三角形的五心定理

三角形的五心定理

重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．

上述交点叫做三角形的重心.

外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．

这点叫做三角形的外心.

垂心定理三角形的三条高交于一点．

这点叫做三角形的垂心.

内心定理三角形的三内角平分线交于一点．

这点叫做三角形的内心.

旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．

这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽．

二引伸与推广

1．重要性质及其相互间的联系

三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：

（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；

（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；

（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；

（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；

（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．

上述性质读者可自行证明，下面我们给出几个推广．

2．重心定理的推广

证明如图7，直线CKF截ΔABD，由梅涅劳斯定理，有

虽然当n=2时，有S△GHK=0，G、H、K重合于重心.

如果我们称n（≥3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：

定理2n边形的各条中线（若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．

证明当n=3时为重心定理，结论成立，假设n=k-1，（k≥4）时，命题成立，则当n=k 时，在k边形A1A2…Ak中，如图8，若S是k-2边形A1A2…Ak-2的重心，则Ak-1S、AkS 分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的中线．

设Ok-1和O′k-1分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的重心，则根据假设有

连接AkOk-1、Ak-1O′k-1，则它们是k边形的两条中线，且交于一点，设交点为O，连接Ok-1O′k-1，则有Ok-1O′k-1∥Ak-1Ak，

所以ΔOOk-1O′k-1∽ΔOAk-1Ak．

因此，k边形A1A2…Ak的相邻两条中线Ak-1O′k-1，AkOk-1交于O点，且被O点内分为（k-1）∶1．同理可证k边形A1A2…Ak的任意相邻两条中线的交点内分每条中线为（k-1）∶1，由此推得，k边形的所有中线过一点，且被这点内分为（k-1）∶1．

综上所述，定理得证．

3．外心定理的推广

定理3过ΔABC三边中点D、E、F分别作与三边倾斜角均为α的斜线且顺序一致，三斜线相交得ΔGHK，

则SΔGHK=cos2α·SΔABC．

证明如图9，首先我们证ΔKGH∽ΔABC，

因为∠KFA=α=∠KEA，

因为A、K、F、E四点共圆，

所以∠GKH=∠BAC．

同理可证∠G=∠B，∠H=∠C，故ΔKGH∽ΔABC．

又由正弦定理，有

同理，B、G、D、F共圆，有

①+②得

显然，当α=90°，即S△KGH=0时正是外心定理．

对外心定理，还有下面的推广

证明略．

4．垂心定理的推广

定理5从ΔABC三顶点分别作对边的斜线，与对边的交角为α，且顺序一致，三斜线相交成ΔGHK．则

SΔGHK=4cos2α·SΔABC．

证明如图10，过A、B、C分别作对边的平行线交得ΔA′B′C′，则A、B、C分别为ΔA′B′C′三边的中点，由定理3有

SΔGHK=cos2α·SΔA′B′C′=4cos2α·SΔABC．

显然，α=90°时为垂心定理．

垂心定理还可理解为三角形一顶点与另两条高交点的连线垂直于对边，那么对五边形，我们有

定理6在一五边形中，若有四个顶点向对边所作的高交于一点，则第五个顶点与其交点的边线也垂直于对边．

证明如图11，设在五边形ABCDE中，AF⊥CD、BG⊥DE、CH⊥AE，DI⊥AB；且AF、BG、CH、DI交于O点，连接EO并延长交BC于K，连HG，则四边形AHFC、AIFD、BIGD、OHEG各内接于圆．

所以OA·OF=OH·OC，OA·OF=OI·OD．

OI·OD=OB·OG，∠1=∠2．

所以OH·OC=OB·OG，故C、B、H、G内接于圆．

所以∠2=∠3，则∠1=∠3．所以四边形BEGK内接于圆．而BG⊥DE，故EK⊥BC，命题得证．

此结论可推广到2n+1边形．

三．定理的应用

例1设G为△ABC的重心，M、N分别为BC、CA的中点，求证：四边形GMCN和△GAB的面积相等．

证明如图12，连GC，则

例2三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．

证明如图13，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．

又DB=2OM，所以AH=2OM．

同理可证BH=2ON，CH=2OK．证毕．

例3AD是ΔABC的一条高；以AB、AC为边向外作正方形ABEF和ACGH，连BG、EC，求证：AD、BG、CE相交于一点．

证明如图14，延长DA至K，使AK=BC，连FK、KH；则ΔKAH≌ΔBCA，ΔKAF≌ΔCBA，连KC、KB，则可得ΔKAC≌ΔBCG，ΔKAB≌ΔCBE．

于是∠ACK=∠CGB，∠KBA=∠BEC，

且它们分别为∠KCG及∠KBE的余角．

所以BG⊥KC，CE⊥KB，

从而AD、BG、CE为ΔKBC的三条高线，故它们相交于一点．

例4在ΔABC中，AB=AC，圆O内切ΔABC的外接圆于D，且与边AB、AC分别相切于P、Q，证明：线段PQ的中点是ΔABC的内心．

证明如图15，连接AD、PD、QD，易知AD平分∠PDQ及∠A，

因为PQ∥BC，

所以∠APQ=∠ABC①

又AB切⊙O于P，

则∠APQ=∠PDQ=2∠PDM②

再连BD、BM，由于∠PBD=∠PMD=90°，故P、B、D、M四点共圆．

所以∠PBM=∠PDM．③

由①、②、③可得：∠PBM=∠MBC．

即BM是∠ABC的平分线，而AM是∠A的平分线，所以交点M是ΔABC的内心．

这是第20届国际数学奥林匹克竞赛试题，其实当AB≠AC时，结论也成立，这个问题留给有兴趣的读者进一步探究．

练习与思考

1．证明本章“引伸与推广部分命题（1）—（8）．

2．G为ΔABC的重心，∠A=90°，求证：GB2+GC2=5GA2．

3．ΔABC的外心和垂心分别为O、H，∠A=60°，求证：AO=AH．

4．ΔABC中，BC=14cm，BC边上的高AD=12cm，内接圆半径r=4cm，求AB、AC之长．