高层办公楼电梯问题分析.

高层办公楼电梯问题分析

摘要

我们根据对高层办公楼电梯调运问题的分析，和对问题的合理假设，分别对提高当前电梯效率和优化电梯配置建立了相应模型，对问题做了一一解答。问题一，我们首先考虑乘客的到达在8：20至9：00这一区间内服从指数为l 的泊松分布，乘客的平均到达时间间隔服从负指数分布，针对电梯的分配情况我们制订了三种方案：方案一，将6部电梯平分为两组；方案二，将电梯均分为三组，方案三，将电梯分为六组，建立合适的数学模型。在满足运行条件下，通过计算机仿真优化，计算出每组电梯在最优化条件下分配的楼层，由于人数太多，6部电梯难以将所有人都及时送到各楼层，所以，我们以每组中电梯到达底楼的时间间隔最小为主要优化目标，同时用MATLAB 编程计算出时间间隔，通过比较三个方案的结果我们发现，方案二，将电梯分为三组的情况下，每组中相邻两部电梯到达底楼的平均时间间隔最短，此时，人均等待时间最短，人均乘坐电梯时间最短，该方案为最优分配方案，电梯的分配情况为：

问题二，运用随机服务系统理论即排队论建立电梯交通流网络排队模型，分为以下三个步骤①假设：电梯网络排队系统中各服务站的乘客到达为泊松过程，即到达间隔为相互独立的负指数分布；电梯对乘客的服务时间是相互独立的负指数分布；电梯系统中乘客的排队规则为先到先服务(FIFO的等待制。在电梯排队网络中，为了将乘客快速运达目的楼层，需要对楼层分区。②将电梯服务系统建立为M ／M ／L 排队模型。③确定每5分钟时间段大楼内各楼层要求服务乘客数分布和上行百分比。此后，利用马尔可夫理论对电梯服务系统的网络排队模型进行了分析求解，推导出该系统的队长、等待时间等系统评价指标的分布，并求得不同服务强度所对应的系统评价指标与系统配置要素之间的函数关系

关键字：电梯调控；计算机仿真；局部调整；网络排队模型；马尔可夫排队论

1、问题重述

1.1、问题发生的背景

某商用写字楼在早上8点20分到9点00分这段时间里，上班的人陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海。常常碰到再５分钟就迟到但电梯等了好长时间还没来的情况，候梯的人焦急万分。所以，公司强烈要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案。

各层楼的办公人数(不包括第一层楼见表1

(1 数据

；

(3电梯的最大运行速度是304.8m ／min ，电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22m ／s 2；

(4电梯的容量为19人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s 和0.5s ，开关电梯门的平均时间为3s ，其它损失时间(如果考虑的话为上面3部分时间总和的10％；

(5底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；

1.2、要解决的问题

问题一：假如现有6部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。

问题二：如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，请给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8 m／min ，304.8 m／min ，365.8m ／min ）。

2、问题分析

对问题一：首先，我们假设乘客到来服从参数为l 的泊松分布，则乘客到达的时间间隔服从负指数分布，从电梯的基本运行开始：设电梯的最大运行速度为

0v ，从始点静止到终点静止需要运行的距离为s ，需要运行的时间为( T x ，最大加速度为a 。由电梯的初速度为0得电梯满足v a t =?，从而加速到最大需要的时间为01v t a

=，其运行距离为2

012v d a =，考虑到电梯运行过程中加速度与减速度对称性，则当2

v s a

≤

时，电梯的运行不可能达到最大速度，能够达到的速度大为v =

0t =

( T s =2

0v s a

≥时，总运行时间为00( v s T s v a

=+；进而推导出每部电梯的运行周期，考虑到只有6部电梯可供利用，楼高三十层，无法满足将所有的人都准时送到预定位置，我们分别将电梯分为两组，三组和六组，以每组中电梯到达底楼的时间间隔为主要优化目标，并分别对结果进行计算和分析，通过局部调整实现各个方案的最优化，我们通过对三种方案得到的结果进行比较，选择出最优方案，来实现对电梯的最优化配置。乘客乘坐电梯的过程如下图：

