(完整版)高数中需要掌握证明过程的定理(一).doc
高数中的重要定理与公式及其证明
（一）
考研数学中最让考生头疼的当属证明题， 而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。 如果本着严谨的对待数学的态度， 一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试， 很多时候要求没有那么高。 而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费 力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。
应深受大家敬佩的静水深流力邀， 也为了方便各位师弟师妹复习， 不才凭借自己对考研数学的一点了解， 总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。 这些证明过程，或是直接的考点， 或是蕴含了重要的解题思想方法， 从长远来看都是应当熟练掌握的。
由于水平有限， 总结不是很全面， 但大家在复习之初， 先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限
lim
ln(1 x) e x
1
a x
1
ln a ，lim
(1 x)a
1
1 cosx
1 x
1，lim
x
1，lim
x
x
a ，lim
x 2
2
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想
1
过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限
lim(1 x) x e 与
x 0
lim
sin x
1 的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技
x 0
x
巧。 证明：
ln(1 x) 1
ln(1
x)
lim
1：由极限 lim(1 x)
x
e 两边同时取对数即得 lim
。 x
x 1
x 0
x 0
x 0
lim e x
1 1：在等式 lim
ln(1
x) 1 中，令 ln(1
x) t ，则 x e t 1。由于极限
x 0
x
x 0
x
过程是 x
0 ，此时也有 t
t
1 。极限的值与取极限的符号
0 ，因此有 lim
t 0
e t
1
是无关的，因此我们可以吧式中的 t 换成 x ，再取倒数即得 lim
e x
1 1。
x 0
x
lim a
x
1 ln a ：利用对数恒等式得 lim a
x
1
lim e
x ln a
1
，再利用第二个极限可
x 0
x
x 0
x
x 0
x
得 lim e
xln a
1
ln a lim e
xln a
1 ln a 。因此有 lim a
x
1 ln a 。
x 0
x x 0
x ln a
x 0
x
lim (1 x) a 1 a ：利用对数恒等式得 x 0
x
lim (1 x) a 1 lim e aln(1
x)
1
a lim e a ln(1 x )
1 ln(1 x)
a lim e a ln(1 x )
1 lim ln(1 x)
a
x 0
x x 0
x
x 0
a ln(1 x) x
x 0
a ln(1 x) x 0
x
上式中同时用到了第一个和第二个极限。
x
sin
x
2
1 cosx 1
1 cos x
2sin 2 1
1
：利用倍角公式得 lim 2 2 2
。 lim
x 2
2 lim
2
lim
x
2 x 0
x 0
x x 0
x 2 x 0
2
2）导数与微分的四则运算法则
(u v)' u '
v ' ,
d( u v) du dv (uv) '
u 'v uv ' , d( uv) vdu udv ( u )'
vu
'
uv '
,
d( u ) vdu
udv
(v 0)
v
v 2
v
v 2 【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。
而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概
念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。 具体的证明过程教材上有， 这里就不赘述了。 3）链式法则
设 y f (u), u (x) ，如果 ( x) 在 x 处可导，且 f (u) 在对应的 u ( x) 处可导，
则复合函数 y
f ( ( x)) 在 x 处可导可导，且有：
f ( (x))
f ' (u) '
(x)或
dy
dy du
'
【点评】：同上。
dx
du dx
4）反函数求导法则
设函数 y f ( x) 在点 x 的某领域内连续，在点 x 0 处可导且 f ' ( x) 0 ，并令其反函 数为 x
g( y) ，且 x 0 所对应的 y 的值为 y 0 ，则有：
'
1 1
dx 1 g ( y 0 ) f ' ( x 0 ) f ' ( g( y 0 ))
或
dy
dy
dx
【点评】：同上。
5）常见函数的导数
x '
x 1 ，
'
cosx ， cosx '
sin x ， sin x
ln x
'
1
， log a x ' 1 ，
x
xln a
e x
'
x
， a x
'
x
e
e ln a
【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，
掌握这几个公式的证明过程， 不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点， 对极
限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明：
x
x
1
：导数的定义是 f ' ( x)
lim f ( x x)
f ( x)
，代入该公式得
'
x
x 0
x
lim (x
x) x
(1
x )
1
1
lim (1
x
) 1
x
1
。最后一
x
x
x x
'
x
x
x
x 0
x
x
步用到了极限 (1 x) a
1
x 0 的情形。
lim
x
a 。注意，这里的推导过程仅适用于
x 0
x 0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。
sin x cosx ：利用导数定义 sin x
lim sin(x
x)
sin x
，由和差
化积公式得
'
'
x
x
lim sin( x x)
sin x lim 2cos(x
x
)sin x cosx 。 cosx
sin x 的证明类
'
x 0
x
x 0
x
似。
1
ln( x x)
ln x
ln(1
x )
1
'
'
x
： 利 用 导 数 定 义 ln x
lim
。 ln x
x lim 0
x
x x
x
x
1
ln x ）。
log a x '
的证明类似（利用换底公式 log a x
x ln a ln a
e x
'
x
：利用导数定义
x '
e ( x x) e x
x e x 1
x
。 a
x '
x
ln a 的
e e
lim
x
lim e
e
e
x 0
x
x
证明类似（利用对数恒等式 a x
e x ln a ）。
6）定积分比较定理
如果在区间 [a,b] 上恒有 f (x) 0 ，则有 b f (x)dx 0
a
推论：ⅰ 如果在区间 [ a, b] 上恒有 f ( x) b b
g (x) ，则有 f ( x) dx g ( x) dx ；
a a
ⅱ设 M 和 m 是函数 f ( x)在区间[ a, b]上的最大值与最小值，则有：
b
m(b a) f ( x) dx M (b a)
a
【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。
掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。
7）定积分中值定理
设函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续，则在积分区间[ a, b] 上至少存在一点使得下式
