离散数学课程设计方案
离散数学课程设计方案
中央电大教务处教学管理科 2008年02月29日
为了落实教育部批准的《关于广播电视大学开展人才培养模式改革和开放教育试点的报告》精神，积极投入中央电大计算机科学与技术专业本科开放教育工程的建设和实施，搞好离散数学课程教学与管理工作，保证本课程的教学质量，实现本专业的培养目标，给出以下设计方案。
一、课程的性质与任务
计算机科学与技术专业是中央广播电视大学于1999年开设的开放教育试点专业，开设之初的合作高校为清华大学。在当时的专业教学计划中，把计算机数学基础（1）——离散数学确定为统设必修课程，课程的主要内容包括：数理逻辑、集合论、图论、代数系统等。由于2007年初，中央广播电视大学工学院将该专业的合作建设高校改为北京交通大学，并在新教学计划中把离散数学课程确定为该专业的学位课程，该课程的主要内容包括：集合论、图论、数理逻辑等。
离散数学是计算机科学与技术专业的基础核心课程。通过本课程的学习，使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力，为学生以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础。
本课程是一门理论性较强的课程，要求在完成基础知识教学任务的同时，通过适当的实际应用的介绍，提高学生的实际应用能力的培养。
二、课程的目的与要求
本课程是计算机科学与技术专业及有关学科的一门重要的基础核心课程，内容主要是介绍离散量的结构及其相互关系，其包含的理论与方法在各学科领域都有着广泛的应用。同时，离散数学也是计算机科学与技术专业的许多专业课程，包括程序设计、数据结构、操作系统、编译技术、数据库、人工智能等的先修课程。教学内容以基本概念、结论、算法、推理与证明方法，以及一般应用方法的介绍为主，课程内容突出简明扼要、体系结构清楚为原则。通过本课程的学习，学生可以初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法，同时培养和提高自身的抽象思维和逻辑推理，以及分析和解决实际问题的能力，并为以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础。
本课程具体要求为：
（1）了解离散数学的主要组成部分，各个部分所涉及的基本内容，及其在计算机科学与技术领域中的应用；
（2）理解离散数学的的基本概念、结论、算法、应用方法及适用范围；
（3）掌握离散数学的的基本推理与证明过程、基本算法及应用方法。
三、学时和学分
本课程课内学时72，共4学分，开设一学期。下表给出该课程的主要教学内容，视频课程和辅导课程的学时分配。
四、教学内容与学习方法
（一）基本学习内容
第一部分集合论
1．集合及其运算
集合的概念与表示，集合间的关系和特殊集合，集合运算，容斥原理。
2．关系与函数
笛卡儿积，关系的概念、表示方法及性质，复合关系与逆关系的概念与计算，关系的闭包的概念及计算，等价关系的概念与判定，等价类的概念与求解，序关系的概念与判定，复盖集与哈斯图的概念与求解。
函数的概念及性质，逆函数与复合函数的概念与计算。
第二部分图论
3．图的基本概念与性质
图的概念与表示，有向图、无向图、度，图同构，子图、补图，路与回路的概念，图的连通性与连通度概念、判定，点割集与割点，边割集与割边，图的矩阵表示及计算。
4．几种特殊图
欧拉图与汉密尔顿图的概念、性质、判定，平面图的概念、性质、判定，对偶图及着色的概念。
5．树及其应用
树的定义及性质，生成树与最小生成树的概念与求解算法（算法），根树的概念及性质，最优树的概念与求解算法（算法），最优树的应用（前缀码的求法）。
第三部分数理逻辑
6．命题逻辑
命题的概念、命题联结词的概念，命题公式的解释，范式（合取、析取、主合取、主析取范式）的概念与求法，命题公式的等值式与蕴涵式，命题逻辑的推理理论。
7．谓词逻辑
谓词的概念，量词的概念，谓词公式的解释，范式（前束范式）的概念与求法，谓词公式的等值式与蕴涵式，谓词逻辑的推理理论。
（二）学习方法
在学习本课程时要按照教学大纲规定的教学内容和教学进度，先自学文字主教材，了解基本内容和方法，找出疑难点。然后上网根据需要学习相关的部分的内容，包括网上流媒体课件、电视课资源、午间教学辅导直播、教学文件和教学辅导，也可以在课程论坛中提问设疑，寻求老师和同学的帮助。可以向主讲教师、主持教师发电子邮件等，争取尽快解决疑难问题。再下网做形成性作业。教学内容基本掌握后，最后做网上的综合练习，如果未达到教学要求，则返回本章节的起点重新组织学习；如果达到教学要求，可进行下一章节的学习。
在学习本课程的过程中要注意把握以下几点：
1．基本概念要清楚
离散数学课程中，几乎每一章都有一些概念需要弄清楚、理解确切并且记住。一般地，首先弄清这个概念是怎样提出来的，它的背景是什么？然后记住这个概念的确切内容，它与其他内容的内在的联系，最后掌握一些例子来帮助理解抽象的概念，这样就比较直观，形象。
2．基本公式要牢记
所有基本公式都应该把它们记住，就是指在对有关概念的理解的基础上，通过逐步推导和反复运用将公式记住，公式的记忆还要讲究方法，注意总结规律。
3．反复学习勤思考
通过反复学习来真正掌握有关的基本内容，需要经过由厚变薄和由薄变厚的两个学习过程。勤于思考，对于掌握知识，将会有一个很大的提高。
4．独立作业善总结
学习数学仅仅满足于能够把书看懂，公式和定理记住，而自己不去动手做题，那是学不好数学的。独立完成作业是学习的重要手段。学时所限，本课程的理论推证和例题都比较少，必须通过做数学作业来加深对基本概念的理解，熟悉公式的运用，掌握基本解题方法，从而达到掌握知识、提高能力的目的。通过做作业，才能学到一些具体的方法，做完作业后，注意小结，养成做读书笔记的好习惯，看看这样一类问题应当如何入手，想想通过做这几个题目有那些收获，学到什么方法，使自己分析问题和解决实际问题的能力逐步提高。