对问题二，在对电梯进行安装改造时，不仅要考虑对乘客的有效运送问题，还要考虑电梯安装的安装成本，由于较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，所以我们可以通过线性规划来实现电梯的最优化安装配置

电梯系统中乘客的到达和乘客的运送都是复杂的随机过程，因此，电梯系统是一个极为典型的提供成批服务的随机服务系统。传统的电梯交通配置分析，只是利用概率论进行粗略的运算，估算乘客的平均候梯时间，而对于系统队长、等待时间等评价指标的分布和精确的均值则无法求出。为了求出这些主要指标的分布和较精

确的均值，则必须利用M ／M ／L 排队模型和Jackson 开网络排队建立电梯服务系统交通流的数学模型，并利用马尔可夫链理论进行求解该数学模型。

3、模型假设

1、假设电梯在工作过程中不出现故障；

2、由于人流量大，假设每次进入电梯的人数都为19人；

3、乘同一组电梯的乘客到该组所服务的任意楼层是随机的；

4、每位乘客在每层楼下的概率相等；

5、只考虑将乘客从底楼送到各自确定的楼层，而不考虑乘客在其他楼层进入电梯的情况；

7、到达每层楼的乘客均匀到达；

8、电梯到达服务的最高楼层后直接回到底楼；

4、符号约定

a 电梯的加速度

0v 电梯的最大速度

s 电梯从始点静止到终点静止需要运行的距离

( T s 从始点静止到终点静止需要运行的时间

1t 从底层直达第一站所用时间

2t 从到达的第一站到最后一站运行时间

3t 从服务的最后一站下到最底层所用时间

4t 乘客上下电梯，开关门及其他损失的时间L 电梯服务的最低层

H 电梯实际运行到达的最高层

S 电梯实际停的站数

m 电梯的容量

d 开关门所用的时间

a t 每个乘客上电梯所用时间

b t 每个乘客下电梯所用时间

f 从第二层起，相邻两层间隔距离

1h 底楼高度

T 电梯的运行周期

T D 电梯到达底楼的时间间隔

M 乘电梯总人数

n 每组电梯数目

RTT 往返一次运行时

INT 电梯相继到达门厅的平均时间间隔

r 电梯服务强度，电梯的负载率

5、模型的建立及求解

5.1 对问题一建立模型

根据实际生活中人们上下班的时间规律，早晨乘客到达底楼的过程是一个泊松过程，到达时间间隔服从参数为λ的负指数分布，即密度函数

( (0 t f t e t λλ-=≥ 乘客平均到达时间间隔1

( E t λ=，假设所有乘客都在8:40至9:00之间全部到达可算出平均到达时间间隔为24000.45948

t ?==秒，即2.5λ=。用MATLAB 生成(05948 n n ＃个服从负指数分布的到达时间间隔，即可

求出每个人到达的时刻，设为(15948 i i

t t ＃，记10t =。 5.1.1 建立电梯的运动方程

电梯在运动过程中分为两种情况：

1）先加速，未达到全速就减速停下，如下图：

设t 为电梯由运动到静止所用的时间，则

2

v t s a =≤ 2）电梯加速到全速，然后按全速匀速上升，直至最后减速停止，过程如下图：

此时，电梯由运动到静止所用时间

2( v s v t s a v a

=+> 所以，电梯的运行距离和电梯的运行时间之间的关系为：

22

( ( v s a t s v s v s a v

a ?≤??=??+>??