成立：
b
f (x)dx f ( )(b a)
a
【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的
推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的
题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。
8）变上限积分求导定理
如果函数 f (x) 在区间 [ a,b] 上连续，则积分上限的函数可导，并且它的导数是
' ( x) d x f (x)dx f (x), a x b
dx a
设函数
F ( x) u( x)
' (x) f (u(x))u' ( x)
f (t )dt ，则有F
v( x)
x
(x) f ( x)dx 在 [ a,b] 上
a
f (v( x))v' ( x) 。
【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。
9）牛顿 -莱布尼兹公式
如果函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，则有 b f ( x)dx F (b) F (a) ，其中 F ( x) 是
a
f ( x) 的原函数。
【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理
的推论。具体证明过程见教材。
设函数 f ( x) 在点 x0的某领域 U ( x0 ) 内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x U ( x0 ) ，有 f ( x0 ) f ( x)或 f ( x0 ) f (x) ，那么 f ' ( x0 )0
【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，
是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。
11）罗尔定理：
如果函数 f (x) 满足
（ 1）在闭区间[a,b] 上连续；
（ 2）在开区间( a, b) 上可导
（ 3）在区间端点处的函数值相等，即 f (a) f (b)
那么在( a, b) 内至少存在一点( a b) ，使得 f ' () 0 。
【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。
12）拉格朗日中值定理：
如果函数 f (x) 满足
（ 1）在闭区间[a,b]上连续；
（ 2）在开区间( a, b)上可导
那么在 ( a,b)内至少存在一点( a b) ，使得f'( ) f (b) f ( a) 。
b a
【点评】：同上。
13）柯西中值定理：
如果函数 f (x) 和 g(x) 满足
（ 1）在闭区间[a,b]上连续；
（ 2）在开区间( a, b)上可导
那么在 ( a,b)内至少存在一点( a b)，使得 f ' ( ) f (b) f (a) 。
g' ( ) g (b) g( a) 【点评】：同上。
设函数 f ( x) 在 [ a,b] 上连续，在 ( a, b) 上可导。
'
如果在 ( a,b)上有 f ( x) 0 ，那么函数 f (x) 在 [a,b] 上单调递增。
【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却
不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。
证明：
仅证明 f ' (x) 0的情形， f ' ( x) 0 的情形类似。
x1, x2 ( a, b) ，假定 x1 x2
则利用拉个朗日中值定理可得，x2 , x2使得 f ( x1 ) f ( x2 ) f ' ( x1 x2 ) 。由于 f ' 0 ，因此 f ( x1) f ( x2 ) 0 。
由 x1 , x2 的任意性，可知函数 f ( x) 在 [a,b] 上单调递增。
14） (极值第一充分条件 )
o
设函数 f ( x) 在 x0处连续，并在 x0的某去心邻域 U ( x0 , ) 内可导。
ⅰ）若 x ( x0 , x0 ) 时， f ' ( x) 0, 而 x ( x0 , x0 ) 时， f ' ( x) 0, 则 f ( x) 在 x0处取得极大值
ⅱ）若 x ( x0 , x0 ) 时， f ' ( x) 0, 而 x ( x0 , x0 ) 时， f ' ( x) 0, 则 f ( x) 在 x0处
取得极小值；
o
ⅲ）若 x U ( x0 , ) 时， f ' (x) 符号保持不变，则 f ( x) 在 x0处没有极值；
【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。
15）(极值第二充分条件
)
设函数
f ( x)
在
x 0 处存在二阶导数且
f ' (x 0 )
0 ，那么
ⅰ）若 f '' ( x 0 ) 0, 则 f (x) 在 x 0 处取得极小值； ⅱ）若 f '' ( x 0 ) 0, 则 f (x) 在 x 0 处取得极大值。
【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。 证明：
仅证明 f '' ( x 0 ) 0, 的情形， f '' ( x 0 ) 0, 的情形类似。
由于 f ( x) 在 x 0 处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在
x 0 的某领域
x x 0
2
内成立 f ( x)
f x 0
f '
x 0 x x 0
f '' x 0 o x 2
x 0
2
由于 f ' ( x 0 ) 0 ，因此
x x 0
2
2
f ( x)
f x 0
f '' x 0 o x x 0
2
2
f x 0
x 2
f ''
x 0 o x
x 0
x 0
2
x x 0 2
2
''
o x x 0
由高阶无穷小的定义可知， 当 x
0 ，又由于
f x 0
0 ，
x 0 时，有 x 2
x 0 2
f ''
x 0
o
x x 0 2
0 。
因此在 x 0 的某领域内成立
2
x 2
x 0
2
进一步，我们有 f x 0
x x 0 2
f '' x 0
o x x 0
f
x 0 。
2
x x 0 2
也即，在 x 0 的某领域内成立 f ( x) f x 0 。
由极值点的定义可知 f ( x) 在 x 0 处取得极小值。
16）洛必达法则
设函数 f ( x), g ( x) 在 x a 的空心邻域内可导， g ' ( x) 0 ，且 lim f ' ( x) A
x a
g ' ( x)
则有 lim
f ( x)
, 。
A ，其中 A 可以是有限数，也可以是
x
a
g ( x)
【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法， 但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论， 证明过程比较简单， 也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。
高等数学证明方法