5．全面复习保重点
期末考核的内容不仅仅是考核重点内容，建议学员依据期末考核说明，全面复习，突出重点，解决难点，注意总结各章节内容之间的内在联系，这样才能取得较好的复习效果，并在考试中取得较好的成绩。
总之，本课程的学习要以文字教材为主，网上教学资源为强化，小组学习、协作学习为补充，集中面授答疑辅导为突破口，利用多种手段促进学习。按照这种方式学习效果一定会比较明显的。
五、教学措施、教学安排及考核
(一) 教学媒体
综合本课程多年教学实践，分析各种教学媒体功能和作用，结合电大远程开放教育的现状，本课程的第一阶段的教学媒体主要选择以下四种：
1．文字教材
中南大学选课各老师档案大全
中南大学选课各老师档案大全 【英语】 朱妮娅：人还比较好，上课比较随意。。。期末背课文，视听说一个表演+平时四周8篇日记（你们懂的） 潘紫霓：全新版很幽默听力课后一节看电影 段慧茹：新视野有时候可能点名要求不严上课不错小组PPT展示据说上高级人才班和非高级人才班可能学生有关感觉有差 谢筱莉：新视野老师很优雅很有气质口音很好要求个人PPT 上课回答问题加分从不点名 肖麟!!!顶好！ 康朝霞：上课会点名，偶尔也会布置作业，课堂上还会提问。讲课内容不局限课本，会交给中外文化差异，也会分享人生经验和心得。会安排情景表演很有意思，考试方式采用分组让大家交到更多朋友。 张爱兰：不点名，口语也是自己选一个，就是分不太高.. 刘光辉：分高口语读课文. 【高数】 刘旺梅，唐美兰、李军英，裘亚峥，陈亚力都是负责，很火的老师。基本上是你去晚了就没座位坐了。 其中，刘旺梅，会定期收作业，期末的平时分除了看作业，还会看你的考试成绩。唐美兰讲得比较细，陈亚力在期末给的平时分会比较高。唐美兰上课太死板。上课就教同学怎么套公式 李军英：人看起来比较好，个人不感冒，不点名，平时分挺好 讲课很好……认真负责！！！当然数学老师没几个会点名的，上课时间都不够，还点名？？？她会布置作业，但是学生作业都不做就不是学生了。 平时上课她总说严格要求，但是到最后考试的时候你考不好，她都会网开一面……很好的老师，在大一听她课很受用，学到东西了……使我成绩也不错 张炜：讲课小声了点，我的课都是晚上第一节，一不小心就困了。。平时分98-100......点一两次名其实爱去不去了（不是鼓励逃课） 李飞宇：没怎么去上过课，去的时候已经上完了，听不懂他说什么 = 秦宣云：秦哥讲课方式很对我口味。。 张力：比较松的，讲课不用PPT，也很认真的老师，课也上的不错（不过我一直没听），就是讲课普通话有点点口音，不过都能听懂的……当然也不点名，
离散数学(集合论)课后总结
第三章集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴{a}∈A T ⑵?({a}? A) F ⑶c∈A F ⑷{a}?{{a,b},c} F ⑸{{a}}?A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T ⑺{{a,b}}?A T ⑻{a,b}?{{a,b},c} F ⑼{c}?{{a,b},c} T ⑽({c}?A)→(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。（性质1：对于任何集合A，都有Φ?A。） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ?Φ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ?Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否Φ?B? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}?B? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}?B? 解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B Φ?B b) {Φ}∈B {Φ} ? B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}?B a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明A?B ? A∩B=A成立。 证明：A∩B=A ??x(x∈A∩B ?x∈A) ??x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B)) ??x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ??x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ??x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))) ??x(T∧(T∧( x?A∨x∈B))) ??x( x?A∨x∈B)??x(x∈A→x∈B)? A?B 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧(x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
离散数学论文
