空间距离的求法
空间距离的求法
一、直接法
根据已知条件，直接作出（或找出）所要求的距离，并进行求解。
例1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF//CD，AM=EF，且AD=1，PA=2，求异面直线AB与PC之间的距离。
解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD
又∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，故侧面PCD⊥侧面PAD
又∵AE⊥PD，PD=侧面PCD∩侧面PAD
∴AE⊥侧面PCD，∴AE⊥PC
又∵EF∥CD∥AB，且AM=EF
∴AMFE为平行四边形，故MF∥AE，∴MF⊥PC
又AB⊥AD，AB⊥PA，∴AB⊥平面PAD，故AB⊥AE
∴MF⊥AB，即MF为异面直线AB与PC的公垂线
又∵AD=1，PA=2，∴
∴
PA AD
MF AE
PD
?
====
故异面直线AB与PC
点评：这里直接找出了公垂线MF，要注意两点：公垂线与两异面直线都相交；公垂线与两异面直线都垂直。
例2．已知平面α和平面β交于直线l，P是空间一点，PA⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到l的距离为____________.
解：若A在平面β上的射影为C
则AC⊥β，PB⊥β，AC∥PB
同理，若B在平面α上的射影也为C
则PA⊥α，BC⊥α，PA∥BC
∴四边形APBC是一个平行四边形
又∵AC⊥β，BCβ
?，∴AC⊥BC
故∠ACB是l
αβ
--二面角的平面角，∴αβ
⊥
∴四边形PACB是一个矩形，故可正确地作出图形（如图）
∵l⊥平面ACBP，l⊥PC
∴PC即为所求P到l的距离，PC是边长为1，2的矩形的对角线，
∴
PC=
点评：求点到直线的距离，就是直接从该点向直线作垂线，如果垂足的位置不易确定，有时也可借助三垂线定理来作。
例3．如图，在棱长为4的正方体
1111
ABCD A BC D
-中，点P在棱CC1上，且
1
4
CC CP
=，
求点P到平面
1
ABD的距离。
解：连结
1
BC，
在平面
11
BCC B中，过点P作
1
PQ BC
⊥于点Q，
∵AB⊥平面
11
BCC B，PQ?平面
11
BCC B，
∴PQ⊥AB，PQ⊥平面
11
ABC D
F
E
M
D
A
P
C
B
P
A
l
α
β
A B
A1
D
Q P
C
B1
C1
D1
∴PQ 即为点P 到平面1ABD 的距离
在Rt △1C PQ 中，∠190C PQ =?，∠145PC Q =?，13PC =
∴PQ =
点P 到平面1ABD
点评：在直接作点到平面的距离时，要注意确定垂足的位置，以便于计算，本题中将平
面1ABD 延伸至11ABC D 是解题的关键。
例4．如图，A 、B 两点间在北纬45°圈上，点A 在东经120°，点B 在西经150°，设地球的半径为R ，求A 、B 两地之间的球面距离。
解：∵A 、B 同在北纬45°圈上，
∴
纬度圈的半径cos 45r R R =??=，
又点A 在东经120°，点B 在西经150°
∴A 、B 两地的经度差为90°
设1O 为纬度圈的圆心，则190AO B ∠=?
故在△1AO B 中，可得AB = R
∴在△AOB 中，AO = BO = AB = R ，∴3
AOB π
∠=
∴A 、B 两地之间的球面距离为3
C R π
=
点评：求在同一纬度圈上的两点间的球面三角形面距离的一般步骤是：①由纬度大小求
出纬度圈的半径； ②结合经度求得两地的边线线段长； ③再结合球的半径求出球心角的大小；④用球心解的弧度数乘以地球的半径即得两地间的球面距离。
二、转化法
如果空间中一些距离直接求起来比较困难时，可以把它转化为其他形式的距离来求解。
例5．如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面边长均为2a ，且∠A 1AD = ∠A 1AB = 60°，则侧棱AA 1和截面B 1D 1DB 的距离是_________.