由于电梯始终上下不停的往复运动，因此，电梯的运动过程可用其运行一周的时

间来表示，即每部电梯的运行周期，电梯运行周期包括的阶段： 1 从底层直达第一站所用时间：

11((2 t t L f h =-+

2）从到达的第一站到最后一站运行时间：

2((2 (1 t t f S t H S f =-+-+

3）从服务的最后一站下到最底层所用时间：

31((2 t t H f h =-+

4）乘客上下电梯，开关门及其他损失的时间：

41.1(( (1 a b t m t t d S =?+++

所以，电梯的运行周期：

1234T t t t t =+++

变量S 和H 的分布： a. 对( E S 的推导

由假设可知，任一乘客在任一层楼下的概率：

1i P N

=

其中，N 为该组电梯所服务的楼层数，

对于m 各乘客，则至少有一个在第i 层下的概率为：11(1 m p N =--

则：1( [1(1 ]m E S N N

=--

b. 对( E H 的推导

设任一乘客在第j 站之前下电梯的概率：

j j P N

=

所有乘客在第j 站之前下电梯的概率：

' (

m j P N

= 随机变量H 等价于在离散型均匀分布中m 个样本的极大值

即：1

1( [(

( ]N

N

m m j j j E H j N =-=-∑ 为提高电梯的服务效率，对服务于整个楼的电梯进行分组，每组服务于不同的楼

层，考虑为使等待时间最短，同一组电梯必须均匀分布在它们所分布的楼层，设每组有n 个电梯组成，则时间间隔为：

T T n ?=

5.1.2 每组电梯运完对应的楼层总人数所用的总时间

用M 表示乘电梯的总人数，要运完所有的人需要时间为:

M

T T m =??总

5.1.3 约束条件

12400602M N i ji j m M T T T n T T m =?>????

=

?=?????

∑总 5.1.4 调度方案的建立

①方案一

将电梯分为两组，第一组为1号，2号和3号，负责前x 层楼，其余三部电

梯负责后30x -层楼，两组电梯同时运行，互不影响，根据楼层与时间的分配规律信息，通过计算机仿真模拟即可得到乘客上楼的到达时间与楼层信息，员工到

达底楼时会选择第一组或第二组电梯，这样自动生成两个队列，队列一乘坐第一组电梯，队列二乘坐第二组电梯，每个乘客信息已由计算机模拟得出，利用MATLAB 编程可算出每组电梯的运行周期，以及每组中电梯到达底楼的时间间隔，通过计算机仿真可求出每位乘客的平均等待时间和平均乘坐电梯时间，同时求出相应的x 。并对所得结果，进行计算分析，通过局部调整的方式对该方案进行优化，使每组中电梯到达底楼的时间间隔达到最小。

②方案二

在方案一的基础上，将电梯均分为三组，第一组为1号，2号；第二组为3号，4号；第三组为5号，六号；通过MATLAB 程序求出每组电梯的运行周期以及每组中电梯到达底楼的时间间隔，并按照方案一中的步骤通过计算机仿真模拟，得出最优的楼层分配方案，对所得的结果进行计算和分析，通过局部调整，使得每组中电梯到达底楼的时间间隔最短，让方案二达到最优状态。

③方案三：

在方案二中，将电梯分为三组我们通过计算机仿真模拟发现，这样在降低了电梯停靠次数的同时也减少了电梯的运行时间，员工们等待和乘坐电梯的时间也会为之减少，电梯的利用效率随之提高，按照这个思想我们可以将六部电梯继续细分，让每一部电梯单独负责某些具体的连续的楼层，继续提升六部电梯的效率，使其达到最佳状态，尽可能的降低员工的等待时间。乘客到达底楼时，根据计算机模拟好的时间信息和目标楼层，自动选择需要乘坐的电梯。由于每个人的到达信息在电梯上升之前已经全部模拟得出，所以，当员工到达底楼时便生成六个与之对应的乘客队列，同样，通过MATLAB 程序可以计算出每组电梯的运行周期，以及到达底楼的时间间隔。由于，各个电梯在运行过程中互不影响，利用与方案一中的求解的方法可得到每部电梯分配的楼层情况，通过计算和分析，采用局部调整的方式对结果进行优化，使方案达到最佳状态，求出此时的每组中电梯到大底楼的时间间隔。