浅论离散数学的实际应用 摘要： 离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。作为一门重要的专业基础课，对于我们电子专业的同学来说，学习离散数学史有其重要现实意义：它不仅能为我们的专业课学习打下基础，也为我们今后将要从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也有助于培养我们的抽象思维、严格的逻辑推理和创新能力。离散数学的应用非常广泛，本文主要研究其在我们所学的重要课程中的应用：数字电路中的门电路设计、软件技术基础中的一些技术以及解决现实生活中的一些问题的应用。 关键字：离散数学、电路设计、软件技术、应用 1.什么是离散数学 1.1简介 离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。1.2离散数学的内容 离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、代数结构、关系论、函数论、图论、组合学、数论等。 2.离散数学在门电路设计中的应用 2.1 逻辑门的概念 逻辑门是集成电路中的基本组件。简单的逻辑门可由晶体管组成。这些晶体管的组合可以使代表两种信号的高低电平在通过它们之后产生高电平或者低电平的信号。高、低电平可以分别代表逻辑上的“真”与“假”
离散数学考试复习题2-中南大学电子信息工程
一、判断题 1、对每个集合A，都有（） 2、
离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
离散数学论文课程小论文)
离散数学论文 —浅谈离散数学的学习及其在计算机中的应用一、对离散数学学习的认识 通过这一学期的学习，我对这门课程有一些初步的了解，现在的心情和当初也很不相同。在听过老师讲解以后，我觉得第一部分的数理逻辑自己都能很好的掌握。后面的开始深入一些，对于好多以前没有接触过的名词定义不能马上理解，但是只要跟着老师的思维走，上课认真听讲，课后看一下书本就能懂。有了这些认知，我觉得这门课的难点在于课程比较枯燥，好多理论的知识需要我们去理解。前五章主要是认识逻辑语言符号，了解了数理逻辑的特点，并做一些简单的逻辑推理和运算。第二部分讲的是集合论。在这一部分中进一步认识、运用数理逻辑语言，熟练强化练习，深入理解。这一章的难度相较于前几章要繁琐些，有很多的符号转换，运算，运算过程很复杂。对于计算能力不强的我来说，这一章或许是最吃力的，即使知道原理也需要通过大量的练习强化巩固，而这其中用到的还有线性代数里面的矩阵。在第三部分的代数结构中主要学习了代数系统、群与环，其中二元运算和代数系统有点难度，较以往学习非常吃力！第五部分的图论可以归结为本书的重点之一，“图”“树及其应用”又是其中的重中之重。它的用途非常广泛，并且应用于我们整个日常生活中。比如：一个计算机芯片需要多少层才能使得同一层的路线互不相交？一位流动推销员要以怎样的顺序到达每一个城市才能使得旅行时间最短？这些问题以及其他一些实际问题都涉及“图论”。 这里所说的图并不是几何学中的图形，而是客观世界中某些具体事物间
联系的一个数学抽象，用顶点代表事物，用边表示各式物间的二元关系，如果所讨论的事物之间有某种二元关系，我们就把相应的顶点练成一条边。这种由顶点及连接这些顶点的边所组成的图就是图论中所研究的图。 树是指没有回路的连通图。它是连通图中最简单的一类图，许多问题对一般连通图未能解决或者没有简单的方法，而对于树，则已圆满解决，且方法较为简单。而且在许多不同领域中有着广泛的应用。例如家谱图就是其中之一。如果将每个人用一个顶点来表示，并且在父子之间连一条边，便得到一个树状图。 通过对图论的初步理解和认识，我深深地认识到，图论的概念虽然有其直观、通俗的方面，但是这许多日常生活用语被引入图论后就都有了其严格、确切的含义。我们既要学会通过术语的通俗含义更快、更好地理解图论概念，又要注意保持术语起码的严格。 本以为枯燥乏味的离散数学竟然会是贴近生活是我意想不到的，这些历史难题等等，都让我对它产生了一定的兴趣，虽然不可否认的是，对我来说它确实是一门很难很深奥很抽象的课程，但是仍然不减我对图论产生的兴趣，或许这也就是我选择这门课程最大的收获吧。 二、离散数学在计算机中的应用 离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。作为一门重要的专业基础课，对于我们计算机专业的同学来说，学习离散数学史有其重要现实意义：它不仅能为我们的专业课学习打下基础，也为我们今后将要从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也有助于培
离散数学的论述
简述《离散数学》在信息时代的作用 1.《离散数学》概述《离散数学》是以一切离散量为研究对象的一门学科，包括数理逻辑、关系代数、罔论、集合论等多方面内容。这门学科在计算机科学的发展和研究中起着重大的作用，比如在编译原理、数据结构、数据库系统、人工智能、计算机网络等专业课中都大量涉及了离散数学中各个分支的基本概念、基本理论和基本方法。所以它还有一个专业的名字——组合数学。离散数学是掌握和研究计算机学科的必要理论基础。有时人们也把离散数学和图论加在一起算成是离散数学。离散数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是离散数学。离散数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的离散数学。