初二平面图形折叠问题

初一数学中的折叠问题

张文彩

折叠问题是一个热点问题，不仅在中考中居于很重要的地位，而且在初一初二年级的期中期末考试中都是经常遇到的题目。初一年级的折叠问题大多是与平行有关的问题，然后根据平行线的性质求出有关角的度数问题，初二的折叠问题不仅与平行线有关，还和直角三角形的勾股定理，等腰三角形性质等相关的问题，初三的折叠问题就显得复杂得多，因为与初中阶段所学的各个知识点都有可能相关。下面就从最简单的初一数学知识有关折叠的问题进行总结。

一．折叠矩形的一个角，求角的度数问题。

例1.在△ABC 中，∠A=60°，将△ABC 沿DE 翻折后，使点A 落在

BC 边上的A /处，如果∠A /EC=70°，那么∠A /DE= .

四．折叠平行四边形，求角度的问题

常用的方法有：除了根据折叠性质之外还要根据平

行线的性质，和三角形内角和是180度来解决问题。

例10。将平行四边形ABCD 沿对角线AC 折叠，

使点B 落在点B /处，若∠1=∠2=44°，则∠B=

（）

A ．66°

B ．104°

C ．114°

D ．124°

解析：∵DC ∥AB

∴∠1=∠B /AB=44°， A /E D C

B A

根据折叠可知∠BAC=∠B/AC=∠B/AB的一半=22°

∴∠B=180°-∠2-∠BAC=114°

五．除了折叠之外还有三角板与矩形纸片的放置问题，解决这类问题的方法也是运用平行线的性质和三角板特殊角的问题来解决。

例11.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠3＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠5-∠2＝90°，其中正确的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

变式：如上图，若∠5=150°，则∠2=（）

例12.（2016安阳期末）如图a，ABCD是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_________°（2）若∠DEF=α，把图3中∠CFE用α表示．

（3）如果按照这样的方式再继续折叠下去，直到不能折叠为止，那么先后一共折叠的次数是_____________．

解析：（1）图a，因为AD∥BC，∠DEF=26°，所以∠DEF=∠BFE=26°，

图b ∠AEG=180°-26°×2=128°=∠EGF=∠GFD

图c ∠CFE=∠GFD-∠BFE=128°-26°=102°

（2）图a，因为AD∥BC，∠DEF=α，所以∠DEF=∠BFE=α，

图b ∠AEG=180°-α×2=180°-2α=∠EGF=∠GFD

图c ∠CFE=∠GFD-∠BFE=180°-2α-α=180°-3α

（初二）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．

（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；

（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积．

解析：（1）△BDE是等腰三角形．

由折叠可知，∠CBD=∠EBD，

∵AD∥BC，

∴∠CBD=∠EDB，

∴∠EBD=∠EDB，

∴BE=DE，

即△BDE是等腰三角形；

（2）设DE=x，则BE=x，AE=8-x，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

所以S△BDE=

DE×AB=

×5×4=10．

2.如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE 恰好过BC边中点，若AB=3，BC=6，则∠B的大小为（）

A．30°B．45°C．60°D．90°

八年级数学(上册)专题突破平行线性质的综合应用折叠问题试题

八年级数学上册专题突破平行线性质的综合应用折叠问题试题平行线性质的综合应用：折叠问题一、平行线的性质方法归纳：平行关系数量关系（由“线”推“角”）由“线”的位置关系（平行），定“角”的数量关系（相等或互补）如（1）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1＝60°，则∠2的度数为（） A.30° B.45°c.60°D.120° 解：∵a∥b， ∴∠3＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝∠3＝60°。故选c。（2）如图，直线c与a、b均相交，当a∥b时，则（） A.∠1＞∠2 B.∠1＜∠2c.∠1＝∠2D.∠1＋∠2＝90°

解：∵a∥b， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），故选：c。二、折叠问题（翻折变换） 1.折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换。 2.折叠是一种对称变换，它属于轴对称。（1）对称轴是对应点的连线的垂直平分线；（2）折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化；（3）对应边和对应角相等。 3.对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系。例题1如图所示。已知AB∥cD，∠B＝100°，EF平分∠BEc，EG⊥EF。求∠BEG和∠DEG。解析：根据平行线的性质及角平分线的性质可求出∠BEc、∠BED的度数，再根据EG⊥EF可得出要求的两角的度数。答案：解：由题意得：∠BEc＝80°，∠BED＝100°，∠BEF＝∠BEc＝40°， ∴∠BEG＝90°－∠BEF＝50°，