解：连结A 1C 1、AC ，设A 1C 1与B 1D 1交于点E 1，AC 与BD 交于点E ，连结E 1E ，
连结A 1C ，交EE 1于O 点，连结A 1E ， ∵∠A 1AD = ∠A 1AB = 60°，AB = A 1A = AD =2a ∴A 1B = A 1D = A 1B 1 = A 1D 1 =2a 又∵四边形ABCD 为正方形，∴
BE = 1
22
a =
又A 1A 在平面ABCD 的射影在∠BAD 平分线即对角线AC
上，
∴BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BE ⊥A 1E ， ∴Rt △A 1EB 中，A 1E ==A 1E 1
∴△A 1EE 1为等腰三角形，∴A 1O ⊥EE 1 又A 1A ∥平面BB 1D 1D ，
故A 1A 与平面BB 1D 1D 的距离即为点A 1到该平面的距离 正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 12a =， ∴A 1E 1=
= 在Rt △A 1E 1O 中，OE 11
22
a a =
?= O 1
O
A B
A B
D C D 1 C 1 A 1
B 1
B 1
E
A 1
D 1 C 1
E 1 D C
O
∴A 1
O a =
==
∴A 1A 与平面BB 1D 1D 的距离为a 。
点评：本题将直线与平面的距离转化为点面距离来求，这是常用方法。
例6．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB = 90°，AC=1，AA
1=A 1B 、A 1C ，求点B 1到平面A 1BC 的距离。
解：∵B 1C 1∥BC ，BC ?平面A 1BC ，B 1C 1?平面A 1BC ，
∴B 1C 1∥平面A 1BC
∴点B 1到平面A 1BC 的距离就是点C 1到平面A 1BC 的距离， 又BC ⊥C 1C ，BC ⊥AC ，C 1C AC = C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1， 而BC ?平面A 1BC ，∴平面A 1BC ⊥平面ACC 1A 1， 过点C 1作C 1F ⊥A 1C 于F ，则C 1F ⊥平面A 1BC ，
又∵∠A 1C 1C = 90°，∴A 1
C ==在Rt △A 1C 1C 中，A 1C?C 1F = A 1C 1?C 1C ，∴C 1
F == 故点B 1到平面A 1BC
点评：本题将点B 1到平面A 1BC 的距离???→转化线B 1C 1到平面A 1BC 的距离???→
转化
点C 1到平面A 1BC 的距离???→转化
点C 1到线A 1C 的距离。
例7．如图，CD 、AB 是两条异面直线，它们夹在两平行平面α和β间的部分AB 、CD 在平面β内的射影分别是12cm 和2cm ，它们与平面β的交角之差的绝对值是45°，求AC 与BD 之间的距离。
解：∵AC ?平面α，BD ?平面β，平面α∥平面β，
∴平面α与平面β的距离为异面直线AC 与BD 间的距离，
设此距离为x cm ，则AA′= CC′= x cm ，过D 点作DEAB 交平面α于E ， 则四边形ABDE 是平行四边形，
令∠CDC′=θ1，∠ABA′=θ2，则12tan tan 212
x x θθ=
>=， ∴1245θθ-=?，∴12tan()tan 45θθ-=?，
即1212
tan tan 11tan tan θθθθ-=+?，亦即21211212
x x
-
=+?
整理得2
10240x x -+=，解得124,6x x ==，
故异面直线AC 与BD 之间的距离是4cm 或6cm 。
点评：本题目是将两条异面直线的距离转化为异面直线所在的两个平行平面的距离来解决的。
三、体积法
对于点面距离，当所求距离不易作出时，可先寻找一个合适的三棱锥，把所求距离看成是三棱锥的高，然后再利用两种方法求三棱锥的体积，抓住体积不变的原理达到求解点面距离的目的。
例8．如图，在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，
平面SAC ⊥平面ABC ，
SA = SC =M 、N 分别为AB 、SB 的中点，
A B F
A 1
B 1
C C 1
β A
E
C
D
B A ′
C ′ α
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N—CM—B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离。
（1）证明：取AC中点D，连结SD、DB，
∵SA = SC，AB = BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，
又SB?平面SDB，∴AC⊥SB
（2）解：∴AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC
过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC；
过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM，
∴∠NFE为二面角的N—CM—B平面角，
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC，
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD
∵SN = NB，
∴
NE
1
2
SD
===ED = EB
在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF
11
42
MB
==，
在Rt△NEF
中，tan
EN
NFE
EF
∠==
∴二面角N—CM—B
的大小是arctan
（3）解：在Rt△NEF中，
NF
3
2
==
∴S△
CMN
1
2
CM NF
=?=
S△
CMB
1
2
BM CM
=?=
设点B到平面CMN的距离为h
∵V B—CMN = V N—CMB，NE⊥平面CMB
∴
11
33
CMN CMB
S h S NE
??