离散数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而离散数学的发展则奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了离散算法才使人感到计算机好像是有思维的。离散数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理、交通规划、战争指挥、金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用离散数学命名的公司，他们用离散数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名离散数学家利用离散数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 2.在1997年11月的南开大学离散数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，离散数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而离散数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指出离散数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力、很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士举例说明了华罗庚、许宝禄、吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视离散数学，同时还对离散数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国离散数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展离散数学已经迫在眉睫，刻不容缓。 2.《离散数学》与计算机软件随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作、生活、学习、社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。我在美国听到过一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化、管理水平、教育水平、思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。然而解决这一问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度，并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，更重要的是需要集体的合作和力量，就像软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析、
离散数学章练习题及复习资料
离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式)()(q p q p ∧?∨?∧的成真赋值为 01；10 2.设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →??→的真值为 0 3.公式)()()(q p q p q p ∧∨?∧??与共同的成真赋值为 01；10 4.设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式 5．设p, q 均为命题，在 不能同时为真 条件下，p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：)(p ??，其中p: 7是无理数； 或p ，其中p: 7是无理数。 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中,q p ∧?p: 小刘怕吃苦，q ：小刘很爱钻研 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p q ?→，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 或q p ?→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：)(q p r →→?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ，r: 困难解决了 或：q p r →∧?)(，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了 5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。 解：q p ?，其中p: 整数n 是偶数，q: 整数n 能被2整除 三、求复合命题的真值 P ：2能整除5， q ：旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨ 2.r q p p r p q ∧?∧?∨∨→→?)(())()(( 解：p, q 为假命题，r 为真命题
离散数学学习体会
