的球心为C,D.则易知AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.设小球中心为O,半径为r ,则O 在四面体ABCD 内且AO=BO=3+r ,CO=DO=2+r .取AB 中点E,连结

CE,DE,则CE ⊥AB,DE ⊥AB,故平面CDE 为线段AB 的垂直平分面α,所以O 在平面CDE 内,又由OC=OD=2+r 知

O 在CD 的垂直平分面β内,故O 在等腰CED ?底边CD 上的高EF 上(F 为CD 中点),易算出

4=,得ECD ?为等边三角形.于是

=.而

A

B

C

D M K N

S OF =

==

==代入

=,解得611

r =

. 三、 课后练习

1. 甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为( ) A,

3827a

B,327a C,313a D,38

9

a 2. 夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为( )

A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3

3. 有一个m n p ??的长方体盒子,另有一个(2)(2)(2)m n p +?+?+的长方体盒子,其中,,m n p 均为正整数(m n p ≤≤),并且前者的体积是后者一半,求p 的最大值.

4． 如图,设S ABCD -是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥,K 是棱SC 的中 点,过AK 作平面与线段SB,SD 分别交于M,N (M,N 可以是线段的端点).试求四 棱锥S AMKN -的体积V 的最大值与最小值.

第十五讲 空间直线与平面

一、 知识梳理

直线,平面之间的平行与垂直的证明方法

1．运用定义证明(有时要用反证法); 2．运用平行关系证明;

3．运用垂直关系证明; 4．建立空间直角坐标系,运用空间向量证明. 例如,在证明:直线a ⊥直线b 时.可以这样考虑

(1)运用定义证明直线a 与b 所成的角为0

90; (2)运用三垂线定理或其逆定理; (3)运用“若a ⊥平面α,b α?,则a b ⊥”; (4)运用“若//b c 且a c ⊥,则a b ⊥”;

(5)建立空间直角坐标系,证明→a ·→

b ＝0.

二、 例题赏析

1. 若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α 的位置关系是 .

答案：当2AB <时,AB//α;当2AB =时,AB//α或AB ⊥α;当2AB >时,AB//α或与α斜交. 2如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)

A B

C

A 1

B 1

C 1

答案：AC ⊥BD.(或ABCD 是正方形或菱形等)

3如图正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是B 1B 、AB 、BC 的中点．

（1）证明：D 1F ⊥EG ； （2）证明：D 1F ⊥平面AEG ；

证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系，设正方体1AC 棱长为a ，则D （0，0，0）， A （a ，0，0），B （a ，a ，0），1D （0，0，a ），E （a ，a ，2

a

）， F （a ，

2a ，0），G （2a ，a ，0）． （1）→D 1F ＝(a ，2a ，-a ），→EG ＝(2a -，0，)2

a -，

∵→D 1F ·→EG ＝a ×(2a -)＋2

a ×0＋(-a)×(2a

-)＝0, ∴ EG F D ⊥1．

（2）→AE ＝(0，a ，2a ），∴ →D 1F ·→AE ＝a ×0＋2a ×a －a ×2

a ＝0 ∴ AE F D ⊥1 ∵ E AE EG = ，∴ ⊥F D 1平面AEG 三、 课后练习

1．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:

①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成0

60; ④MN 与CD 所在直线垂直.其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)

2．如图,直三棱柱111ABC A B C -中,AC BC =,连接1AB ,1BC ,

1CA ,若11AB BC ⊥,求证:11AB CA ⊥

A B

E

N

M 图(2)

C D

F A B

C

D

A B

C D

图(1)

A B

C

D

E

P

F

3．如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ?=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE:ED= 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.

第十六讲 空间中的角和距离的计算 一、 知识梳理

空间中的角和距离的计算 1．求异面直线所成的角

(1)(平移法)过P 作'

//a a ,'

//b b ,则'

a 与'

b 的夹角就是a 与b 的夹角; (2)证明a b ⊥(或//a b ),则a 与b 的夹角为0

90(或0

0);

(3)求→a 与→b 所成的角([0,]θπ∈),再化为异面直线a 与b 所成的角((0,]2

πα∈).