?=?
∴CMB
CMN
S NE
h
S
?
?
?
==，即点B到平面CMN
。
点评：第3问中利用三棱锥B—CMN的体积不变，求出点B到平面CMN的距离，避免了从B点向平面CMN作垂线，垂足不易确定的问题，解法摆脱常规思维，大大简化了解题过程。
例9．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为
2
π
，则球心O到平面ABC的距离为（）
A.
1
3
C.
2
3
解：∵AB、AC、CB的球面距离均为
2
π
，
∴∠AOB = ∠AOC = ∠COB =
2
π
∵球半径为1，∴AO = BO = CO = 1，
∴V O—ABC = V A—OBC
111
111
326
=????=
又V O—ABC2
1
3
h
==
1
6
=，故h=
∴球心O到截面ABC，故选B。
点评：正确理解球面距离是解答本题目的关键。
例10．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB a
=，BB1a
=，BC b
=，求异面直线AB与A1C之间的距离。
解：∵AB∥A1B1，∴AB∥平面A1B1C，
∴AB与平面A1B1C之间的距离即为异面直线AB与A1C之间的距离，
设AB上一点B到平面A1B1C的距离为h，
利用等体积关系，有
1111
B A B
C A BB C
V V
--
=，
即
1111
(
3232
a h a
b a
??=???，
解得h=
故AB与A1C。
点评：本题直接作两条异面直线的距离有困难，首先进行转化，将两异面直线的距离转化为点到平面的距离，然后再利用等体积法求得。
四、向量法
在立体几何中很多求空间距离的题目，如果它的背景适合建立空间直角坐标系，用空间向量法来求就会很方便。
例11．如图，已知正方形ABCD的边长是4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC = 2，求点B到平面EFG的距离。
分析：由题设可知CG、CB、CD两两垂直，由此可以建立空间直角坐标系，用向量法求解，即求出过点B垂直于平面EFG的向量，它的模长即为点B到平面EFG的距离。
D A
D1
C
a
B
A1
B1
C1
a
b
A C
A E B
F
G
解：如图，以C 为原点，CB 、CD 、CG 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系C xyz -， 则有(0,0,0)C ,(4,4,0)A ,(4,0,0)B ,(0,4,0)D ,(4,2,0)E ,(2,4,0)F ,(0,0,2)G ，
(0,2,0),(2,4,0),(4,0,2)BE BF BG ==-=- ，(4,2,2),(2,2,0)GE EF =-=-
，
设向量BM ⊥平面GEF ，垂足为M ，则M 、G 、E 、F 四点共面，
故存在实数,,a b c 使BM a BE b BF c BG =?+?+?
即(0,2,0)(2,4,0)(4,0,2)(24,24,2)BM a b c b c a b c =+-+-=--+
由BM ⊥平面GEF ，得,BM GE BM EF ⊥⊥ ， ∴0,0BM GE BM EF ?=?=
即(24,24,2)(4,2,2)0(24,24,2)(2,2,0)0
BM GE b c a b c BM EF b c a b c ??=--+?-=???=--+?-=?? 整理得503201
a c a
b
c a b c -=??
++=??++=?，解之得1511711311a b c ?=??
?=-???
=??
，
∴226(24,24,2)(111111
BM b c a b c =--+= ，，），
||11
BM ==
， ∴点B 到平面GEF
。
点评：用向量法求点到平面的距离，避免了作垂线段时垂足不易确定的问题，只需利用垂足点与平面内的其他三点共面及垂线段所代表的向量与其他两共点向量垂直即可求得垂线段的坐标表达式。
例12．如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为4，M 、N 、E 、F 分别是A 1D 1、A 1B 1、D 1C 1、B 1C 1的中点，
（1）求证：平面AMN ∥平面EFBD ； （2）求平面AMN 与平面EFBD 间的距离.