∠DEG＝∠BED－50°＝50°。 ∴∠BEG和∠DEG都为50°。点拨：解答此类题目要熟悉平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补。例题2如图所示，将宽为4厘米的纸条折叠，折痕为AB，如果∠AcB＝30°，折叠后重叠部分的面积为多少平方厘米？解析：根据翻折不变性，得到∠α＝∠cAB，从而求出∠ABc＝∠BAc，再得出△AcB为等腰三角形，求出AD和cB 的长，进而求出△ABc的面积。答案：解：延长GA到F，根据翻折不变性，∠α＝∠cAB，∵AG∥Bc，∴∠GAc＝∠AcB＝30°，∴∠α＝∠cAB ＝（180°－30°）÷2＝75°， ∴∠ABc＝180°－30°－75°＝75°，∴Ac＝Bc。作AD⊥Bc，垂足为D，∵纸条的宽＝4c， ∴AD＝4c，在Rt△AcD中，∠AcD＝30°，∴Ac＝2AD ＝2×4＝8c，∴Ac＝Bc＝8c， ∴△ABc的面积为（4×8）÷2＝16c2。故重叠部分的面积为16c2。点拨：此题考查了翻折不变性和平行线的性质和等腰三角

图形推理中折叠图形的解题原理分析

For personal use only in study and research; not for commercial use 图形推理中折叠图形的解题原理分析解题思路：通过平面图形的性质来分析立体图形空间特征。图形折叠后的性质很多是可以从平面图形中直接反映出来的，比如哪些面必然是对立的，哪些面必然是相邻的，每个面上直线的方向等。解题方法：排除法。利用平面图形的性质可以快速排除错误选项，有利于快速解题。正方体（六面体）表面展开图的性质你知道正方体表面展开图有多少种吗？解答：11种图中“上”和“下”，“左”和“右”，“前”和“后”互为对立面。 1．“一四一”型 2．“二三一”型 3．“三三”型和“二二二”型

【例题1】（2012年）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（）一本通解答：由以上性质可以可以看出，一点面和四点面为对立面，B项错误；C项中一点面与五点面构成如图相邻关系时，六点面相应位于底面而非顶面，排除；二点面、三点面、四点面三面相邻，且公共顶点不变，三点面方向不对，D项错误。注：平面图形的公共顶点折叠后仍为这三个面的公共顶点。（通过上图D项可验证）【例题2】（2010年）左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它所折叠而成（）一本通解答：横线面和空白面为对立面，C、D项错误；A项中右表面的对角线应该与上表面的对角线相交在一个顶点上，排除。【例题3】左边给定的是纸盒的外表面，下面哪一项能由它折叠而成？

一本通解答：A项三条斜线不可能交于一点，排除。C项两条水平线不会交于一点，排除。D项正面应为竖直线，排除。【例题4】（2008年）一本通解答：B。解法一：三个空白面都不相互对立，是相邻的，B项正确。解法二：三条对角线不会交于一点，也不会首尾相连，排除C、D两项；前表面和右表面的线段交点应该是在下方，排除A项，所以B项正确。练习题4道