2,求直线与平面所成的角

(1) (定义法)若直线a 在平面α内的射影是直线b ,则a 与b 的夹角就是a 与α的夹角; (2) 证明a α⊥(或//a α),则a 与α的夹角为0

90(或0

0);

(3) 求→a 与α的法向量→

n 所成的角θ,则a 与α所成的角为090θ-或0

90θ-. 3．求二面角

(1) (直接计算)在二面角AB αβ--的半平面α内任取一点P AB ?,过P 作AB 的垂线,交AB 于C,再过P 作β的垂线,垂足为D,连结CD,则CD AB ⊥,故PCD ∠为所求的二面角.

(2) (面积射影定理)设二面角AB αβ--的大小为θ(0

90θ≠),平面α内一个平面图形F 的面积为1S ,F 在β内的射影图形的面积为2S ,则2

1

cos S S θ=±

.(当θ为钝角时取“-”). (3) (异面直线上两点的距离公式):2

2

2

2

2cos EF d m n mn θ=++-,其中θ是二面角AB αβ--的平面角,EA 在半平面α内且EA AB ⊥于点A,BF 在半平面β内且FB ⊥AB 于B,而AB d =,EA m =,FB n =.

(4) (三面角的余弦定理),三面角S ABC -中,BSC α∠=,CSA β∠=,ASB γ∠=,又二面角

B SA

C θ--=,则cos cos cos cos sin sin αβγ

θβγ

-=

.

(5)(法向量法)平面α的法向量→n 1与平面β的法向量→

n 2所成的角为θ,则所求的二面角为θ或πθ- 4.求两点A,B 间距离

(1)构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求|→

AB |. 5.求点到直线的距离

(1)构造三角形进行计算; (2)转化为求两平行线之间的距离. 6.求点到平面的距离

(1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度;

(2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离; (3) (体积法)转化为求一个棱锥的高3V

h S

=

,其中V 为棱锥体积,S 为底面面积,h 为底面上的高(4)在平面上取一点A,求→AP 与平面的法向量→n 的夹角的余弦cos θ,则点P 到平面的距离为d ＝|→

AP ||cos θ| 7.求异面直线的距离

(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高;

(3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;

(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;

(5)(射影法)如果两异面直线,a b 在同一平面内的射影分别是一个点P 和一条直线l , 则a 与b 的距离等于P 到l 的距离; (6)(公式法)2

2

2

2

2cos d EF m n mn θ=--±. 8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离. 二、 例题赏析

1.正四棱锥S ABCD -中,0

45ASB ∠=,二面角A SB C --为θ且cos m θ=+m ,

n 为整数),则m n += .

答案：5 因各侧面为全等的等腰三角形.在SAB ?内作高AE,则CE 也是SBC ?的高,故AEC θ∠=.设

1

SA =则

AE CE ==,0452sin 2AB BC ==,222

AC AB BC =+=0

20458sin

4(1cos 45)42=-=-.222

cos 32AE CE AC AE CE

θ+-==-+?得385m n +=-+=.

2．直三棱柱111A B C ABC -中,平面1A BC ⊥平面11ABB A ,且AC 1,则AC 与平面1

A BC 所成的角θ的取值范围是 .