（1）证明：依题意建立如图坐标系，则(4,0,0)A ，(2,0,4)M ，(4,2,4)N ，(0,0,0)D ，
(4,4,0)B ,(0,2,4)E ，(2,4,4)F ,
即MN 之中点G 及EF 之中点K ，BD 之中点Q ，
则(3,1,4)G ，(1,3,4)K ，(2,2,0)Q
∴(2,2,0),(2,2,0),(1,1,4),(1,1,4)MN EF AG QK ===-=-
∴,MN EF AG QK ==
故MN ∥EF ，AG ∥QK ，
又EF ?平面EFBD ，QK ?平面EFBD ∴MN ∥平面EFBD ，AG ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD
（2）解：设n (1,,)λμ=,又(2,2,0)EF = ，(1,1,4)QK =-
∴n 140QK λμ?=-++= ①
n 220EF λ?=+=
②
联立①②解得，11,2λμ=-=，∴1
(1,1,)2=-，
故两平面之间的距离||8
||3
BA n d n ?===
点评：本题充分体现了利用空间向量解决立体几何问题的快捷性，灵活性和实用性，因此，在学习中应强化运用向量方法解决问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性。
五、极值法
立体几何中的各种距离所共同具备的性质是最小性，若能建立所求的两个对象上任一点之间距离的目标函数，则该函数的最小值即为所求的这两对象之间的距离。
例13．棱长为a 的正方体AC 1中，求异面直线BD 与B 1C 之间的距离。 解：如图，在B 1C 上任取一点M ，作MH ⊥BC 于H ，
再过H 作HN ⊥BD 于N ，连结MN ，
∵平面BC 1⊥平面AC ，∴MH ⊥平面AC ，
∴MH ⊥HN ， 设MC x =，则
MH 2x =
，
HC 2
x =， ∴
BH 2a x =-，∴
HN 1
22
a x =-
在△MHN 中，∵∠MHN = 90°，
∴2
2
2
2
22213()()()222433
a MN HN MH a x x x =+=-+=-+，
∴
当且仅当3x =时，22
min 3a MN =
，即min MN =，
∴BD 与B 1C
.
点评：极值法多适用于两异面直线之间的距离，其背景是易于由其中一条直线上的任意一点向另一条直线作垂线，而且该垂线段的长度能够表示成某一变量的函数。
A B
A 1
D
M
H
C
B 1
C 1
D 1 N
空间几何中的角和距离的计算
空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B
2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1
空间几何中的角和距离的计算
1 空间角与距离的计算(1) 一 线线角 1.直三棱柱A 1B 1C 1-ABC,∠BCA=900,点D 1,F 1分别就是A 1B 1与A 1C 1的中点,若BC=CA=CC 1,求BD 1与AF 1所成角的余弦值. 2.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 就是直角梯形,∠BAD=900,AD ∥ BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA ⊥面ABCD,PD 与底面成300角. (1)若AE ⊥PD,E 为垂足,求证:BE ⊥PD; (2)若AE ⊥PD,求异面直线AE 与CD 所成角的大小. 二.线面角 1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别为BB 1、CD 的中点,且正方体的棱 长为2. (1)求直线D 1F 与AB 与所成的角; (2)求D 1F 与平面AED 所成的角. 2.在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,四边形AA 1B 1B 就是菱形,四边形BCC 1B 1就是矩形,C 1B 1⊥AB,AB=4,C 1B 1=3,∠ABB 1=600,求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小 三.二面角 1.已知A 1B 1C 1-ABC 就是正三棱柱,D 就是AC 中点. (1)证明AB 1∥平面DBC 1; (2)设AB 1⊥BC 1,求以BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角的 大小. 2.ABCD 就是直角梯形,∠ABC=900,SA ⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=0、5. (1)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小; (2)求SC 与面ABCD 所成的角. 3.已知A 1B 1C 1-ABC 就是三棱柱,底面就是正三角形,∠A 1∠A 1AB=450,求二面角B —AA 1—C 的大小. 空间角与距离的计算(2) 四 空间距离计算 (点到点、异面直线间距离) 1、在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 就是BC 的中点交AC 于M,B 1P 交BC 1于N. (1)求证:MN 上异面直线AC 与BC 1的公垂线; (2)求异面直线AC 与BC 1间的距离. (点到线,点到面的距离) 2.点P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA ⊥面ABCD,Q 为线段AP 的中点,AB=3,CB=4,PA=2,求: (1)点Q 到直线BD 的距离; (2)点P 到平面BDQ 的距离. 3.边长为a 的菱形ABCD 中,∠ABC=600,PC ⊥平面 A B 11 C
立体几何中角度与距离求法
立体几何中角度距离的求法 一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则 称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.