基本平面图形课件

第四章基本平面图形 4.1 线段、射线、直线课时导入：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看做线段（segment).线段有两个端点. 将线段向一个方向无限延长就形成了射线（ray).手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看做射线.射线有一个端点. 将线段向两个方向无限延长就形成了直线（line).直线没有端点. 议一议生活中，有哪些物体可以近似地看做线段、射线、直线？知识点1：“三线”(即线段、射线、直线)间的关系 1.线段（1）定义：形如拉紧的绳子(小学回顾)．（2）线段的特征： ①线段是直的，它的长度是可以度量的，有大小； ②线段有两个端点，不能延伸； ③线段由无数个点组成．（3）线段的表示方式：如图所示：方式一：用一个小写字母表示；方式二：用表示线段端点的两个大写字母表示．【例1】如图中，共有几条线段？导引：以A为左端点的线段有：线段AC、线段AD、线段AB，以C为左端点的线段有：线段CD、线段CB，以D为左端点的线段有：线段DB. 解：共有6条线段．总结： (1)顺序数，勿遗漏，勿重复，即有序数数法．根据线段有两个端点的特征，可以先固定第一个点为一个端点，再以其余的点为另一个端点组成线段，然后固定第二个点为一个端点，再与其余的点(第一个点除外)组成线段，以此类推，直到找出最后的线段为止，按这种顺序可以避免遗漏、重复现象． (2)如果平面上有n个点，那么可作线段的总条数为 (1) . 2 n n 2.射线（1）概念：把线段向一个方向无限延伸所形成的图形叫做射线．（2）射线的特征： ①射线是直的，它的长度是不能够度量的，没法比较大小． ②射线只有一个端点，只能向一个方向延伸． ③射线由无数个点组成．

图形的折叠问题试卷

翻折组卷一．选择题（共9小题） 1．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB 落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE 以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是（） A ． 1 B ． C ． D ． 2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB 落在AD边上，折痕为AE ，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是（） A ． 1 B ． C ． D ． 3．如图，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的落点记为F，已知AD=10 cm，BE=4cm，则CD等于（） A ． 3cm B ． 4cm C ． 5cm D ． 6cm 4．如图，有一矩形纸片ABCD，且AB：BC=3：2，先将纸片折叠，使AD落在AB边上，折痕为AE；再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE交BC于F．那么DB：BA等于（）

A ．3：2 B ． 2：3 C ． 1：1 D ． 2：1 5．有一张矩形纸片ABCD，AB=，AD=，将纸片折叠，使点D落在AB边上的D′处，折痕为AE，再将△AD′E以D′E为折痕向右折叠，使点A落在点A′处，设A′E与 BC交于点F（如图），则A′F的长为（） A ．B ． C ． D ． 6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF 的面积为（） A ．1 B ． 2 C ． 4 D ． 8 7．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF 的长为（） A 1 B 1 C D

第四章：基本平面图形知识点及经典例题

第四章：基本平面图形知识点一、寻找规律： (1) 2 n n - ◆ 数线段条数：线段上有n 个点（包括线段两个端点）时，共有(1) 2 n n -条线段 ◆ 数角的个数：以0为端点引n 条射线，当∠AOD<180°时，则（如图）?小于平角的角个数为(1) 2 n n -． ◆ 数直线条数：过任三点不在同一直线上的n 点一共可画(1) 2 n n -条直线． ◆ 数交点个数：n 条直线最多有(1) 2 n n -个交点． ◆ 握手问题：数n 个人两两握手能握(1) 2 n n -次．二、基本概念 1．线段、射线、直线（1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．线段的特点：是直的，它有两个端点．（2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线．射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸．（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸． 2．线段的中点把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点．利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：（1）因为AM=BM=12 AB ，所以M 是线段AB 的中点．（2）因为M 是线段AB 的中点，所以AM=BM=12 AB 或AB=2AM=2BM ． 3．角由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 5．两点之间的距离两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 6．直线的性质经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”． 7．线段的性质两点之间的所有连线中，线段最短．三、线段、角的表示方法线段的记法： ①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面直线的记法： ①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示角的表示：①用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间：∠AOB ； ②用一个大写字母表示：∠O ； ③用一个希腊字母表示：∠ａ； ④用一个阿拉伯数学表示：∠1。四、线段、角的比较度量法叠合法 1.作一条线段等于已知线段作法： O A 顶点边边 B ａ 1 O A 射线OA A B a 直线AB 直线a

