(天津大学)现代设计方法习题及答案

习题一

1)论述产品设计过程中系统设计、参数设计及公差设计的目的与作用。 系统设计

根据产品的功能要求，进行产品的系统功能和原理设计，即将功能需求映射为物理原理，从而得到产品的初始设计方案。通过对不同方案分析比较，得到合理的初始设计方案。 参数设计

基于初始设计方案，建立产品的系统模型，以性能、质量、成本等为优化目标，对产品的系统参数优化设计，通过系统参数的合理化，实现性能、质量、成本的综合最优。 公差设计

在参数设计基础上，进一步以性能、质量、成本综合最优为目标，对参数的公差（如需波动的范围）进行优化。 2.)用黄金分割法求解

22)-x ()(m in =x f ，初始区间为 [ 0, 3 ]，迭代2次。（10） 第一轮迭代：

(1)

1(1)1(1)2(1)2(1)(1)12a 0b 3

x a 0.382(b a)1.146f (x )0.7293

x a 0.618(b a)1.854f (x )0.0213

f (x )0.7293>f (x )0.0213

[0,1.146][1.1463]

=+-===+-====∴=，=淘汰区间；新区间为，

第二轮迭代：

(2)(1)12(2)1(2)2(2)2(2)(2)21a 1.146b 3

x x =1.854f (x )0.0213

x a 0.618(b a) 2.2918f (x )0.0851

f (x )0.0851>f (x )0.0213

[2.2918,3][1.1462.2918]

===+-====∴=，=淘汰区间；新区间为，

(2)1f(1.146=0.7293f (2.2918)0.08511.146+2.2918

f(

)=0.0790

2f (x )f (1.854)0.0213min f (x)0.0213x 1.854

===∴==*），

3)论述传统或经典优化方法与现代优化方法的特点。

经典优化方法：

1．基于经典的线性、非线性数学规划理论；

2．一般需要解析形式的优化模型，只能处理模型简单的优化问题； 3．得到的结果一般为局部最优解。 现代优化方法

1．基于遗传、模拟退火等现代优化算法，并结合实验设计方法； 2．不需要解析形式的优化模型，可以处理模型复杂、多目标优化问题； 3．可以得到全局最优解。

4) 论述梯度法的原理，并用梯度法求解212221x x )(m in ++=x x X F ，

初始点X(0)=[1，1]（一维优化用解析法），迭代2次。 梯度法的原理：

基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将n 维优化问题求解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。

搜索方向：

最优步长：

迭代公式：

收敛判据： 解：

)()()()1()

()()()()()(min )

(k k k k k k k k k S X X S X F X F S λλλ+=?+-?=+ε

≤?)()(k X F

1221(0)(0)

(0)(0)2(1)(0)(0)

(1)

(1)(1)2()2x x -3S ()-3min (X ())3(13)d 23(13)(3)0d 13

130X =X ()1300(X )(X )000X 0x x F X F X F F X F

F X F F λλλλ

λλλλ+??

?=??

+??

??=-?=??

??-?=-=??-?-=∴=

-????-?==????

-????

??

?=?=????

?∴=确定最优步长：

， ，满足收敛条件

(1)(X )0 F ?

=????

，为问题的最优解。

5)论述优化问题的收敛准则。

数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列

时，当∞→n )](F ,[)],......,(F ,[)],(F ,[)],(F ,[)n ()n ()2()2()1()1()0()0(X X X X X X X X ，该序列收敛于优化问题的解。根据序列理论，序列收敛的条件为：相邻两轮搜索得到的近似极值点“相对距离”小于给定精度，即：

2

)