空间角与距离求法(高二)
1 空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点，也是学习的难点，更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作,,b a ==则AOB ∠叫做 向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤=< . (3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,222222||z y x b ++= , 212121z z y y x x b a ++=? . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义：已知两条异面直线a 和b ，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角（或夹角）. (2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ： 900≤<θ, 则cos 0≥θ . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角．． 时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b 分别是异面直线a 和b 的方向向量,则 | ||||||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a ??=??=><=θ . 说明: ① 其中=θ或- 180 ; ② 在计算b a ?时可用向量分解或坐标进行运算. 三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平
空间角及空间距离的计算知识点
空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A
第12讲 空间中的夹角和距离
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座12）—空间中的夹角和距离 一．课标要求： 1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二．要点精讲 1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （1）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。 （2）点到平面的距离 平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。 （3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； （4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 2．夹角 空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。 （1）两条异面直线所成的角 求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2 , 0(π ，向量所成的角范围是 ],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。 （2）直线和平面所成的角
必修2空间角和空间距离(理科)
空间角和空间距离 空间角 (1)两条异面直线所成的角： 两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线c∥a，d∥b，我们把直线c和d所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。 注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]． ②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出． ③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法： (i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点． (ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角)，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围． （2）直线与平面所成的角 1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角． 2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为． 3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为． 显然，直线与平面所成的角的范围为． 4）求一条斜线和平面所成的角：做出这条斜线在平面内的射影，再确定斜线和射影所成角的大小即可。 斜线在平面内的射影：从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。 （3）二面角 (1)二面角的定义 一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，二个半平面称为二面角的面． (2)二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角．注意：①二面角的平面角两边必须都与棱垂直． ②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的，与定义中棱上任一点的选择无关，也就是二面角的平面角不只一个，但这些平面角的大小是相等的． ③二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，； 相交时；共面时．平面角是直角的二面角叫做直二面角． (3)二面角的平面角的确定与求法
利用空间向量求空间角和距离
利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B ．3015 C. 3010 D. 1515 解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→ ＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→ ＝(1,0，－2)， ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝ |－1＋4|1＋1＋4×1＋4＝30 10 . 2.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1 3AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B ．277 C.33 D.24 解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)， ∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→ ＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·D 1E ―→＝0，n · D 1C ―→＝0，即????? x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)． ∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| ＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .
立体几何专题空间几何角和距离的计算
立体几何专题：空间角和距离的计算 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值。 B 1 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角，（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小； D 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D 1F 和AB 和所成的角；（2）求D 1F 与平面AED 所成的角。 1 2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ， AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角 的大小。 B 1
三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点，（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小。 B 1 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小；（2）求SC 与面ABCD 所成的角。 B C 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小。 1 四 空间距离计算 （点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是BC 的中点，DP 交AC 于M ，B 1P 交BC 1于N ，（1）求证：MN 上异面直线AC 和BC 1的公垂线；（2）求异面直线AC 和BC 1间的距离； C 1 A