P

A

B

C

D

E A ’ 答案：00

030θ<< 作AD ⊥1A B 于D,易证AD ⊥平面1A BC ,所以ACD θ∠=.设1AA a =,AB x =,

则

sin AD θ==?,故222

23sin 13sin a x θθ=-.易证BC ⊥平面11A ABB ,0

90CBA ∠=,从而AB AC <,

即x <,于是2222

3sin 0313sin a a θθ≤<-,1sin 2

θ<,又00090θ<<,得00

030θ<<. 3．在正三棱锥P ABC -中,AB a =,2PA a =,过A 作平面分别交平面PBC 于DE.当截面 ADE ?的周长最

小时,△ADE 面积为多少？ P 到截面ADE 的距离为多少？ 答案

：

264a

; 5

将三棱锥的侧棱PA 剪开,当ADE ?的周长最小时, 其展开图如图ADE ?的周长即是展开图中线段'AA 的长.易证ABD ? ∽PAB ?,又PA=2AB=2a ,故2AD AB BD a ===,

32PD PB BD a =-=,3

4

PD DE BC a PB =?=.ADE ?中,

DE

上的高8

AH a ==

.于是

2

1264

ADE S AH DE a ?=??=; 从P 向底面作高PO.则

==.

于是23133412P ABC V a a -=?

?=. 又22

9

16

PDE PBC S PD S PB ??==,

得339916161264A PDE A PBC V V a a --==?=.设P 到截面的距离 为d ,

则31364A PDE P ADE ADE V V d S a --?==?=,

于是5

d a =. 三、 课后练习

1．设二面角a αβ--的大小是0

60,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm,2cm,则点P 到棱a 的距离是( )

C,2

3

cm

2．若异面直线,a b 所原角为0

60,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .

A B

O

C

D E

O

A

A

B

C

D P

Q

3．如图,在ABC ?中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ?沿DE 折起来使得A 到1A ,且

1A DE B --为060的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.

4．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1. (1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;

(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.

第十三讲课后练习答案

1．

.1123622=-y x 由椭圆方程得焦点为)0,34(±，设双曲线方程12222=-b y a x ，渐近线为.x a b y ±=由题设3

1=a b ，所以a 2=3b 2,又34=c ,c 2=a 2+b 2. 所以b 2=12, a 2=36. 2. 900

。由定义得|FA|=|AA 1|,|FB|=|BB 1|，有∠1=∠BFB 1，∠2=∠AFA 1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠

4=∠BFB 1+∠AFA 1=900

。

3．相切，若P(x,y)在左支上，设F 1为左焦点，F 2为右焦点，M 为PF 1中点，则|MO|=21|PF 2|=2

1

(a-ex)，又|PF 1|=-a-ex ，所以两圆半径之和21(-a-ex)+a=2

1

(a-ex)=|MO|，所以两圆外切。当P(x,y)在右支上时，同理得两圆内切。 4．

.3

10

与F 1对应的另一条准线为x=-11，因|MF 1|与M 到直线x=-11距离d 1之比为e ，且d 1=|x m +11|=10.所以

3110||1=MF ，所以|MF 1|=.3

10

5．充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b 2

+4a 2

)x 2

+4a 2

x+a 2

(1-b 2

)=0. ①

若Δ=(4a 2) 2-4(b 2+4a 2)a 2 (1-b 2)=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b 2+4a 2=1；反之，4a 2+b 2

=1，直线与椭圆有一个公共点。

6．y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2

=4(x-m)，焦点为???=+=,

2,

1m y m x 它在直线y=2(x-1)上。

7．1≤m<5。直线过定点(0,1)，所以0m

1

<

≤1.又因为焦点在x 轴上，所以5>m,所以1≤m<5。 8．3．双曲线实轴长为6，通径为4，故线段端点在异支上一条，在同支上有二条，一共有三条。

9．

6π或π6

5。设直线l: y=kx 与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，把y=kx 代入椭圆方程得(1+3k 2)x 2

-6x+3=0，由韦达定理得,316221k x x +=+ ①.313

2

21k

x x += ② 因F （1，0），AF ⊥BF ，所以(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0,即x 1x 2-(x 1+x 2)+1+k 2x 1x 2=0. ③