图形折叠及动点问题

图形折叠及动点问题得相关计算 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处，若A′为CE得中点，则折痕DE得长为( ) A、1 2 B．3 C．2 D．1 2．如图，在直角坐标系中，ABCD得四个顶点得坐标分别为A(0，8)，B(－6，8)，C(－6，0)，D(0，0)，现有动点P在线段CB上运动，当△ADP为等腰三角形时，P点坐标为__________、 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D，E分别在边AB，AC 上，将△ADE沿直线DE翻折，点A得对应点在边AB上，连接A′C，如果A′C ＝A′A，那么BD＝__________、 4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝2，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边得交点)，再将纸片还原，则四边形EPFD为菱形时，x得取值范围就是__________、5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D就是边BC得中点，点E就是边AB上得任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF得长取最小值时，BF得长为__________、 6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E就是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，CB′得长为 __________． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在边AD上，记为点G，BC得对应边GI与边CD交于点H，折痕为EF，则AE＝__________时，△EGH为等腰三角形、 8．如上图已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿射线BC方向平移m 个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点得三角形就是等腰三角形，且AE为腰，则m得值就是__________． 9．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E就是边AD上得一个动点，把△BAE 沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形得对称轴上，则AE得长为 __________、 10．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD 为折痕将△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E、若△DEB′为直角三角形，则BD得长就是__________．题型五第15题图形折叠及动点问题得相关计算 1．D【解析】∵△A′DE由△ADE翻折而成，∴AE＝A′E，∵A′为CE得中点，∴AE＝A′E＝1 2 CE，∴AE＝ 1 3 AC， AE AC ＝ 1 3 ，∵∠C＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，

(完整版)六年级数学----下册《基本平面图形》训练题

C A D B C A D B (3) 1 O C A B 《基本平面图形》单元训练题一、选择题： 1、下列各直线的表示法中，正确的是( ) A ．直线A B ．直线AB C ．直线ab D ．直线Ab 2、如图，A,B 在直线l 上，下列说法错误的是（） A ．线段A B 和线段BA 同一条线段；B 、直线AB 和直线BA 同一条直线； C 、射线AB 和射线BA 同一条射线； D 、图中以点A 为端点的射线有两条。 3、如果点C 在线段AB 上,则下列各式中:AC=1 2AB,AC=CB,AB=2AC,AC+CB=AB,能说明C 是线段AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、图中给出的直线、射线、线段,根据各自的性质,能相交的是( ) 5、如图,AB=CD,则AC 与BD 的大小关系是( ) A.AC>BD B.AC

题型四_几何图形的折叠与动点问题

题型四几何图形的折叠与动点问题试题演练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，则x的取值围是__________. 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB 上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________． 3. (’15模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、CD 边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF＝90°. 则直角三角形的斜边EF的取值围是________． 4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作 PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为________．

5. 如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线AE交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为________． 6. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在矩形的对角线上时，DE的长为________． 7. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上，对应点为点E，若BG＝10，则折痕FG的长为________． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE＝AB，沿△DEC的一个角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为________． 9. (’15模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为________．

(完整版)基本平面图形——练习题

C D B E A O C A D B C N M B A 21 E O D C B A 图（6）D ' B ' A O C G D B 第五章基本平面图形一、1. 1.46°= ° ′ ″. 28°7′12″= °. 2. 如图，已知OE 平分∠AOB ，OD 平分∠BOC ，∠AOB 为直角， ∠EOD=70°，则∠BOC 的度数为 . 3. 如图,直线上四点A 、B 、C 、D,看图填空: ①AC=______+BC;②CD=AD —_______;③AC+BD —BC=_______. 4、如图，由泰山到青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山—济南—淄博—潍坊—青岛，那么要为这次列车制作的火车票有______． 5.用一个钉子把一根细木条钉在墙上，木条就可能绕着钉子，原因是；当用两个钉子把木条钉在墙上时，木条就被固定住，其依据是 . 6.如图，AB 的长为m ，BC 的长为n ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN= 7、如图（6），把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′、D ′点处，若得∠AOB ′=700, 则∠B ′OG 的度数为。 8、如上右图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC=_____________. 9.如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠COE 是直角，∠1=57°，则∠2= 10. 一个人从A 点出发向北偏东65°的方向走到B 点，再从B 点出发向南偏西15°方向走到C 点，那么∠ABC 的度数是二、10、下列说法中，正确的是（） A ．直线a 、b 经过点M B. 直线A 、 B 相交于点 C C. 直线A 、B 相交于点m D. 直线AB,C D 相交于点m 11. 一轮船航行到B 处测得的小岛A 的方向为北偏东30°，那么从A 处观测此时B 处的方向为（） A.北偏东30° B.北偏东60° C.南偏西30° D.南偏西60° 12、在时刻8:32时，时钟上的时针与分针之间的所成的夹角是（）