（3）反证法 这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下，要证的结论不成立，而后从已知条件出发，运用基本概念和基本定理，通过逻辑推理导出矛盾（或与已知条件矛盾；或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），这样则否定假设，从而肯定原结论正确。 例如，证明不是的多项式. 事实上，利用反证法，设是的多项式，不妨记此多项式为次多项式，即，则有 于是次多项式有无穷多个不同实根，这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾，由此证明了不是的多项式. 又如，证明不存在（为自然数）. 事实上，利用反证法，假设存在且设，则有 又因为 所以有 故 这与产生矛盾，因此不存在. （2）分析法 这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确，运用已有的定义、定理、公式、性质，从后向前一步一步地分析，直至推出已知条件，即由结论找需知，再找需知，……，直至已知。这种“执果溯因”的方法，叫做分析法。 分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然，目的明确，较为容易找到证明的思路，但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐，因而过程多在草稿纸上进行，不正式写出。在实际解题时，特别对于一些较难的问题，常常先用分析法寻找解题的途径，然后再用综合法叙述解题过程，这种方法也可叫做分析综合法。 例如，设在时连续，且；而在时有单调递增导数，试证在时是单调递增的。 事实上，欲证为单调递增，只需证明就行了，而由于 因此就归结为证明. 利用拉格朗日中值定理及已知条件，有 单调递增 因此在时是单调递增的. 又如，用极限定义证明一数列或函数有已知极限时，多采用分析综合法证明。比如证明，其方法如下： ，欲使不等式成立， 由 所以只需，即成立. 取，于是当时，就有，从而保证了希望的不等式成立. 综合以上分析，就有 ，当时，，根据极限定义，有
2017考研：高数常考的四大定理证明
2017考研：高数常考的四大定理证明 一、求导公式的证明 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。 当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式。 类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。 二、微分中值定理的证明 这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。 费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2. f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x) -f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。 费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。 闲言少叙，言归正传。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这，可能有同
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若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过 程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。 以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑 在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗 尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子 是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现 场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函 数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值 换成x，再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。 几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的.较为 陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公 式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急 功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可 能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。 这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中 未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。 当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写 出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则， 因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。 利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。 类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。 该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把
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理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名：张智 学生学号：201001164 所在班级：数学101 所在专业：数学与应用数学 指导老师：杨志林
摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明
ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof
初中数学所有几何证明定理
初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理？
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
关于高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 高等数学公式定理整理 1.01版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+ 和差化积 ] 2 β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α 积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α2 1 -=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数 函数的特性： 1.有界性： 假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性 设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1 第三章中值定理证明 1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义 1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。 