把①，②代入③得33,312

±==

k k ，所以倾斜角为6π或.6

5

π 10．3．首先这样的三角形一定存在，不妨设A ，B 分别位于y 轴左、右两侧，设CA 斜率为k(k>0)，CA 的

直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为(a 2k 2

+1)x 2

+2a 2

kx=0，得x=0或1

2222+=k a k

a x ，于是)0,12(2

22+-k a k a A ，|CA|=.1122222++k a k k a 由题设，同理可得|CB|=1

122

222++k a k k a ,利用|CA|=|CB|可得(k-1)[k 2-(a 2

-1)k+1]=0,解得 k=1或k 2-(a 2

-1)k+1]=0。①对于①，当1

a 时，k=1；当a>3时，①

有两个不等实根，故最多有3个。

11．解 设焦点为F 1，F 2，椭圆上任一点为P(x 0,y 0),∠F 1PF 2=θ,根据余弦定理得

|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|?|PF 2|cos θ,又|PF 1|+|PF 2|=2a ，则4c 2=(2a)2

-2|PF 1|?|PF 2|(1+cos θ),再将

|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a-ex 0及a 2

=b 2

+c 2

代入得4b 2

=2(a 2

-e 2

20

x )(1+cos θ).于是有.12cos 2

222

--=x e a b θ由02

20

a x ≤≤，得2

20

2

2

2

a x e a

b ≤-≤，所以

1cos 22

2

2≤≤-θa a b 。因θ∈[0，π]，所以cos θ为减函数，故0.2arccos 222???

? ??-≤≤a a b θ当2b 2>a 2即b a 2<时，02222>-a a b ，arccos ]2,0[,22222πθπ∈<-a a b ，sin θ为增函数，sin θ取最大值222

222arccos sin a bc a a b =??

???

????? ??-；当2b 2≤a 2

时，arccos 222

22π≥-a a b ,θ∈[0,π]，则sin θ最大值为1。

12．解 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，若AB 斜率不为0，设为k ，直线AB 方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程并化简

得(b 2+a 2k 2)x 2+2a 2k 2cx+a 2 (k 2c 2-b 2

)=0. ①则x 1,x 2为方程①的两根，由韦达定理得

,22222221k a b c k a x x +-=+ ②.)

(2

22222221k a b b c k a x x +-= ③

因为y 1y 2=k 2

(x 1+c)(x 2+c)，再由②，③得.2

2

22

221b

k a k b y y +-= 所以?=x 1x 2+y 1y 2=2

222

24222)(b

k a b a b c a k +--,O 点在以AB 为直径的圆内，等价?<0，即k 2

(a 2c 2

-b 4

)-a 2b 2

<0对任意k ∈R 成立，等价于a 2c 2

-b 2

≤0,即ac-b 2

≤0,即e 2

+e-1≤0.所以0

.2

1

5-若斜率不存在，问题等价于.2

c a

b >即21

5-

1

50-<

，所以F 1(a 3-,0)，抛物线焦点到准线的距离a p 32=，

抛物线.342

ax y -= ①把①代入C 1方程得.023422

2

=-+a ax x ②

Δ=64a 2>0，所以方程②必有两个不同实根，设为x 1,x 2,由韦达定理得x 1x 2=-a 2

<0，所以②必有一个负根设为x 1,把x 1代入①得y 2

=134ax -,所以132ax y -±=（因为x 1≠0），所以C 1，C 2总有两个不同交点。

（2）设过F 1(a 3-,0)的直线AB 为my=(x+3a),由?????+=-=a

x my ax y 3,342

得y 2+43may-12a 2

=0，因为Δ

=48m 2a 2

+48a 2

>0，设y 1,y 2分别为A ，B 的纵坐标，则y 1+y 2=ma 34,y 1y 2=-12a 2

.所以(y 1-y 2)2

=48a 2

(m 2

+1).所以

S ΔAOB =

2

1

|y 1-y 2|?|OF 1|=23a ?34a ?22226161a m a m ≥+=+，当且仅当m=0时，S ΔAOB 的面积取最小

值；当m →+∞时，S ΔAOB →+∞，无最大值。所以存在过F 的直线x=a 3-使ΔAOB 面积有最小值6a 2

.