我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽象代数题的解题思路 学习离散数学已经有一段时间了，书读了不少，题也做了一些。最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。所以对离散数学也有了一些心得和体会。在今后的一段时间里，我会不定期的写一些小的经验总结，以供后来人参考。：） 因为是“心得体会”，所以多半是想到什么写什么，组织和条理方面可能会比较差。还望各位看官多多包涵。；） 这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。 问题：设R为含幺环，求证：对任意a,b∈R，若1-ab可逆，则1-ba也可逆。 分析： 我们知道，证明问题的方法大致可以分为两类：构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法，找出符合命题要求的元素（在这道题中，就是找到1-ba的逆元）。后者则只证明这样的元素必然存在，但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。 无论打算采用是哪种证明方法，确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。 就这道题而言，我们可以使用这些前提： 1、R是含幺环。这就意味着R对加法构成Abel群（从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等），R对乘法构成独异点（从而可以使用乘法单位元1），当然还有乘法对加法的分配律。 2、1-ab是可逆的，这就是说，存在c∈R，使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移项后得到：cab=abc=c-1。 需要注意的是： 1、在题设中没有假设R的可换性（事实上，如果R可换的话，整个问题就没有任何难度了），也没有假设a、b是可逆的。所以，在解题时，不能使用乘法交换律，也不能随便使用a、b的逆元（除非已经证明了它们的存在性）。 2、如果没有1-ab可逆这个条件，肯定是推不出1-ba可逆的（我们在环中可以找到太多的反例）。所以，cab=abc=c-1将是解题的关键。观察这个式子，我们注意到，它提供了在c的参与下，移动和消去ab 的方法。 我们的目的是，证明存在这样的一个元素d∈R，满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。 初看到这道题，我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。 不过推理一下我们可以发现，如果要使用反证法的话，我们需要反设1-ba不存在乘法逆元，然后由此推出1-ab也不可能有逆元（或者推出R不是含幺环）。 但反设1-ba不存在乘法逆元后，我们到底能推出哪些结论来呢？似乎很少。我们甚至连“对任意x∈R，必有x(1-ba)≠1”这样简单的情况都难以证明（因为我们只假设了1-ba没有“乘法逆元”，并不能由此推出1-ba没有“乘法左逆元”）。 另一方面，利用等式cab=abc=c-1直接构造出一个1-ba的逆元应该一个比较有希望的方法。 这时，我们可以“取巧”了。注意到： 1、如果我们相信题目给的命题没有错的话，我们只要找到1-ba的左逆元（或者右逆元）就基本完成任务了（虽然最终书写证明时，我们需要证明我们找到的元素既是左逆元又是右逆元）。因为如果一个元素的左右逆元都存在的话，它的左右逆元是唯一且相等的（所以，1-ba确实可逆，而我们又找到了它的一
离散数学课程总结
离散数学课程总结 姓名： 学号： 班级：级计科系软件工程（）班 近年来，计算机科学与技术有了飞速发展，在生产与生活的各个领域都发挥着越来越重要的作用。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程。 一、课程总结 本书的主要内容有数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论以及初等数论六部分，而我们主要学习的有第一部分数理逻辑、第二部分集合论以及第五部分图论，第三部分代数结构也学习了一部分。第一部分：数理逻辑 数理逻辑是研究推理的数学分支，推理有一些列的陈述句组成。在数理逻辑中，主要学习了命题逻辑的基本概念、命题逻辑的等值演
算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本概念、一阶逻辑等值演算与推理。 1.在命题逻辑的基本概念中学习了命题的真值及真值表、命题与联 结词、命题及其分类、联结词与复合命题、命题公式及其赋值。2.在命题逻辑的等值演算中主要学习了等值式与基本的等值式模式、 等值演算与置换规则、析取范式与合取范式，极大值和极小值，主析取范式与主合取范式、联结词完备集。 3.在命题逻辑的推理理论中主要学习了推理的正确与错误、推理的 形式结构、判断推理正确的方法、推理定律；自然推理系统P、形式系统的定义与分类、自然推理系统P，在P中构造证明：直接证明法、附加前提证明法、归谬法。 4.在一阶逻辑基本概念中主要学习了一阶逻辑命题符号化、个体词、 谓词、量词、一阶逻辑公式及其解释、一阶语言、合式公式及合式公式的解释、永真式、矛盾式、可满足式。 5.在一阶逻辑等值演算与推理中主要学习了一阶逻辑等值式与基本 等值式、置换规则、换名规则、代替规则、前束范式、自然推理系统N及其推理规则。 第二部分：集合论 在集合论中，主要学习了集合代数、二元关系和函数。 1.在集合代数中，学习了集合的基本概念：属于、包含、空集、元 集、幂集、全集；集合的基本运算：并、交、补相对、对称差等； 集合恒等式：集合运算的主要算律、恒等式的证明方法。