由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限 0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想 过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1 lim (1 )x x x e →+=与0sin lim 1x x x →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技 巧。 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1 0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x →+=。 01 lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0 lim 11 t t t e →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01 lim 1x x e x →-=。 01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011 lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01 lim ln x x a a x →-=。 定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明： 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 sin cos tg ctg 角A -α-sinαcosα-tgα-ctgα 90°-αcosαsinαctgαtgα 90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα 180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα 180°+α-sinα-cosαtgαctgα 270°-α-cosα-sinαctgαtgα 270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα 360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式： ·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式： 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*)式的通解 两个不相等实根 两个相等实根 一对共轭复根 高等数学定理大全 第一章 函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一*)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界*)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有 高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。 1）常用的极限 0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1 lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想 过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1 lim(1 )x x x e →+=与0sin lim 1x x x →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技 巧。 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1 0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x →+=。 01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0 lim 11 t t t e →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01 lim 1x x e x →-=。 01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011 lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01 lim ln x x a a x →-=。 高数中的重要定理与公式及其证明（二） 在第一期的资料内我们总结了高数前半部分需要掌握证明过程的定理，由于最近比较忙，所以一直没来得及写。现将后半部分补上。希望对大家有所帮助。 1）泰勒公式（皮亚诺余项） 设函数()f x 在点0x 处存在n 阶导数，则在0x 的某一邻域内成立 () ()()()2 00' '' ()000 00()()()()...()2! ! n n n x x x x f x f x x x f x f x f x o x x n --??=+-+ ++ +-?? 【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数（sin ,cos ,ln(1),,(1)x a x x x e x ++）在0x =处的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期， 如果基础不是很好的话，两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。但由于证明过程中所用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。 证明： 令()()()200'''() 00000()()()()()...()2!!n n x x x x R x f x f x x x f x f x f x n ??--=-+-+ ++?????? 则我们要证明()0()n R x o x x ??=-?? 。 由高阶无穷小量的定义可知，需要证明() 0() lim 0n x x R x x x →=-。 这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的， 因此用洛必达法则得 () ()()()() 1 ''''()0 0000100()()()...()1!() lim lim n n n n x x x x x x f x f x x x f x f x n R x x x n x x --→→??--+-++?? -????=-- 再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零，并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法则。 不难验证该过程可以一直进行下去， 运用过1n -次洛必达法则后我们可以得到 () ()() ()0 00 (1)(1)()00000(1) (1) () 000()()()() lim lim !()()() lim !! n n n n x x x x n n n x x f x f x x x f x R x n x x x x f x f x f x n x x n --→→--→---=---=- - 由于()f x 在点0x 处存在n 阶导数，由导数的定义可知() (1)(1)()000()() lim ()n n n x x f x f x f x x x --→-=- 1无税收条件下的MM定理 1.1假设条件 假设1：无摩擦市场假设 ?不考虑税收； ?公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ?