南邮2013-2014学年研究生最优化方法期末考试试题-by 陈杨

南京邮电大学2013-2014学年研究生最优化方法试题

学号____________ 姓名______________ 班级________________

一、（3分×8）

（1） 线性规划

,

0 153 2

2 ..

3 min 121212

1≥-=--≤+-x x x x x t s x x 的对偶规划为 ，给定一个点，让我们求其

有效集，给定可行方向(a,?1)T ,求a 的取值范围。

（2）在二维空间中，集合}00,x ,1|),{(2

2≥≥≤+y y x y x 的极点构成的集合为

。

（3）已知f(x)=x 2?3x +1 用黄金分割法求解某个函数在区间[0,4]上的极小点，则迭代一次后的区间为 。

（4）函数6222),(21212

22121+--++=x x x ax x x x x f 为严格凸函数，

则常数a 的取值范围____________。

（5）求函数22

21212),(x x x x f +=的极小点，取T x )1,0()0(=，用最速下降法一步得到的下降方向为___________。

（6）用外罚函数法求解f(x)0 x 01 .. min 2

12

2

21≥≤-+x t s x x ，其增广目标函数为

二、（10分）证明对于无约束最优化问题min f(x),采用最速下降法求最优点，两个相邻的方向是正交的。

三、（10分））设**,s z 分别是两个线性规划问题（I ）0

x b

x .. max 1≥≤=A t s x

c z T 与（II ）0

x k

b x .. max 2≥+≤=A t s x

c z T 的最优值，*

1y 是（I ）的对偶问题的最优解。求证：k y z s T

*1*

*

+≤。

四、（18分）（1）用单纯形方法求解下面的线性规划

,0 2426 1553 ..2- min 2121212

1≥≥≤+≤+-x x x x x x t s x x 。

（2）若在上面的线性规划中要求变量为整数，在相应的整数规划中，用分枝定界法，对变量x 2写出对应的分支方程。

五、（12分）用DFP 算法求解x (0)=(0,0)T ，H 0=I 2

minf (x )=x 12+2x 22

?2x 1x 2?4x 1

其中H k+1=H k ?

H k y k y k T H k y k T H k y k

+s k s k

T y k T s k

六、（10分）用内罚函数（倒罚函数法）求解 min 1

2x

s.t.3?x ≤0

七、（10分）检验（2,1）T

是否为K-T 点

min (x 1?3)2+(x 2?2)2

s.t.x 12+x 22

≤5 x 1+2x 2≥4 x 1≥0

x 2≥0

八、（8分）设A 为n 阶对称正定矩阵，非零向量p1,p2，…Pn 为关于A 的共轭向量

证明 A ?1=∑p k p k

T

p k

T Ap k

n k=1