中南大学离散数学实验报告(实验ABC)
“离散数学”实验报告(实验3ABC) 专业 班级 学号 姓名 日期：2011.12.19
目录 一、实验目的 (3) 二、实验内容 (3) 三、实验环境 (3) 四、实验原理和实现过程（算法描述） (3) 1实验原理 (3) 2实验过程 (5) 五、实验数据及结果分析 (6) 六、源程序清单 (10) 七、其他收获及体会 (16)
一、实验目的 理解图论的基本概念，图的矩阵表示，图的连通性，图的遍历，以及求图的连通支方法。 二、实验内容 以偶对的形式输入一个无向简单图的边，建立该图的邻接矩阵，判断图是否连通（A）。并计算任意两个结点间的距离（B）。对不连通的图输出其各个连通支（C）。 三、实验环境 C或C＋＋语言编程环境实现。 四、实验原理和实现过程（算法描述） 1、实验原理 （1）建立图的邻接矩阵，判断图是否连通 根据图的矩阵表示法建立邻接矩阵A，并利用矩阵的乘法和加法求出可达矩阵，从而判断图的连通性。 连通图的定义：在一个无向图G 中，若从顶点vi到顶点vj有路径相连(当然从vj到vi也一定有路径)，则称vi和vj是连通的。如果G 是有向图，那么连接vi和vj的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。 判断连通图的实现：在图中，从任意点出发在剩余的点中，找到所有相邻点循环，直到没有点可以加入为止，如果有剩余的点就是不连通的，否则就是连通的。或者也可用WallShell算法，由图的邻接矩阵判断图是否连通。
（2）计算任意两个结点间的距离 图中两点i，j间的距离通过检验A l中使得a ij为1的最小的l值求出。 路径P中所含边的条数称为路径P的长度。在图G
离散数学总结
离散数学学习总结 一、课程内容介绍： 1．集合论部分： 集合论是离散数学中第一个抽象难关，在老师的生动讲解下，深入浅出，使得集合论成了相当有趣的知识。只是对于以后的应用还不是很了解，感觉学好它很重要。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如： 方程x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。 表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法， 如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。例如B和C 是不相交的。 两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 2．关系 二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果
得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。 3．代数系统 代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字，将β连接在α后面得到∑*上的字 αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。 整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统
《离散数学》课程总结论文
《离散数学》课程总结论文 专业：11级计科系计本三班姓名：学号：1104013045 一．课程小结 从学离散数学这门课程开始，到现在学期末也已经有了一个学期的认识。以下是对离散数学这门课程的总结： 第一部分：数理逻辑 1.首先我们学习了命题逻辑的基本概念。其实这一部分的内容在高中时已经讲过。其次.命题公式及其赋值，这一小结主要讲的是什么是合式公式以及命题的解释和成真赋值、成假赋值等。 2.命题逻辑等值演算。在这一章节中主要介绍了一些重要的等值公式，例如德摩根律和蕴含等值式等，然后介绍的就是什么是析取范式与析取范式，又进一步的引出主析取范式与主合取范式的概念。另外一个知识点为连接词的完备集。 3.命题逻辑的推理形式。就是如何去证明推理的正确性。这需要我们记住一些重要的推理定律。然后是自然推理系统。推理的一些构造证明的方法有附加前提证明法和归谬法等等。 4.一阶逻辑基本概念。主要说的是一阶逻辑命题的符号化和一阶逻辑公式及其解释。 5.一阶逻辑等值演算与推理，这节知道量词如何消去和一些基本的量词等值式就可以了。 第二部分：集合论 1.集合代数。这一章节中首先讲的是集合的基本概念和运算等等，其中大部分的知识我们高中的时候都已经接触过了。其中要知道什么是绝对补集，对称差集和绝对补集就可以了。 2.二元关系。要知道二元关系首先要知道什么是有序对和笛卡尔集，这是二元关系的基础。然后要清楚二元关系的表示方法有三种，即集合表达式、关系矩阵和关系图。知道了二元关系，紧接着就是关系的运算和性质。关系的性质有自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。还有就是关系的闭包，其中包括自反闭包、对称闭包和传递闭包。最后一点就是偏序关系和等价关系，还需要知道哈斯图并且会画哈斯图。 第三部分：代数结构 1.代数系统。首先要能够判断一个运算是否为一个集合上的二元运算。在二院运算的基础上，要知道和能够判断单位元、零元和逆元。2群与环。在这一小节中首先要会判断一个代数系统是否为群。在也是这一章节的核心内容。如果一个代数系统，其二元运算时可结合的，又含有单位元，并且集合中的每个元素都有逆元，则此代数系统叫做群。 第四部分：图论 1.图的基本概念。其实在这一章节中，内容多数为一些基本概念。这就需要我们熟练的去掌握。只有清楚了概念才能够做题，比如说什么是有向图、零图、无向图和空图等等。另外图的矩阵表示在这一章节是尤为重要的。其中包括无向图的关联矩阵、有向图的关联矩阵、有向图的邻接矩阵和可达矩阵等。 2.欧拉图与哈