九年级数学图形折叠问题学案

图形折叠问题专题导读图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题者的青睐．近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠，因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多，考的也最多．还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等，甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不错的题目．图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题．中考要求山东省中考考试说明要求掌握轴对称图形的性质．学会在运动变化中寻求不变的图形性质．培养学生运用运动变化的观点分析和解决问题．专题集训考向1矩形的折叠典例1、(2019 山东省泰安市)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．对应训练 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 2. (2019 山东省枣庄市)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．

考向2正方形的折叠典例2、(2019 山东省青岛市)如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE 上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．对应训练 3. (2019 天津市)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为．考向3三角形的折叠典例3、(2019 山东省淄博市)如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当 1 2 CD AC =时， 1 3 tan 4 α=；如图2，当 1 3 CD AC =时， 2 5 tan 12 α=；如图3，当 1 4 CD AC =时， 3 7 tan 24 α=； ?? 依此类推，当 1 ( 1 CD AC n n = + 为正整数）时，tan n α=．考向4平行四边形的折叠

基本平面图形试题及答案

第四章简单平面图形单元测试题（总分100分，时间90分钟）一、选择题（每小题3分，共39分） 1、如图1，以O为端点的射线有（）条． A、3 B、4 C、5 D、6 2、下列各直线的表示法中，正确的是（）. A、直线A B、直线AB C、直线ab D、直线Ab 3、一个钝角与一个锐角的差是（）. A、锐角 B、钝角 C、直角 D、不能确定 4、下列说法正确的是（）. A、角的边越长，角越大 B、在∠ABC一边的延长线上取一点D C、∠B=∠ABC+∠D BC D、以上都不对 5、下列说法中正确的是（）. A、角是由两条射线组成的图形 B、一条射线就是一个周角 C、两条直线相交，只有一个交点 D、如果线段AB=BC，那么B叫做线段AB的中点 6、同一平面内互不重合的三条直线的交点的个数是（）. A、可能是0个，1个，2个 B、可能是0个，2个，3个 C、可能是0个，1个，2个或3个 D、可能是1个可3个 7、下列说法中，正确的有（）. ①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（）. A、90° B、82.5° C、67.5° D、60° 9、按下列线段长度，可以确定点A、B、C不在同一条直线上的是（）. A、AB=8cm，BC=19cm，AC=27cm B、AB=10cm，BC=9cm，AC=18cm C、AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D、AB=30cm，BC=12cm，AC=18cm 10、已知OA⊥OC，过点O作射线OB,且∠AOB=30°，则∠BOC的度数为（）. A、30° B、150° C、30°或150° D、以上都不对 11、下图中表示∠ABC的图是（）. A 、 B 、 C 、 D 、 12、如图2，从A到B最短的路线是（）. A、A－G－E－B B、A－C－E－B C、A－D－G－E－B D、A－F－E－B 13、∠1和∠2为锐角，则∠1+∠2满足（）. A、0°＜∠1+∠2＜90° B、0°＜∠1+∠2＜180° C、∠1+∠2＜90° D、90°＜∠1+∠2＜180° 二、填空题（每空3分，满分30分） 14、如图3，点A、B、C、D在直线l上．（1）AC= ﹣CD；AB+ +CD=AD；（2）共有条线段，共有条射线，以点C为端点的射线是．15、用三种方法表示图4的角：．图2 图1 图3 图4

初中数学中有关图形的折叠问题

专题复习图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【】 A ．150° B ．210° C ．105° D ．75° 2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90o,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________. 3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________． 4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________． 5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B E C 6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是． 7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ． 8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得 △ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________． 9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（） A.3/4 B.4/5 C.5/6 D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ?'?''=+四形边。其中正确结论的个数是个。 11.如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 .