第十四讲课后练习答案

1. 解: 过顶点A,V 与高作一截面交BC 于点M,点O 为正四面体的中心,1O 为底面ABC 的中心,设正四面体VABC 的棱长为m ,则

AM=

2m =VM,1O M

=136

AM m =

, 1233O A AM m =

=

,13VO m ==,

得113

OO VO VO m a =-=- 在1Rt AOO ?中,222

11AO OO AO =+,

即2

22))a a =-+,

得m =. 则1VO =

4

3

a ,

有203111(sin 60)32V ABC V m VO -=????=

.选B.

A

B C A 1 B 1

C 1 S H

H 1

温馨提示:正四面体外接球的半径VO :内切球的半径1OO =1

:3:13

a a =. 2. 解: 32212341

::(

):(2):(2)2:3:133

V V V R R R R R πππ=???=,选B. 3解: 由题意,2(2)(2)(2)mnp m n p =+++,得222

(1)(1)(1)2m n p

+

++=. (1)当8m ≥时,由m n p ≤≤,则32222

(1)(1)(1)(1)28

m n p +

++≤+<,矛盾! (2)当2m ≤时,222

(1)(1)(1)2m n p

+

++>,矛盾! (3)当3m =时,则65(2)(2)np n p =++,即(10)(10)120n p --=.所以p 的最大值为130; (4)当4m =时,则43(2)(2)np n p =++,即(6)(6)48n p --=.所以p 的最大值为54; (5)当5m ≥时,222

(1)2222(1)(1)(1)(1)55

p m n +

=>

++++,得98p <. 综上所述:p 的最大值为130.

4. 解: 为了建立V 与原四棱锥S ABCD -的关系.我们先引用下面的事实:(如图)设111,,A B C 分别在三棱锥S ABC -的侧棱SA,SB,SC 上, 又111S A B C -与S ABC -的体积分别是1V 和V,则

1111

V SA SB SC V SA SB SC

??=

??. 事实上,设C,1C 在平面SAB 的射影分别是H,1H .则

111

C H SC CH SC

=

, 又1111SA B SAB S SA SB S SA SB ???=

?,所以11111111

1

313

SA B SAB C H S V SA SB SC V SA SB SC CH S ??????==????.下面回到原题.设SM x SB =,SN y SD =,因S ABCD -的体积为201

3243

V =??=.于是由上面的事实有012

S AMN S KMN S AMK S ANK S ABD S CBD S ABC S ADC V V V V V

V V V V V --------=+=+.得2V SM SN SA SM SN SK SB SD SA SB SD SC ????=

+????= SM SK SA SN SK SA SB SC SA SD SC SA ????+????=111222xy xy x y +=+,于是31x y x =-,而由0131

x

y x <=

≤-,1x ≤,得112x ≤≤.则31x V x y x x =+=+-,(112

x ≤≤).又得'

22

13(32)1(31)(31)x x V x x -=-=--.所以

(1)当

1223x ≤<时,'0V <,V 为减函数,(2)当2

13

x <≤时,'0V >,V 为增函数. 所以得min 2

3

43x V V

===

,又11232x x V V ====,得max 112

32x x V V V =====

第十五讲课后练习答案

1解：将展开的平面图形还原为正方体NACF EMBD -,可得只②,④正确.