1n ()

n (1)1n ()n ()(F )(F εε<-<-++X

X X X

6）论述坐标轮换法的原理和局限性 原理：

将n 维问题转化为依次沿n 个坐标方向轮回进行一维搜索。 局限性：

1）计算效率低，适合变量n<10的情况；

2）若目标函数具有脊线，算法将出现病态：沿两个坐标方向均不能使函数数值下降，误认为最优点。

7)论述内点法、外点法和混合罚函数法的特点和适用性。 内点法：

1）初始点为严格内点； 2）仅能处理不等式约束；

3) 可能存在一维搜索超界问题； 3）可以得到多个可行方案。 外点法：

1）初始点可任选；

2）可以处理等式和不等式约束；

3) 不存在内点法中的一维搜索超界问题； 4）一般仅能得到一个最终方案。 混合罚函数法： 1）初始点可任选；

2）可以处理等式和不等式约束；

3）对已经满足的不等式约束用内点法构造惩罚项，对等式约束和未被满足的不等式约束用外点法构造惩罚项； 4）采用外推法提高收敛速度。

8）何谓K-T(Kuhn-Tuker)条件？用Kuhn-Tucker 验证约束优化问题

0)(0)(042)(0

5)(..)2()3()(min 24132122

22112

221≤-=≤-=≤-+=≤-+=-+-=x X g x X g x x X g x x X g t s x x F X 在点??

?

???=12*X Kuhn-Tucker 条件成立。（15）

K-T 条件：

约束极值点存在的条件。

设[

]

T

n x x x **2*1

* =X 为非线性规划问题

?

??

??++===≤∈p

m m j h m

j g t s F j j n

,,2,10)(,,2,10)(..)(min X X E X X 的约束极值点，且在全部等式约束及不等式约束条件中共有q 个约束条件为起作用的约束，即0)(*=X i g ,0)(*=X J h (i ≠j ，i +j = 1,2,…,q < p )。如果在X *处诸起作用约束的梯度向量)(*X i g ?、)(*X J h ?(i +j = 1,2,…,q < p )线性无关，则存在向量

λ使下述条件成立

{}

0)()()(1

**

*

=?λ+?λ+

?∑=+q

j i j j i

i

h g F X X

X

[]

T

q λλλ= 21λ，其元素i λ为非零、非负的乘子, j λ为非零的乘子。

解：

条件。

满足即，〉，〉，则有

条件，应有

根据，起作用的约束为，；T K 120

3

20310212422g g F T K 21g 242x 2x g 22)2x (2)3x (2F )X (g )X (g 0)X (g 0)X (g 0)X (g )X (g *1121221122112121*4*3*2*1-??

?

???====?

??

???+??????+??????--=?+?+?-?

?

????=???

????=??????=???

????--=??????--=?∴==X λλλλλλ

9. 论述有限元分析的过程。

1) 结构几何建模；

2) 设定材料常数，弹性模量、泊松比。。。； 3) 载荷、位移边界条件 ；

4) 划分单元，对单元编号 e = 1,2,3,…,n;

5) 对节点编号 k =1,2,3,…,N ，列出单元与节点的对应关系表； 6) 计算等效节点力； 7) 形成单元刚度矩阵； 8) 组装整体刚度矩阵； 9) 引入位移边界条件；

10) 求解刚度方程，得节点位移； 11) 计算应力、应变及其分布。

习题二

1)论述确定单峰区间的进退步法，并确定函数2()441f x x x =--的一个搜索区间（单峰区间）。设初始点x 0 = 0，初始步长h 0 = 0.5。

（1）进退法是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。

对于给定的初始点x 1和步长h ，计算f (x 1)和x 2 =x 1+h 点函数值f (x 2)。若f (x 1)> f (x 2)，说明极小点在x 1的右侧，将步长增加一倍，取x 3 =x 2+2h 。若f (x 1)< f (x 2)，

说明极小点在x 1的左侧，需改变探索方向，即将步长符号改为负，得点x 3 =x 1 – h 。 若f (x 3)< f (x 2)，则将步长再加大一倍，x 4 =x 3+4h ，或x 4 =x 3 -2h 。即每跨一步的步长为前一次步长的2倍，直至函数值增加为止。