空间角与距离
空间角与距离 考点1 求异面直线所成的角 1．如图所示，在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE ＝2，则BC 和EG 所成角的大小是________，AE 和BG 所成角的大小是________． 2空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小． 3(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A. 22 B.32 C.52 D.72 4．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为(C) A.32 B.155 C.105 D.33 5．四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的正方形，若四条侧棱相等，且该四棱锥的体积V ＝46 3 ，则直线PA 与底面ABCD 所成角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
6棱长都为2的直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∠BAD ＝60°，则对角线A 1C 与侧面DCC 1D 1所成的角的正弦值为 . 7已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为9 4 ，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 8已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，∠DAB ＝60°，E 为AB 中点，F 为PD 中点，PD ＝AD. (1)证明：平面PED ⊥平面PAB ； (2)求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值． 9如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上． (1)证明：AP ⊥BC ； (2)已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.求二面角B －AP －C 的大小．
空间角的几何求法
空间角的几何求法 一、 异面直线所成角（线线角）范围： (0, ]2 π θ∈ 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。 【典例分析】 例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； 【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。 二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2 π θ∈ 【典例分析】 例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°， A 1A =4，C 1C =1，A B =B C =B 1B =2． （1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ； （2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； 1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB
例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD ； (2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。 【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点， 且AC BC a ==，π02VDC θθ? ?=<< ?? ?∠． （1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π 6 ． 三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈ （1）定义法：当点A 在二面角α-λ-β的棱λ上时，可过A 分别在α、β内作棱λ的 垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （2）三垂线法：当点A 在二面角α-λ-β的一个面α内时，可作AO ⊥β于O ， 再作OB ⊥λ于B ，连结AB ，由三垂线定理可得AB ⊥λ， 故∠ABO 即为二面角α-λ-β的平面角。 （3）垂面法：当点A 在二面角α-λ-β内时，可作AB ⊥α于B ，AC ⊥β于C ， 设1过AB 、AC 的平面与λ交于点O ，连结OB 、OC ，可证平面， ABOC 是λ的垂面，则λ⊥OB ，λ⊥OC ，∠BOC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （4）射影面积法：原 射影S cos S = α 【典例分析】 l a b c Ｖ A Ｃ Ｂ
空间的角度与距离(附答案)
基础训练34(A) 空间的角度与距离 ●训练指要 掌握空间有关的角与距离的概念、范围、计算方法，会计算有关的距离和角. 一、选择题 1.(2001年全国高考题)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 A.P3＞P2＞P1 B.P3＞P2=P1 C.P3=P2＞P1 D.P3=P2=P1 2.给出下列四个命题： ①如果直线a∥平面α，a 平面β，且α∥β，则a与平面α的距离等于平面α与β的距离； ②两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条平行直线的距离等于这两个平面间的距离； ③异面直线a、b分别在两个平行平面内，则a、b的距离等于这两个平面的距离； ④若点A在平面α内，平面α和β平行，则A到平面β的距离等于平面α与平面β的距离. 其中正确的命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均相等，则AC 1与平面 BB 1C 1C 所成角的余弦值等于 A.4 10 B.66 C.26 D.2 10 二、填空题 4.二面角α—l —β的面α内有一条直线a 与l 成45°的角，若这个二面角的平面角也是45°,则直线a 与平面β成角的度数为_________. 5.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离的比为1∶ 2∶3，PO =214,则P 点到这三个平面的距离分别是_________. 三、解答题 6.如图，在正三棱锥P —ABC 中，侧棱长3 cm ，底面边长2 cm ，E 是BC 的中点，EF ⊥P A ，垂足为F . (1)求证：EF 为异面直线P A 与BC 的公垂线段； (2)求异面直线P A 与BC 间的距离. 7.如图，正四棱锥S —ABCD 的所有棱长都相等，过底面对角线 AC 作平行于侧棱SB 的截面交SD 于E . (1)求AB 与SC 所成角的大小； (2)求二面角E —AC —D 的大小； (3)求直线BC 与平面EAC 所成角的大小. 8.在棱长为a 的正四面体ABCD 中，M 、E 分别是棱BD 、BC 的中点，N 是BE 的中点，
空间向量的应用----求空间角与距离
空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下： 1)求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |> 计算公式为： 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离 θcos ||||PA PO d == 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面 间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二， 异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即 为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ?=及0n BC ?=求得，其计算公式为： || || n AB d n =。其本质与求点面距离一致。 向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。 二、范例分析 例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，3将它沿对称轴1 OO n α A P O θ 空间角和距离的计算(1) 线线角 1.直三棱柱ABQ-ABC,/ BCA=90,点Di, F i分别是AiB和AC的中点，若BC=CA=CQ求BD 与AF i所成角的余弦值. 2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，/ BAD=90, AD // BC, AB=BC=a AD=2a 且PAL面ABCD PD与底面成30° 角. (1 )若AEL PD, E为垂足,求证：BEL PD (2)若AEL PD求异面直线AE与CD所成角的大小. 二.线面角 1.