5.1.5 模型的求解及结果分析

方案一：通过MATLAB 程序和计算机仿真模拟可以得到每组中电梯到达底楼的时间间隔和每组电梯分配的楼层情况。但是，负责低楼层的电梯运行周期相对较短；负责高楼层的电梯运行的时间相对较长，如果两组电梯负责楼层平均分配的话，高层的乘客等待的时间会普遍偏长。为了均衡这种差距，我们安排负责低楼层的楼层数相对于高楼层来说相对有所增多，在此基础上对这两组电梯所负责的楼层数进行多次局部调整，通过反复计算和分析对方案一进行优化，我们得到方案一中的最优分配结果：

方案二：采用方案一中的计算方法和优化手段得到方案二的最优化分配及结果如下表所示：

方案三：同理，按照方案一中的计算方法和优化手段得到方案三的最优化分配方案及结果如下表所示：

由上面的经过优化的三个方案所得到的结果中，我们发现并不是电梯分组越多越好，通过对三个方案中每组中电梯到达底楼时间间隔结果的比较分析，我们发现，方案二中的各组中电梯到达底楼的平均时间间隔最短，在这种情况下，我们也

有理由认为，该方案中，乘客的平均等待时间最短，乘客的平均乘坐电梯的时间也最短，此方案相对于另外两个方案更加优越。

所以，我们认为方案二的结果最合理，即将电梯分为三组，第一组负责2至14层，第二组负责15至23层，第三组负责24至30层，此时，底楼乘客等待的最长时间将会最短，电梯的利用效率最高。 5.2、对问题二建立模型 5.2.1 模型必要假设

假设1：乘客乘电梯是一个随机问题。统计分析表明随机过程，如乘客到达电梯系统要求服务的过程，满足如下的Poison 分布：

( !

n T

T e n l l j -=

，(0,1,2, n = (1

式中j 是在给定的时间周期T 内n 个乘客到达要求电梯服务的概率l ，是到达率，即每秒到达系统的平均乘客数。

则乘客的到达间隔服从参数为l 的负指数分布。即

111, 0

( {}0, 0

t i i e t A t P t t l t t -+ì?- ?=-<=í

?

假设2：电梯对乘客服务时间为相互独立的负指数分布。电梯服务时间(即电梯往返一次运行时间是指电梯从门厅出发再返回门厅所需的时间RTT t 电梯成批服务时间RTT t 。服从参数为m 的负指数分布，即

1, 0{}0, 0

t RTT

e t P t t t m -ì?- ?<=í?

（3）

其中11[]RTT RTT

E t T m =

= RTT T (也可记作RTT 为电梯往返一次运行时间的期望值，所谓的往返一次运

行时间(RTT 是指单台电梯沿建筑物楼层上下运行，以电梯在门厅开门时刻起直到往返一次再回到门厅重新开门时刻止所需的以秒计算的时间。

假设3：排队规则为先到先服务的等待制(FIFO 5.2.2 电梯马尔科夫过程排队系统的必要条件

各服务站代表的电梯排队系统是相互独立的M ／M ／L 队列。由公式(2得到负指数分布的概率密度函数为：

, 0( ( 0, 0

t e t dA t a t dt

t l l -ì?3?==

í?常数（4）

这里，l 为乘客到达率。

令 =

l r m ，L L l r m

= (5

r 是系统中单部电梯的服务强度，L r 是系统中排队系统的电梯服务强度，表示系统输入与系统服务能力的相对关系。当1.0L r ￡时，所有状态为常返状态；当1.0L r <时，所有状态为正常返状态，此时存在平稳分布；当1.0L r >时所有状态均为瞬态，不存在平稳分布。因此，当1.0L r <时，由生灭过程结论求得该排队系统的平稳分布为：

1

01

0011, 0,1, 2, , ! 1, ! n n i i n n n i n L i P n L n P P P n L L L l l m l m m -=-=ì?骣

?÷??? ??÷÷??桫?==í?骣?÷??鞒??÷?÷?桫??