基本平面图形知识点

基本平面图形知识点一、线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的异同点名称图形及表示法不同点联系共同点延伸性端点数与实物联系线段不能延伸2直尺线段向一方延长就成射线，向两方延长就成直线都是直的线射线只能向一方延伸1电筒发生的光线直线可向两方延伸无笔直的公路（1）线段有两种表示方法：线段AB与线段BA，表示同一条线段。或用一个小写字母表示，线段a。（2）射线的表示方法：端点在前，任意点在后。射线OP （3）直线也有两种表示方法：直线MN或直线NM，或用一个小写字母表示：直线a 3、基本事实：经过一点可以画_______条直线；经过两点有且只有一条直线，即_____确定一条直线。在直线上任取一点可得到_____条射线，在直线上任取_____点可得到一条线段，在射线上任取一点可得到一条________。二、线段的性质： 1、基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。 2、两点之间的距离两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 3、比较线段长短的方法：观察法、度量法、叠合法 4、线段中点的定义在线段上，能够把这条线段分成相等的两条线段的点，叫做这条线段的中点。 AM=BM=AB，AB=2AM=2BM。 5、用尺规作一条线段等于已知线段（P6）三、角 1、角的定义（从静止的角度看）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。∠AOB中，点O是角的顶点，OA，OB是它的两边。角的表示方法：3种

2、角的度量单位：角的度量单位是：度、分、秒 10=60‘1’=60" 1″=′1′=° 3、平角和周角的定义（动态定义）角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的，当始边和终边成一条直线时，所成的角是平角，当它的终边旋转到和始边重合时，所成的角是周角。 4、角的分类按角的大小分为：锐角、直角、钝角、平角、周角。 1直角=90° ，1平角=180°，1周角=360°。锐角<钝角，0°<锐角<90° 。 5、角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。（数量关系） 6、钟表中的度数：分针一分钟转6°，时针一小时转30°一分钟转0.5°。 7、用一副三角板所画的角的度数，都是15°的倍数。四、多边形和圆的初步认识 1、多边形的定义：三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾依次相连组成的封闭平面图形。 2、多边形的基本元素顶点：如图，在多边形ABCDE中，点A,B,C,D,E是多边形的顶点；边：线段AB,BC,CD,DE,EA是多边形的边；内角：∠EAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEC是多边形的内角（可简称为多边形的角）。对角线：如图，AC,AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线。 3、正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。例如：正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是90°；等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是60°。 4、n边形有n个顶点，n条边，n个内角，n边形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）三角形，共有_______条对角线。 4、圆的概念（1）如图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点O称为圆心；线段OA称为半径。（2）相关概念弧：圆上任意两点A，B之间的部分叫做圆弧，简称弧，记做，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题(解析版)

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点. 解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论. 解题核心知识点：折叠性质； ①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；勾股定理；相似图形的性质、三角函数等. ★等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕； ★直角三角形存在性问题解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解. 二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB 上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.

中考数学试题-中考图形折叠、拼接问题分析最新

中考中的图形折叠、拼接问题分析 2018年中考题中很多地方出现了图形折叠、拼接问题，它考查了学生的动手操作与空间想象能力，培养了学生的创新精神和实践能力，已成为中考的一个热点之一。下面我们一起研究一下。一、平面展开图与折叠例1、（贵阳市2018）年图1是正方体的一个平面展开图，如果折叠成原来的正方体时与边a重合的是（）（A）d（B）e （C）f（D）i 答案：A 此题考察了学生的空间想象能力。二、对折例2、（浙江省2018年）现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图甲（虚线表示折痕）．除图甲外，请你再给出三种不同的．．．操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲示相同的操作）．（甲）（乙） ①②③ 解析: 三、按要求拼接此题考察了学生动手操作与创新的能力，学生必须转换角度，调整思路，灵活处理变化了的新问题。三、拼接例3、（海淀区2018年）下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形. ________ （请填图形下面的代号）。答案：②此题若学生把矩形纸按实际要求操作一下，答案很容易得到，但只凭想象答案很有可能出现多选情况。四、沿某一条直线对折出的复杂题型例4、（南京市2OO6年）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的