正方体ABCD-ABGD中，E, F分别为BB、CD的中点，且正方 体的棱长为2. (1)求直线DF和AB和所成的角； (2)求DF与平面AED所成的角. A C i C P B 2.在三棱柱ABQ-ABC中，四边形AABB是菱形，四边形BCGB i是矩形，GB丄AB, AB=4, CB i=3, / ABB=600，求AC与平面BCGB所成角的大小. 三?二面角 1.已知ABC-ABC是正三棱柱，D是AC中点. (1)证明AB//平面DBG; (2)设AB丄BG,求以BC为棱，DBC与CBC为面的二面角的大 小. 2. ABCD是直角梯形，/ ABC=90, SA丄面ABCD SA=AB=BC=,1 AD= (1)求面SCD与面SBA所成的二面角的大小; c i C S (2)求SC与面ABCD所成的角. 3.已知ABC-ABC是三棱柱，底面是正三角形，/ A i AC=6(f,/ A I AB=45°,求二面角B—AA—C 的 大小. 空间角和距离的计算⑵ 四空间距离计算 (点到点、异面直线间距离) 1.在棱长为a的正方体ABCD-ABQD中，P是BC的中点，DP交AC于M BP交BC于N. (1)求证：MN上异面直线AC和BC的公垂线; (2)求异面直线AC和BC间的距离. 【例1】 在正方体1111ABCD A B C D -中，1111111 44 A B B E D F == =，求1BE 与1DF 所成角的余弦值． 【例2】 直三棱柱111ABC A B C -中，1111BC AC BC AB ⊥⊥，．求证：11 AB AC =． 【例3】 如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥平面 ABCD ，1 12 SA AB BC AD ==== ，．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． C 1 B 1 A 1 C B A D C B A S 典例分析 板块四.用空间向量计算距离 与角度 【例4】 已知(023)A ，，，(216)B -，，，(115)C -，，，求方向向量为(001)j =，，直线与平 面ABC 所成角的余弦值． 【例5】 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=， 60BAA DAA ''∠=∠=°，90BAD ∠=°，求AC '的长 【例6】 如图直角梯形OABC 中，π 2 COA OAB ∠=∠= ，2OC =，1OA AB ==，SO ⊥平面OABC ，1SO =，以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O xyz -． ⑴求SC 与OB 的夹角α的大小（用反三角函数表示）； ⑵设(1)n p q =，，，满足n ⊥平面SBC ，求 ①n 的坐标； ②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）； ③O 到平面SBC 的距离． 【例7】 如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ， G 在AD 上，且4PG =，1 3 AG GD =，BG GC ⊥，2GB GC ==，E 是BC 的中点． ⑴求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； ⑵求点D 到平面PBG 的距离； ⑶若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求 PF FC 的值． D ' C ' B 'A 'D C B A C B A O S 第十二讲—空间中的夹角和距离 一．课标要求： 1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二．命题走向 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 预测2010年高考试题： （1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右； （2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。 三．要点精讲 1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。 （2）点到平面的距离 平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。 （3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； （4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方 、空间的角与距离 1?异面直线所成的角： 范围是（0,—］； 2 一般方法是平移直线，构造三角形，把异面问题转化为共面问题来解决。平移时，固定一条，平移另一条（ 在某平面 内），或两条同时平移到某特殊位置，顶点选择在特殊位置上； 2?直线与平面所成的角： 范围是［0,—］。 2 关键是：找过斜线上一点与平面垂直的直线 ；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置 于三角形中计算。 注:确定点的射影位置有以下几种方法： ① 结论：如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ② 两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ③ 利用三棱锥的有关性质： a 若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心 c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 3.二面角 二面角的范围一般是指 （0,］。 作二面角的平面角常有三种方法 ① 定义法： ② 三垂线定理法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点 垂 足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所 夹的 角，即为二面角的平面角； ③垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。 ④面积射影法：S S c o s （S 为原斜面面积 ，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面角的平面角 它对于任意多边形都成立，是求二面角的好方法 .当作角困难时，易求斜面及射影面积，可直接用公式求出二面角的大小。 二.空间的距离 （1） 点到平面的距离常用求法 （点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） ① 定义法：作垂线 ② 转移法：平行线转移或中点转移（斜线中点）等 ③ 等体积法： （2） 异面直线间的距离常有求法： 异面直线a,b 间的距离为a,b 间的公垂线段的长. ① 定义法 ② 转化为线面距离： 找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a,b 间的距离. ③ 转化为面面距离： 找或作出分别过a,b 且与b , a 分别平行的平面，则它们距离就是异面直线 a,b 间的距离. 1、已知四棱锥 P — ABCD 底面ABCD 是菱形 DAB 60 , PD 平面ABCD PD=AD 点E 为AB 中点，点F 为PD 中 （或旁心）; （ 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法 向量， 则斜线l 与平 面 α所成的角 α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角 l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两 个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）． 2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料 第12讲空间中的夹角和距离 一．【课标要求】 1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二．【命题走向】 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 预测2010年高考试题： （1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右； （2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提 三．【要点精讲】 1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （1）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度 （2）点到平面的距离 平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。 （3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； （4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成空间几何中的角和距离的计算
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