?? （6）

又由正常化方程0

1n n p ￥

==?，得到

100100111! ! 11! ! n n L n L n n L n L n L L n n L p n L L p n L L l l m m l l l m m m - -==-- ==轾骣骣犏鼢=? 犏鼢鼢桫桫犏臌

轾骣骣骣犏鼢 =? 鼢犏鼢鼢桫桫桫犏臌

（7）

令k n L =-，并将公式(5代入上式，可以得到0p 的表达式公式(8

1

1010! ! n n L k

L n k p n L r r r -- ==轾犏=+犏臌

（8）

则，当1L L l

r m

=

<时，系统的平稳分布： 00, 0,1, 2, , ! , !

n n L n

L P n L n P L P n L L r r ì??=???=í??3????（9）

5.2.3 网络排队模型中乘客转移概率矩阵P 的确定

如果存在一个乘客的到达时间模型，就能知道何时要求电梯响应一个已召唤的乘客，但是该模型不能说明每个乘客要到达大楼的哪一层。这也是一个随机问题，为了解决这个问题，首先介绍两个物理概念，一个是起始密度向量，另一个是起始-目标矩阵。

下面的例子用来描述这些变量的构造方法。

假定办公大楼共有N 层．各层分布的人数分别为：( pop i ，1,2, , i N = ，设到达和离开一个楼层的客流与该楼层的人数成正比。乘客的运动可分为如下三种类型：

(a上行交通，起始楼层为基站； (b下行交通，目标楼层为基站；

(c层间交通，起始楼层和目标楼层都不是基站。

假定, , X Y Z 分别表示(a、(b、(c三种客流的百分比。这时可定义起始密度向量如下：

(1begin X =

( ( i begin i Y Z z =+，(2,3, i =

式中

2

(

(

i n

i pop i pop i z ==

?

表示楼层号，基站为第1层，其它楼层分别为2,3, , n ；N 是电梯服务的顶层，( begin i 表示从第i 层出发的相对客流量。

转移概率矩阵可定义如下：

(1,1(1,2 (1, (2,1(2,2 (2, (,1 (, 2 (, od od od N od od od N od N od N od N N 骣

÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷?÷?桫

（10）

其中元素(, (, 1,2, , od i j i j N , = 表示从第i 到第j 层的相对客流量。可以有下列式子给定：

0, 1(1, , 2,3, , i

j od j j N z ì =?

?=í

? =??

0, 1(,1 , 2,3, , i od i Y

i N Y Z ì =??

?=í? =??+? 0, (, , ij

i j od i j Z i j Y Z

h ì =??

?=í? ??+??式中，

2(

(

ij N

k k j

pop j pop k h =1=

?

5.2.4 乘客到达率与交通配置计算所需参数的关系 5.2.4.1 电梯往返一次运行时间与乘客到达率的关系

考虑电梯在层问运行附加时间以及不均匀楼层距离引起的附加时间等等因素，电梯的往返一次运行时间可以用如下公式求取：

2(1 2v s p RTT Ht S t Pt =+++

（11）

其中，H -最高返回楼层；S -期望停靠次数；P -电梯往返一次所载乘客的数目；v t -层间运行时间；s t -停靠时间；p t -乘客转移时间。

公式(11表明电梯的往返一次运行时间RTT 与电梯往返一次所载乘客的数目

P 密切相关。

现在需要求取的是往返一次运行时间RTT 和到达率λ的关系。在上述公式中必须把H 、S 、P 三个参数用乘客到达率λ表示出来。

假设乘客的到达时间间隔，服从参数为^的负指数分布，则其概率密度为：

, 0( (0 0,

0t e t f t t λλλ-?>=>?

≤?

于是到达时间间隔的期望为：

1

( ( E T tf t dt λ

+∞