（2）

]5.1 ,0[ ],,[)()()(2

)(5.122

)(5

.01)(00.5

2021021210100即单峰区间为x x x f x f x f x f h x x x f h x x x f x h ∴<>==+=-==+=-===

2)用黄金分割法求解

2min ()(1)f x x =-，初始区间为 [ 0, 2 ]，迭代2次。（10） 第一轮迭代：

(1)

1(1)1(1)2(1)2(1)(1)12a b x a 0.382(b a)0.764f (x )0.0557

x a 0.618(b a) 1.236f (x )0.0557

f (x )f (x )

[0, 0.764][0.764, ] ([1.236, 2][0, 1.236])

=+-===+-===∴=0，=2

淘汰区间；新区间为2或淘汰区间；新区间为

第二轮迭代：

(2)(2)12a 0.764b 2 (a=0, b=1.236)

x 1.236, (x 0.764) ===，=(2)(2)12(2)(2)2

1

f (x )0.0557 (f (x )0.0557)

x

a 0.618(

b a) 1.528 (x

a 0.618(

b a)0.472 )

f ===+-==+-=(2)(2)

21(2)(2)(2)(2)2112(x )0.2788 (f (x )0.2788)

f (x )0.2788>f (x )0.0557 (f (x )0.2788>f (x )0.0557)

[1.528,2][======∴淘汰区间；新区间为0.764] ([0,0.472][0.472])

∴，1.528淘汰区间；新区间为，1.236

(2)1f(0.764=0.0557f (1.528)0.27880.764+1.528f(

)=f(1.146)0.02132f (x )f (0.236)0.0557min f (x)0.0213x 1.146====∴==*），(2)1f(0.472=0.2788f (1.236)0.0557

0.472+1.236

f()=f(0.854)0.0213

2

f (x )f (0.236)0.0557min f (x)0.0213x 0.854====∴==*）， 3)写出优化模型的标准式。

??

????

??

?

??

++===≤++===≤?∈p m m j h m j g t s F p m m j h m j g F j j j j n

,...,2,1,0)(;,...,2,1,0)(..)

(min ,...,2,1,0)(;,...,2,1,0)(:)

(min X X X X X D R D X X 或

4）论述梯度法的原理，并用梯度法求解

2212min ()25F X x x =++，初始点X(0)=[1，1]

（一维优化用解析法），迭代2次。 梯度法的原理：

基于沿负梯度方向，目标函数在当前位置下降最快这一事实，将n 维优化问题求解转化为沿负梯度方向的一维搜索，迭代求优过程。

12(0)(0)(0)(0)22(1)(0)(0)4()2x -4S ()-2min (X S )2(14)(12)5d 22(14)(4)2(12)(2)0d 5

=0.2778

18

1140.11119X =X S =1240.44449x F X F X F F

λλλλλλ

λλλλ??

?=??

??

??

=-?=??

??

+=-+-+=??-?-+?-?-=∴=??---????+==????-??????

第一次迭代：确定最优步长：

(1)

(1)

(1)(1)22(2)(1)(1)40.44449S =-(X )8-0.888998144min (X S )2()()5

9999

d 88144422()2()()0

999999d 5

0.4167

12

41599

X X S 841299F F F

λλλλλλ

λλ?

???

??

??

??

???==????

??-????

+=-++-+=??-+?+?-?-=∴==???

-???∴=+=+???-?????第二次迭代：

(2)0.07410.0741(X ) 5.033F ????????????