中南大学2004～2005第一学期离散数学考试卷(deng)
单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1.下列不是命题的是[ ]。 A.7能被3整除. B.5是素数当且仅当太阳从西边升起. C.x加7小于0. D.华东交通大学位于南昌北区. 2. 设p:王平努力学习，q:王平取得好成绩，命题“除非王平努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为[ ]。 A. p→q B. ?p→q C. ?q→p D. q→p 3. 下面4个推理定律中，不正确的为[ ]。 A.A=>(A∨B) (附加律) B.(A∨B)∧?A=>B (析取三段论) C. (A→B)∧A=>B (假言推理) D. (A→B)∧?B=>A (拒取式) 4. 设解释I如下，个体域D={1,2},F(1,1)=(2,2)=0,F(1,2)=F(2,1)=1，在解释I 下，下列公式中真值为1的是[ ]。 A.?x ?yF(x,y) B. ?x?yF(x,y) C. ?x?yF(x,y) D. ??x?yF(x,y) 5. 下列四个命题中哪一个为真？[ ]。 A. ?∈? B. ?∈{a} C. ?∈{{?}} D. ??? 6. 设S={a,b,c,d}，R={
中南大学电子商务实验报告一
《电子商务应用》 实验报告 项目名称电子商务网站系统规划 专业班级 学号 姓名 实验成绩： 批阅教师： 2014年3月6日
实验1《电子商务网站系统规划》实验学时： 2 实验地点：X204 实验日期：2014年3月6日 一、实验目的 对现行电子商务系统进行分析和研究，通过对现有系统的分析并结合所选课题撰写系统规划报告，设计电子商务系统的功能模块结构。掌握电子商务系统战略规划的内容与方法，掌握一般电子商务系统体系的基本构成、各个部分的作用及其相互关系，掌握《电子商务系统规划报告》的撰写方法。 二、实验内容和方法 1. 从以下十个选题中任意选择一个（也可选其他主题，网站名字可以更换）： (1) 蓝天数码街：主营电脑配件、笔记本和其他数码产品。 (2) 靓丽服饰城：主营各种时尚、流行的职业装、家居服和牛仔系列等，同时也代销多种世界品牌的服饰。 (3) 阳光大本营：主营各式体育用品，在市内商业街已经营多年，有很广泛、固定的客户群，商店的售后服务周到及时。 (4) 紫涵美丽店：主营各类品牌保健品，包括天然的美容食品和各类保养品及药品等。 (5) 星城礼品坊：主营各类鲜花、礼品和玩具，在市内有多家连锁店，可提供在线预订与送货上门服务。 (6) 魅力名妆屋：主营各类品牌化妆品，包括国内、国际多种著名品牌。 (7) 博学图书城：主营各类图书及正版光盘。 (8) 求知网校：在线IT网络教育平台，可提供在线教学服务，采用购买积分卡充值模式，提供各类IT教学资源。 (9) 趣比网：面向年轻朋友的比价和导购网站，为当前主流B2C和C2C平台提供一个全新的入口。 (10) 考友集中营：为各类考试考友提供一个沟通、交流和学习平台，包括考研、英语四六级、会计证、软考、雅思、托福等多个考试频道。 2. 研究至少3家已有类似业务的系统，分析其栏目设置、界面特色、功能特色、优缺点、盈利模式、支付方式、配送方式、主要实现技术等相关内容。 3. 根据选题，假定拟开发一个全新的B2C电子商务系统（目标系统），对该电子商务系统进行系统规划，正确撰写《电子商务系统规划报告》。重点从以下方面进行分析： (1) 对企业所处的行业及企业竞争力进行分析 在分析过程中，需重点考虑以下问题： 1) 市场定位分析。目标是树立企业形象还是展示产品、拓展市场；是宣传自己的思想、理念还是调查用户反应、改进售后服务；是为企业做宣传，加强客户的沟通还是要实现网络营销。电子商务成功的定位往往决定了企业的成功。 2) 系统目标客户分析。调查与分析目标客户，了解系统可能服务的对象和他们的需求，规划与设计符合目标客户群的商务系统，为他们提供所需的产品或服务，以满足他们的兴趣与爱好，吸引他们对系统的注意力，就会留住客户并增强系统的针对性。 3) 分析网络中企业现有的竞争对手，分析取胜的机会，制定相应策略和正确的操作步骤。竞争对手的产品与服务一直影响着企业的管理、生产与经营，甚至是造成很大的威胁。尤其是如果竞争对手已经在网上开展了业务，那么竞争对手的经营状况对于企业在行业竞争
离散数学总结
离散数学总结 班级：学号：姓名： 临近期末各科课程已经结束，随之而来就是总结各科学习总结和对这门学科的建议。《离散数学》这门课程当然也不会例外了。经过一个学期的学习我发现《离散数学》是一门理论性非常强的课程，而且知识点非常多，定义和定理以及定律是数之不尽。 《离散数学》顾名思义就是一门数学，它是数学众多领域中的一个小分支，即使是一个小小的分支，但是它的内容也非常之多，同时也非常抽象。自认我的数学成绩还是不错的，但是面对《离散数学》我就头痛，书本里面很多知识点我都是似懂非懂地。但鉴于《离散数学》在计算科学中的重要性，这是一门必须牢牢掌握的课程。因此我也很无奈，只好硬着头皮去学好它了。 离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论)有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。 《离散数学》的特点是： 1、知识点集中，概念和定理多。