无关联交易存在； ?不管举债多少，公司和个人均无破产风险； ?产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄 断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵 状况；不存在帕累托改善；等等； ?资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ?投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。 假设2：一致预期假设 ?所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全 理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都 是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险 都按照马克维兹的投资组合理论衡量。 1.2MM定理第一命题及其推论 MM定理第一命题： 有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。 证明方法是无套利均衡分析法。 MM定理第一命题推论一： 债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。 MM定理第一命题推论二： 股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。 含义：正常情况下B公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A公司的股票预期收益率小于B公司的股票的预期收益率。 MM定理第一命题推论三： 股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。 1.3MM定理第二命题及其推论 MM定理第二命题： 公司加权平均资本成本（WACC）与公司的资本结构无关。 MM定理第二命题推论： 有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上风险补偿，风险补偿的比例因子是负债权益比k。 2有税收条件下的MM定理 2.1假设条件 考虑税收，其他假设与前面相同。有税收条件下的MM定理仅一个定理，有四个推论。 2.2MM定理第一命题及其推论 MM定理第一命题： 在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。 MM定理第一命题推论一： 在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。即在考虑税收的情况下，不考虑税收时MM定理的命题一的推论二仍然成立。 MM定理第一命题推论二： 考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM定理命题一推论三仍然成立。 MM定理第一命题推论三： 关于高等数学常见中值定理证明及应用 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边 AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、 F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-===-， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ， A B C D E F P 且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于 点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据 塞瓦定理有 //1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC 的三 边AB 、BC 、CA 所在直线分别交 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不 是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． A B C D E F P D / A B C D E F G 高中数学定理证明汇总 必修1 P64 分数指数幂的定义、根式解释： 一般的，给定正实数a,对于任意给定的正整数m,n,存在唯一的正实数b,使得b n =a m ,我们把b 叫作a 的n m 次幂，记作n m a b =， 它就是正分数指数幂。 有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即n m n m a a = （a>0） P81 对数的运算性质： 证明：设log a M=p,log a N=q,则由对数定义得a p =M,a q =N. 因为 MN=a p a q =a p+q ，所以p+q=log a (MN) 即log a (MN)=log a M+log a N P84 换底公式： 证明：设x=log b N,根据对数定义，有N=b x. 两边取以a 为底的对数，得log a N=log a b x . 而log a b x =xlog a b,所以log a N=xlog a b. 由于b ≠1,则log a b ≠0，解出x,得x= b N a a log log , 因为x=log b N,所以log b N= b N a a log log 很容易由换底公式得到 log b a= b log 1a 必修2 P24 平面的基本性质的推论： 1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 证明推论2： 设a b A =，在直线a 上取点B ，且A 、B 不重合，在直线b 上取点C ，且A 、C 不重合。 因为A 、B 、C 不重合 则有且仅有一个平面α经过A 、B 、C 因为点A 、B 都在直线a 上 如果a>0,1≠a ,M>0,N>0,则 （1）log a (MN)=log a M+log a N; （2）log a M n =n ·log a M (n ∈R)； （3）log a N M =log a M-log a N. log b N=b N a a log log (a,b>0,a, b ≠1,N>0) 高数中的重要定理与公式及其证明（二） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。 6）定积分比较定理 如果在区间[,]a b 上恒有()0f x ≥，则有()0b a f x dx ≥? 推论：ⅰ如果在区间[,]a b 上恒有()()f x g x ≥，则有()()b b a a f x dx g x dx ≥??； ⅱ设M m 和是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值，则有：()()()b a m b a f x dx M b a -≤≤-? 【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。 7）定积分中值定理 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一点ξ使得下式成立： ()()()b a f x dx f b a ξ=-? 【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。高等数学公式定理整理
高等数学-中值定理证明
高数中需要掌握证明过程的定理
证明微积分基本公式
高等数学公式、定理 最全版
高数中的重要定理与公式及其证明(一)
(完整版)高数中需要掌握证明过程的定理(二)
MM定理证明过程-MM定理证明过程
关于高等数学常见中值定理证明及应用
平面几何中几个重要定理的证明
高中数学定理证明汇总
高数中的重要定理与公式及其证明