==，

。

5）论述搜索法求解一维和多维优化问题的收敛准则

(1) 一维优化的基本思路是通过数值迭代逐步缩减极值点所在的单峰区间，当区间长度达到给定精度，即可认为优化过程收敛，则收敛准则为

2

1

)()(εε≤-≤-b f a f b a

(2)多维优化问题数值搜索寻优过程的搜索结果构成一序列

时，当∞→n )](F ,[)],......,(F ,[)],(F ,[)],(F ,[)n ()n ()2()2()1()1()0()0(X X X X X X X X ，该序列收敛于优化问题的解。根据序列理论，序列收敛的条件为：相邻两轮搜索得到的近似极值点“相对距离”小于给定精度，即：

2

)1n ()n (1)1n ()n ()(F )(F εε<-<-++X X X X

6）论述阻尼牛顿法的原理和局限性。 牛顿法的原理：

在X(k)的邻域内，用二次泰勒多项式近似原目标函数F(X)，以该二次多项式的极小点作为F(X)的下一个迭代点X(k+1) ，并逐渐逼近F(X)的极小点X*。 阻尼牛顿法的原理：

对牛顿法的修正——在牛顿方向上作一维搜索求最优步长。 局限性：

当F(X)的海赛矩阵在迭代点处正定情况下，阻尼牛顿法可以保证每次迭代，迭代点的函数值都下降； 在迭代点处不定情况下，函数值不会上升，但不一定下降； 在迭代点处奇异情况下，不能求逆，无法构造牛顿方向；要求F(X)二阶可微。

7试建立下图所示一维问题的刚度方程。

??

??

?

?????=????????????????????--+--+-==-++-=+=+-==+-=-=-=--=+-=-=-=--=32132122

2211132221②333222111②2①223

2111①113222232②33222232②22111121①22111121①10

00)(0)()()()(R R R u u u k k k k k k k k u k u k u F R u k u k k u k F F R u u k u k F R u k u k u u k F u k u k u u k F u k u k u u k F u k u k u u k F 衡）：总体分析（节点静力平单元分析：

8）8.何谓K-T(Kuhn-Tuker)条件？用Kuhn-Tucker 验证约束优化问题

0)(0)(042)(0

5)(..)2()3()(min 24132122

22112

221≤-=≤-=≤-+=≤-+=-+-=x X g x X g x x X g x x X g t s x x F X 在点??

?

???=12X Kuhn-Tucker 条件成立。

K-T 条件：

约束极值点存在的条件。

设[

]

T

n x x x **2*1

* =X 为非线性规划问题

?

??

??++===≤∈p

m m j h m

j g t s F j j n

,,2,10)(,,2,10)(..)(min X X E X X 的约束极值点，且在全部等式约束及不等式约束条件中共有q 个约束条件为起作用的约束，即0)(*=X i g ,0)(*=X J h (i ≠j ，i +j = 1,2,…,q < p )。如果在X *处诸起作用约束的梯度向量)(*X i g ?、)(*X J h ?(i +j = 1,2,…,q < p )线性无关，则存在向量λ使下述条件成立

{}

0)()()(1

**

*

=?λ+?λ+

?∑=+q

j i j j i

i

h g F X X

X

[]

T

q λλλ= 21λ，其元素i λ为非零、非负的乘子, j λ为非零的乘子。

解：

条件。

满足即，〉，〉，则有

条件，应有

根据，起作用的约束为，；T K 120

3

20310212422g g F T K 21g 242x 2x g 22)2x (2)3x (2F )X (g )X (g 0)X (g 0)X (g 0)X (g )X (g *1121221122112121*4*3*2*1-??

?

???====?

??

???+??????+??????--=?+?+?-?

?

????=???

????=??????=???

????--=??????--=?∴==X λλλλλλ

9. 论述有限元分析的过程。

1) 结构几何建模；

2) 设定材料常数，弹性模量、泊松比。。。；

3) 载荷、位移边界条件；

4) 划分单元，对单元编号e = 1,2,3,…,n;

5) 对节点编号k =1,2,3,…,N，列出单元与节点的对应关系表；

6) 计算等效节点力；

7) 形成单元刚度矩阵；

8) 组装整体刚度矩阵；

9) 引入位移边界条件；

10) 求解刚度方程，得节点位移；

11) 计算应力、应变及其分布。