《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。 2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法等），同一个题也可能有几种方法。但是《离散数学》证明题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法，再者要善于总结。 在学习《离散数学》的过程中，我明白了理解概念是至关重要的。只有概念明确，才有可能将离散数学学好。但是初学者往往不能够将概念与现实世界中的事物联系起来，这是学好离散数学的基础，因此也是初学者面临的一个困难。只有克服它，你才能有可能学好《离散数学》。 学完这门课后，我总结到了，如果你想学得更好——你可以在进行完一章的学习后，用专门的时间对该章包括的定义与定理实施强记。只有这样才可能本课程的抽象能够适应，并为后续学习打下良好的基础。而且必须及时复习和总结。 《离散数学》是一门数学科，大家都知道学数学就是要大量做数学，因此《离散数学》也不会例外。学习数学不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习数学的思维方法。这一点非常重要。 课程虽然是上完了，但是老师你的教学方法独特而新颖，思想开化而先进，是个容易沟通的老师。有你带着我们学习《离散数学》就是我们不想学好，我想也是很难吧！就我来说每次上课时在我快要与“周公”会面之际，你突然一个笑话和雷人的语录，我和“周公”迫不得已就分开了。当我再次看到周公时，耳边
离散数学答案
2015春课件作业 第一部分集合论 第一章集合的基本概念和运算 1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是 A （选择题） [ A ] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ? A。 1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是 D （选择题） [ D ] A．C； B．A； C．B； D．?。 1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题） （1） N ? Q，Q ∈S，则 N ? S，否［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。否［错］ 1-4 设集合 B = {4，3} ∩?， C = {4，3} ∩{ ? }，D ={ 3，4，? }， E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}， F = { 4，?，3，3}， 试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A （选择题） [A ] A. C; B. D; C. E; D. F. 1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [D ] A. N; B. Z; C. Q; D. Z+ 1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题) 按照所研究的问题来确定集合的元素。而我们所要研究的问题当然是随意的。所以，集合的定义（就是集合成分的确定）就带有任意性。 第二章二元关系 2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下： R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题） 求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。 所谓谓词表达法，即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来，如本题几例所示。有的书上称其为抽象原则。反过来，列元法则是遵照元素的性质和要求，逐一将他们列出来，以备下用,结果如下： R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>}； (1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}； (3)R 的性质:自反,对称,传递性质. 2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即 R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}， 试给出 dom（R 。R）。（选择题） [ B ] A. 3； B. {3}； C. 〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。 2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；以及函数的性质。最后指出 f：A→B 中的双射函数。（选择题） [ B ] （1）A = {1，2，3}，B = {4，5}， f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。 （2）A = {1，2，3} = B， f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。 （3）A = B = R， f = x 。