2．证明:设D,1D 分别为AB,11A B 的中点.连结CD,11C D 及1BD ,1DA .因为11//BD D A ,所以四边形11BD A D 为平行四边形,得1BD //1DA .因AC=BC,于是1111B C C A =.又D,1D 分别为AB,11A B 的中点,故CD ⊥AB,11C D ⊥11A B ,而1AB 在平面ABC(或111A B C )内的射影为AB(或11A B ),得1AB ⊥CD,1AB ⊥11C D ,又已知1AB ⊥1BC ,所以1AB ⊥平面B 11C D ,从而1AB ⊥1BD ,又1BD //1DA ,所以1AB ⊥1DA .又

1AB ⊥11C D ,得1AB ⊥平面1A CD,从而得证

3．解：该问为探索性问题，用传统方法求解有相当难度，但使如果我们建立如图所示空间坐标系，借助空间向量研究该问题，不难得到如下解答： 根据题设条件，结合图形容易得到：

)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(

a

a E a a D a a B - ),0,0(,)0,2,23(a P a a C

→CP ＝(－a 23,2a

-,a) 假设存在点F

→CF ＝λ→CP ),2,23(a a

a λλλ--= →BF ＝→BC ＋→CF ＝???

? ?

?

--

a a a λλ

λ,)21(,23又→AE )3,32,0(a a =，→AC )0,2,23(a a = 则必存在实数21,λλ使得→BF ＝λ1→AC ＋λ2→

AE ，把以上向量得坐标形式代入得

???

??????=-==?????

?????=+=

-=-2321

213322)21(2323212211λλλλλλλλλλa a a a a a a 即有→BF ＝－21→AC ＋23→AE

所以，在棱PC 存在点F ，即PC 中点，能够使BF ∥平面AEC 。

第十六讲课后练习答案

1．解：设PA ⊥棱a 于点A,PM ⊥平面α于点M,PN ⊥平面β于点N,PA=t ,PAM θ∠=,则0

sin 1

sin(60)2

t t αα=??-=?,

5sin αα=,

有sin α=

或(舍去),

所以1sin 3t α=

=cm ,选B. 2．解：由→EF ＝→EA ＋→AB ＋→BF ,得|→EF |2＝|→EA |2＋|→AB |2＋|→BF |2

＋2|→EA |·|→

BF |·cos θ (1)当0

60θ=时,有9＝4＋|→AB |2

＋1＋2·2·1·2

1,得|→AB |＝2;

(2)当0

120θ=时,有9＝4＋|→AB |2

＋1－2·2·1·2

1,得|→AB |＝6.

3解:设ABC ?的高AO 交DE 于点1O ,令1AO x =,由

12=,有112OO x =-,

在11A OO ?中,01160A O O ∠=,有2220

11111112cos 60A O A O O O A O O O =+-???

得1

AO =当6x =时,1A 到直线BC 的最小距离为6. 4．解:(1)以A 为原点建立空间直角坐标系,设BQ x =,则Q (1,,0)x ,P(0,0,1),D (0,,0)a 得→

PQ ＝(1,x,－1),→QD ＝(－1,a －x,0)由→PQ ⊥→

QD ,有(1,,1)(1,,0)0x a x -?--=,得2

10x ax -+= ① 若方程①有解,必为正数解,且小于a .由2

()40a ?=--≥,0a >,得2a ≥.

(i)当2a ≥时,BC 上存在点Q,使PQ ⊥QD;

(ii)当02a <<时, BC 上不存在点Q,使PQ ⊥QD.

(2)要使BC 边上有且只有一个点Q,使PQ ⊥QD,则方程①有两个相等的实根,

这时,2

()40a ?=--=,得2a =,有1x =.又平面APD 的法向量→n 1＝(1,0,0),设平面PQD 的法向量为→

n 2＝(x,y,z)而→QD ＝(－1,1,0), →

PD ＝(0,2,0)－(0,0,1)＝(0,2,－1),

由

, 得(,,)(1,1,0)0

(,,)(0,2,1)0x y z x y z ?-=???-=?,解得,2x y z y ==有→n 2＝(1,1,2),则

cos ＜→n 1,→

n 2＞＝||||2

1

2

1n

n n n ?＝

6

1,则tan ＜→n 1,→

n 2＞＝5,所以二面角Q PD A --

→n 2·→

QD ＝0

→n 2·→QD

＝0