点E 重合.(1)如果折痕FG 分别与AD 、AB 交与点F 、G(如图1)，2 3 AF = ，求DE 的长； (2)如果折痕FG 分别与CD 、AB 交与点F 、G(如图2)，△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长．解：⑴在矩形ABCD 中，AB=2,AD=1AF= 23 , ∠D=900 .根据轴对称的性质得：EF=AF=23，∵ DF=AD-AF= 1 3 ，在RT △DEF 中 DE==。 ⑵设AE 与FG 的交点为O ，根据轴对称的性质，得AO=EO,取AD 的中点M ，连接MO,则MO= 12DE, MO ∥DC ，设DE=x ，则MO=1 2 x ，在矩形ABCD 中，∠C=∠D=90?,∴AE 为AED 的外接圆的直径，O 为圆心，延长MO 交BC 于点N ，则ON ∥CD ，∴∠CNM=1800 -∠C=90?,∴ON ⊥BC ，四边形MNCD 是矩形，∴MN=CD=AB=2，∴ON=MN-MO=2-1 2 x ，∵AED 的外接圆与BC 相切，∴ON 是AED 的外接圆的半径。∴OE=ON=2-1 2 x ，AE=2ON=4-x ，在在RT △AED 中，AD 2 +DE 2 =AE 2 ，∴12 +x 2 =(4-x)2 ，解这个方程，得x=158，∴DE=158 , OE=2- 12x=17 16 ,根据轴对称的性质，得AE ⊥FG ，∴∠FOE=∠D=90?,又∵∠FEO=∠AED ，∴△FEO ∽△AED, ∴ FO OE AD DE =,∴OE FO AD DE =?,可得FO=17 30 ,又∵AB ∥CD ，∴∠EFO=∠AGO ，∠FEO=∠GAO ，∴△FEO ≌△GAO, ∴FO=GO, ∴FG=2FO= 1715,折痕的长是17 15 .

备战中考--第39讲几何图形折叠问题--(附解析答案)

备战2019中考初中数学导练学案50讲第39讲几何图形折叠问题【疑难点拨】 1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系． 2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解． 3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数． 4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题： 1. .（2018?四川凉州?3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（） A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=

2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）． A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π 3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B 落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（） A．B．C．D． 4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（） A．B．32C．3 D．33

常见几何图形的折叠问题

常见几何图形的折叠问题图形的折叠是图形变换的一种，折叠型问题的立意新颖，变化巧妙，是近几年中考中的热点问题，主要考察学生的探究能力，空间想象能力，抽象思维能力及逻辑推理能力。体现的是教材中的轴对称问题，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，是培养学生识图用图能力，灵活运用数学知识解决问题能力的一条非常有效的途径。折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质。折纸中所蕴含着的丰富数学知识备受中考命题者的青睐，设计了许多别具创意的折叠问题，现采撷其中较有代表性的试题，予以例析．一、三角形中的折叠例1 如图1，直角三角形纸片ABC ，∠C=90o，AC=6，BC=8，折叠△ABC 的一角，使点B 与A 点重合，展开得折痕DE ，求BD 的长．功能分析：此题主要运用勾股定理解决折叠问题，往往融方程与几何图形于一体，具有较强的综合性。解法研究: 由折叠可知，△ADE ≌△BDE ．所以 AD=BD ．于是，在Rt △ACD 中，由勾股定理建立方程，求出AD 的长即可．设BD=x ，则AD=x ，CD=8－x ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AC 2+CD 2= AD 2，所以62+(8－x)2= x 2，解得x= 425．所以BD 的长为4 25．二、特殊四边形中的折叠 1. 矩形中的折叠例2 如图2，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在1C 处，B 1C 交AD 于E ，AD =8,AB =4,求△BED 的面积. 功能分析：由折叠后的图形与原图形全等，从而可知△BCD ≌△B 1C D , 则易得BE =DE ..在Rt △ABE 中，用勾股定理先算出BE 的长，再在Rt △BEF 中，用勾股定理求出EF 的长，即可求出△BDE 的面积. 折叠问题常结合全等三角形和等腰三角形来解决．矩形的折叠常与直角三角形有关，选择一个直角三角形，运用勾股定理来解是常用的方法．解法研究：在矩形ABCD 中，AD ∥BC , ∴∠2=∠3. 当矩形ABCD 沿着直线BD 折叠后，△B 1C D 与△BCD 关于直线BD 对称， ∴∠1=∠2, ∴∠3=∠1, ∴BE =ED . 图2